# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十五篇）

## 算術語法濾過、循環持續性、舊同調類別消滅與有限三角錐填補

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XV: Arithmetic-Grammar Filtrations, Persistent Cycles, Extinction of Earlier Classes, and Finite Conical Filling*  
**版本：** v0.1（精確有限圖枚舉、持續同調證書、一般有限填補定理）  
**日期：** 2026-11-05  
**系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想：** Neo.K；數學形式化、程式驗證及資料建構：AI 協作  
**直接承接：** 第十三篇的反向數值邊及第十四篇的九維非三角循環剩餘  
**Canonical source：** 原始 UTF-8 Markdown；唯一數學原始碼分隔符 ` $...$ ` 與 `$$...$$`  
**證據範圍：** 固定正整數雙作用語法、二元同調與明確有限上限的精確結果；不宣稱物理因果、全體實數或任意演算法的普遍定律。

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**作者：** Neo.K；數學形式化、程式驗證及資料建構：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

本系列第十四篇對正整數雙作用網路 $G_{40}$ 完成原始循環分析：當原始算術運算元限定於 $2$ 至 $40$ 時，圖具有 $80$ 個數值節點、 $156$ 條無向雙操作邊、 $94$ 維二元循環空間，但全部 $131$ 個三角循環僅張成 $85$ 維，因此留有 $9$ 維無法由三角邊界生成的第一同調。此結論是某個**固定語法截面**的精確結果，卻尚未回答：當運算元上限持續提高時，先前存在的循環類別是否仍會存活？新產生的類別能否取代舊類別，使同調維度雖仍非零，整個關係結構卻已完全不同？

本文把雙作用圖排列為整數索引的巢狀過濾序列 $G_2\subseteq G_3\subseteq\cdots$，把每張圖的全部三角視為二維可填面，形成有限旗複形的二維骨架 $X_K$。每條合法邊的最早出現時刻由其**整數乘法因子及加法差值**的最大值精確決定；三角的出生時刻則是三條邊的最大出生時刻。因此，此序列是由算術運算規則直接生成的單參數濾過，而不是任意畫圖排序。

對 $K=2,\ldots,40$ 的完整持續同調計算，得到 $94$ 個一維區間，其中 $65$ 個在同一個整數濾過階段內生成並立即被填補， $29$ 個具有正長度；其中 $20$ 個在 $K\le40$ 已結束，另外 $9$ 個在本次截斷上限仍存在。該九維正好與第十四篇的 $94-85=9$ 一致。計算同時以獨立的逐階段圖循環秩、三角邊界秩及標準二元邊界矩陣約簡交叉驗證，避免僅從圖像判定「存活」。

更重要的是，本文把追蹤範圍延長至 $K=80$。第十四篇選出的九個獨立四邊循環代表，分別在 $K=42,44,45,50,52,68,76$ 等階段取得精確三角填補證書。由於九個代表在 $G_{40}$ 構成第一同調的完整基底，到 $K=76$ 時，包含映射所誘導的 $H_1(X_{40})\to H_1(X_{76})$ **恰為零映射**。但是 $H_1(X_{76})$ 仍有 $11$ 維， $H_1(X_{80})$ 仍有 $13$ 維。這說明「舊關係類別全部消滅」與「此時沒有新的關係類別」是兩個根本不同的命題。

本文進一步證明一項適用於本篇算術語法的**一般有限填補定理**：對任何有限階段中的任意有限二元循環，可構造一個更高的共同倍數頂點，使它與循環的所有頂點形成合法雙作用邊；將循環各邊與此頂點張成三角後，全部三角的邊界異或，恰好等於原循環。因此，**任何固定的有限循環類別最終都會在某個有限語法上限被填補**。這不表示所有 $K$ 有共同的小填補上限，也不表示各個 $H_1(X_K)$ 的維度終將單調下降。

最後，文章對相同精確圖的二、三、五、八、十、十二、十六進位作樓層投影對照。進位制不會改變邊出生時刻、三角證書、同調包含映射或持續區間；它可能改變的，是運算軌跡在塔樓中的可見樓層和被壓縮的程度。本研究由此在嚴格算術範圍內，將**數值關係、局部運算、跨階段類別演化及進位觀察**分成可計算而不相互混淆的四層。

**關鍵詞：** 進位制塔樓、全域運算關係幾何、雙作用網路、算術語法濾過、持續同調、一維同調、三角填補、類別消滅、包含映射、共同倍數錐、運算見證、跨進位表示不變性。

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## 1. 問題的轉換：由靜態九維剩餘走向運算關係演化

### 1.1 第十四篇真正留下的問題

第十四篇對單一圖 $G_{40}$ 確立：

$$
\dim Z_1(G_{40})=94,\qquad
\dim B_{\triangle}(G_{40})=85.
$$

因此：

$$
\dim H_1(X_{40};\mathbb F_2)=9.
$$

其中 $Z_1$ 是二元邊循環空間， $B_{\triangle}$ 是全部三角邊界的張成空間， $X_{40}$ 是把圖中三角視為二維面的有限單純複形二維骨架。

但是固定上限只回答某個**截面**的問題。若新增一條合法邊，可能生成新循環；若又形成三角，則可能消除一條舊循環的非平凡同調類別。兩種作用可以同時發生，故單獨觀察當前維度無法重建整個演化歷史。

### 1.2 本篇的四個檢驗目標

1. 為每條雙作用邊建立唯一的最早合法上限，得到精確濾過。
2. 逐階段計算一維循環與三角填補，區分生成、消滅和同階段立即填補。
3. 追蹤 $K=40$ 的九維舊類別在較高上限的像，而不是只重新計算當前剩餘維度。
4. 證明每條有限循環是否存在一個可構造的有限三角填補上界，並和有限觀察中的非零同調區分。

### 1.3 兩種「對偶」仍須分開

使用者最初提出的作用與反作用耦合，在本篇的雙作用圖中具體實現為同一對數值 $x<y$ 可由加法及乘法同時連結，而由 $y$ 回到 $x$ 可由減法及精確除法同時連結。這是精確算術可驗算的關係。

本文的循環填補則屬於**圖及單純複形的同調結構**。不能把模 $2$ 的邊界消去，直接等同於演算法執行時的資源抵消、物理作用反作用或因果時間反演。

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## 2. 雙作用算術圖與最早出現時刻

### 2.1 不變的算術語法

對整數 $K\ge2$，仍令：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\}.
$$

對正整數 $x<y$，若存在 $r,d\in A_K$ 使：

$$
y=xr=x+d,
$$

就令 $\{x,y\}$ 為一條合法的無向雙作用邊。反向 $y\to x$ 的見證則是減去 $d$ 或精確除以 $r$。

由 $d=x(r-1)$，若這條邊合法，則 $x\le K$ 、 $y\le2K$。故沿用：

$$
V_K=\{1,2,\ldots,2K\},\qquad G_K=(V_K,E_K).
$$

注意 $V_K$ 可能包含孤立節點；它們仍保留在組合圖中，不能在不同 $K$ 下任意消去而不說明連通分量計數的口徑。

### 定理 2.1（最早合法上限）

對 $1\le x<y$，若 $x\nmid y$，則它在任意 $G_K$ 都不是雙作用邊。若 $x\mid y$，令 $r=y/x$ 、 $d=y-x$。當 $r,d\ge2$ 時，邊的最早出現階段是：

$$
\kappa(x,y)=\max\{2,r,d\}.
$$

**證明。** 合法性要求 $r,d$ 同時為不小於 $2$ 、不大於 $K$ 的整數。因此 $K\ge\max\{2,r,d\}$ 是必要條件，反過來此條件也足以使兩個運算見證合法。又由 $y=x+d$ 可得 $y\le2K$，兩端會自動納入 $V_K$。證畢。

**可重現例子。**

- $1\leftrightarrow4$： $r=4,d=3$，故 $\kappa=4$。
- $2\leftrightarrow12$： $r=6,d=10$，故 $\kappa=10$。
- $1\leftrightarrow44$： $r=44,d=43$，故 $\kappa=44$。
- $1\leftrightarrow2$： $d=1$，永遠不符合本語法，不能任意補上。

### 2.2 圖的單調巢狀性

若 $K_1\le K_2$，則 $A_{K_1}\subseteq A_{K_2}$ 、 $V_{K_1}\subseteq V_{K_2}$，而原先所有合法邊仍合法。因此：

$$
G_{K_1}\subseteq G_{K_2}.
$$

這是同一正整數世界上的**語法擴張**，不是把十進位數字重新解碼成另一個數值。

### 2.3 將三角視為填面

若三個互異正整數 $x<y<z$ 的三條邊都已合法，便把三元組 $\{x,y,z\}$ 納入二維面集合。其最早出現階段是：

$$
\kappa(x,y,z)=\max\{\kappa(x,y),\kappa(x,z),\kappa(y,z)\}.
$$

這定義有限單純複形 $X_K$ 的二維骨架。因所有三角的面都在其三條邊之後或同時加入， $X_{K_1}\subseteq X_{K_2}$ 也是合法的單純複形濾過。

本文只需零維、邊和三角面來計算一階同調。即使更大的 clique complex 含有四個以上頂點形成的高維單純形，這些更高維面也不會改變第一同調的計算。

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## 3. 循環、三角填補與持續類別的三個數量

### 3.1 固定階段的二元鏈空間

取係數域 $\mathbb F_2$。每條無向邊對應一個基底座標。其一維邊界算子 $\partial_1$ 將一條邊映到其兩個端點；三角的 $\partial_2$ 則為三條邊的模 $2$ 和。

因此：

$$
Z_1(K)=\ker\partial_1,
\qquad
B_1(K)=\operatorname{im}\partial_2.
$$

由 $\partial_1\partial_2=0$， $B_1(K)$ 必為 $Z_1(K)$ 的子空間。定義：

$$
H_1(X_K;\mathbb F_2)=Z_1(K)/B_1(K).
$$

若 $c_K$ 是圖的連通分量數，則：

$$
\dim H_1(X_K;\mathbb F_2)
=|E_K|-|V_K|+c_K-\operatorname{rank}(\partial_2).
$$

此等式由既有圖循環空間定理與線性代數直接導出，不是新的一般拓樸公式。

### 3.2 三角張成的消滅不同於邊的刪除

圖的邊在 $K$ 增大時從不被刪除。可是某個舊循環 $C$ 原先不屬於 $B_1(K)$，之後可能屬於 $B_1(K')$。此時舊循環仍是一條可以畫出的路徑，但它的**非平凡同調類別**已消失。

必須區分：

- 畫面上循環的邊仍在圖中；
- 它是否已能寫成三角邊界的模 $2$ 組合；
- 多個舊循環在新增三角關係後是否變成同一同調類別。

因此「一條線還看得到」既不足以證明同調類別仍存活，也不足以證明它曾經有過非平凡類別。

### 3.3 持續同調區間的定義

圖與三角逐階段增加，產生：

$$
H_1(X_2)\longrightarrow H_1(X_3)
\longrightarrow\cdots\longrightarrow H_1(X_{80}).
$$

對這個有限序列，可用二元邊界矩陣約簡，為一維同調建立出生與消滅階段。每個正長度區間寫為 $[b,d)$，表示它在整數階段 $b$ 已存在，在 $d$ 已被填補。

若在階段 $K$ 增加邊的同時立即加入足以填補它的三角，則可能出現 $[K,K)$ 的零長度配對。這種配對反映單純形在同一批次內的細分順序，不是任何正式整數階段都曾持續存在的類別。

本文的右端若沒有觀察到消滅，會記為**截至實驗上限的右設限**，不會宣稱此類別永遠不死。

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## 4. 完整的 $K=2$ 至 $40$ 濾過檢驗

### 4.1 每一階段的精確一階同調維度

以下資料來自完整整數枚舉，包含孤立節點及全部合法三角。各筆 $H_1$ 均以圖循環秩扣除三角邊界秩直接計算；另外用邊界矩陣的出生—消滅配對逐階段核對。

| K | 節點 | 邊 | 三角 | 圖循環維度 | 三角秩 | H1 維度 |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 6 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 8 | 6 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 10 | 8 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 12 | 12 | 2 | 3 | 2 | 1 |
| 7 | 14 | 14 | 2 | 3 | 2 | 1 |
| 8 | 16 | 18 | 3 | 6 | 3 | 3 |
| 9 | 18 | 21 | 5 | 8 | 5 | 3 |
| 10 | 20 | 25 | 8 | 10 | 8 | 2 |
| 11 | 22 | 27 | 8 | 10 | 8 | 2 |
| 12 | 24 | 33 | 12 | 15 | 11 | 4 |
| 13 | 26 | 35 | 12 | 15 | 11 | 4 |
| 14 | 28 | 39 | 15 | 17 | 13 | 4 |
| 15 | 30 | 43 | 20 | 20 | 18 | 2 |
| 16 | 32 | 48 | 23 | 24 | 20 | 4 |
| 17 | 34 | 50 | 23 | 24 | 20 | 4 |
| 18 | 36 | 56 | 29 | 28 | 24 | 4 |
| 19 | 38 | 58 | 29 | 28 | 24 | 4 |
| 20 | 40 | 64 | 34 | 32 | 28 | 4 |
| 21 | 42 | 68 | 39 | 35 | 32 | 3 |
| 22 | 44 | 72 | 44 | 37 | 34 | 3 |
| 23 | 46 | 74 | 44 | 37 | 34 | 3 |
| 24 | 48 | 82 | 51 | 44 | 37 | 7 |
| 25 | 50 | 85 | 54 | 46 | 40 | 6 |
| 26 | 52 | 89 | 57 | 48 | 43 | 5 |
| 27 | 54 | 93 | 62 | 51 | 47 | 4 |
| 28 | 56 | 99 | 69 | 55 | 51 | 4 |
| 29 | 58 | 101 | 69 | 55 | 51 | 4 |
| 30 | 60 | 109 | 80 | 61 | 56 | 5 |
| 31 | 62 | 111 | 80 | 61 | 56 | 5 |
| 32 | 64 | 117 | 84 | 66 | 58 | 8 |
| 33 | 66 | 121 | 91 | 69 | 62 | 7 |
| 34 | 68 | 125 | 96 | 71 | 64 | 7 |
| 35 | 70 | 129 | 102 | 74 | 69 | 5 |
| 36 | 72 | 138 | 111 | 82 | 73 | 9 |
| 37 | 74 | 140 | 111 | 82 | 73 | 9 |
| 38 | 76 | 144 | 116 | 84 | 75 | 9 |
| 39 | 78 | 148 | 121 | 87 | 80 | 7 |
| 40 | 80 | 156 | 131 | 94 | 85 | 9 |

### 4.2 到 $K=40$ 的條目數與區間數

在終點圖 $G_{40}$，有：

$$
|V_{40}|=80,\qquad |E_{40}|=156,\qquad c_{40}=18,
$$

$$
\dim Z_1(40)=156-80+18=94,
$$

$$
|\{\text{三角}\}|=131,\qquad\operatorname{rank}(\partial_2)=85.
$$

所以：

$$
\dim H_1(X_{40};\mathbb F_2)=94-85=9.
$$

持續邊界矩陣的完整配對結果如下：

| 區間類別 | 數量 | 正確解讀 |
|---|---:|---|
| 全部一維出生紀錄 | 94 | 在確定的單純形順序下得到的全部出生欄 |
| 同階段立即填補的零長度配對 | 65 | 不跨越任何整數 $K$ 階段 |
| 正長度區間總計 | 29 | 至少在一個整數濾過階段存在 |
| 截至 $K=40$ 已結束的正長度區間 | 20 | 有精確有限消滅階段 |
| 在 $K=40$ 尚未消滅的右設限區間 | **9** | 對應固定圖的一階同調維度 |

檢查： $65+20+9=94$。此外，在 $K=40$ 前或當階段被三角邊界配對消滅的類別總數為 $65+20=85$，正好等於三角邊界秩。

### 4.3 同一階段的新增循環與新增填補可以互相抵銷

例如：

| $K$ | 當階段正長度出生 | 當階段既有類別消滅 | 該階段結束後 $H_1$ 維度 |
|---:|---:|---:|---:|
| 8 | 2 | 0 | 3 |
| 10 | 0 | 1 | 2 |
| 12 | 3 | 1 | 4 |
| 36 | 5 | 1 | 9 |
| 39 | 0 | 2 | 7 |
| 40 | 3 | 1 | 9 |

其中 $K=39$ 到 $40$ 的維度由 $7$ 升至 $9$，並不是因為某個已被填補的舊類別「復活」，而是新出生與消滅同時發生後的淨結果。

![圖 1：濾過中的一維同調與舊類別像](figures/paper15_filtration_and_old_class_image.png)

### 4.4 持續區間的閱讀

以 $K=4$ 出生的一條非平凡類別為例，持續到 $K=12$ 才消滅；其區間為 $[4,12)$，長度為 $8$。另一條出生於 $K=8$，在 $K=10$ 被新三角填補，區間為 $[8,10)$。

在受限至 $K=40$ 的實驗內，最長**已結束**的正長度區間跨度為 $16$ 個 $K$ 單位。此值是本次有限範圍、算術語法與濾過指標的計算結果，並不是一般循環的持續時間上界。

![圖 2：延伸至 80 的精確一維同調區間](figures/paper15_H1_barcodes_to_80.png)

**同階段排序的提醒。** 當多條邊與三角具有相同 $K$ 時，程式固定先處理頂點、再處理邊、最後處理三角，且在同類內使用數值字典序。個別「由哪條邊出生、由哪個三角消滅」的配對身份可依合法的同階段排序而變；在整數 $K$ 尺度下的正長度區間與逐階段同調維度不依賴任意畫面位置。

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## 5. 必須追蹤舊空間的像，而不能只看新圖的維度

### 5.1 包含映射的定義

對 $K\ge40$，包含 $X_{40}\hookrightarrow X_K$ 誘導線性映射：

$$
i_{40,K}:H_1(X_{40};\mathbb F_2)
\longrightarrow H_1(X_K;\mathbb F_2).
$$

它的像維度回答：**第十四篇的九個舊同調方向，到新的語法範圍時還有多少獨立方向真正保留？**

這不同於 $\dim H_1(X_K)$。新圖即使有十幾維同調，也可以完全由後來出生的循環類別構成。

### 5.2 以舊九個精確循環作為基底

沿用第十四篇已經逐邊核對且模三角獨立的九個四邊循環代表，記為 $C_1,\ldots,C_9$。在 $K=40$，它們恰好構成 $H_1(X_{40};\mathbb F_2)$ 的一組完整基底。

若 $B_K$ 是 $X_K$ 的三角邊界張成，將九個舊循環的邊向量嵌入 $G_K$ 的邊座標後，包含映射的像維度可直接重建為：

$$
\dim\operatorname{im}i_{40,K}
=\operatorname{rank}(B_K+C_1+\cdots+C_9)
-\operatorname{rank}(B_K).
$$

此處 $B_K+C_1+\cdots+C_9$ 表示子空間張成，不是把循環代表當作普通整數相加。程式使用全體新圖的精確邊索引及二元秩計算，因此既可以發現某個代表已成為邊界，也可以發現**多個舊代表的線性組合**先變成邊界。

### 5.3 追蹤結果：到 $K=76$ 時，舊九維空間全部失效

| K | 當前一階同調維度 | 第十四篇舊九維之像 | 其餘商維度 |
|---:|---:|---:|---:|
| 40 | 9 | 9 | 0 |
| 41 | 9 | 9 | 0 |
| 42 | 7 | 7 | 0 |
| 43 | 7 | 7 | 0 |
| 44 | 8 | 6 | 2 |
| 45 | 6 | 4 | 2 |
| 50 | 10 | 3 | 7 |
| 52 | 8 | 2 | 6 |
| 60 | 13 | 2 | 11 |
| 68 | 11 | 1 | 10 |
| 76 | 11 | 0 | 11 |
| 80 | 13 | 0 | 13 |

![圖 3：第十四篇九個四邊代表的首次填補階段](figures/paper15_previous_nine_first_fill.png)

由圖與表可見， $\dim\operatorname{im}i_{40,K}$ 隨 $K$ 單調不增。它在 $K=40$ 為 $9$， $K=42$ 降為 $7$， $K=45$ 只剩 $4$，在 $K=76$ 變為 $0$。

相對地， $H_1(X_{76})$ 的**總維度仍為 $11$**， $H_1(X_{80})$ 的總維度仍為 $13$。因此在 $K=76$ 與 $K=80$，現存的一維類別都不是由 $K=40$ 的原九維同調透過包含映射帶來的非零像。

### 定理 5.1（第十四篇九維舊空間在 $K=76$ 的消滅）

對本篇的雙作用算術濾過， $H_1(X_{40};\mathbb F_2)$ 到 $H_1(X_{76};\mathbb F_2)$ 的包含映射為零：

$$
i_{40,76}=0.
$$

**證明。** 第十四篇的九個四邊代表 $C_1,\ldots,C_9$ 在 $K=40$ 模全部三角獨立，且其數量等於 $H_1(X_{40})$ 的維度 $9$，故構成基底。本篇的 `paper15_prior_nine_first_fill.csv` 對九個代表各自提供一組在 $K\le76$ 合法的三角邊界異或證書。因此，每個基底向量在 $H_1(X_{76})$ 的像均為零。線性性保證任意舊同調類別的像也為零。證畢。

**不應誤讀為：** $H_1(X_{76})=0$。實際上 $\dim H_1(X_{76})=11$ ；零的是**由舊九維空間進入此時新圖的映射**。

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## 6. 九個舊代表的最早三角填補證書

### 6.1 精確的第一次填補門檻

下表的 $K$ 是在本篇完整濾過中「首次可用新三角組合，精確重建該四邊邊向量」的最小整數上限，而非某個任意選擇的上界。

| 舊代表 | 四邊頂點順序（閉合） | 首次填補 K | 一組有效三角證書條數 |
|---:|---|---:|---:|
| 1 | 1–4–2–22–1 | 44 | 4 |
| 2 | 1–4–2–26–1 | 52 | 4 |
| 3 | 1–4–2–34–1 | 68 | 4 |
| 4 | 1–4–2–38–1 | 76 | 4 |
| 5 | 1–4–44–11–1 | 44 | 2 |
| 6 | 1–5–45–9–1 | 42 | 6 |
| 7 | 1–10–50–25–1 | 45 | 4 |
| 8 | 1–18–54–27–1 | 45 | 4 |
| 9 | 1–20–60–30–1 | 50 | 4 |

每一個最早門檻都經過兩種檢查：在此階段，列出的三角邊向量異或恰等於該四邊邊向量；在前一個階段，完整三角空間的秩檢驗則顯示該四邊仍不屬於邊界張成。因而「首次」不只由觀看圖形作出推測。

### 6.2 四個三角填補一個四邊： $K=44$

考慮第十四篇的第一個非三角代表：

$$
C_1=(1,4,2,22,1).
$$

在 $K=40$，它不是全部 $131$ 個三角邊界的線性組合。可是到 $K=44$，可以新增共同頂點 $44$，使下列四個三角都合法：

$$
(1,4,44),\quad(1,22,44),\quad
(2,4,44),\quad(2,22,44).
$$

把這四個三角的邊界在 $\mathbb F_2$ 上異或，所有通往頂點 $44$ 的輻射邊出現兩次並消去，留下恰為 $C_1$ 的四條原始邊。

![圖 4： $K=44$ 的有限三角錐填補證書](figures/paper15_four_triangle_cone_certificate.png)

因此 $C_1$ 這條四邊路徑仍可在圖上完整畫出，但它已不再代表非零的第一同調類別。

### 6.3 比「個別填補」更早的全域等價： $K=42$

把第十四篇第一個及第五個代表寫成：

$$
C_1=(1,4,2,22,1),
\qquad C_5=(1,4,44,11,1).
$$

在 $K=40$，兩者是不同、且模三角獨立的類別。可是到 $K=42$，其**邊向量的異或**已經等於以下四個合法三角邊界的異或：

$$
(1,11,22),\quad(2,4,44),\quad
(2,22,44),\quad(11,22,44).
$$

即：

$$
[C_1]+[C_5]=0
\qquad\text{於 }H_1(X_{42};\mathbb F_2).
$$

此時 $C_1$ 與 $C_5$ 都還不能**單獨**由三角生成；真正發生的是原本兩個獨立的類別在新圖中變成同一類別。

同一個 $K=42$，第六個四邊代表 $C_6=(1,5,45,9,1)$ 也首次取得六個三角的精確填補。故舊九維空間的像由 $9$ 維直接降為 $7$：其中一維來自 $C_6$ 本身被填補，另一維來自 $C_1$ 和 $C_5$ 變成等價。

這個實例說明：**舊空間的維度下降，不一定對應到同數量的「某一條選定基底循環已經單獨消失」。** 對整個循環空間，必須檢查線性組合，而不是只檢查九個代表的單獨填補狀態。

### 6.4 最初運算歷史仍可被完整重建

即使循環在同調商空間中變成零，數值邊依然存在且每條邊都有精確算術見證。可以透過 `paper15_edges_activation.csv` 反查每條邊的 $x,y,r,d$，並由 $x+d=xr=y$ 驗證。這表示同調填補是**關係集合的更高層重分類**，不是把實際的算術運算事件刪去。

---

## 7. 一般定理：任何有限循環最終都能三角填補

這一節不再限於 $K\le80$ 的數據，而是處理整個無上限的同一雙作用語法：

$$
G_2\subseteq G_3\subseteq\cdots.
$$

### 定理 7.1（有限共同倍數錐填補）

令 $C$ 為某個 $G_{K_0}$ 中的任意**有限二元一循環**；其邊集合所用到的頂點集合為有限集合 $W$。若 $C$ 非零，定義：

$$
L=2\,\operatorname{lcm}(W).
$$

其中 $\operatorname{lcm}(W)$ 是 $W$ 中所有正整數的最小公倍數。則在有限階段 $K^*=\max\{K_0,L\}$， $C$ 是合法三角邊界的有限異或組合，因此原來的類別在 $H_1(X_{K^*};\mathbb F_2)$ 的像為零。實際構造的三角已全部在 $X_L$ 出現。

**證明。** 由 $L$ 是 $W$ 中每個頂點 $v$ 的至少兩倍之共同倍數， $L/v$ 是不小於 $2$ 的整數，且 $L-v\ge2$。在 $K=L$ 的圖中，則：

$$
2\le L/v\le L,
\qquad2\le L-v\le L.
$$

所以每條新邊 $\{v,L\}$ 都滿足雙作用條件，且頂點 $L$ 屬於 $V_L=\{1,\ldots,2L\}$。因 $L>\max W$，這個共同頂點不是原循環本身的頂點。

對 $C$ 中每一條原始邊 $\{u,v\}$，因兩端皆連向 $L$，三角 $(u,v,L)$ 在 $X_L$ 中合法。將全部這些三角的二元邊界相加；原始循環中的每條邊各出現一次，而每條連向 $L$ 的輻射邊 $\{v,L\}$ 出現的次數等於 $v$ 在二元循環中的度數，必為偶數。因此全部輻射邊在 $\mathbb F_2$ 上相消，恰留下原循環 $C$。

故 $C$ 是 $X_L$ 的二維邊界。若 $K_0>L$，由 $X_L\subseteq X_{K_0}$ 可知它在原階段已是邊界；一般取 $K^*=\max\{K_0,L\}$ 即得從 $K_0$ 向上包含的結論。證畢。

**對零循環的處理。** 若原本已是空邊集合，則不需任何填補；上述構造只針對非零的有限循環。

### 7.2 推論：不存在能永遠保留的固定有限同調類別

任一 $K_0$ 的 $H_1(X_{K_0};\mathbb F_2)$ 類別均由有限邊鏈代表。定理 7.1 給出某個較高的有限 $L$，使其像為零。因此：

$$
\varinjlim_K H_1(X_K;\mathbb F_2)=0.
$$

這個直接極限為零的結論，不等於說每個有限 $K$ 的 $H_1(X_K)$ 都為零；它只說**沒有任何固定的有限類別可以在不斷擴張的語法中永久存活**。實際上，本篇算得 $\dim H_1(X_{80})=13$，即使來自 $X_{40}$ 的全部九維已經消滅。

### 7.3 定理證明與實際最早填補之間的距離

共同倍數錐提供**普遍有效、但通常並非最小**的填補上界。例如某個四邊循環的共同錐頂可能遠大於它首次被三角組合填補的 $K$。本篇第六個代表的最早填補階段是 $K=42$，其證書利用其他中介數值與六個三角，而不是只用新的共同錐頂連接所有四個頂點。

因此，需要分別儲存：

1. **一般上界證書**：由最小公倍數直接構造，必然有限。
2. **最早填補證書**：由完整濾過枚舉與線性代數求得，可能遠早於一般上界。
3. **同調持續區間**：追蹤類別在濾過中的出生與消滅，不能一概用某個選定四邊代表的首次填補門檻替代。

這三者回答不同問題，不能混同。

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## 8. $K=40$ 之後的持續圖像：新類別替代舊類別

### 8.1 延伸到 $K=80$ 的完整結果

將同一語法、同一數值定義及同一三角填補規則繼續運算至 $K=80$，得到：

$$
|V_{80}|=160,\quad |E_{80}|=366,\quad
\#\{\text{三角}\}=415,
$$

$$
\dim H_1(X_{80};\mathbb F_2)=13.
$$

整個 $K=2$ 至 $K=80$ 濾過含 $237$ 個一維出生記錄；其中 $67$ 個有正長度， $54$ 個在 $K\le80$ 已消滅，另有 $13$ 個在 $K=80$ 右設限。

這些數字與第十四篇的 $K=40$ 靜態九維結果並不矛盾：不同上限下的同調類別集合既可能有包含映射，也可能新增與消滅不同基底方向。

### 8.2 原九維的像與新增空間的精確分離

對 $K\ge40$，定義：

$$
O(K)=\dim\operatorname{im}i_{40,K}.
$$

另定義僅作維度差的輔助量：

$$
N(K)=\dim H_1(X_K)-O(K).
$$

 $N(K)$ 的值可理解為當前同調空間相對於舊像的商維度；它**不是**一個有自然標號、固定不變的「新循環數量」。對本次選定的 GF(2) 線性系統，它由直接秩差精確決定。

例如：

| K | 當前 $H_1$ 維度 | 舊九維的像 $O(K)$ | 商維度 $N(K)$ |
|---:|---:|---:|---:|
| 40 | 9 | 9 | 0 |
| 42 | 7 | 7 | 0 |
| 44 | 8 | 6 | 2 |
| 50 | 10 | 3 | 7 |
| 60 | 13 | 2 | 11 |
| 68 | 11 | 1 | 10 |
| **76** | **11** | **0** | **11** |
| **80** | **13** | **0** | **13** |

這才是全域演化中最值得重視的區分：**同調維度看似沒有歸零，卻不能據此認為當初的九個關係仍被保存。**

### 8.3 為何不能宣稱「算術循環永遠是某個固定維度」

第十四篇 $K=40$ 得到九維；本篇 $K=76$ 得到十一維， $K=80$ 得到十三維。它們都只是指定階段的截面。即使存在一般定理保證每個有限類別最終被填補，也不推出各階段維度最終為零、單調下降，或有某個尚未證明的漸近常數。

對這類更大上限的問題，可繼續枚舉，但不能用前八十階段的視覺曲線代替極限證明。

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## 9. 進位制觀察與這次「舊類別消失」的關係

### 9.1 哪些量與進位字串無關

若只改變相同正整數的標準編碼基底 $q\ge2$，則以下對象不變：

- 由精確整除、差值決定的合法邊及其最早上限 $\kappa(x,y)$ ；
- 三角的精確頂點與出生時刻；
- 循環邊向量、三角邊界秩及同調空間維度；
- 濾過包含映射、其像的維度及持續區間端點；
- 九個原始四邊循環的填補證書與首次填補上限。

這些不是因為不同進位制畫出來必然具有相同形狀，而是因為我們始終使用**相同的精確整數與相同的運算語法**。

### 9.2 觀察的樓層可壓縮真正的算術循環

對任意 $q\ge2$，令：

$$
\ell_q(n)=\lfloor\log_q n\rfloor.
$$

固定 $G_{40}$ 的全部 $156$ 條邊及 $131$ 個三角，僅將其精確頂點映射到數量級樓層。相同三角的三個頂點全部同樓層的數量如下：

| 基底 q | 三頂點全部同樓層的三角數 |
|---:|---:|
| 2 | 0 |
| 3 | 0 |
| 5 | 2 |
| 8 | 9 |
| 10 | 8 |
| 12 | 7 |
| 16 | 14 |

![圖 5：不同進位下可能被壓縮的同一批三角](figures/paper15_cross_radix_hidden_triangles.png)

若畫面只保留樓層而抹除精確節點識別，便可能把這些三角壓成一個看似沒有循環的格子；反過來，不同精確節點落在同一樓層，也可能造成假交會。這正是第八篇已建立的投影別名問題，在本篇的持續循環研究中依然存在。

### 9.3 運算元上限與進位基底不可交換概念

把 $K$ 從 $40$ 增至 $76$，會真正加入合法數值邊及三角，改變同調包含映射；把 $q$ 從 $10$ 改成 $2$ 而保持數值不變，則只改變塔樓觀察投影。前者改變**被觀察的數學關係網路**；後者只改變**看見網路的座標與數字符號**。

若未來改成「同樣一串字元在不同基底代表不同數值」，那已是另一種實驗，不能沿用此處的不變性聲明。

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## 10. 可重現性、完整證書與獨立核驗

### 10.1 程式實驗規格

核心驗證腳本為 `verify_paper15.py`。只使用 Python 3 標準函式庫，不呼叫浮點算法決定算術邊的合法性；全部來源以精確整數、整除及二元位元向量表示。

逐階段驗證包含：

1. 對每條候選邊反求 $r=y/x$ 及 $d=y-x$，確認其最早上限。
2. 依合法邊生成全部三角，以頂點字典序避免重複。
3. 使用兩種主元方向的二元高斯消去，分別檢查三角邊界秩。
4. 逐階段以 $|E|-|V|+c-\operatorname{rank}(\partial_2)$ 計算 $H_1$。
5. 對頂點、邊、三角建立合法濾過次序，使用標準二元邊界矩陣約簡取得出生—消滅區間。
6. 要求每個 $K$ 的持續區間存活數與獨立逐階段同調維度完全一致。
7. 對九個舊四邊循環求解首次三角填補證書，並檢查上一階段不存在此種填補。
8. 計算 $H_1(X_{40})$ 的像到所有 $K=40,\ldots,80$，要求像維度單調不增且於 $K=76$ 歸零。
9. 與第十四篇原始的全部 $156$ 條邊、 $131$ 個三角和九個基底代表逐筆比對。
10. 對七種基底使用純整數除法決定樓層，確保不把浮點近似誤判為位值邊界。

### 10.2 特別處理持續區間與代表的非唯一性

持續區間端點是指定濾過的嚴格代數結果；以哪個單純形、哪個四邊形當作類別代表，則可能依同階段排序與基底選擇而改變。程式的 `paper15_barcodes.csv` 保存確定性字典序下的出生邊與填補三角配對，`paper15_prior_nine_first_fill.csv` 則保存第十四篇**事先選定的九個四邊代表**之首次填補門檻。

不能不經線性代數比較，就把「某個持續區間的死亡階段」直接當成「某個特定四邊代表首次成為三角邊界的階段」。本篇在 $K=42$ 的雙代表等價例子正是此區分的必要性證據。

### 10.3 主要資料與可下載文件

| 檔案 | 用途 |
|---|---|
| `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_15_v0.1.md` | 本篇 UTF-8 正式論述原始檔 |
| `verify_paper15.py` | 算術濾過、持續同調、九個代表證書及原始資料核對 |
| `make_figures.py` | 從已驗證數據重生五張 PNG 與 SVG 圖 |
| `data/paper15_edges_activation.csv` | 全部 156 條 $K=40$ 雙作用邊與最早合法上限 |
| `data/paper15_triangles_activation.csv` | 131 個三角及其最早合法上限 |
| `data/paper15_filtration.csv` | $K=2,\ldots,40$ 的完整循環與同調剖面 |
| `data/paper15_barcodes.csv` | $K=2,\ldots,40$ 的精確一維出生—消滅配對 |
| `data/paper15_barcodes_to_80.csv` | 延伸至 $K=80$ 的持續區間對照 |
| `data/paper15_extended_filtration_to_80.csv` | 新圖同調維度與舊九維空間的像 |
| `data/paper15_prior_nine_first_fill.csv` | 九個代表的首次填補門檻與逐三角證書 |
| `data/paper15_equivalence_K42_triangles.csv` | $C_1+C_5$ 在 $K=42$ 的四三角等價證書 |
| `data/paper15_essential_cycle_witnesses.csv` | $K=40$ 仍存活的持續區間所選循環代表 |
| `data/paper15_radix_profiles.csv` | 精確圖在不同進位樓層的外觀 |
| `data/paper15_stats.json` | 全部數值摘要、獨立驗證狀態與延伸資料 |
| `reference/` | 第十四篇未修改的邊、三角及九基底 CSV |
| `figures/` | 五張可重生的 PNG 與 SVG 閱讀圖 |
| `SHA256_MANIFEST.json` | 發行套件內檔案的內容雜湊清單 |

### 10.4 離線驗證

在解壓縮目錄中執行：

```bash
python verify_paper15.py --output .
python make_figures.py
python validate_paper15.py
```

第一行重生全部資料，第二行需要 Matplotlib 並重生五張圖，第三行檢查正式原稿、數據、圖檔與數學 delimiter。發行 ZIP 的 SHA-256 清單由 `release_paper15.py` 建立；此外實施獨立解壓、重跑及逐檔雜湊驗收，與原始工作目錄的成功執行分開確認。

### 10.5 與既有理論的對照

標準圖循環空間、單純同調與邊界矩陣持續約簡，都是成熟的數學與計算拓樸工具。本篇不宣稱創造持續同調演算法；本文的工作是把其形式條件**完整接回一個有具體加減乘除見證、明確語法出生時刻、可重建內外部關係及進位顯示層**的算術濾過模型。

若要討論此模型是否對一般數值計算有更強的表示效率或演算法效益，必須另設計與既有算術電路、圖資料庫及數值計算的可比對測試；這些效益不由本篇的同調證明自動推出。

---

## 11. 反例與理論界線

### 11.1 舊類別消滅不等於舊邊被刪除

第十四篇的九個四邊路徑在 $K=76$ 依然可以逐邊畫出；被消滅的是其模三角的非平凡同調類別，不是原先的整數或運算事件。

### 11.2 當前有十一維不代表舊九維還在

本篇精確證明 $i_{40,76}=0$，卻同時算得 $\dim H_1(X_{76})=11$。因此只比較不同時刻的維度大小，無法得知任何舊類別是否真正存活。

### 11.3 個別四邊未被填補不代表其線性組合也未被填補

在 $K=42$， $C_1$ 與 $C_5$ 皆尚未各自成為三角邊界，但 $C_1+C_5$ 已可由四個三角組合得到。只有計算整個像空間的秩，才能捕捉這種關係類別合併。

### 11.4 每個有限循環終會填補不代表存在固定時間

共同倍數錐定理給每一條有限循環一個有限但通常不同的上界。不能據此推出某個統一常數 $K^*$ 能夠填補所有未來可能出現的循環；更不能宣稱 $\dim H_1(X_K)$ 會在足夠大的每個 $K$ 永遠為零。

### 11.5 進位制顯示不提供新的算術等式

二進位與十進位的樓層圖可能在外觀上非常不同，但若標準解碼後的正整數值不變，所有邊與三角的真假相同。這些顯示差異可以是探索工具，卻不能直接當作尚未驗證的新運算定律。

### 11.6 「孔洞」「出生」「死亡」是數學術語

本篇所說的孔洞，嚴格是 $H_1$ 中的非零同調類別；出生與死亡是有限濾過中的類別出現或變為邊界。它們不指涉物理空間洞穴、生命過程、能量流失或時間因果律。

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## 12. 結論：全域關係不是靜態的關係總數

第十四篇建立了 $K=40$ 雙作用算術圖的九維非三角循環剩餘；第十五篇將它放回整個語法濾過中，得到一項比固定截面更精確的結論：**先前存在的同調方向可以完全消滅，卻不妨礙新增的運算關係形成另一批非零循環。**

第一，算術邊的首次出現時刻可由因子與差值精確決定，讓整個循環演化不再依賴圖畫上的人為排序。第二， $K=2$ 至 $40$ 的完整持續同調具有 $29$ 個正長度區間，其中 $20$ 個在該範圍內消滅，九個在 $K=40$ 仍右設限。第三，延伸至 $K=76$ 後，九個第十四篇原始代表全部有精確三角填補證書，舊空間的包含映射歸零，但當前新圖仍有十一維同調。第四，有限共同倍數錐定理在整個無上限語法下保證每一個固定有限循環類別終將被填補，同時不對各階段當前維度作無根據的漸近斷言。

這也讓「底層資訊不變」的研究口徑更加精確：**在換進位表示時，數值與運算關係保持；在擴張運算語法時，新的關係會真正改變原有同調類別的存在條件。** 二者不能混為一談。

**本篇核心結語：全域不是把所有既有連線永遠保留下來；全域是能夠分辨，哪些關係曾經獨立、何時彼此等價、何時被新的關係填補，以及哪些新關係又從被填補的世界中生成。**

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## 參考文獻與研究銜接

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十三篇）：三階段部分耦合格序、局部作用逆向性、八重閉合回返與整體歷史可逆的邊界》，2026-11-05。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）：有限雙作用網路的原始循環、三角生成缺口、語法填補與跨進位觀察》，2026-11-05。本文以其精確邊、三角及九個基底循環作為未修改基準。
3. Otter, N., Porter, M. A., Tillmann, U., Grindrod, P., and Harrington, H. A. “A roadmap for the computation of persistent homology.” *EPJ Data Science* 6, 17 (2017). DOI: https://doi.org/10.1140/epjds/s13688-017-0109-5 。提供濾過、邊界矩陣約簡與持續區間的既有方法背景。
4. GUDHI Project, “Persistent cohomology user manual,” https://gudhi.inria.fr/python/latest/persistent_cohomology_user.html 。用於核對單純複形濾過和邊界的一般術語；本篇所有數值由自身的標準函式庫程式獨立重算，沒有依賴 GUDHI 套件。
5. Diestel, R., *Graph Theory*, 6th ed., Springer, 2025。圖的循環空間、連通分量和二元邊向量的既有理論背景。

**End of Paper XV (v0.1).**