# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十六篇）

## 逐位進位與借位的運算對偶、算術循環上的非閉合權重，以及跨進位觀察的精確分層

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XVI: Digit-Level Carry–Borrow Duality, Non-Closed Carry Weights on Arithmetic Cycles, and Exact Cross-Radix Stratification*  
**版本：** v0.1（精確算術命題、有限圖全枚舉、演算法逐位驗證）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想：** Neo.K；形式化、程式與計數驗證：AI 協作  
**直接承接：** 第十三篇的反向雙操作邊、第十四篇的三角／四角循環、第十五篇的算術濾過與三角填補  
**Canonical source：** 本 UTF-8 Markdown 原始檔；數學僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$` 作為 source delimiters  
**證據範圍：** 非負整數標準位值算術、正整數有限雙操作語法、明確指定的逐位演算法；不主張一般實數、任意運算方法或物理因果律已獲證明

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**作者：** Neo.K；形式化、程式與計數驗證：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

前十五篇逐步把 $9\times99$ 與 $n\times99=9\times(11n)$ 的關係族，展開成可以回查精確數值、運算事件、反向約束、計算中間狀態、同調循環及語法濾過的有限關係圖。第十四、十五篇的循環分析以整數邊是否合法為核心，進位制主要作為數量級樓層的觀察參數；**真正的逐位進位、借位及乘法卷積狀態，尚未成為該數值圖的獨立資料層**。本文補上這一層。

固定正整數雙作用邊 $x<y$，其精確關係為 $y=x+d=xr$，其中 $d,r\in\{2,\ldots,K\}$。每條邊不再只保存 $x,y,d,r$，還在每個整數進位基底 $q$ 下，分別執行標準低位到高位加法 $x+d$ 、標準數位卷積乘法 $x\times r$，以及逆向減法 $y-d$。進位向量與借位向量以**低位先行**保存，並利用整數前綴公式逐位交叉核對，不依賴圖形像素或浮點近似。

本文首先證明，在上述標準逐位算法中， $x+d=y$ 的每個加法進位位置與逆向 $y-d=x$ 的每個減法借位位置**完全相同**。然而，共同數值邊的加法與乘法進位向量不必相同。最直接的例子是 $2+10=12=2\times6$：二進位下加法有一次非零進位而乘法沒有；十進位下加法沒有進位而乘法有一次。這個精確例子說明，**相同的底層數值關係可以具有不相同、甚至隨進位制交換顯著性的算法狀態**。

對 $K=40$ 的完整 $156$ 條雙作用邊與 $131$ 個三角循環，七個進位基底 $2,3,5,8,10,12,16$ 逐筆展開。十進位下有 $56$ 條邊的加法至少出現一個非零進位位置， $74$ 條邊的乘法至少有一個；二進位下兩個數量分別為 $107$ 與 $22$。同一批精確整數邊絲毫未改變。對三角循環定義沿著固定方向累積的**帶符號進位位置數**後，十進位的 $131$ 個三角之中，有 $49$ 個的加法進位循環和非零， $71$ 個的乘法進位循環和非零。由此可證，這種進位標記一般**不是三角邊界上的閉合一上鏈**，不能直接下降為前篇的一維同調不變量。

本文接著研究第十四篇九個舊非三角循環代表。其中 $C_6=(1,5,45,9,1)$ 在 $K=42$ 已具有三角填補證書，但於十進位採用本篇指定的定向加法進位權重，其循環和仍為 $-1$。這不是前篇同調結論的矛盾，反而是重要的分層界線：**循環在模三角同調中成為零，並不迫使一個不滿足閉合條件的算法進位權重為零**。

把相同驗證延伸至 $K=80$，圖有 $366$ 條邊、 $415$ 個三角及 $13$ 維第一同調；對全部七種進位基底，生成 $3,654$ 筆邊—基底運算紀錄和 $3,822$ 筆三角—基底循環紀錄。加法與逆向減法的逐位對應、精確數值圖、同調維度與語法出生時刻保持不變，逐位進位分布與循環和則依基底與演算法而改變。本文因而建立一個可重現的**數值—事件—演算法狀態—進位觀察**四層資料協定。

**關鍵詞：** 進位制塔樓、全域運算關係、位值運算、加法進位、逆向借位、乘法卷積、雙作用邊、三角循環、非閉合一上鏈、同調與算法狀態區分、跨進位觀察、精確整數驗證。

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## 1. 研究焦點：真正展開「中間運算過程」

### 1.1 既有兩個觀察層仍然不夠

前篇對同一個正整數 $n$，已可區分其精確值與進位數量級高度：

$$
\ell_q(n)=\lfloor\log_q n\rfloor.
$$

但是， $\ell_q(n)$ 只知道 $n$ 位於哪一個數量級樓層，不知道某條算術運算在第幾個數位發生進位、每次進多少、是否存在相鄰位元的進位傳播，以及兩種運算路徑是否具有相同的逐位計算軌跡。

本篇的目的不是將更多圖形放進塔樓，而是給每條線附加**能夠逐位重算的運算狀態見證**。對同一條數值邊，保留多種算法實現，才能回到研究起點的問題：為什麼同一數值關係在不同進位制與演算法下會有不同的觀察結果？

### 1.2 必須區分四種不同的不變性

1. **數值不變性**：以不同基底無損表示同一個整數，等式真假不變。
2. **運算事件不變性**：固定 $x,y,d,r$，加法、乘法及逆向運算的合法性不變。
3. **算法進位歷史不變性**：只在非常明確的算法、基底與輸入保持固定時才有意義；一般不能跨基底聲稱相同。
4. **同調類別不變性**：對固定的精確數值圖及三角填補規則成立，不可把任意進位統計自動當成同調類別。

四個層級彼此相關，但並不互相等價。

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## 2. 仍採用原來的有限雙作用算術圖

### 2.1 無向底層數值關係

對整數 $K\ge2$，沿用第十四、十五篇：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\},
$$

$$
E_K=\{\{x,y\}:1\le x<y,\ y=x+d=xr,\ d,r\in A_K\}.
$$

對每條邊， $d$ 與 $r$ 都由兩端整數唯一決定：

$$
d=y-x,\qquad r=y/x.
$$

其中 $r$ 要求為整數。合法性可寫為：

$$
x\mid y,\quad2\le y/x\le K,\quad2\le y-x\le K.
$$

每條邊可沿 $x\to y$ 執行加法或乘法，也可沿 $y\to x$ 執行減法或精確除法。此處「逆向」意指能由數值與指定運算元合法求回，**不表示物理時間倒流**。

### 2.2 有限圖的基準檢查

由 $d=x(r-1)\le K$，得 $x\le K$ 、 $y\le2K$。主實驗沿用 $K=40$，擴張實驗取 $K=80$。重新計算得到：

| $K$ | 數值節點 | 雙作用邊 | 三角 | 循環維度 | 三角邊界秩 | 旗複形第一同調維度 |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 40 | 80 | 156 | 131 | 94 | 85 | 9 |
| 80 | 160 | 366 | 415 | 237 | 224 | 13 |

上述數量由同一批**精確整數邊**生成。程式將 $K=40$ 的所有 $156$ 條邊、 $131$ 個三角及第十四篇的九個舊循環代表，與第十五篇保存的原始 CSV 逐筆核對；沒有為了得到新的進位結論而修改圖的定義。

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## 3. 明確固定逐位演算法，避免把「進位」當成模糊概念

### 3.1 位值與數位向量

給定 $q\ge2$，正整數 $n$ 的標準數位展開為：

$$
n=\sum_{i\ge0}n_iq^i,\qquad0\le n_i<q.
$$

數位向量採**低位先行**序列 $(n_0,n_1,\ldots)$。本篇只在有限非零數位後補零，直到計算所需的末端進位全部處理完畢；保存進位向量時，只修去末端無資訊的零，不修去內部的零。

### 3.2 標準加法的逐位進位

對 $x+d=y$，令 $c_0=0$。逐位算法是：

$$
x_i+d_i+c_i=y_i+q c_{i+1}.
$$

因 $0\le x_i,d_i<q$ 且 $c_i\in\{0,1\}$，所以 $c_{i+1}\in\{0,1\}$。本文把 $(c_1,c_2,\ldots)$ 稱作此**加法算法的進位向量**。進位位置數為：

$$
W_q^A(x,y)=\sum_{i\ge0}\mathbf1[c_{i+1}\ne0].
$$

這是非零進位的**數位位置數量**，不是整個計算的運算成本，也不是數量級樓層跳躍數。

### 3.3 標準數位卷積乘法的逐位進位

對 $xr=y$，寫：

$$
x=\sum_i x_iq^i,\qquad r=\sum_j r_jq^j.
$$

每個原始卷積欄位定義為：

$$
s_k=\sum_{i+j=k}x_ir_j.
$$

令 $m_0=0$，再依次歸一化：

$$
s_k+m_k=y_k+q m_{k+1}.
$$

此處乘法進位 $m_{k+1}$ 可以大於 $1$。因此本文分開保存：

$$
W_q^M(x,y)=\sum_{k\ge0}\mathbf1[m_{k+1}\ne0]
$$

與：

$$
S_q^M(x,y)=\sum_{k\ge0}m_{k+1}.
$$

前者是非零進位位置數，後者是進位數值總量。加法與乘法進位不能只以「是否算出相同答案」互相取代。

### 3.4 減法借位及除法的資料邊界

對 $y-d=x$，使用標準低位先行借位算法：

$$
y_i-d_i-b_i=x_i-qb_{i+1},\qquad b_0=0.
$$

本文完整保存並驗證減法的借位向量。精確除法 $y/r=x$ 的**數值等式**已由整除檢查確認，但不同整數除法演算法的商位估計、餘數傳播和調整策略可能不同；本篇**不把某一種除法中間餘數，未經指定便稱為乘法進位的反向向量**。

因此本篇的逐位運算比較，主要是加法、乘法，以及加法對應的逆向減法；除法維持在合法反向關係層，不擅自新增未建模的「除法進位」資料。

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## 4. 定理：加法進位與逆向減法借位逐位完全對應

### 定理 4.1（Carry–Borrow Correspondence）

固定整數基底 $q\ge2$，若 $x,d$ 為正整數、 $y=x+d$，且正向加法和逆向減法都採第 3 節的標準低位先行算法，則：

$$
(c_1,c_2,\ldots)=(b_1,b_2,\ldots).
$$

因此加法每個位置的非零進位與逆向減法同位置的借位一一對應，且進位位置數等於借位位置數。

**證明。** 正向加法的第 $i$ 欄滿足：

$$
x_i+d_i+c_i=y_i+q c_{i+1}.
$$

移項得：

$$
y_i-d_i-c_i=x_i-qc_{i+1}.
$$

由 $b_0=c_0=0$ 出發，若在第 $i$ 欄已有 $b_i=c_i$，上述等式正是逆向減法的合法借位歸一化條件，因此唯一的下一欄借位為 $b_{i+1}=c_{i+1}$。對全部欄位歸納即得。證畢。

**界線。** 此定理是一個指定表示法與指定逐位算法下的既有位值算術性質，不表示任意電腦硬體加減法指令或任意高效算法都使用相同的內部暫存狀態；也不表示乘法進位與除法餘數必然相同。

### 4.1 以整數前綴公式做獨立檢查

在不使用遞迴產生的加法進位向量下，亦可直接計算：

$$
c_{i+1}=\left\lfloor\frac{(x\bmod q^{i+1})+(d\bmod q^{i+1})}{q^{i+1}}\right\rfloor.
$$

此式獨立地決定每個進位位置。程式對所有邊、全部七種基底逐位檢查此式與標準加法遞迴完全一致；再直接執行減法借位，要求向量逐位相同。

對乘法，亦獨立以卷積低位前綴核對：

$$
m_{k+1}=\left\lfloor\frac{\sum_{i+j\le k}x_ir_jq^{i+j}}{q^{k+1}}\right\rfloor.
$$

這比只驗算最後 $xr=y$ 更嚴格：它能拒絕雖然產出正確答案、卻把中間進位軌跡填錯的資料。

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## 5. 第一個反直觀案例：同一數值邊的「進位互換」

考慮底層雙作用邊：

$$
2+10=12=2\times6.
$$

它屬於 $G_{40}$，且具有同一個正整數起點 $2$ 與終點 $12$，但兩個合法前向算法的中間狀態並不相同。

| 進位基底 | 加法非零進位位置 | 乘法非零進位位置 | 精確算式 |
|---:|---:|---:|---|
| 2 | 1 | 0 | $2+10=2\times6=12$ |
| 10 | 0 | 1 | $2+10=2\times6=12$ |

二進位下， $2=(10)_2$ 、 $10=(1010)_2$，在相同的 $2^1$ 欄位相加時發生進位；然而乘以 $2=(10)_2$ 是單純向左移動一位，因此數位卷積沒有非零進位。十進位下， $2+10=12$ 的逐位加法沒有進位；但 $2\times6=12$ 的個位乘積 $12$ 產生一個向十位的進位。

![圖 1：同一數值邊的跨進位進位互換](figures/paper16_edge_2_12_inversion.png)

**重要性。** 這不是「同一運算的進位必須相反」的定律，而是一個精確的**演算法依賴與基底依賴**見證。它足以排除「同結果必有相同逐位運算進位」的錯誤命題。

### 5.1 定理：進位基底的單位冪乘法可無進位

若 $x=q^j$， $j\ge0$，且 $r$ 為任意正整數，則在第 3 節指定的卷積乘法算法中， $q^j\times r$ **沒有任何非零乘法進位**。

**證明。** $q^j$ 的 $q$ 進位數位除了第 $j$ 位為 $1$，其餘全部為 $0$。因此卷積後的原始非零欄位恰是 $r$ 的各個數位平移 $j$ 位；每個原始欄位均小於 $q$，從 $m_0=0$ 開始不會產生進位。證畢。

這給出二進位中 $2\times6$ 無進位的結構理由。若只把 $2$ 改寫成十進位， $2$ 不再是基底 $10$ 的單位冪，所以相同的乘法不必維持無進位。

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## 6. 回到研究起點： $9\times99=891$ 的逐位進位歷史

最初的關係族為：

$$
n\times99=9\times(11n),\qquad 1\le n\le9.
$$

其底層來源是已知因式 $99=9\times11$。本篇重新以**固定數值** $9$ 與 $99$ 計算 $9\times99=891$ ；這不是保持進位字串 `9`、`99` 後變更它們的數值意義。

| 基底 $q$ | $9\times99$ 的乘法非零進位位置數 | 對照 $9+882=891$ 的加法進位位置數 |
|---:|---:|---:|
| 2 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 2 |
| 5 | 4 | 1 |
| 8 | 0 | 0 |
| 10 | 2 | 1 |
| 12 | 2 | 1 |
| 16 | 2 | 0 |

十進位標準卷積乘法的兩個非零進位值依次是 $(8,8)$ ；十二進位是 $(2,6)$。這些是*數值型進位向量*，不是單純把「有進位」記成 $1$。

本例說明：同一個最終結果甚至可以選擇不同的算術表達式，而且相同的標準乘法算法也會在不同基底產生不同的進位向量。**進位軌跡是一項有用的觀察資訊，但它不是不依賴演算法與基底的底層數值本體。**

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## 7. $K=40$ 完整雙作用圖：加法進位與乘法進位的全域比較

### 7.1 實驗口徑

每一筆精確無向邊 $\{x,y\}\in E_{40}$ 都固定低端點 $x$ 與高端點 $y$，並使用唯一的 $d=y-x$ 、 $r=y/x$。對全部七種基底分別執行三種逐位算法，保存完整非零進位／借位向量。

每個基底都包含相同的 $156$ 條精確算術邊；只有附加演算法狀態可能改變。記：

- `A+`：加法至少有一個非零進位位置；
- `M+`：乘法至少有一個非零進位位置；
- `Both`：同一條精確邊的加法與乘法各至少有一個非零進位位置。

### 7.2 全七基底結果

| 基底 | 加法 A+ | 乘法 M+ | Both | 僅加法 | 僅乘法 | 兩者皆無 |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 107 | 22 | 21 | 86 | 1 | 48 |
| 3 | 88 | 55 | 48 | 40 | 7 | 61 |
| 5 | 73 | 74 | 55 | 18 | 19 | 64 |
| 8 | 63 | 77 | 53 | 10 | 24 | 69 |
| 10 | 56 | 74 | 48 | 8 | 26 | 74 |
| 12 | 50 | 78 | 45 | 5 | 33 | 73 |
| 16 | 43 | 75 | 40 | 3 | 35 | 78 |

每列四種互斥分類（Both、僅加法、僅乘法、兩者皆無）的總和都恰為 $156$。這是一項可回查的算法分佈，而不是單純的樓層統計。

![圖 2：七種基底的進位事件覆蓋](figures/paper16_edge_carry_by_radix.png)

### 7.3 不能把進位位置數當成進位數值總量

例如 $K=40$ 、十進位的全部加法非零進位位置合計為 $56$，乘法非零進位位置合計為 $74$ ；但是乘法進位的**數值總量**為 $129$，並不是 $74$。乘法進位可以大於 $1$，所以研究計算內部狀態時必須保留數值型向量，不可以只留下二元旗標。

同理，以上實測數據沒有自動證明某個基底的算法比較快，也沒有測量記憶體訪問、硬體延遲或功耗。

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## 8. 數值循環閉合，不代表進位位置數在循環上守恆

### 8.1 定義：依演算法和基底附加邊權重

固定每條無向邊的方向為由小數值指向大數值 $x\to y$。將加法與乘法非零進位位置數記為：

$$
w_q^A(x,y)=W_q^A(x,y),\qquad
w_q^M(x,y)=W_q^M(x,y).
$$

為了沿有向閉合路徑比較，約定反向走同一條邊時取相反號。此反向負號是**圖論上鏈的形式取向**，不是說實際減法會產生「負借位」。

對三角循環 $x<y<z$，取方向 $x\to y\to z\to x$，定義帶符號循環和：

$$
\Omega_q^o(x,y,z)=w_q^o(x,y)+w_q^o(y,z)-w_q^o(x,z),\quad o\in\{A,M\}.
$$

若 $\Omega_q^o=0$，只表示對此**特定三角及這項選定權重**，帶符號數量剛好相消，並不表示一般的進位守恆。

### 8.2 反例： $4\to8\to16\to4$

此三角的三條邊都合法：

$$
4+4=4\times2=8,
$$

$$
8+8=8\times2=16,
$$

$$
4+12=4\times4=16.
$$

對十進位加法，其三條*由小到大*的非零進位位置數依序是：

$$
w_{10}^A(4,8)=0,\quad w_{10}^A(8,16)=1,\quad w_{10}^A(4,16)=0.
$$

所以：

$$
\Omega_{10}^A(4,8,16)=0+1-0=1.
$$

對同一三角，二進位加法的三條權重是 $1,1,2$，因此：

$$
\Omega_2^A(4,8,16)=1+1-2=0.
$$

**相同的精確算術循環，其累積進位權重依基底而變，而且不一定為零。**

![圖 3：數值閉合與進位循環和不同](figures/paper16_triangle_4_8_16_witness.png)

### 8.3 為什麼數值差仍然會沿循環相消

對任何有限閉合數值路徑 $x_0\to x_1\to\cdots\to x_s=x_0$，真實端點差的總和必為：

$$
\sum_{i=0}^{s-1}(x_{i+1}-x_i)=0.
$$

這是通常的望遠鏡和，表示沿路的**整數值變化**精確相消。但進位權重 $w_q^o$ 並不是一般的端點差函數。它不滿足 $w_q^o(x,z)=w_q^o(x,y)+w_q^o(y,z)$ 的普遍關係，因此其循環和不必為零。

這區分了真正的數值勢差與算法產生的非保守權重，亦避免將「作用與反作用耦合」誤解成所有觀察層的標量都必然守恆。

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## 9. 進位上鏈為何不能直接變成第十五篇的同調不變量

### 9.1 一階上鏈的條件

把任意固定方向邊的整數權重視作圖上的一階上鏈。若希望它的循環取值不隨「加上一個三角邊界」而變，就必須至少滿足：

$$
\Omega_q^o(x,y,z)=0
$$

對所有填補三角成立。這正是它作為三角二維骨架上**閉合一上鏈**的必要條件。若某個填補三角的循環和非零，該權重便不能無條件下降為同調商空間上的良定函數。

這是標準鏈與上鏈配對的線性代數條件，並非本文新發明的同調理論。

### 9.2 全部三角的精確反證統計

對 $K=40$ 的同一批 $131$ 個三角，逐個計算 $\Omega_q^A,\Omega_q^M$：

| 基底 | 加法循環和非零的三角 | 乘法循環和非零的三角 |
|---:|---:|---:|
| 2 | 71 | 23 |
| 3 | 78 | 57 |
| 5 | 78 | 73 |
| 8 | 40 | 72 |
| 10 | 49 | 71 |
| 12 | 37 | 73 |
| 16 | 47 | 61 |

因此，在**這七種基底與指定的兩種進位權重**下，都有反例表明權重不是三角閉合的。同一批三角仍構成原來的 $85$ 維三角邊界空間，對同調得到的九維剩餘不受進位基底影響。

![圖 4：不同基底的非零三角循環和](figures/paper16_triangle_circulation.png)

更精確地說，這些權重可以是**帶有算法狀態資訊的圖邊標籤**，也可以作為圖的一般一上鏈；只是因為沒有滿足閉合條件，不能直接將其評值稱作第十五篇同調類別的不變量。

### 9.3 第十四篇舊代表在填補後仍可有非零進位循環和

取九個舊非三角循環中的第六個：

$$
C_6=(1,5,45,9,1).
$$

第十五篇已證明，它在 $K=42$ 首次成為六個三角邊界的模 $2$ 組合；也就是說，原來的非平凡同調類別在此階段被填補。然而本篇按**相同數值、十進位、標準逐位加法**計算，沿上述頂點順序的進位位置和為：

$$
\oint_{C_6}w_{10}^A=-1.
$$

具體而言， $9+36=45$ 產生一次十進位進位，但路徑在這條邊上是 $45\to9$，因而在形式取向下貢獻 $-1$ ；另外三條邊的相應正向加法沒有進位。

所以：

$$
[C_6]=0\quad\text{於 }H_1(X_{42};\mathbb F_2)
$$

與：

$$
\oint_{C_6}w_{10}^A=-1
$$

可以**同時成立，毫無矛盾**： $w_{10}^A$ 本來就不是一個能夠良定配對到該同調類別的閉合上鏈。

![圖 5：九個舊循環的跨進位帶符號進位權重](figures/paper16_old_nine_cycle_heatmap.png)

這項區分是本篇最重要的負結果之一：**進位狀態可以沿著真實算術循環形成可比較的路徑特徵，但不能僅因為它畫在同一座塔樓上，就把它誤認成已知同調不變量。**

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## 10. 擴張到 $K=80$：進位信息增加，底層同調定義仍保持

### 10.1 全部精確數據量

對 $G_{40}$ 與 $G_{80}$ 的兩組圖及七種進位基底，完整生成：

- $3,654$ 筆邊—基底進位／借位記錄，即 $(156+366)\times7$ ；
- $3,822$ 筆三角—基底循環和記錄，即 $(131+415)\times7$ ；
- $63$ 筆第十四篇舊九循環—基底帶符號權重記錄，即 $9\times7$。

這些是**精確數值圖的附加算法標籤資料量**，不是不同的邊數，也不是總共三千多個新的算術定理。

### 10.2 $K=80$ 的代表性比較

對同一組 $366$ 條邊、 $415$ 個三角：

| 基底 | 加法有進位的邊 | 乘法有進位的邊 | 加法循環和非零的三角 | 乘法循環和非零的三角 |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 257 | 71 | 239 | 89 |
| 10 | 155 | 197 | 144 | 225 |
| 16 | 121 | 190 | 133 | 218 |

同一批精確邊的合法性、最早語法出現時刻與三角填補關係不會因基底替換而變；新增的是多個逐位運算欄位的觀察記錄。另一方面，若把 $K=40$ 真正放寬至 $K=80$，則由合法邊與三角增加造成圖同調由 $9$ 維變為 $13$ 維。兩種變化必須分開說明。

### 10.3 與第十五篇的濾過相容性

每條精確邊 $e$ 在第十五篇的出生時刻是：

$$
\kappa(e)=\max\{r,d\}.
$$

本篇的進位向量取決於 $x,d,r$ 、基底 $q$ 與指定算法，而**不取決於已經把 $K$ 增大到多少**。故一條邊從 $K=40$ 延續到 $K=80$，其相同基底下的進位標籤保持不變；新增的進位統計只來自新加入的邊與三角。這是一種自然的**帶算法標籤的算術濾過**，但不能據此主張標籤權重就是持續同調類別。

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## 11. 驗證設計：每個算法狀態都必須有可獨立重算的見證

### 11.1 三種不同的算法重算方式

第一，按第 3 節的標準加法遞迴生成進位向量，並以 $q^{i+1}$ 的低位模數前綴公式獨立計算每欄結果；兩種方式逐位比較。

第二，按數位卷積及逐欄歸一化生成乘法進位向量，再用未歸一化的低位卷積前綴整數直接求解進位數值；兩種方式逐位比較。

第三，從同一個精確 $y,d$ 直接執行減法借位，要求每個數位位置均與正向加法進位相同；另外對所有 $q\in\{2,3,5,8,10,12,16\}$ 、 $1\le a,b\le64$ 做獨立加減借位一致性壓力檢查。

### 11.2 圖結構與原始資料交叉核對

對 $K=40$ 的精確雙作用邊、三角及第十四篇九個舊代表，與本套件附帶的第十五篇原始參照 CSV **逐筆核對**。再使用 Python 整數位元操作重算三角邊界秩及連通分量，確認三角填面的旗複形 $X_{40}$ 之第一同調維度為 $9$ 、 $X_{80}$ 對應維度為 $13$。

當三角的加法進位循環和非零時，程式直接保留精確三角頂點與三條邊權重；不允許以數量級投影上的視覺線段取代數值見證。

### 11.3 原稿、演算法與資料的可重現路徑

將 ZIP 解壓後，在套件根目錄執行：

```bash
python verify_paper16.py --output . --reference reference
python make_figures.py
python validate_paper16.py
```

前兩行分別重新生成資料及五張 PNG/SVG 圖；主驗證只使用 Python 標準函式庫，作圖需 Matplotlib。第三行檢查原稿編碼、數學分隔符、主要算術統計與正式檔案；打包後的獨立驗收則在全新解壓目錄中重跑，並比較原始資料雜湊。

### 11.4 正式資料清單

| 檔案 | 內容及用途 |
|---|---|
| `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_16_v0.1.md` | 本篇正式 UTF-8 Markdown 原稿 |
| `verify_paper16.py` | 雙作用邊、位值算法、全部精確向量與三角循環和驗證 |
| `make_figures.py` | 根據數據再生五張 PNG/SVG 圖 |
| `validate_paper16.py` | 數學分隔符、數據、參照與交付驗收 |
| `data/paper16_edge_carries.csv` | 全部 $3,654$ 筆邊—基底記錄及非零進位／借位向量 |
| `data/paper16_radix_profiles.csv` | $K=40,80$ 的七基底全域分類 |
| `data/paper16_triangle_circulation.csv` | 全部 $3,822$ 筆三角—基底循環和及逐邊來源 |
| `data/paper16_old_nine_cycle_carry.csv` | 九個舊代表在七種基底的有向進位比較 |
| `data/paper16_cases.csv` | $2\to12$ 、 $4\to8\to16$ 及 $9\times99$ 的完整案例 |
| `data/paper16_stats.json` | 主要計數、圖維度、負對照與驗證狀態 |
| `reference/` | 第十五篇未修改的精確邊、三角及九個舊循環基準 |
| `figures/` | 五組 PNG／SVG 輔助圖形 |
| `SHA256_MANIFEST.json` | 正式發行檔案的 SHA-256 清單 |

### 11.5 關於正式原始碼

Markdown 文件是本文的唯一正式論述原稿；所有公式已直接以 UTF-8 內的 ` $...$ ` 與 `$$...$$` 保存。不得從聊天畫面回填公式，也不得把反斜線、delimiter 或 LaTeX 片段自動轉成 Unicode 數學符號後重新作為 source。CSV、JSON 是精確數據；PNG/SVG 只是閱讀輔助。

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## 12. 負對照與不能跳過的界線

### 12.1 有可逆算術邊，不等於所有算法狀態都反向相同

加法與逆向減法在本篇標準逐位算法中有精確 carry–borrow 對應。乘法與精確除法沒有因此得到相同的狀態向量定理；若要比較除法餘數或硬體除法器內部狀態，必須另指定演算法及追蹤資料。

### 12.2 底層循環閉合，不等於觀察權重閉合

 $\sum(x_{i+1}-x_i)=0$ 是閉合數值路徑的精確性質，但非零進位位置數不是精確數值勢差。三角 $4\to8\to16\to4$ 的十進位循環和 $1$ 是其明確反例。

### 12.3 同調填補不是進位狀態歸零

第十五篇的三角邊界填補在 $\mathbb F_2$ 上完成，不會自動使某個非閉合的整數進位上鏈循環和消失。 $C_6$ 在 $K=42$ 的例子已對這種誤解提供可重現反例。

### 12.4 基底敏感性不是速度優勢

某個基底的非零進位位置較少，不能單獨推出更低的執行時間、能耗或硬體門數。實際算術演算法有不同位寬、資料搬移、平行化、局部乘積暫存及硬體實作。本文沒有聲稱哪種進位制或哪種運算形式普遍較快。

### 12.5 本篇仍只在有限整數圖內驗證

本文擴張至 $K=80$，即最多 $160$ 個緊湊圖節點；另以 $9\times99$ 作為外部固定數值案例。這不能自動推出「所有實數、所有運算語法必有某種相同的軌跡圖」。任何關於連續實數、近似算法、無理數或特殊進位系統的命題，都必須另外指定語義與可驗證範圍。

### 12.6 不把數字的「因果」等同於物理作用力

所謂作用、反向作用與耦合，仍是有序算術事件及逆向合法性條件。它們可以形成可觀察的計算依賴圖，但不構成物理力、能量守恆、時空幾何或自然界本體論的自動證明。

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## 13. 結論：關係不變，不代表運算過程沒有改變

第十六篇把本系列最初強調、卻一直未完整展開的**逐位運算資訊**正式接入有限塔樓。前篇已證明同一座算術圖具有可追蹤的循環與同調演化；本篇進一步確認，在每條精確雙作用邊上，加法、乘法與逆向減法可以具有可獨立重算的不同數位狀態。

本文得到三個可核驗的層次性結論。第一，標準加法進位與逆向減法借位具有精確的逐位對應，但加法進位和乘法進位通常不相等。第二，同一批 $156$ 條數值邊在七種進位基底下產生不同的進位分類，而底層邊、三角及前篇的九維第一同調均不改變。第三，進位位置數沿著三角循環的帶符號和一般不為零，因此它適合當作**算法依賴的觀察標籤**，不能未經閉合條件驗證便當作同調不變量。

這個負結果反而有助於釐清下一步形式化的方向：若希望把位值進位與全域循環類別建立更強的對應，就必須研究何種保留完整狀態的映射或權重，真正滿足所需要的可加性與邊界閉合條件；不能因為它們出現在同一張塔樓圖，就預先宣稱二者相同。

**本篇核心結語：數值可以在不同進位制保持同一條關係；真正改變的，可能正是那些曾被答案掩蓋的計算歷史。**

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## 參考文獻與前置文件

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十三篇）》，2026-11-05。雙作用邊與局部逆向條件。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）》，2026-11-05。 $G_{40}$ 的循環與九維非三角剩餘。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十五篇）》，2026-11-05。算術濾過、九個舊代表的填補及包含映射。
4. Knuth, Donald E., *The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms*, 3rd ed., Addison-Wesley, 1997, Section 4.3（Multiple-Precision Arithmetic）與 4.4（Radix Conversion）。作者資料頁：https://cs.stanford.edu/~knuth/taocp.html 。此書提供傳統逐位算術與多倍精度算法的背景；本文的精確數值及統計皆由附帶程式獨立產生。
5. Diestel, Reinhard, *Graph Theory*, 6th ed., Springer, 2025。圖循環空間的標準理論背景。
6. Otter, N., Porter, M. A., Tillmann, U., Grindrod, P., and Harrington, H. A., “A roadmap for the computation of persistent homology,” *EPJ Data Science*, 6, 17 (2017)。同調與濾過既有術語之背景。

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**End of Paper XVI (v0.1).**