# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十七篇）

## 完整進位狀態的多項式提升、三角補償恆等式與跨演算法運算見證

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XVII: Polynomial Lifting of Complete Carry States, Triangle Compensation Identities, and Cross-Algorithm Computation Certificates*  
**版本：** v0.1（精確形式化、可證恆等式、有限雙作用圖逐筆驗證）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**構想與問題設定：** Neo.K；形式化、程式與計算驗收：AI 協作  
**直接承接：** 第十四篇的算術雙作用圖、第十五篇的循環濾過、第十六篇的逐位進位與借位資料  
**Canonical source：** UTF-8 Markdown；數學原始碼僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`  
**證據定位：** 所有定理均來自精確整數位值運算及多項式恆等式；枚舉結果僅對明定的有限算術語法成立。不宣稱新數論公理、所有實數的軌跡定理或物理因果定律。

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**作者：** Neo.K；形式化、程式與計算驗收：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

第十六篇證明，對同一條精確算術邊 $y=x+d=xr$，標準加法、乘法及逆向減法各自具有不同的逐位進位／借位資訊；同時發現，將每條邊的加法進位**非零位置數**直接當作一個帶符號權重時，三角循環之和不一定為零。這個負結果並不表示進位具有不可描述的失衡，而是表明此前只保存進位位置的標量統計，尚不足以揭示完整的補償關係。

本文將數值的標準 $q$ 進位數位展開提升至整係數多項式，並將正規化前後的差額定義為**進位缺陷多項式**。對加法 $a+b$ 和乘法 $ab$，其缺陷都可以被 $q-t$ 整除，商恰好等於指定的低位先行算法產生的**完整進位向量多項式**。此提升同時保留精確值、各欄位原始卷積係數、進位的大小與所在位置，因而比「是否進位」或「進位次數」更適合用作運算關係圖的可重建見證。

研究的核心結果是兩個精確恆等式。其一，**加法進位的結合律相容性**：不同括號方式產生的進位多項式滿足逐係數相等的補償公式。其二，**三角進位補償定理**：若 $x<y<z$，由 $x\to y$ 與 $y\to z$ 兩次加法所得進位多項式相加，再減去 $x\to z$ 的直接進位多項式，結果恰等於「兩段數值增量相加」的進位多項式。第十六篇觀察到的非零三角進位權重，因此具有**可從增量運算獨立預測的精確補償項**，而非未知的普遍非守恆量。

對乘法，本文證明一條帶數位多項式權重的結合律恆等式。以原先的 $9\times99=9\times(9\times11)$ 為例，即使 $(9\times9)\times11$ 和 $9\times(9\times11)$ 經過不同中間數值及不同進位向量，兩條路徑的完整乘法缺陷仍滿足精確的加權相容關係。對同一條雙作用邊的加法與乘法，本文另外定義**跨算法進位差**；此差異雖然在通常整數值下評估為零，卻能保留兩種計算過程的不同來源資訊。

在 $K=40$ 的 $156$ 條雙作用邊和 $131$ 個三角，以及 $K=80$ 的 $366$ 條邊和 $415$ 個三角上，逐一檢驗七種基底 $2,3,5,8,10,12,16$，並加入基底 $256$ 的零進位負對照。共得到 $4,176$ 筆邊／基底完整狀態、 $4,368$ 筆三角／基底精確恆等式；另外對 $64,000$ 組非負整數三元輸入檢查加法進位結合律及乘法的加權結合律。原始的七基底資料與第十六篇 $3,654$ 筆邊、 $3,822$ 筆三角逐筆符合。

最重要的分界是：**數值相等是對運算結果的約束；進位缺陷描述的是指定運算程序如何將非標準位值係數化為標準數位。** 兩者可以精確耦合，但不能互相取代。本文得到的是一套可逆向驗算的運算表示協定，而不是把演算法進位直接宣稱為前篇的一維同調不變量。

**關鍵詞：** 全域運算、進位制塔樓、數位多項式、完整進位狀態、加法結合律、乘法卷積、進位缺陷、三角補償、運算軌跡、跨算法對偶、跨進位顯示、可驗證關係圖。

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## 1. 問題：從非零進位計數回到可重建的運算狀態

### 1.1 前篇真正留下的問題

第十六篇不僅取得 $156$ 條整數雙作用邊的逐位加法及乘法紀錄，也發現若只將「非零進位的欄位數」附著到每條邊，環繞三角形的帶符號總和不一定為零。例如在三角 $4\to8\to16\to4$ 中，十進位加法進位計數的帶符號和是 $1$，二進位則為 $0$。

但是這個標量丟棄了至少三種資訊：每個進位發生在哪個欄位、它實際是多少，以及它由何種未歸一化係數與前一欄進位共同產生。因此直接從非零標量和猜測「守恆」或「不守恆」，尚未解答完整運算狀態之間的關係。

### 1.2 本篇要區分的五個物件

1. 精確整數值與帶操作種類的合法事件。
2. 固定基底下的標準位值多項式。
3. 運算尚未進位歸一化之前的係數多項式。
4. 每一欄完整的進位缺陷與向上傳播記錄。
5. 在數值圖、三角路徑與不同算法之間成立的相容恆等式。

圖片只能顯示上述資料，不能替代其數學證書。

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## 2. 沿用的有限算術圖與演算法約定

### 2.1 不改變底層數值圖

固定整數 $K\ge2$ 和原始運算元集合：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\}.
$$

令 $G_K$ 的無向邊為所有 $x<y$，且存在 $r,d\in A_K$ 使：

$$
y=x+d=xr.
$$

其兩種上行算術見證是 $x+d=y$ 、 $xr=y$ ；下行則是 $y-d=x$ 與 $y/r=x$。由 $d=x(r-1)\le K$，所有這些邊都位於 $1\le x<y\le2K$，所以本篇沒有暗中更改第十四至十六篇的關係圖。

在主實驗 $K=40$ 時，有 $80$ 個節點、 $156$ 條邊及 $131$ 個三角；在擴張實驗 $K=80$ 時，有 $160$ 個節點、 $366$ 條邊及 $415$ 個三角。

### 2.2 僅比較明確的標準逐位算法

加法使用低位到高位的標準二元數位加法；乘法使用兩個數位序列的完整卷積，再以低位到高位的進位歸一化；逆向減法使用標準借位算法。精確除法仍作為一條合法逆向算術關係，但本文不假裝所有除法算法都具有唯一且必然等同於乘法進位的內部餘數歷史。

不同進位制的比較始終保持**相同的整數值**，不把同樣的數位字串在另一個基底重新解碼後，仍稱為原先同一個數值事件。

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## 3. 標準數位的多項式提升

### 3.1 定義：數位提升與整數評估

固定基底 $q\ge2$。若非負整數 $n$ 的標準 $q$ 進位數位為 $n_0,n_1,\ldots$，定義：

$$
D_q(n;t)=\sum_{i\ge0}n_it^i\in\mathbb Z[t],
$$

其中只有有限個非零係數，且 $0\le n_i<q$。定義評估映射：

$$
E_q(P)=P(q).
$$

自然有：

$$
E_q(D_q(n;t))=n.
$$

特別注意， $D_q(n;t)$ 是**正式係數多項式**，不是把十進位的數字字串強行當作普通代數變數。只有在 $t=q$ 評估時，它才還原相應的整數值。

例如十進位 $12$ 的多項式為 $D_{10}(12;t)=2+t$ ；二進位則是 $D_2(12;t)=t^2+t^3$。兩者外形不同，但分別在 $t=10$ 與 $t=2$ 評估後都還原到整數 $12$。

### 3.2 加法與乘法的非歸一化係數

對非負整數 $a,b$，定義：

$$
R_q^+(a,b;t)=D_q(a;t)+D_q(b;t),
$$

$$
R_q^\times(a,b;t)=D_q(a;t)D_q(b;t).
$$

這兩個多項式在 $t=q$ 的值分別為 $a+b$ 和 $ab$，但其係數可能大於或等於 $q$，所以不一定是合法的標準數位。**進位算法正是將這些非標準係數正規化的計算過程。**

### 3.3 定義：完整進位缺陷

令：

$$
\alpha_q(a,b;t)
=R_q^+(a,b;t)-D_q(a+b;t),
$$

$$
\mu_q(a,b;t)
=R_q^\times(a,b;t)-D_q(ab;t).
$$

由評估映射的性質：

$$
E_q(\alpha_q(a,b;t))=0,
\qquad
E_q(\mu_q(a,b;t))=0.
$$

因此二者皆在 $\ker E_q$ 中。多項式因式定理給出：

$$
\ker E_q=(q-t)\mathbb Z[t].
$$

此等式表示所有在 $t=q$ 評估為零的整係數多項式，均能寫成 $q-t$ 的整係數倍數。這是已有的多項式代數事實，不構成獨立於既有數學的新公理。

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## 4. 第一個定理：進位向量就是缺陷多項式的商

### 定理 4.1（標準算法的精確缺陷分解）

對標準逐位加法及標準卷積乘法，存在唯一的非負整數係數多項式 $C_q^+(a,b;t)$ 與 $C_q^\times(a,b;t)$，使：

$$
\alpha_q(a,b;t)=(q-t)C_q^+(a,b;t),
$$

$$
\mu_q(a,b;t)=(q-t)C_q^\times(a,b;t).
$$

且這兩個商多項式的第 $i$ 個係數，分別恰是算法在第 $i$ 欄送往第 $i+1$ 欄的進位數值。

**證明。** 令 $s_i$ 表示某個運算的未歸一化第 $i$ 欄係數，加法時 $s_i=a_i+b_i$，乘法時 $s_i=\sum_{j+k=i}a_jb_k$。令 $v_i$ 為標準輸出的第 $i$ 位、 $c_i$ 為進入該欄的進位，初始 $c_0=0$。標準歸一化滿足：

$$
s_i+c_i=v_i+qc_{i+1}.
$$

故：

$$
s_i-v_i=qc_{i+1}-c_i.
$$

將各欄乘上 $t^i$ 並求和，得到：

$$
\sum_i(s_i-v_i)t^i
=(q-t)\sum_i c_{i+1}t^i.
$$

左側正是相應的缺陷多項式。標準算法使所有 $c_{i+1}$ 為非負整數、只有有限個非零；而 $\mathbb Z[t]$ 為整域，因子 $q-t$ 非零，故商唯一。證畢。

### 4.1 精確重建公式

上述定理等價於：

$$
D_q(a+b;t)
=D_q(a;t)+D_q(b;t)-(q-t)C_q^+(a,b;t),
$$

$$
D_q(ab;t)
=D_q(a;t)D_q(b;t)-(q-t)C_q^\times(a,b;t).
$$

因此保存輸入標準數位及完整進位多項式，便可**逐係數重建**標準結果；不必只相信最後的整數答案。反向而言，給定輸入與正確的標準輸出，也能唯一反求這套固定算法的進位多項式。

這不等於能從結果單獨反推出唯一的演算法或唯一的運算元。重建需要保留**操作標籤、輸入與指定算法**。

### 4.2 實作上的獨立驗證

驗證器採兩條不同方法取得進位：

1. 逐位執行標準加法或乘法，直接記錄每欄進位。
2. 先建立完整缺陷多項式，再用整係數遞迴除以 $q-t$，反向恢復所有進位係數。

每個係數都必須完全相同。第十六篇的原始逐位向量另外作第三重比對。

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## 5. 第二個定理：加法進位滿足精確結合律相容式

### 定理 5.1（加法進位多項式的結合律相容性）

對任意非負整數 $a,b,c$ 與整數基底 $q\ge2$：

$$
C_q^+(a,b;t)+C_q^+(a+b,c;t)
=C_q^+(b,c;t)+C_q^+(a,b+c;t).
$$

**證明。** 從第 3 節的缺陷定義出發：

$$
\alpha_q(a,b;t)+\alpha_q(a+b,c;t)
=D_q(a;t)+D_q(b;t)+D_q(c;t)-D_q(a+b+c;t).
$$

改以另一括號順序，同樣得到：

$$
\alpha_q(b,c;t)+\alpha_q(a,b+c;t)
=D_q(a;t)+D_q(b;t)+D_q(c;t)-D_q(a+b+c;t).
$$

因此兩側缺陷多項式完全相同。由定理 4.1 同除以非零的 $q-t$，得到所需進位多項式恆等式。證畢。

**解讀。** 兩種加法括號方式可以經過不同中間值、產生不同的單一步驟進位，但它們的進位多項式總和滿足精確的路徑相容式。這是**帶完整欄位資訊的代數關係**，比只比對最後的 $a+b+c$ 更細。

本文不宣稱這是一個新的不可約同調類別：按定義， $\alpha_q(a,b;t)$ 本身就是數位提升相對於加法的缺陷，因此上述恆等式是其標準的相容性／二上鏈關係。

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## 6. 第三個定理：三角進位循環的補償來源

### 6.1 三角的三條數值增量

固定任意正整數 $x<y<z$，令：

$$
d_1=y-x,\qquad d_2=z-y,\qquad d_3=z-x=d_1+d_2.
$$

考慮兩段連續加法與一段直接加法：

$$
x+d_1=y,\qquad y+d_2=z,\qquad x+d_3=z.
$$

此處三角是否屬於第十四篇的雙作用圖，對以下代數恆等式**並非必要條件**；圖的限制只影響後續統計哪些三角被實際納入實驗。

### 定理 6.1（三角進位補償恆等式）

對每個 $q\ge2$，上述三條邊的完整加法進位多項式滿足：

$$
C_q^+(x,d_1;t)+C_q^+(y,d_2;t)
-C_q^+(x,d_1+d_2;t)
=C_q^+(d_1,d_2;t).
$$

**證明。** 將定理 5.1 中的 $(a,b,c)$ 取為 $(x,d_1,d_2)$，且 $x+d_1=y$，便直接得到此式。證畢。

這個等式右側並不是一個未知的「循環缺口」，而是**兩段增量自己相加時的標準逐位進位**。因此每一欄所出現的非零補償，都可以在不依賴原始路徑排列的情況下，獨立重新計算。

### 6.2 第十六篇標量非閉合現象的精確解釋

加法的每欄進位只可能是 $0$ 或 $1$，所以加法進位多項式在 $t=1$ 的值，恰等於非零進位位置數：

$$
W_q^+(a,b)=C_q^+(a,b;1).
$$

對定理 6.1 在 $t=1$ 評估，立即有：

$$
W_q^+(x,d_1)+W_q^+(y,d_2)
-W_q^+(x,d_1+d_2)
=W_q^+(d_1,d_2).
$$

因此對按大小定向的三角，左側必為**非負整數**，而且它恰好是兩段增量相加時的進位位置數。這是第十六篇「非零三角進位循環和」的精確補償定律。

**重要限制：** 對任意長的閉合路徑、混用加減乘除的運算歷史，或任意非標準算法，不可不經重新推導就將本三角等式當作普適守恆律。

### 6.3 精確例子： $4\to8\to16\to4$

取三角的升序頂點 $x=4,y=8,z=16$。兩段增量為 $d_1=4,d_2=8$。

十進位下： $4+4=8$ 無進位、 $8+8=16$ 有一個非零進位、 $4+12=16$ 無進位；所以帶符號進位計數為 $0+1-0=1$，而增量 $4+8=12$ 亦恰有一個進位。

二進位下： $4+4=8$ 的進位位置位於第 $2$ 欄， $8+8=16$ 的進位位置位於第 $3$ 欄； $4+12=16$ 則在這兩欄皆有進位。故完整向量先相加再相減恰為零，而增量 $4+8=12$ 在二進位亦沒有進位。

**同一精確三角在不同進位制下，可以有不同補償多項式；但每個基底各自的精確三角恆等式都成立。**

![圖 1：三角補償的跨進位對照](figures/paper17_triangle_increment_identity.png)

### 6.4 全域三角的精確驗證

對固定的 $K=40$ 、 $131$ 個三角及 $K=80$ 、 $415$ 個三角，逐個在八個基底下檢查定理 6.1 的全部係數。每筆的 `signed_carry_circulation` 以低位先行的係數序列保存；`equals_increment_carry` 必須為 $1$。

主實驗中，不同基底下具有非零補償的三角數如下：

| 基底 $q$ | $K=40$ 的非零補償三角 | $K=80$ 的非零補償三角 |
|---:|---:|---:|
| 2 | 71 | 239 |
| 3 | 78 | 224 |
| 5 | 78 | 247 |
| 8 | 40 | 171 |
| 10 | 49 | 144 |
| 12 | 37 | 106 |
| 16 | 47 | 133 |
| 256（負對照） | 0 | 0 |

這些計數不是統計擬合；它們是明確有限集合上的完整算術枚舉。進位三角數依基底而變，但每一個三角都滿足相同形式的補償定理。

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## 7. 第四個定理：乘法卷積進位的加權結合律

### 定理 7.1（乘法缺陷的加權相容式）

對任意非負整數 $a,b,c$，有：

$$
\mu_q(a,b;t)D_q(c;t)+\mu_q(ab,c;t)
=D_q(a;t)\mu_q(b,c;t)+\mu_q(a,bc;t).
$$

進一步：

$$
C_q^\times(a,b;t)D_q(c;t)+C_q^\times(ab,c;t)
=D_q(a;t)C_q^\times(b,c;t)+C_q^\times(a,bc;t).
$$

**證明。** 展開第一式左側：

$$
\big(D_q(a)D_q(b)-D_q(ab)\big)D_q(c)
+\big(D_q(ab)D_q(c)-D_q(abc)\big)
=D_q(a)D_q(b)D_q(c)-D_q(abc).
$$

右側同樣展開後得到相同多項式。第二式再以定理 4.1 將每個 $\mu_q$ 換為 $(q-t)C_q^\times$，並消去共同的非零因子，即得。證畢。

與加法的普通進位結合律相比，乘法的公式多出 $D_q(a)$ 或 $D_q(c)$ 的**卷積權重**。因此不能只把「各步乘法進位次數相加」當成結合律的不變總量。

### 7.1 回到最初的 $9\times99$

原來的研究案例也可寫成：

$$
9\times99=9\times(9\times11)=(9\times9)\times11=891.
$$

這裡的一條路徑先得到 $99$，另一條先得到 $81$，最後都到達 $891$。它們的中間數值不同；即使都使用乘法，標準逐位卷積狀態也可能不同。

在十進位： $9\times9=81$ 的乘法進位多項式為 $8$， $81\times11=891$ 無進位；另一方面 $9\times11=99$ 無進位，而 $9\times99=891$ 的完整乘法進位多項式為 $8+8t$。

定理 7.1 恰好給出：

$$
8(1+t)+0=9\cdot0+(8+8t).
$$

因此看似不同的進位路徑，實際受到加權結合律的精確約束。這不等於兩條中間軌跡相同；真正保持的是**指定多項式關係**。

本文另外對七個實驗基底與基底 $256$ 全部重算此案例，保存於 `paper17_9x99_associativity.csv`。

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## 8. 第五個定理：同一條邊的跨算法進位差

### 8.1 定義：加法與乘法的缺陷比較

對 $y=x+d=xr$ 的合法雙作用邊，定義：

$$
\Omega_q(x,y;t)
=\mu_q(x,r;t)-\alpha_q(x,d;t).
$$

展開可得：

$$
\Omega_q(x,y;t)
=D_q(x;t)D_q(r;t)-D_q(x;t)-D_q(d;t).
$$

再由定理 4.1：

$$
\Omega_q(x,y;t)
=(q-t)\big(C_q^\times(x,r;t)-C_q^+(x,d;t)\big).
$$

因為兩條運算的結果同為 $y$，所以 $E_q(\Omega_q)=0$ ；但是這個多項式**未必為零多項式**。非零表示在本篇固定的兩種逐位算法下，正規化前的係數狀態有差異。

### 定理 8.1（跨算法完整進位相等的充要條件）

對合法雙作用邊，有：

$$
C_q^\times(x,r;t)=C_q^+(x,d;t)
$$

當且僅當：

$$
D_q(x;t)D_q(r;t)=D_q(x;t)+D_q(d;t).
$$

**證明。** 由 $\Omega_q=(q-t)(C_q^\times-C_q^+)$，並利用 $\mathbb Z[t]$ 中無零因子， $\Omega_q=0$ 當且僅當進位多項式相同；而 $\Omega_q=0$ 恰等價於右側的正規化前係數多項式相等。證畢。

這比只檢查「兩者進位位置數相同」更強。即使兩種運算各只有一個非零進位位置，進位數值也可能不同。

### 8.2 反例： $3+18=3\times7=21$

在十進位， $3+18=21$ 有一個加法進位，其進位多項式是 $1$ ； $3\times7=21$ 的乘法進位多項式是 $2$。

它們的**非零進位位置數都等於 1**，但是完整進位多項式不相等。此例證明單一的進位計數會丟失算術算法的重要資訊。

![圖 2：進位計數相等不保證完整狀態相等](figures/paper17_equal_counts_not_equal_states.png)

### 8.3 精確個案： $2+10=2\times6=12$

在二進位，加法進位多項式為 $t$，乘法為 $0$ ；在十進位，加法為 $0$，乘法為 $1$ ；在十六進位二者都是 $0$。整數等式在三種基底下都成立。

這個例子清楚說明：**跨算法差異是算法與位值觀察共同決定的表示層資訊，而不是整數 12 的絕對屬性。**

![圖 3：同一數值邊的完整進位狀態](figures/paper17_edge_2_12_full_state.png)

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## 9. 全域實驗：完整進位向量比標量多保存什麼

### 9.1 統計口徑與原始數據核對

全部運算事件均使用任意精度整數，逐筆保存：完整加法進位、完整乘法進位、加法缺陷、乘法缺陷、兩者差額，以及兩種算法是否具有**完全相同的進位向量**。

對第十六篇相同的七種基底，逐筆比較全部 $3,654$ 條邊紀錄的加法與乘法向量以及 $3,822$ 筆三角循環權重。額外加入 $q=256$，只作為一個明確的負對照；它不屬於第十六篇原來的七基底統計。

### 9.2 $K=40$ 的完整進位狀態比較

| 基底 $q$ | 加法、乘法向量相同 | 向量不同 | 計數相同但向量不同 | 非零三角補償 |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 62 | 94 | 3 | 71 |
| 3 | 95 | 61 | 4 | 78 |
| 5 | 96 | 60 | 14 | 78 |
| 8 | 103 | 53 | 19 | 40 |
| 10 | 101 | 55 | 21 | 49 |
| 12 | 98 | 58 | 20 | 37 |
| 16 | 101 | 55 | 17 | 47 |
| 256 | 156 | 0 | 0 | 0 |

所有行皆對同一批 $156$ 條精確算術邊進行比較；差別只在基底與算法的運算狀態。圖示為同一批資料的摘要，不是新的演算法效能測試。

![圖 4：跨進位完整進位向量的同異](figures/paper17_carry_vector_comparison.png)

### 9.3 更大的 $K=80$ 子圖

此時有 $366$ 條雙作用邊。七個原始基底下，完整加法與乘法進位向量不同的邊數依次為：

| $q$ | 2 | 3 | 5 | 8 | 10 | 12 | 16 |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 向量不同的邊數 | 224 | 149 | 149 | 161 | 141 | 143 | 144 |

這些都是**指定 $K$ 的完整資料**；不能從 40 與 80 兩個截面擅自推出一般的增長律、統計機率或數論常數。

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## 10. 反向約束與真正可閉合的修正形式

### 10.1 加法進位不是單獨的數值勢差

對 $x+d=y$，完整加法缺陷滿足：

$$
(q-t)C_q^+(x,d;t)
=D_q(x;t)+D_q(d;t)-D_q(y;t).
$$

因此若僅保留 $C_q^+(x,d;t)$，沿著數值圖循環求帶符號和可能非零；其來源包含每一步增量本身的數位表示，不是單純的端點勢差。

### 定理 10.1（加法邊的校正數位勢差）

對每條上行加法邊，定義：

$$
L_q(x\to y;t)
=D_q(d;t)-(q-t)C_q^+(x,d;t).
$$

則：

$$
L_q(x\to y;t)=D_q(y;t)-D_q(x;t).
$$

若沿相反方向行進，將同一精確邊的 $L_q$ 取負，則對任意有限閉合數值路徑 $v_0\to v_1\to\cdots\to v_s=v_0$，有：

$$
\sum_{i=0}^{s-1}L_q(v_i\to v_{i+1};t)=0.
$$

**證明。** 第一個等式是定理 4.1 的加法重建公式移項。沿閉合路徑把每條邊的表達式累加後，所有內部頂點的數位多項式望遠鏡相消，且終點等於起點，故總和為零。證畢。

**解讀。** 如果同時保存增量數位與完整進位缺陷，就能重建精確的數位勢差；若只保存標量進位權重，通常不能。這是標準位值算術的恆等式，不能因為結果為零就宣稱發現了新的物理守恆定律。

### 10.2 為何乘法不能直接套用相同校正項

乘法的非歸一化來源為 $D_q(x;t)D_q(r;t)$，而不是 $D_q(x;t)+D_q(d;t)$。若要把乘法與加法放入同一個數值圖，就必須保留其不同的原始係數來源，再利用第 8 節的 $\Omega_q$ 轉換比較；不能把乘法進位當作加法進位，僅靠調整箭頭方向便得到守恆。

因此本篇的新資料結構把**端點、運算元、運算種類、原始位值係數、完整進位與標準結果**分開保存，才可在多條路徑相遇時逐層檢驗。

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## 11. 重要負對照：進位差不是通用的數值不變量

### 11.1 單一大基底可以使整個有限子圖的進位消失

對本文的 $G_K$，所有合法雙作用邊滿足 $x,d,r\le K$ 、 $y\le2K$。若選擇任意進位基底 $q>2K$，則上述四個整數均只佔一個合法數位，且 $x+d=y<q$ 、 $xr=y<q$，所以兩種標準算法都沒有非零進位。

因此：

$$
C_q^+(x,d;t)=C_q^\times(x,r;t)=0
$$

對整張圖的全部邊同時成立。

**證明。** 每個輸入與輸出皆小於 $q$，兩種運算的非標準最低欄係數就已等於合法的單位數字 $y$，無需向高位進位。證畢。

在 $K=40$ 與 $K=80$，取 $q=256$ 都滿足 $q>2K$ ；實測全部進位與三角補償歸零，而底層的 $156$ 、 $366$ 條精確算術邊完全不變。

此反例排除了「完整進位差非零是任何進位制都必然可見的絕對關係」之說法。

### 11.2 位值多項式的同形式不等於跨基底同一個物件

 $D_2(n;t)$ 、 $D_{10}(n;t)$ 與 $D_{16}(n;t)$ 所在的整係數多項式環可形式上都寫作 $\mathbb Z[t]$，但它們的數位提升、正規化基底與評估映射不同。將係數序列不加轉換直接互相比較，沒有保證保存同一個運算狀態的意義。

跨進位穩定的是：經各自標準評估後恢復的整數，以及指定運算事件的真假；完整進位向量與缺陷多項式則是各基底下具有不同內容的可驗證資訊。

### 11.3 仍然沒有證明任意實數的完整運算幾何

本文只處理非負整數的有限位值表示，以及正整數算術圖的有界子圖。若要討論分數、無理數、負基底、混合基底、浮點捨入、非標準乘法電路，必須重新明確定義數位域、運算規則與狀態轉換，不可把此處的有限多項式缺陷公式直接宣稱涵蓋全部實數表示。

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## 12. 實驗規格、交叉驗證與發行資料

### 12.1 正式驗證程序

核心腳本為 `verify_paper17.py`，不需要任何第三方 Python 套件。它逐筆執行：

1. 由 $x<y$ 、 $y=x+d=xr$ 的整數條件生成 $K=40$ 與 $K=80$ 的精確邊、三角。
2. 對每條邊與每個進位基底執行低位先行的加法、乘法、逆向減法。
3. 分別利用多項式缺陷除以 $q-t$，獨立重建完整進位向量。
4. 對每個三角逐係數驗證第 6 節的進位補償式，並比較第十六篇記錄的標量三角循環。
5. 對三角的整數因數鏈檢查乘法加權結合律；另對 $0\le a,b,c<20$ 及八種基底，逐三元組獨立驗證加法、乘法相容式。
6. 對每條雙作用邊驗證跨算法差異多項式恆等式、標準數位結果與逆向借位對應。
7. 使用 $q=256$ 驗證有限圖可以全部零進位的負對照。
8. 將七個原始基底的全部 $3,654$ 筆邊與 $3,822$ 筆三角標量紀錄，和第十六篇的未修改原始 CSV 逐筆比較。

本篇總計 $4,176$ 筆邊／基底、 $4,368$ 筆三角／基底，以及 $64,000$ 組三元輸入結合律測試。主程序使用 Python 任意精度整數與整係數多項式，沒有用浮點運算判斷任何一條精確等式。

### 12.2 研究資料檔案

| 檔案 | 內容 |
|---|---|
| `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_17_v0.1.md` | 本文正式 UTF-8 Markdown 原稿 |
| `verify_paper17.py` | 精確數位多項式、逐位進位、恆等式、跨篇驗證 |
| `make_figures.py` | 從已驗證 CSV 產生四組 PNG/SVG 圖 |
| `data/paper17_edge_state.csv` | $4,176$ 筆完整雙算法進位狀態及差異 |
| `data/paper17_triangles.csv` | $4,368$ 筆三角進位補償見證 |
| `data/paper17_radix_profiles.csv` | 各基底完整向量相同／不同與三角補償統計 |
| `data/paper17_examples.csv` | $2\to12$ 、 $4\to16$ 等跨進位個案 |
| `data/paper17_9x99_associativity.csv` | 起始案例的乘法進位加權結合律 |
| `data/paper17_stats.json` | 全部參數、統計與驗證約束 |
| `reference/` | 第十六篇三份原始 CSV 的未修改副本 |
| `figures/` | 四組 PNG/SVG 閱讀輔助圖 |
| `SHA256_MANIFEST.json` | 發行套件內容的 SHA-256 清單 |

### 12.3 離線重算方式

在解壓套件根目錄執行：

```bash
python verify_paper17.py --output . --reference reference
python make_figures.py
python validate_paper17.py
```

`verify_paper17.py` 只使用 Python 標準函式庫；`make_figures.py` 需要 Matplotlib。若只需重算數學證書及 CSV/JSON，可省略繪圖步驟。

在發行前，需驗證正式原稿的 UTF-8 編碼、唯一數學分隔符、全部公式中的數值案例、各 CSV/JSON 與原始參照的一致性，以及獨立 ZIP 解壓後的重新運算和逐檔雜湊。聊天畫面不是 canonical source，正式論文內容以本 Markdown 原始檔為準。

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## 13. 結論：非零進位不是缺乏關係，而是還未保留完整補償資訊

第十六篇讓實際的逐位進位第一次出現在原本只有數值與循環的塔樓圖中，卻也得到一個負結果：進位計數的三角循環和一般不為零。第十七篇現在給出更精確的理解：**在標準位值算法下，非零三角進位和恰能由兩段增量相加的進位完整解釋；修正後的數位勢差則沿任意閉合路徑望遠鏡相消。**

本文的第一個成果是建立 $\mathbb Z[t]$ 中的完整進位缺陷表示，使加法、卷積乘法的逐欄進位不只是一個計數，而能由整係數商多項式完整重建。第二個成果是加法進位的結合律相容性，以及在三角上可直接檢驗的補償公式。第三個成果是乘法的加權結合律，讓最初 $9\times99=9\times(9\times11)$ 的不同運算歷史可以在保留中間狀態後做精確比較。第四個成果是跨算法的缺陷差異與大基底負對照：即使算術等式相同，算法路徑的進位可以不同；但這種差異也不是一個跨所有進位制都非零的絕對量。

這些結果完全使用標準位值算術、多項式恆等式與有限域精確枚舉，因此不能被描述成尚未證明的新數論普適律或演算法效率突破。它們的研究價值在於提供一套更完整、可重建、可反駁的運算事件資料結構，讓前幾篇所見的數值關係、演算法路徑、進位觀察與循環分析之間，開始存在**可以逐項驗算的精確橋樑**。

**本篇核心結語：當一條關係線看似無法守恆，答案不一定是它缺少規律；也可能只是我們把它的中間資訊，過早壓縮成了一個數字。**

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## 參考研究

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）》，2026-11-05；雙作用數值圖、原始循環及九維同調剩餘。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十五篇）》，2026-11-05；語法濾過、舊循環類別填補與跨進位樓層投影。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十六篇）》，2026-11-05；標準逐位加法、減法借位、乘法卷積進位及非閉合循環權重。
4. Donald E. Knuth, *The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms*；標準位值算術及多精度整數算法的經典背景。
5. 整係數多項式環的因式定理、加法結合律和有向數值圖的勢差望遠鏡恆等式，均屬既有代數事實；本篇在明確語法下建立其可重現的運算資料表達。

**End of Paper XVII (v0.1).**