# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十八篇）

## 多步進位補償的路徑壓縮、運算標籤的條件最小見證與定向離散 Stokes 結構

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XVIII: Multistep Carry Compensation, Conditional Minimal Certificates for Operator-Labeled Paths, and Oriented Discrete Stokes Relations*  
**版本：** v0.1（精確定理、有限域枚舉、可重現正反例）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想與問題設定：** Neo.K；形式化、程式與驗證：AI 協作  
**直接承接：** 第十四至十七篇的算術雙作用圖、循環／濾過、標準逐位進位與進位缺陷多項式  
**Canonical source：** 原始 UTF-8 Markdown；所有正式數學原始碼僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`  
**證據定位：** 指定正整數語法與有限可執行路徑上的初等代數、圖上上鏈與完整枚舉；不主張任意演算法、全體實數或物理因果定律已被證明。

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**作者：** Neo.K；形式化、程式與驗證：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

本系列最初提出的問題，不是另一種計算 $9\times99=891$ 的技巧，而是：當我們將數值放進依進位數量級置中的塔樓，並保留不同演算法與中間狀態時，哪些運算關係可以被壓縮為較小的表示而不失去可重建性？第十六篇證實，單一步驟的加法進位、乘法進位與逆向借位可能不同；第十七篇以數位多項式及其進位缺陷，精確說明它們的差異，並發現三角算術路徑具有補償恆等式。本文將此結構推廣到**任意指定長度的有限正整數數值路徑**，並專門處理「路徑壓縮」與「演算法身分不可遺失」的張力。

令 $D_q(n;t)$ 是非負整數 $n$ 的標準 $q$ 進位數位多項式。對帶符號整數增量 $d$，定義帶符號數位提升 $L_q(d;t)$。給定正整數路徑 $P=(v_0,v_1,\ldots,v_r)$，令 $d_i=v_i-v_{i-1}$，並定義每段的**帶符號平移進位**：

$$
W_q(v_{i-1},v_i;t)
=\frac{D_q(v_{i-1};t)+L_q(d_i;t)-D_q(v_i;t)}{q-t}.
$$

本文證明，此商具有唯一的整係數多項式表示；在上升段，它正是標準加法進位，在下降段，它是對應標準減法借位的負值。整條路徑的總補償可不逐段儲存而精確重建：

$$
W_q(P;t)
=\frac{D_q(v_0;t)+\sum_{i=1}^{r}L_q(d_i;t)-D_q(v_r;t)}{q-t}.
$$

因此，保存起點及**有序數值增量**，即可恢復全部數值節點與帶符號平移進位；不同增量排列在保持合法路徑的前提下，總補償也具明確的排列不變性。然而，這仍不能恢復原先究竟選用了加法、乘法、減法或精確除法。對第十四篇的有限雙作用圖 $G_K$，**固定一條含 $r$ 條邊、保留方向與精確節點的數值路徑**，每條邊恰有兩個合法運算標籤，故共有 $2^r$ 組合法標記歷史。若只要求在這些候選中無損區分標籤，最壞情況需要且只需要 $r$ 個二進位位元；此最小性不適用於未知路徑、任意編碼或其他語法。

進一步，本文把 $W_q$ 視為定向數值圖上的整係數多項式值一上鏈。它沿反向邊變號，沿路徑相加；在三角形上的定向邊界和由增量進位精確決定。對**確實具有定向二維填補的循環**，成立離散 Stokes 型等式；但非零的三角進位補償也直接證明， $W_q$ 並不是一般可下降至第十五篇旗複形一維同調商空間的上同調不變量。這是重要的負結論：**進位補償具有精確的可加關係，但不能因而直接等同於既有的同調循環類別。**

實驗固定 $K=40$ 的相同 $80$ 個節點、 $156$ 條雙作用邊、 $131$ 個三角與 $674$ 個四邊循環，取基底 $2,3,5,8,10,12,16,81,256$。完整檢驗 $30,342$ 條三邊正整數行走的四種基底投影、全部三角與四邊定向起點、 $4,347$ 組帶對角線四邊的定向 Stokes 分解，以及 $6,288$ 條三角與 $86,272$ 條四邊的帶標籤運算歷史。全部通過精確整數重算與前篇資料核對。當 $q\ge81$，全圖的標準單步進位皆消失，而底層數值圖完全不變；相鄰基底 $q=80$ 的邊 $40\leftrightarrow80$ 仍有進位，確認高基底消隱閾值的銳利性。

本文的貢獻是將「計算結果」「數值路徑」「帶標籤的實際演算法」與「進位觀察」分成四種可重建但不能互相混淆的資料物件；建立其壓縮充分條件、資訊缺失的明確反例與跨進位的可驗證關係。

**關鍵詞：** 進位制塔樓、全域運算關係、完整進位向量、帶符號位值提升、多步計算、路徑壓縮、可重建見證、條件最小編碼、圖上一上鏈、離散 Stokes、三角補償、語法與表示分離。

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## 1. 第十七篇之後，研究對象需要更嚴格地分層

### 1.1 不能將「同答案」當成「同運算歷史」

一條算術歷史至少可拆成四層：

1. **結果層：** 只記錄最終正整數 $z$。
2. **數值路徑層：** 記錄 $v_0\to v_1\to\cdots\to v_r$。
3. **運算事件層：** 每步記錄運算符、右側運算元、方向及合法性。
4. **進位表示層：** 指定基底 $q$ 與逐位演算法後，再記錄進位、借位或卷積歸一化過程。

同一條數值路徑可有多種合法的運算符標記；同一條運算歷史在不同進位制下可有不同數位過程。若只以結果或「總進位次數」表示，就會丟掉前兩種分歧。

本文採用一個可操作的問題：**若要保留給定層級的全部資訊，哪些欄位可省略並由確定性規則重新生成？哪些欄位一旦丟棄便無法唯一恢復？**

### 1.2 與前篇一致的算術圖

對整數 $K\ge2$，取原始運算元集合：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\}.
$$

正整數 $1\le x<y$ 間存在雙作用邊，當且僅當：

$$
y=x+d=xr,\qquad d,r\in A_K.
$$

反向 $y\to x$ 可用 $-d$ 或精確除以 $r$。由 $d=x(r-1)\le K$，所有邊都位於 $1\le x<y\le2K$。固定 $K=40$，沿用第十四至十七篇的同一張圖： $|V|=80$ 、 $|E|=156$ 、三角 $131$ 個、四節點簡單循環 $674$ 個。

必須注意，這是完整 $1$ 至 $1000$ 運算世界的**雙作用受限子圖**；本文不將其誤稱為全體加減乘除事件的完整枚舉。

### 1.3 兩種不同的進位狀態

**實際運算進位**依據操作種類產生。例如同一條上升邊 $2\to12$，可用 $2+10$ 或 $2\times6$ ；十進位前者沒有進位，後者有進位。

**數值平移進位**則假設只觀察數值位移 $12-2=10$，把它視為 $2+10$。這個量可從有序數值節點重建，不依賴原先是否採用了乘法。兩者都有研究用途，不能因為它們沿著同一條線顯示便視為同一種資訊。

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## 2. 帶符號數位提升與精確補償商

### 2.1 標準數位多項式

固定整數基底 $q\ge2$。若非負整數 $n$ 的低位到高位數字為 $n_i$，定義：

$$
D_q(n;t)=\sum_{i\ge0}n_it^i,\qquad0\le n_i<q.
$$

數位有限且 $D_q(n;q)=n$。這是第十七篇所用的數位提升； $t$ 是形式變數，並不預先取值為 $q$。

對任意帶符號整數 $d$，定義：

$$
L_q(d;t)=
\begin{cases}
D_q(d;t),&d\ge0,\\
-D_q(-d;t),&d<0.
\end{cases}
$$

故 $L_q(d;q)=d$ 且 $L_q(-d;t)=-L_q(d;t)$。注意 $L_q$ 不一定對整數加法保持線性，這正是進位補償的來源之一。

### 2.2 定義：有向數值邊的平移進位多項式

對任意正整數 $x,y$，令 $d=y-x$，定義：

$$
W_q(x,y;t)
=\frac{D_q(x;t)+L_q(d;t)-D_q(y;t)}{q-t}.
$$

這個式子不是對一個一般有理函數作浮點近似。因為分子在 $t=q$ 時為 $x+d-y=0$，多項式因式定理保證它可被 $q-t$ 整除。

### 定理 2.1：唯一的整係數補償

對任何正整數 $x,y$ 與 $q\ge2$， $W_q(x,y;t)$ 是唯一的整係數多項式。若 $x<y$，它等於標準加法 $x+(y-x)=y$ 的完整逐位進位多項式；若 $x>y$，它等於標準減法 $x-(x-y)=y$ 的完整借位多項式之負值。

**證明。** 整數係數多項式 $F(t)$ 若滿足 $F(q)=0$，則存在 $C(t)\in\mathbb Z[t]$ 使 $F(t)=(q-t)C(t)$ ；由 $\mathbb Z[t]$ 為整域， $C$ 唯一。對 $x<y$，分子正是第十七篇的加法缺陷；故商為標準加法進位。對 $x>y$，將 $y+(x-y)=x$ 的加法缺陷取負，即得標準逆向減法的負借位。證畢。

### 定理 2.2：反向反對稱

對任何正整數 $x,y$：

$$
W_q(y,x;t)=-W_q(x,y;t).
$$

**證明。** 交換 $x,y$ 後，數位位移由 $d$ 改為 $-d$，由 $L_q(-d;t)=-L_q(d;t)$，原分子整體變號。除以同一個 $q-t$ 即得。證畢。

此反對稱是指定「數值平移進位」的嚴格性質；它不是說實際乘法與精確除法具有同一套逐位進位算法。

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## 3. 任意有限路徑的無損數值重建與壓縮公式

### 3.1 有序路徑與增量

令：

$$
P=(v_0,v_1,\ldots,v_r),\qquad v_i\in\mathbb Z_{>0},
$$

$$
d_i=v_i-v_{i-1},\qquad i=1,\ldots,r.
$$

路徑中的每個步驟可以依指定的數值邊語法合法，也可以在本節先只作任意正整數之間的數值位移。後者是**數值關係模型**；若要聲稱是原來的算術運算歷史，仍需要檢查每一步是否有合法的運算事件。

將沿路補償定義為：

$$
W_q(P;t)=\sum_{i=1}^{r}W_q(v_{i-1},v_i;t).
$$

### 定理 3.1：多步路徑的望遠鏡壓縮

對任何上述有限路徑：

$$
W_q(P;t)
=\frac{D_q(v_0;t)+\sum_{i=1}^{r}L_q(d_i;t)-D_q(v_r;t)}{q-t}.
$$

**證明。** 將定理 2.1 的各段分子相加，中間的 $-D_q(v_i;t)$ 與下一段 $+D_q(v_i;t)$ 逐項相消，僅留下起點、終點與全部有序增量的提升。因每一段商均在 $\mathbb Z[t]$，總和亦為整係數多項式。證畢。

這個式子提供了**計算後可被重建的總補償**，而不需要把每一步已可推導的進位向量重複儲存於永久資料中。

### 3.2 兩個不同長度的路徑之差

若另有直接一步從 $v_0$ 到 $v_r$ 的正整數數值位移，則由 $\sum_i d_i=v_r-v_0$ 得：

$$
W_q(P;t)-W_q(v_0,v_r;t)
=\frac{\sum_{i=1}^{r}L_q(d_i;t)-L_q(\sum_{i=1}^{r}d_i;t)}{q-t}.
$$

右側**不依賴起點的數位形式**，只依賴這批帶符號增量如何在選定進位基底下表示。它是多步與單步平移之間的精確補償，不是對任何實際乘法或除法演算法所需成本的預測。

### 定理 3.2：相同增量多重集合的總補償

固定起點 $v_0$ 和一批帶符號增量 $d_1,\ldots,d_r$。若兩種不同排列都能產生全部中間值為正的有限路徑，則兩條路徑的 $W_q(P;t)$ 完全相同。

**證明。** 重排不改變 $\sum_i L_q(d_i;t)$ 及最終整數 $v_0+\sum_i d_i$。因此定理 3.1 的右側不變。證畢。

**重要限制。** 此定理只保證**總帶符號平移補償**不變；每一步發生進位的位置、路徑通過哪些中間數值、所採用的運算符與運算成本均可能不同。

### 3.3 十進位範例： $9\to18\to27$

考慮兩條數值路徑：

$$
9\to18\to27,
\qquad9\to27.
$$

前者兩步分別加入 $9$，標準十進位加法進位多項式各為常數 $1$，所以：

$$
W_{10}(9,18,27;t)=2.
$$

直接加入 $18$ 時：

$$
W_{10}(9,27;t)=1.
$$

兩條路徑之差恰為 $9+9=18$ 的進位多項式 $1$。這不是「相同結果卻無法解釋的數值資訊」，而是由增量合併所精確決定的補償。

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## 4. 壓縮不等於可以丟棄運算標籤

### 4.1 三種不同交付等級

**等級 C0：終點摘要。** 只保存 $(v_0,v_r)$。它不能唯一重建中間數值路徑，也無法知道曾使用什麼運算符。

**等級 C1：數值路徑證書。** 保存 $(v_0,d_1,\ldots,d_r)$。由前綴和可以恢復每個 $v_i$，並依公式重建每一步 $W_q(v_{i-1},v_i;t)$ 與總補償。這仍不足以辨識原先是否使用了乘法或加法。

**等級 C2：帶標籤的可執行證書。** 保存起點與每一步的 $(o_i,c_i)$，其中 $o_i$ 是運算符、 $c_i$ 是合法右運算元。指定標準整數語義及逐位算法後，可以重新執行全部中間數值，並在任意指定基底下生成相應的加法、減法及乘法進位狀態。精確除法可重建整數商；若要研究特定除法長除或商餘算法，仍需另行指定其規則。

三個等級是**不同資訊需求**，不是同一筆資料的自然物理壓縮比；不能僅以哪個檔案比較小判定其有無研究價值。

![圖 4：三種重建見證等級](figures/paper18_reconstruction_levels.png)

### 4.2 直接反例：同數值路徑，不同運算進位

在十進位，考慮同一條數值邊 $2\to12$：

$$
2+10=12,\qquad 2\times6=12.
$$

數值平移所用的是 $2+10$，因此：

$$
W_{10}(2,12;t)=0.
$$

但實際逐位乘法 $2\times6$ 在個位得到 $12$，必須向十位進 $1$ ；其標準乘法進位多項式非零。由此可知：**只保留數值路徑與平移補償，不能唯一重建運算符身分及運算符特有的進位歷史。**

反例同時解釋，為什麼我們不能把 $W_q$ 當成所有加減乘除事件的共同、完整演算法執行記錄。

### 定理 4.1：給定數值路徑的條件最小運算標籤長度

在本文 $G_K$ 的每條雙作用無向邊上，固定方向與精確兩端數值時，合法運算標籤恰有兩種：向上是 $A/M$，向下是 $S/D$。因此對已知長度為 $r$ 的數值路徑，恰有 $2^r$ 種帶標籤運算歷史。若要求在這些可能性間以固定長度二進位字串**無損區分每一種**，最少需要 $r$ 位元，並且 $r$ 位元足夠。

**證明。** 每個步驟都具有獨立的兩個合法選項；所以完整標籤字的數量為 $2^r$。一個固定長度為 $b$ 的二進位編碼最多區分 $2^b$ 個候選，故 $b\ge r$。反之，每一段用一位元表示「加／減的選擇 0」或「乘／除的選擇 1」，就得到一個長度為 $r$ 的一一編碼。合法右運算元可以由已知的邊端點與標籤唯一重建。證畢。

**最小性範圍。** 此處的路徑、每一步的精確節點、運算語法已經作為條件提供；最小的是剩餘的**操作標籤識別位元**。它不是未知路徑、通用壓縮器、變長編碼、任意精度數值或所有數學證明的資訊理論最小位元數。

### 4.3 有限圖的兩組完整模板數

在 $G_{40}$ 中，一個三角有三條邊；選定起點與方向共有 $3\times2=6$ 種定向行走，故 $131$ 個三角有 $786$ 條有根定向數值迴路。每條三邊迴路又有 $2^3=8$ 種操作標記，合計：

$$
131\times6\times8=6288.
$$

同理， $674$ 個四節點簡單循環各有 $4\times2=8$ 種有根定向行走，且每條四邊迴路有 $2^4=16$ 種標籤，合計：

$$
674\times8\times16=86272.
$$

這兩個數量是**已給定簡單數值循環的運算標記歷史數**，未另乘以根節點的不同第一步生成來源；不能與第十四篇計入根生成的 $80960$ 條三角原始歷史混為一談。

### 4.4 一份可以實際重新執行的證書

例如固定數值路徑：

$$
4\to8\to16\to4.
$$

以位元字 `010` 選擇：先加法、再乘法、最後減法，得到：

$$
4+4=8,\quad8\times2=16,\quad16-12=4.
$$

完整的 `paper18_certificate_4_8_16_4.json` 保存精確數值路徑、位元選擇、實際運算元及九種基底下重新生成的運算過程。驗證器會拒絕錯誤整除、不合法運算元、錯誤中間值或結果不相符的證書。

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## 5. 把補償提升到定向數值圖的一上鏈

### 5.1 圖上整係數多項式值一上鏈

以有限雙作用圖 $G_K$ 為底層，給每條定向邊 $x\to y$ 指派 $W_q(x,y;t)\in\mathbb Z[t]$。由定理 2.2，它在反向時變號，因此可視為一個取值於加法群 $\mathbb Z[t]$ 的圖上一上鏈。

沿定向數值路徑，取邊值之和。它因而具有鏈上的線性性；同一路徑選用哪一種合法運算標籤，**不影響這個平移補償權重**。這裡研究的是數值位移的補償，而不是各操作的全部演算法細節。

### 5.2 定義：閉合路徑的補償環量

對閉合數值路徑 $C=(v_0,\ldots,v_r=v_0)$，定義：

$$
H_q(C;t)=\sum_{i=1}^{r}W_q(v_{i-1},v_i;t).
$$

由定理 3.1：

$$
H_q(C;t)
=\frac{\sum_{i=1}^{r}L_q(v_i-v_{i-1};t)}{q-t}.
$$

因此 $H_q$ 只依賴**帶方向的數值增量**，對起點循環輪替不變，對路徑反向變號，但不一定等於零。

**注意。** 對閉合路徑， $\sum_i(v_i-v_{i-1})=0$ 只是整數差分望遠鏡和。 $L_q$ 不必保持加法，因此無法由前一句直接推出 $H_q(C;t)=0$。

### 5.3 三角補償是兩段增量的進位

固定一個三角形的整數頂點 $x<y<z$，並以方向 $x\to y\to z\to x$ 行走。令 $a=y-x$ 、 $b=z-y$。由第十七篇的補償定理：

$$
H_q(x,y,z,x;t)
=C_q^+(a,b;t),
$$

其中 $C_q^+(a,b;t)$ 是標準加法 $a+b$ 的完整進位多項式。證明可以直接使用定理 3.1，因三段增量為 $a,b,-(a+b)$。

這個公式給出一個非常嚴格的判準：**三角上的非零補償，完全由增量 $a,b$ 的進位狀態決定，而非由圖上看起來是否對稱決定。**

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## 6. 定向離散 Stokes：哪些循環可以由局部補償推回

### 6.1 為什麼要使用整數定向鏈，而不是直接沿用模二 XOR

第十四、十五篇為研究非三角同調剩餘，主要使用 $\mathbb F_2$ 上的無向邊向量；同一條邊出現兩次就抵消。然而本篇的補償 $W_q$ 有**正負號與整數係數**，所以適合先在整係數定向鏈上計算。

如果一個四邊形可在模 $2$ 下表示為若干三角邊向量的 XOR，不能不加檢查便假設同一批三角在整數定向下也可用係數 $\pm1$ 填補該四邊形。兩種係數系統回答不同問題。

### 6.2 定義：三角上的補償曲率

對定向三角形 $T=(a,b,c)$，定義：

$$
\kappa_q(T;t)
=W_q(a,b;t)+W_q(b,c;t)+W_q(c,a;t).
$$

這是圖上一上鏈 $W_q$ 的標準上邊界 $\delta W_q$ 在定向三角上的值。此處「曲率」只是方便描述局部環量的操作性名稱，不暗示物理時空曲率。

### 定理 6.1：定向二維填補的補償 Stokes 恆等式

若定向三角整數二鏈 $B=\sum_j n_jT_j$ 的邊界等於某個定向閉合一鏈 $C$，則：

$$
H_q(C;t)=\sum_j n_j\kappa_q(T_j;t).
$$

**證明。** 每個 $T_j$ 的定向邊界由三條定向邊組成。將 $W_q$ 對 $\partial B$ 評估，利用一上鏈在線性組合下的可加性，得到各個 $\partial T_j$ 的評估總和，恰等於 $\sum_j n_j\kappa_q(T_j;t)$。證畢。

這是一般離散上鏈與鏈邊界的標準對偶恆等式，並非獨立於既有離散 Stokes 定理的新普適原理。本文的特殊資料是**從算術進位精確生成的 $W_q$ 與 $\kappa_q$**。

### 6.3 可逐邊驗證的四邊例子

在 $K=10$ 已合法的四邊循環為：

$$
C=(2,4,12,6,2).
$$

由合法對角邊 $2\leftrightarrow12$，其定向邊界可分成：

$$
T_1=(2,4,12,2),\qquad
T_2=(2,12,6,2).
$$

兩個三角的對角邊方向相反，故恰有：

$$
H_q(C;t)=H_q(T_1;t)+H_q(T_2;t).
$$

十進位下， $T_1$ 的兩段正向增量是 $2,8$，產生一個進位； $T_2$ 的方向與增量為 $4,6$ 的標準升序三角相反，故補償為 $-1$。兩者相消，四邊環量為 $0$。

二進位下， $2+8$ 沒有進位， $4+6$ 的進位多項式為 $t^2$，故：

$$
H_2(C;t)=-t^2.
$$

同一個四邊算術循環的精確邊沒有變；改變的是進位表示及其有向補償。

![圖 3：以定向兩三角填補四邊的進位補償](figures/paper18_oriented_square_stokes.png)

### 6.4 負結論：非零三角補償不能直接下降到前篇的一維同調

要使 $W_q$ 在把所有三角視為可填面後，給出一個只依賴 $H_1$ 類別的線性配對，就必須對每一個三角邊界取值為零。這相當於要求它是該二維複形上的一上閉鏈／一上同調閉條件，即：

$$
\delta W_q=0.
$$

但是在十進位，三角 $T=(2,4,12)$ 的增量 $2$ 與 $8$ 相加會進位，因此：

$$
\kappa_{10}(T;t)=1\ne0.
$$

故 $W_{10}$ 不能直接下降為第十五篇旗複形一維同調商空間上的不變配對。其非零值是**可由局部算術補償解釋的表示層資訊**，不是一個無須進一步檢驗就成立的拓樸守恆量。

若某個循環沒有可用的定向三角填補，定理 6.1 也不會憑空提供其局部補償分解；這類循環仍應保留原始定向邊與完整補償證書。

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## 7. 高基底下的逐位資訊消隱定理

### 定理 7.1：對整張雙作用圖的統一零進位上界

在 $G_K$ 中，若整數進位基底：

$$
q\ge2K+1,
$$

則全部合法上升邊的標準加法與標準卷積乘法進位多項式皆為零，下降邊的標準減法借位亦為零；因而 $W_q$ 在每條有向邊上為零，所有數值迴路的 $H_q$ 與三角補償也皆為零。

**證明。** 雙作用邊的 $x,d,r$ 均不大於 $K$，其結果 $y\le2K<q$。因此上述四個正整數在基底 $q$ 下皆只需一個數位（整數 $1$ 亦然）。加法 $x+d=y<q$ 不進位；乘法 $xr=y<q$ 的單欄卷積亦不進位。反向減去 $d$ 可在同一欄完成，故不借位。由定理 2.1，所有有向邊的 $W_q=0$ ；沿路徑加總及三角邊界補償也都為零。證畢。

### 7.2 銳利邊界與負對照

這個對整張 $G_K$ 的充分閾值，在相鄰的更小基底可精確看見失效。取合法邊：

$$
K\longrightarrow2K,
$$

它可由 $K+K=2K$ 與 $K\times2=2K$ 生成。在基底 $q=2K$ 下，兩種演算法都要由單個低位欄向高位進 $1$ ；而 $q=2K+1$ 時，結果仍是單位數字，不需要進位。

例如 $K=40$： $q=80$ 時 $40\to80$ 有進位， $q=81$ 時全圖都無進位。研究資料另設 $q=256$ 為獨立的高基底負對照。

**研究上的警告：** 高基底令進位狀態歸零，不表示算術圖的邊、三角、循環及原始演算法歷史消失。這反而證明「進位軌跡」不能當作不依賴進位表示的全域數值本體。

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## 8. 精確有限實驗：同一圖上的四類觀察

### 8.1 實驗協定

固定 $K=40$，使用完全相同的 $80$ 個節點、 $156$ 條雙作用邊、 $131$ 個三角及 $674$ 個無向四節點簡單循環。每個四邊循環先由最小節點起始並固定一個方向，以免旋轉與反向重複計數。

進位基底：

$$
q\in\{2,3,5,8,10,12,16,81,256\}.
$$

每條邊以兩條獨立程序重建：第一條實際執行標準逐位加法或乘法；第二條建立數位缺陷並以整係數除法恢復完整向量。每個三角檢查第十七篇的增量補償；每個四邊檢查望遠鏡公式及反向變號，若圖上有合法對角線，另外作定向兩三角 Stokes 檢查。

### 8.2 全部基底的精確觀察數據

| 基底 q | 加法有進位的邊 | 乘法有進位的邊 | 兩算法進位向量不同的邊 | 補償非零三角 | 環量非零四邊 |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 107 | 22 | 94 | 71 | 309 |
| 3 | 88 | 55 | 61 | 78 | 376 |
| 5 | 73 | 74 | 60 | 78 | 358 |
| 8 | 63 | 77 | 53 | 40 | 149 |
| 10 | 56 | 74 | 55 | 49 | 176 |
| 12 | 50 | 78 | 58 | 37 | 101 |
| 16 | 43 | 75 | 55 | 47 | 163 |
| 81 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 256 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

各列始終是**同一批精確數值邊與循環**，只有基底變化。這些是本實驗固定語法下的確切計數，不表示進位數目對所有 $q$ 或所有整數都遵循任何單調律。

![圖 1：跨進位制的同一批三角與四邊補償](figures/paper18_cross_radix_holonomy.png)

![圖 2：相同數值邊之不同演算法進位](figures/paper18_operator_carry_comparison.png)

### 8.3 定向與路徑的完整驗證數量

對每個進位基底均檢查：

- $131\times6=786$ 條有根定向三角行走，九個基底共 $7,074$ 筆；
- $674\times8=5,392$ 條有根定向四邊行走，九個基底共 $48,528$ 筆；
- $674-191=483$ 個具有至少一條合法對角線的四邊，每個基底作兩三角 Stokes 對照，九個基底共 $4,347$ 次；
- $30,342$ 條三邊有向正整數行走，在四種基底 $2,10,16,81$ 上驗證壓縮公式與反向，合計 $121,368$ 組路徑／基底測試；
- 另外完整重算三角 $6,288$ 條與四邊 $86,272$ 條帶標籤的可執行運算歷史，確認每一條都能重建全部中間數值。

三邊行走允許折返、重複頂點；它不是只枚舉簡單無向路徑。這種口徑有助於測試通用路徑重建公式，而不只是挑選幾個漂亮三角。

### 8.4 與第十四、十七篇原始資料的逐筆核對

本套件附有前篇下列未修改資料副本：雙作用邊 $156$ 列、三角 $131$ 列、四邊 $674$ 列，以及第十七篇 $K=40$ 的逐位邊與三角補償狀態。主驗證器不讀取前篇的計算結果作為自身的運算輸入，而是先獨立重建，再對比所有精確邊、數值三角、四邊及既有標準進位向量。任何不一致均終止驗證。

同時再以 $9\times99=891$ 的兩種括號方式進行獨立的跨算法反例：

$$
(9\times9)\times11=891=9\times(9\times11).
$$

在十進位，前一條先經過 $81$，第一步產生進位 $8$，第二步 $81\times11$ 無進位；後一條先經過 $99$，第一步 $9\times11$ 無進位，第二步 $9\times99$ 產生兩個欄位的進位 $8,8$。兩條結果相同，其乘法歷史與進位記錄卻不同，並可由第十七篇的帶權乘法結合律補償式精確核對。

原先 $n\times99=9\times(11n)$ 的參數化關係也因此仍然是研究動機，但 891 本身**不在本篇 $G_{40}$ 的 1–80 節點集合內**；其算式見證是額外的原始案例，不得誤計入主圖三角與四邊統計。

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## 9. 為什麼數值迴路的非零補償不等於「資訊未守恆」

在一條數值閉合迴路上，精確整數增量的總和必為零。由此可得的真正恆等式是：

$$
\sum_i d_i=0.
$$

然而形式數位提升 $L_q$ 並非加法同態，所以：

$$
\sum_i L_q(d_i;t)
$$

不必為零。其偏離由 $H_q$ 以 $q-t$ 為因子精確描述，且在 $t=q$ 仍評估為零。因此非零 $H_q$ **沒有憑空製造或損失整數值**，它記錄的是不同位值歸一化方法間的差異。

同理，前篇的 $\mathbb F_2$ 同調類別描述的是哪些數值圖循環可由三角邊界填補，與某個給定基底下 $H_q$ 是否為零不具有直接等價關係。即使一個三角已在旗複形中作為可填面，其補償曲率仍可能為正；這應以定理 6.1 的局部補償理解，不應視為與圖論矛盾。

我們可以將這些差異統一為四種不同的檢驗問題：

1. **整數結果是否正確？** 使用精確等式驗證。
2. **數值歷史是否可重建？** 使用有序增量或合法事件序列驗證。
3. **運算來源是否可辨認？** 保存運算標籤與原始右操作元。
4. **進位及循環觀察是否一致？** 指定基底、指定演算法，再檢查多項式補償與定向鏈恆等式。

四者可以在同一張塔樓上顯現，但不能用其中一種資料自動代替其他三種。

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## 10. 有限觀察原型的資料協定

### 10.1 最小的可執行歷史資料欄位

完整、可稽核的事件可以保留：

```json
{
  "start": 4,
  "events": [
    {"op": "A", "operand": 4},
    {"op": "M", "operand": 2},
    {"op": "S", "operand": 12}
  ],
  "expected_end": 4
}
```

此證書不需要預先存放每個中間值與進位數字；在明確語法下，執行 `4+4`、`8×2`、`16−12` 即能重新得到每個數值。觀察者選擇任意合法整數基底 $q$ 後，再依指定算法計算逐位狀態。

### 10.2 固定數值路徑下的更簡短標籤編碼

若原始資料庫已另外保留精確數值路徑 $4,8,16,4$，那麼上面的三個運算選擇可縮成 `010`，並由每一對相鄰數值重建右操作元。這正是定理 4.1 的條件最小方案。

這個 `010` 不能在不知道數值路徑的情況下，單獨重建三個運算元或結果；兩種證書的前置資訊不同，不應直接比較字串長度後宣稱某種通用壓縮率。

### 10.3 驗證器與正式檔案

- `verify_paper18.py`：精確數值圖、加／乘逐位算法、帶符號補償、數值路徑、定向循環、Stokes、運算標籤及前篇交叉驗證。只需 Python 3 標準函式庫。
- `make_figures.py`：由已驗證 CSV 產生四張 PNG/SVG 資料圖；需要 Matplotlib。
- `data/paper18_edge_compression.csv`：每個基底的 156 條精確雙作用邊與兩種實際演算法進位。
- `data/paper18_triangle_curvature.csv`：每個基底的 131 個三角與精確補償多項式。
- `data/paper18_four_cycle_holonomy.csv`：每個基底的 674 個四邊、對角線與定向環量。
- `data/paper18_radix_profiles.csv`：九種基底的完整比較統計。
- `data/paper18_seed_9x99.csv`：原始關係案例的兩種乘法括號路徑。
- `data/paper18_examples.csv`：路徑壓縮、定向 Stokes 與運算差異實例。
- `data/paper18_certificate_4_8_16_4.json`：一份可重新執行的定向閉合歷史證書。
- `data/paper18_stats.json`：完整測試摘要、主圖計數與核對狀態。
- `reference/`：第十四與十七篇未修改的必要基準 CSV 副本。
- `SHA256_MANIFEST.json`：正式發行內容的 SHA-256 校驗清單。

### 10.4 離線驗證順序

解壓研究套件後，在根目錄執行：

```bash
python verify_paper18.py --output . --reference reference
python make_figures.py
python validate_paper18.py
```

三步分別重新計算精確實驗資料、重新產生圖表、核對原始 Markdown、資料、圖檔及所有發行內容。正式原稿一律使用 UTF-8、LF 換行及唯一的 ` $...$ `／`$$...$$` 數學分隔符。聊天畫面、渲染圖形與 CSV 不作為正式論文內容的替代來源。

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## 11. 反例、最小性限制與研究風險

### 11.1 同答案不能重建唯一演算法

 $(9\times9)\times11$ 和 $9\times(9\times11)$ 皆為 891，卻有不同中間值及逐位乘法進位。只存答案會失去兩種歷史的差別。

### 11.2 平移補償不能代替運算標籤

 $2\to12$ 的平移補償在十進位為零，但實際的乘法 $2\times6$ 仍有進位。若從零補償推斷「此邊沒有發生任何演算法進位」，便犯了將數值關係與操作身分混同的錯誤。

### 11.3 一般的有限路徑未必能用固定大小資料完全保存

若允許任意長度的合法迴路，固定起點與終點之間可有任意長的不同操作歷史。對全部這些歷史若要完全無損區分，任何**固定最大位元數**的編碼皆不可能一一容納。因此本文 $r$ 位元的最小性只是在已知長度 $r$ 、已知數值路徑及雙操作語法下的條件結論。

### 11.4 有局部 Stokes，不等於進位補償自然成為 $H_1$ 不變量

十進位三角 $(2,4,12)$ 的補償非零，已明確否定 $W_{10}$ 對所有三角邊界取零。它可以作為圖鏈上的帶權觀察，但不能直接將之稱為旗複形一維同調的守恆量。

### 11.5 模二同調與整數定向 Stokes 不能無條件混用

此前九維同調剩餘的證書多在 $\mathbb F_2$ 下成立。本篇的 $\mathbb Z[t]$ 值定向邊和需要整係數帶符號的二鏈見證。除非明確完成係數系統與定向的轉換，否則不能從 XOR 等式直接推導本篇 Stokes 的有號多項式等式。

### 11.6 高基底消隱代表表示層消失，不代表底層資訊消失

 $q\ge81$ 時本圖的所有標準單步進位為零，卻仍保有相同的 156 條邊、131 個三角與第十五篇的同調關係。若研究結論只在某一個基底出現，必須註明它是表示相依的訊號。

### 11.7 不直接推及任意實數或物理因果

本文的整係數數位多項式使用有限的非負整數標準展開；若要納入負數、非終止有理展開或無理實數，需要先指定表示、截斷、誤差、運算語法與驗證語義。算術「作用／逆向作用」是明確的計算依賴，不自動構成物理力學或時間因果律。

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## 12. 結論：關係可以壓縮，但作用身分不能無故抹除

第十六篇指出，逐位進位次數並非一般圖循環上的閉合不變量；第十七篇以精確數位多項式補償解釋其來源。第十八篇則將這條線索延伸至任意有限長數值路徑，證明有序增量、起點與終點已足以重建整條路徑的**帶符號平移補償**，並把運算歷史的可重建要求再往下拆分。

第一，數值路徑有精確的望遠鏡壓縮公式；對固定合法增量的重排，其總補償可以保留，儘管逐步狀態可能改變。第二，若固定雙作用數值路徑，每條邊的兩個合法運算選擇需要獨立標記；因此長度 $r$ 的路徑有 $2^r$ 種算法標記，條件最小辨識長度恰為 $r$ 位元。第三，這套平移補償形成定向圖上的整係數多項式值一上鏈，可用定向離散 Stokes 公式在具有合法填補的循環上進行局部重建，卻因非零三角補償而不能直接成為前篇一維同調商空間的不變量。第四，高基底可使全部進位觀察歸零，進一步確認底層運算關係與進位顯現的本體分界。

主實驗完整檢查了 $K=40$ 的同一批雙作用算術邊與循環，並保存原始演算法進位、帶符號平移補償、定向填補與帶標籤證書的不同資料欄位。全部數值結果均由標準整數演算法重算，沒有把圖像顯示或某一個基底的數字型態當作演算法正確性的唯一依據。

**本篇核心結語：運算的數值軌跡可以被壓縮，運算的作用身分卻不能被代替；真正保留資訊，不是保存每一份冗餘數據，而是保存足以重建它們之所以不同的條件。**

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## 參考文獻與系列銜接

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）》，2026-11-05。本文採用其 $G_{40}$ 的 156 邊、131 三角與 674 四邊作為精確受限算術圖。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十五篇）》，2026-11-05。本文區分模二循環同調與整係數定向鏈的補償計算。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十六篇）》，2026-11-05。標準逐位加法進位、乘法卷積及減法借位算法。
4. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十七篇）》，2026-11-05。完整數位多項式、進位缺陷、三角補償及乘法結合律相容。
5. MathOverflow, “Is the Number of Carries in Integer-Addition Associative?” (2015), https://mathoverflow.net/questions/218604/is-the-number-of-carries-in-integer-addition-associative 。既有進位的結合律／cocycle 觀點，本文不將相關恆等式宣稱為從未被研究的全新代數定律。
6. *Stokes’ theorem on a simplicial complex*, Mathematics@CUHK (2011), https://cuhkmath.wordpress.com/2011/05/31/stokes-theorem-on-a-simplicial-complex/ 。既有鏈邊界與上鏈的離散 Stokes 關係；本文的特殊性在於對具算術見證的邊賦予完整進位多項式。

**End of Paper XVIII (v0.1).**