# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十九篇）

## 運算歷史等價類、質數進位辨識基底與跨進位可重用證書

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XIX: Equivalence Classes of Computation Histories, Prime-Radix Separating Bases, and Reusable Cross-Radix Certificates*  
**版本：** v0.1（精確定理、完整有限域實驗、可重現運算證書）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想與問題設定：** Neo.K；形式化、程式與驗證：AI 協作  
**直接承接：** 第十四篇的雙作用算術圖；第十六至十八篇的逐位進位、完整缺陷多項式與多步歷史壓縮  
**Canonical source：** 本原始 UTF-8 Markdown；所有數學原始碼只使用 ` $...$ ` 和 `$$...$$`  
**證據定位：** 既有初等整數算術上的精確推論，及指定有限語法的完備計算；不宣稱一般實數、任意演算法或物理因果律已獲證明。

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**作者：** Neo.K；形式化、程式與驗證：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

本系列的出發點是：不應將同一個最終答案下的不同運算來源與中間資訊全部抹除。第十八篇已證明，對給定的有限數值路徑，可以由有序增量重建帶符號平移進位；然而，平移進位無法判定每一步究竟選用加法、乘法或相應的逆操作。在有限雙作用算術圖內，若數值路徑已知且長度為 $r$，合法的運算標籤恰有 $2^r$ 組，因此條件最小的無損標籤資訊為 $r$ 個位元。第十九篇追問：若改用**不同進位制下實際可觀察的逐位進位向量**作為線索，哪些運算標籤可以被辨識，哪些會被某個進位基底隱藏？

本文嚴格區分終點等價、數值路徑等價、運算標記等價，以及指定進位制下的**完整逐步歸一化進位指紋等價**。在第十四篇相同的受限算術圖 $G_K$ 上，一條無向數值邊 $x<y$ 必須同時滿足 $y=x+d=xr$，其中 $d,r\in\{2,\ldots,K\}$。向上運算可選加法與乘法；向下可選減法與精確除法。對逆向除法，本文使用**逆乘法檢驗所需的進位向量**作為運算見證，絕不將它偽稱為某一種長除法演算法的內部進位。

本篇建立一項精確的**質數進位辨識基底定理**：若質數 $p$ 整除某條邊的乘法比 $r$，則在基底 $p$ 下，該邊的標準加法與卷積乘法進位向量必然不同。因此，所有不超過 $K$ 的質數基底必定足以辨識 $G_K$ 的每一條雙作用邊。反過來，對每個奇質數 $p\le K$，邊 $1\leftrightarrow p$ 只能由基底 $p$ 的完整進位向量分辨兩種操作；對 $p=2$，邊 $2\leftrightarrow4$ 也只有基底 $2$ 能分辨。因此，**在本文指定的進位指紋與全部整數基底作為候選的條件下，所有 $p\le K$ 的質數構成唯一的包含極小、亦為最小基數的完整辨識集合**。這是關於明確資料模型的初等算術定理，不是新進位公理。

主實驗取 $K=40$，得 $80$ 個數值節點及 $156$ 條精確雙作用邊。十進位單獨能以加法／乘法進位差辨認 $55$ 條；常用的七個基底 $\{2,3,5,8,10,12,16\}$ 合併後，仍有 $9$ 條不可區分，且全部是 $1\leftrightarrow p$ 的特定質數邊。改用 $12$ 個質數基底 $\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37\}$，則 $156$ 條全部可分辨。

對同一圖的全部 $30,342$ 條**有方向、可重複節點的三邊數值行走**，共有 $242,736$ 條帶運算標籤歷史。若保留每一步、每個指定基底的完整歸一化進位指紋，十進位只能辨識出 $75,080$ 個不同指紋類；七基底可辨識 $218,066$ 個；質數基底完整恢復 $242,736$ 個。若改用 $81$ 進位，因 $81>2K$，本圖每條邊的標準加法與乘法都不再進位，全部帶標籤歷史壓成 $30,342$ 個指紋類。這些計數保留數值路徑識別；不能誤稱不同路徑之間的指紋必然彼此不同。

本文進一步提出**跨進位可重用的原始見證**：保存精確整數數值路徑與每一步的操作選擇位元，之後在任意基底重新生成數位字串、進位與逆向核查。跨基底保持的是精確算術來源及其可重算性，而不是某個基底下的進位指紋；尤其不存在僅憑高基底的零進位資料就反求原運算選擇的通用逆映射。

**關鍵詞：** 全域運算關係幾何、進位塔樓、運算歷史等價、完整進位指紋、質數基底、辨識集合、數位卷積、逆向運算證書、資訊損失、條件最小性、跨進位可重現性。

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## 1. 從壓縮定理到辨識問題

### 1.1 第十八篇留下的缺口

第十八篇證明：固定起點 $v_0$ 與有序增量 $d_1,\ldots,d_r$，即可還原中間數值及逐步平移進位。但是在雙作用圖中，每條數值邊本來就允許兩種不同算術事件；即使數值路徑完全相同，原始演算法的標籤也可能不同。

例如十進位：

$$
2+10=12,
\qquad
2\times6=12.
$$

兩者從 $2$ 到 $12$ 的數值位移相同；但前者的標準逐位加法沒有進位，後者的卷積乘法在個位向十位進 $1$。因此可以嘗試透過進位資訊辨認操作種類。然而這種辨認能否在**所有雙作用邊**同時成立，並不顯然。

### 1.2 三個互不相同的問題

本文分別處理：

1. **同一結果是否代表同一歷史？** 否；中間節點和運算符仍可能不同。
2. **同一精確數值路徑的操作選擇，是否可以由進位指紋識別？** 視觀察基底而定，本文給出精確判準。
3. **某個基底下的指紋能否取代跨基底證書？** 一般不行；正確的原始證書應先保存運算來源，再按要求重生指紋。

上述「辨認」均指：**已知完整數值路徑、已知允許的算術語法、已知固定的標準逐位算法，並額外觀察到實際運算的進位向量**。若沒有實際觀察或記錄向量，單靠從兩個端點模擬兩種候選演算法，並不能知道歷史上選用的是哪一種。

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## 2. 不變的算術圖與原始運算事件

### 2.1 雙作用邊

固定整數 $K\ge2$，取：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\}.
$$

令 $G_K=(V_K,E_K)$，其中：

$$
V_K=\{1,\ldots,2K\},
$$

$$
E_K=\{\{x,y\}:1\le x<y,\ y=x+d=xr,\ d,r\in A_K\}.
$$

因 $d=x(r-1)\le K$，得到 $x\le K$ 且 $y=x+d\le2K$。每條無向數值邊具有**兩個合法向上事件**及**兩個合法向下事件**：

$$
x\xrightarrow{+d}y,
\qquad
x\xrightarrow{\times r}y,
$$

$$
y\xrightarrow{-d}x,
\qquad
y\xrightarrow{\div r}x.
$$

這裡的運算標籤是事件身分；其背後的數值端點不能因結果一致而合併為同一條運算歷史。

### 2.2 固定數值路徑

一條長度為 $s$ 的有向數值行走為：

$$
P=(v_0,v_1,\ldots,v_s),
\qquad \{v_{i-1},v_i\}\in E_K.
$$

允許節點及邊重複，例如 $4\to8\to4\to8$。每一步的端點與方向已知，因此該步的兩種合法標籤，可固定用位元 $0$ 表示加法或減法、位元 $1$ 表示乘法或精確除法。

令：

$$
\epsilon=(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_s)\in\{0,1\}^s.
$$

完整的帶標籤歷史是 $H=(P,\epsilon)$。若有固定根生成條件，需另外記錄；本文的主統計只考察已給定數值路徑的**沿邊運算歷史**，不把根生成的多重性再乘進來。

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## 3. 四種等價關係：禁止把不同資訊層合併

令 $\mathcal H_s(K)$ 是全部長度 $s$ 的帶標籤歷史。

### 3.1 結果等價

若兩條歷史具有相同最終數值，就稱其結果等價：

$$
H\sim_{\mathrm{end}}H'
\iff v_s(H)=v_s(H').
$$

這是最粗的觀察；它不保留起點，也不保留中間值。

### 3.2 數值路徑等價

$$
H\sim_{\mathrm{path}}H'
\iff P(H)=P(H').
$$

這要求每一步精確數值及順序全部相同，但不要求運算標籤相同。

### 3.3 完整事件等價

$$
H\sim_{\mathrm{event}}H'
\iff P(H)=P(H')\ \land\ \epsilon(H)=\epsilon(H').
$$

因指定語法下操作選擇及邊端點能唯一決定右操作元，這等價於整條算術事件序列相同。

### 3.4 指定進位觀察等價

對整數基底集合 $Q$，另定義 $\sim_Q$：兩條歷史必須有相同的數值路徑，且在**每一步與每一個 $q\in Q$** 的完整歸一化進位向量都相同。

因此：

$$
\sim_{\mathrm{event}}\ \subseteq\ \sim_Q
\ \subseteq\ \sim_{\mathrm{path}}
\ \subseteq\ \sim_{\mathrm{end}}.
$$

這裡以兩兩關係的包含表示「右方更粗」。固定不同的 $Q$，中間等價關係可能不同；進位基底的選擇**不改變完整事件本身**，卻會改變從事件到指紋的投影是否具有單射性。

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## 4. 標準逐位進位指紋的精確定義

### 4.1 數位多項式

對整數 $q\ge2$，令非負整數 $n$ 的標準基底 $q$ 數位多項式為：

$$
D_q(n;t)=\sum_{i\ge0}n_it^i,
\qquad0\le n_i<q.
$$

第十七篇給出標準加法與卷積乘法進位多項式：

$$
C_q^+(a,b;t)
=\frac{D_q(a;t)+D_q(b;t)-D_q(a+b;t)}{q-t},
$$

$$
C_q^\times(a,b;t)
=\frac{D_q(a;t)D_q(b;t)-D_q(ab;t)}{q-t}.
$$

兩者的係數都是各數位欄送往下一欄的非負整數進位數值，尾端零係數不保存。這是完整逐位向量，**不是只有進位總次數**。

### 4.2 單條雙作用邊的兩種指紋

若 $x<y=x+d=xr$，定義：

$$
F_q^0(x,y;t)=C_q^+(x,d;t),
$$

$$
F_q^1(x,y;t)=C_q^\times(x,r;t).
$$

當由 $y$ 向下走到 $x$ 時， $F_q^0$ 代表**逆向減法的借位檢驗向量**； $F_q^1$ 代表**驗證精確除法 $y/r=x$ 時的逆乘法歸一化向量**。後者不是指定某一套長除法的實際商餘軌跡，故本文稱這兩項為共同的**正向歸一化見證**，並由方向與操作位元恢復真正事件。

對給定數值邊，若 $F_q^0=F_q^1$，則光看此種進位見證，無法辨認其操作選擇；若不同，且已觀察到其中之一，就能辨認位元 $0$ 或 $1$。

### 定理 4.1（單基底不可區分的等價條件）

對任何合法雙作用邊：

$$
F_q^0(x,y;t)=F_q^1(x,y;t)
$$

當且僅當：

$$
D_q(x;t)(D_q(r;t)-1)=D_q(d;t).
$$

**證明。** 兩種進位商的分母都是非零多項式 $q-t$，結果的標準數位多項式都為 $D_q(y;t)$。把兩個分子相減，結果恰為 $D_q(x;t)D_q(r;t)-D_q(x;t)-D_q(d;t)$。因 $\mathbb Z[t]$ 為整域，兩個進位商相等當且僅當這個差為零。整理即得。證畢。

此判準說明：兩種運算在整數評估值 $t=q$ 下相同，**不代表其未歸一化數位多項式一定相同**；是否相同是更細的逐位問題。

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## 5. 核心定理：質數進位辨識基底

### 5.1 引理：取乘法比的質因數必能分辨兩種運算

**引理 5.1。** 令 $x<y=x+d=xr$ 是合法雙作用邊。若質數 $p$ 滿足 $p\mid r$，則：

$$
F_p^0(x,y;t)\ne F_p^1(x,y;t).
$$

**證明。** 寫 $x=p^k u$，其中 $k\ge0$ 且 $p\nmid u$。因 $p\mid r$，所以 $r$ 的第零位為零，且：

$$
d=x(r-1)\equiv -x\pmod{p^{k+1}}.
$$

在基底 $p$ 下， $x$ 、 $d$ 的前 $k$ 個數位均為零，第 $k$ 位則分別為 $u\bmod p$ 與 $-(u\bmod p)\bmod p$。由於兩個第 $k$ 位數字都非零且和為 $p$，因此標準加法在該欄向第 $k+1$ 位進 $1$。

另一方面，卷積乘法 $x\times r$ 在第 $k$ 欄及以下的未歸一化係數全部為零： $x$ 在低於第 $k$ 位處為零， $r$ 的第零位亦為零。因此從低位傳來的進位是零，第 $k$ 欄的乘法送出進位也是零。兩種進位向量在第 $k$ 欄已經不同。證畢。

此證明使用完整逐位進位位置；只比較乘法和加法的**最終數值**無法得到上述區分。

### 5.2 推論：所有不超過 K 的質數足以辨識整張圖

定義：

$$
\mathcal P_K=\{p:p\le K,\ p\text{ 為質數}\}.
$$

任何合法雙作用邊的乘法比 $r$ 都是 $2\le r\le K$ 的整數，因此具有一個質因數 $p\in\mathcal P_K$。由引理 5.1，至少有一個選定的質數基底，使該邊兩種操作的完整進位向量不同。

所以以**每一步、每個質數基底**的完整進位向量形成指紋，就能辨認固定數值路徑上的每一個操作選擇。

### 5.3 引理：每個奇質數基底都不可省略

對奇質數 $p\le K$，考慮合法邊：

$$
1\leftrightarrow p,
\qquad p=1+(p-1)=1\times p.
$$

因 $p\ge3$，有 $p-1\ge2$，滿足本語法。乘法 $1\times p$ 在任何整數基底下都不需要進位；加法 $1+(p-1)$ 發生進位，當且僅當該基底 $q$ 整除 $p$：只有當最低位恰好由 $q-1$ 加上 $1$ 才會進位。

由於 $p$ 是質數而 $q\ge2$ 是整數， $q\mid p$ 只能有 $q=p$。因此若不觀察基底 $p$，這條邊的兩個操作選擇在所有其他整數基底下都具有相同的零進位指紋。**每個奇質數基底都是完整辨識集合的必要元素**。

### 5.4 引理：基底 2 亦不可省略

基底 $2$ 使用合法邊：

$$
2\leftrightarrow4,
\qquad4=2+2=2\times2.
$$

在二進位， $2+2$ 的低於第 $1$ 欄進位為零，而第 $1$ 欄需向上進 $1$ ；卷積乘法 $(10)_2\times(10)_2=(100)_2$ 的未歸一化多項式已是標準型，不需進位。

對任意其他整數基底 $q\ge3$，加法與乘法的兩個輸入均可用單一位數字 $2$ 表示，因此兩者的未歸一化第零欄係數都是 $4$ ；標準輸出也相同，故完整進位向量相同。於是基底 $2$ 同樣不可省略。

### 定理 5.2（唯一極小的完整進位辨識集合）

對任何整數 $K\ge2$，在本文的雙作用圖 $G_K$ 、標準加法與卷積乘法演算法、以完整逐步進位向量辨認操作選擇、候選觀察基底為**任意整數** $q\ge2$ 的條件下，所有合法邊都可分辨的基底集合必須包含 $\mathcal P_K$ ；且 $\mathcal P_K$ 本身已經足夠。

因此 $\mathcal P_K$ 是**唯一的包含極小完整辨識集合**，也是唯一最小基數的完整辨識集合；其基數為不超過 $K$ 的質數個數。

**證明。** 充分性由引理 5.1；每個奇質數的必要性由 5.3 節；質數 $2$ 的必要性由 5.4 節。每一個完整辨識集合都必須包含全部質數基底，而僅這些基底已經足夠，故結論成立。證畢。

**解釋界線。** 這是本篇觀察模型的精確最小性，不意味使用質數進位在計算機硬體上必然最快、儲存位元最少、或任何其他算法都需要同一組基底。若允許直接讀取運算標籤，當然不需要靠任何進位指紋來猜測它。

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## 6. 高基底消隱：指紋不可當成跨進位本體

### 定理 6.1（全部進位消失的基底閾值）

固定 $G_K$。若 $q>2K$，則任何合法邊兩種向上運算的標準加法與卷積乘法都**沒有非零進位**。

**證明。** 每條邊有 $x,r,d\le K$ 、 $y\le2K$，而 $q>2K$。所有輸入與結果都以單一基底 $q$ 數字表示，且原始和與乘積均小於 $q$，故無須進位。證畢。

此界線在「對整張 $G_K$ 的所有運算都保證零進位」的意義下是銳利的：當 $q=2K$ 時，合法邊 $K\leftrightarrow2K$ 的兩種算法都在第零欄產生進位 $1$。

因此若只保存基底 $q>2K$ 的完整進位指紋，**即使每個運算在精確整數上完全合法，仍沒有一個標籤位元能由指紋恢復**。這是不能把表示層資料取代原始運算見證的正式反例。

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## 7. 多步路徑的指紋等價類與精確計數

### 7.1 固定數值路徑的模糊位置數

給定一個合法有向數值路徑 $P=(v_0,\ldots,v_s)$ 及基底集合 $Q$，定義：

$$
A_Q(P)=\#\{i: F_q^0(e_i;t)=F_q^1(e_i;t)\ \text{對每個 }q\in Q\},
$$

其中 $e_i$ 是第 $i$ 步的無向數值邊，方向另外保存。

 $A_Q(P)$ 計數的是：即使已知精確數值路徑及所有這些基底的逐步歸一化進位，**仍完全看不出操作選擇的步驟**。若某一步至少在一個基底的兩種指紋不同，該步便可辨識。

### 定理 7.1（路徑指紋纖維定理）

固定 $P,Q$，長度為 $s$。在完整保存**每個步驟的位置索引**及每個指定基底進位向量的前提下：

$$
\#\{\text{不同進位指紋類}\}=2^{s-A_Q(P)},
$$

且每個指紋類恰包含：

$$
2^{A_Q(P)}
$$

條不同的運算標記歷史。

**證明。** 每一步操作位元有兩種選擇。若該步在所有 $q\in Q$ 都產生相同進位向量，兩種選擇在此觀察下合併成一類；否則形成兩個不同類。因指紋資料保留步驟索引，各步可獨立組合，不會讓不同步驟的進位係數互相混淆。將 $s-A_Q(P)$ 個可辨識步驟及 $A_Q(P)$ 個不可辨識步驟的類數相乘，得到第一式；每類的原始位元選擇數則為第二式。證畢。

### 7.2 同一數值路徑內的碰撞配對數

若只計**固定數值路徑內**，兩條不同標籤歷史進入同一指紋類的無序配對，則：

$$
\operatorname{Coll}_Q(P)
=2^{s-A_Q(P)}\binom{2^{A_Q(P)}}2.
$$

這不是在全部不同數值路徑之間計數的碰撞；跨不同數值路徑的原始識別已經保留下來。因此這個統計能精確說明特定投影丟失多少**操作選擇資訊**，而不會混入第八篇所研究的「不同數值被畫到同一樓層」假合流。

### 7.3 兩個有辨識力的例子

**例一：固定數值軌跡 $4\to8\to16\to4$。** 十進位的三步中只有一步可由進位差辨識，故 $A_{\{10\}}=2$，全部八種操作標籤被壓成 $2$ 個指紋類，各含 $4$ 種操作歷史。二進位可逐步辨識三次操作，因此有 $8$ 個指紋類。

**例二：固定數值軌跡 $1\to7\to1\to7$。** 常用七基底集合 $Q_7=\{2,3,5,8,10,12,16\}$ 完全不能分辨這條路徑上每次的操作選擇，因此八條標籤歷史只形成一個指紋類。但增加基底 $7$ 後，加法與乘法的差異立即可見，所有八條歷史變成可分辨。

![圖 3：三步路徑的進位指紋模糊位置分布](figures/paper19_three_step_ambiguity.png)

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## 8. 完整有限域實驗：156 邊與 30,342 條三步數值行走

### 8.1 不更換先前研究世界

主實驗固定 $K=40$，從整數整除與差值條件**獨立重算** $156$ 條雙作用邊，再與第十四篇 `paper14_edges.csv` 的原始 $x,y,r,d$ 四元組逐筆核對。全部一致。

對 $9$ 個進位基底 $2,3,5,8,10,12,16,81,256$ 的每一條邊，重新計算標準加法與乘法完整進位向量；共 $156\times9=1404$ 筆，逐筆與第十八篇 `paper18_edge_compression.csv` 的同一欄位及操作差異標記核對。全部一致。

另外用兩種方法檢查進位向量：直接執行逐位歸一化算法，以及從數位多項式缺陷反求 $(q-t)$ 的整數係數商。這確保辨識不是由僅比較進位總數造成的假象。

### 8.2 單一基底與七基底的辨識力

| 進位基底 | 可分辨的雙作用邊 | 未分辨邊 |
|---:|---:|---:|
| 2 | 94 | 62 |
| 3 | 61 | 95 |
| 5 | 60 | 96 |
| 8 | 53 | 103 |
| 10 | 55 | 101 |
| 12 | 58 | 98 |
| 16 | 55 | 101 |
| 81 | 0 | 156 |
| 256 | 0 | 156 |

![圖 1：不同基底的單邊操作辨識能力](figures/paper19_single_radix_separation.png)

把常用七基底合併後，未分辨的九條邊恰為：

$$
\{(1,7),(1,11),(1,13),(1,17),(1,19),
(1,23),(1,29),(1,31),(1,37)\}.
$$

這九條邊全都具有奇質數乘法比，而且該質數未包含在七基底中。加入全部 $12$ 個不超過 $40$ 的質數基底後，沒有任何一條雙作用邊仍不可分辨。

### 8.3 三步數值行走及等價類

此處的「三步」是三條有方向的雙作用邊，**允許返回先前節點、允許重複邊**。它不是第十一篇的四原始輸入三步運算語法，兩者不能因名稱相近而互換。

對 $G_{40}$ 得到：

| 有向數值行走長度 | 不帶標籤的行走數 |
|---:|---:|
| 1 | 312 |
| 2 | 3,444 |
| 3 | **30,342** |

每條三邊行走有 $2^3=8$ 條標記歷史，故總量為 $242,736$。將其逐步投影到不同進位指紋後：

| 觀察基底集合 | 指紋類總數 | 同一路徑內不同標籤的碰撞配對總數 |
|---|---:|---:|
| 僅基底 2 | 126,886 | 222,128 |
| 僅基底 10 | 75,080 | 452,128 |
| 常用七基底 | 218,066 | 33,256 |
| 所有不超過 40 的質數基底 | **242,736** | **0** |
| 僅基底 81 | 30,342 | 849,576 |

![圖 2：保留數值路徑時不同進位指紋的類數](figures/paper19_path_class_counts.png)

**計數口徑：** 每個不同的精確數值路徑始終保留獨立識別；即使兩條不同數值路徑偶然具有完全相同的進位向量，也不被本表合併。上述數值是對每條路徑套用定理 7.1、再加總；程式另外真正枚舉每條三步路徑的八種標籤，對每個觀察集合逐項重建全部指紋類，結果一致。

### 8.4 七基底下的三步模糊度分布

| 不可辨識步數 $A_Q(P)$ | 七基底行走數 | 十進位行走數 | 質數基底行走數 |
|---:|---:|---:|---:|
| 0 | 24,728 | 1,990 | 30,342 |
| 1 | 4,588 | 6,300 | 0 |
| 2 | 864 | 11,908 | 0 |
| 3 | 162 | 10,144 | 0 |
| **總計** | **30,342** | **30,342** | **30,342** |

由此可見，常用七基底已能完全辨識大多數三步行走的操作標籤，卻仍有 $162$ 條三步行走的所有三個步驟都無法辨識。質數辨識集合則對每條行走都消除此種模糊。

### 8.5 輸入上限的延伸檢查

| $K$ | 雙作用邊數 | 必要且充分的質數基底數 |
|---:|---:|---:|
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 6 | 2 |
| 8 | 18 | 4 |
| 12 | 33 | 5 |
| 20 | 64 | 8 |
| 40 | 156 | 12 |

上述七種 $K$ 均重新建立合法邊並直接檢查每個必要的質數錨點；一般 $K$ 的充分性與必要性不依賴這些有限實驗，而由第 5 節的整數證明保證。

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## 9. 跨進位可重用的運算證書

### 9.1 正式證書不能只是一串進位結果

若已知雙作用語法 $G_K$，對固定精確數值行走 $P=(v_0,\ldots,v_s)$，只需額外儲存操作選擇位元 $\epsilon\in\{0,1\}^s$，便能唯一恢復每一步的操作種類與右操作元：

- 上升且 $\epsilon_i=0$： $+d$ ；上升且 $\epsilon_i=1$： $\times r$。
- 下降且 $\epsilon_i=0$： $-d$ ；下降且 $\epsilon_i=1$： $\div r$。

其中 $d=|v_i-v_{i-1}|$， $r=\max(v_i,v_{i-1})/\min(v_i,v_{i-1})$，並須檢查精確整除與範圍合法性。用這份證書驗算完成後，可以在任一 $q\ge2$ 下重新生成數位、進位及逆向檢查見證。

**必須保留精確數值識別。** 如果原始資料只存十進位、二進位或其他基底的裸字串而沒有基底標記，可能因重新解碼而改變數值，不能稱為同一批算術事件的跨進位觀察。

### 9.2 定理 9.1（跨進位證書可重用性）

若 $H=(P,\epsilon)$ 在固定 $K$ 的標準整數語義中通過合法性驗證，則對任何整數基底 $q\ge2$，由相同 $H$ 重新生成的逐位加法、乘法及逆向校驗向量，必滿足相應的精確整數與數位缺陷恆等式。

**證明。** $H$ 的每一步合法性只由整數比較、整除、差值與運算元上限決定，並不含任何特定基底的數位字串。任取 $q$，標準位值編碼 $D_q$ 在 $t=q$ 評估後都回到相同整數；進位向量則由固定標準算法逐位生成並通過缺陷多項式的唯一分解式驗算。因此任何基底都能使用同一整數證書重新建立合法事件及其位值實現。證畢。

此處重用的是**證書與驗證語義**，不是直接把基底 $q$ 的進位向量當成基底 $q'$ 的進位向量。尤其因高基底可能使全部向量為零，**不存在由單一高基底進位指紋無損恢復一般運算標籤的函數**。

### 9.3 原始案例： $9\times99$ 的兩條乘法歷史

最初的啟發案例可寫成：

$$
(9\times9)\times11
=9\times(9\times11)=891.
$$

兩條歷史的第一個中間結果分別為 $81$ 與 $99$，因此它們**不是同一數值路徑的標籤差異**，而是不同數值路徑在相同結果處合流。

在十進位，第一條先算 $9\times9=81$，乘法進位多項式為常數 $8$ ；再算 $81\times11=891$ 沒有非零卷積進位。第二條先算 $9\times11=99$，沒有非零卷積進位；再算 $9\times99=891$ 的進位多項式為 $8+8t$。

儘管中間進位不同，兩者仍由第十七篇的乘法加權結合律精確約束：

$$
C_{10}^\times(9,9;t)D_{10}(11;t)
+C_{10}^\times(81,11;t)
$$

$$
=D_{10}(9;t)C_{10}^\times(9,11;t)
+C_{10}^\times(9,99;t).
$$

兩側皆為 $8+8t$。本篇以九種基底逐筆重算此例，結果都符合相同的加權多項式恆等式。

**範圍提醒：** $891>80$，故此例是跨進位證書的獨立展示，**不在 $K=40$ 的雙作用子圖 $G_{40}$ 節點集合中**。不能把它混入前面的 156 邊或 30,342 條三邊行走統計。

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## 10. 證書、驗證器與原始資料結構

### 10.1 機器可讀的最小證書欄位

給定已保存的數值路徑，運算標籤可寫成一個位元字串。例如：

```json
{
  "grammar": "dual_operation_integer_graph",
  "K": 40,
  "values": [4, 8, 16, 4],
  "choice_bits": "010"
}
```

以本文的規則可重建：

$$
4+4=8,\quad8\times2=16,\quad16-12=4.
$$

重新驗算時，必須逐步檢查整數等式、右運算元與合法上下界，然後才在需要的基底下產生進位見證。上述 JSON 的數值及位元選擇，不依賴任何基底特定的裸數字字串。

### 10.2 實作中的四種驗證

1. **精確值驗證：** 每條邊逐步重算 $y=x+d=xr$，逆向則驗證 $x=y-d=y/r$，所有整除必須成立。
2. **完整進位驗證：** 逐位生成標準加法和卷積乘法進位，另由數位多項式缺陷重新檢查每個係數。
3. **最小辨識驗證：** 用不同 $K$ 的質數錨點與實際逐位指紋，核對質數基底的必要性及充分性。
4. **路徑類驗證：** 對全部三邊行走的八個操作標籤組合，在每種觀察集合下真的生成指紋並分類，與定理 7.1 的公式逐路徑比對。

驗證器拒絕錯誤數值、非法操作、與指定 $K$ 不符的右運算元，及被故意竄改的數位進位結果。此處使用固定整數語法，不宣稱對任意外部程式的所有副作用或分支已獲驗證。

### 10.3 資料與程式

- `verify_paper19.py`：完整數值邊、質數分離定理錨點、所有三步路徑、九種進位演算法、前篇逐筆核對及 $9\times99$ 加權結合律驗證。
- `make_figures.py`：由已核准的統計資料產生三組 PNG/SVG 圖表。
- `validate_paper19.py`：正式 UTF-8 Markdown delimiter、CSV/JSON、統計與 SHA-256 檢查。
- `release_paper19.py`：正式發行 manifest 與整合 ZIP 建置。
- `data/paper19_edge_fingerprints.csv`：全部 1,404 筆邊／基底逐位進位指紋。
- `data/paper19_Q7_edge_ambiguities.csv`：每條數值邊於常用七基底的辨識情況、質因數錨點。
- `data/paper19_length3_path_classes.csv`：全部 30,342 條精確三邊行走及其各觀察方案之類數。
- `data/paper19_examples.csv`：含 `4–8–16–4`、`1–7–1–7` 的對照。
- `data/paper19_9x99_associativity.csv`：原始 891 乘法括號路徑的九進位觀察。
- `data/paper19_stats.json`：完整機器可讀統計與已通過檢查項目。
- `reference/`：第十四篇 156 邊與第十八篇 1,404 筆進位結果的未修改副本。
- `figures/`：三組 PNG/SVG 圖表，僅供閱讀；正式結論以精確原始數據與證明為準。
- `SHA256_MANIFEST.json`：所有發行內容檔案的 SHA-256 驗證清單。

### 10.4 離線重新運算

解壓完整套件後，在根目錄執行：

```bash
python verify_paper19.py --output . --reference reference
python make_figures.py
python validate_paper19.py
```

前兩步重新生成資料與圖表；第三步驗證正式文本與資料。研究原稿的唯一正式來源是本 UTF-8 Markdown，不從聊天畫面或渲染圖像回寫公式。

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## 11. 重要反例與理論限制

### 11.1 進位指紋不等於運算標籤

相同的進位指紋可能來自不同操作，例如基底 $81$ 下全部 $G_{40}$ 邊兩種操作的指紋皆為零。即使某個有限觀察集合能辨識一部分事件，也不能據此宣稱它已保留所有演算法執行歷史。

### 11.2 質數基底集合的最小性是有條件的

最小性成立於：固定 $G_K$ 、標準加法／卷積乘法、已知精確數值路徑、觀察每步完整進位向量、候選基底為整數 $q\ge2$。若直接觀察運算符、允許額外的中間暫存資訊，或換成另一種除法演算法與數位系統，最小性條件必須重新證明。

### 11.3 觀察基底數量不等於編碼最省

十二個質數基底足以分辨所有邊，並不意味同時計算或存放十二組進位向量比直接保存一個操作位元更有效。本篇是**辨識集合的組合最小性**，不是硬體算力或傳輸壓縮的實測優勢。

### 11.4 多路徑指紋類數必須先固定數值路徑

如果先抹掉不同數值路徑的原始識別，再只看進位向量，還會出現跨路徑碰撞。本文的定理 7.1 不對這種更粗的壓縮提供單射保證，仍需使用第八篇的精確數值回查與假合流防錯機制。

### 11.5 進位歸一化見證不等於所有實際演算法進位

在逆向除法事件中，本文只保存「商乘除數後應等於原被除數」的卷積歸一化見證，不代表已建構或驗證全部長除法暫存器與商餘傳播。若要研究實際長除算法，必須另指定演算法及操作狀態。

### 11.6 有限整數結果不可直接宣稱一般實數定理

本篇的全部證明與枚舉均以非負整數位值多項式及正整數運算事件為基礎。非終止小數、有理數、負數、浮點近似及無理實數需各自指定表示語義與收斂或誤差界，不能直接宣稱它們也具有相同的有限進位辨識基底。

### 11.7 算術作用與物理因果仍需分離

本篇的「作用」是帶輸入、運算符與結果的算術事件；「反向」是合法算術約束與可重算檢查。此處的歷史等價、進位辨識與路徑簽名不預設任何真實物理力或時間反演定律。

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## 12. 結論：可以觀察到的進位，不是必須保存的全部資訊

第十八篇證明，同一條數值路徑可以壓縮其逐位平移補償，卻不能抹去不同運算標籤。第十九篇進一步將「哪些運算標籤可由進位制觀察辨識」轉換成具有必要條件、充分條件、有限反例及完整計數的數學問題。

首先，在同一條精確雙作用邊上，兩種標準算法的進位向量是否相等，有一條可由數位多項式直接檢驗的充要條件。其次，任一乘法比 $r$ 的質因數，都可作為分辨該邊加法與乘法進位的基底；對整個 $G_K$，所有不超過 $K$ 的質數基底形成唯一極小的完整辨識集合。再次，固定已知數值路徑後，指紋觀察對運算標籤造成的等價類大小可由每一步的可辨識性精確因子化，在 $K=40$ 的全部 $30,342$ 條三步數值行走上得到完整實測。最後，進位指紋的辨識能力始終依賴基底與指定演算法，不能取代精確整數與操作標籤構成的跨進位原始證書。

這些結果回應了最初由 $9\times99$ 所展開的研究視角：**算術結果可以相同、中間路徑可以不同；同一路徑的操作選擇可以不同；而不同進位制有時揭露這些差異，有時反而把差異全部遮蔽。** 要研究可能保持不變的底層資訊，就必須先明白每個觀察映射遺失了哪些細節。

**本篇核心結語：進位制可以讓關係顯形，也能讓關係隱形；真正可跨越觀察視角的，不是某個數位排列，而是能夠重新生成每一種排列之所以不同的運算見證。**

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## 參考文獻及既有概念分界

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）》，2026-11-05。雙作用整數圖及合法運算元語法。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十六篇）》，2026-11-05。標準逐位加法、乘法及逆向借位的固定算法。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十七篇）》，2026-11-05。完整數位多項式、進位缺陷與乘法加權結合律。
4. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十八篇）》，2026-11-05。多步壓縮、條件最小操作標籤位元及進位補償上鏈。
5. James Dolan, *Carrying Is a 2-Cocycle*，1994 年原始討論，2023 年整理版本：https://timothychow.net/mathstuff/jdolan.pdf 。進位及其代數相容結構的既有背景，不把本文使用的進位缺陷觀念宣稱為完全未有前例。
6. Pablo Barenbaum and Eduardo Bonelli, “Reductions in Higher-Order Rewriting and Their Equivalence,” *Computer Science Logic* (CSL 2023), DOI: https://doi.org/10.4230/LIPIcs.CSL.2023.8 。用於區分帶標籤計算歷史與一般項重寫中的更廣泛等價概念；本篇並未聲稱一般重寫合流或程式語義等價。

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**End of Paper XIX (v0.1).**