# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十一篇）

## 非保守三步運算的動態中間態、跨深度合流與塔外折返的精確界線

**英文題名：** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XI: Non-Conservative Three-Step Histories, Cross-Depth Confluence, and Exact Bounds on External Intermediate States*  
**版本：** v0.1（精確有限域實驗、形式命題與可重現見證）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想：** Neo.K；形式化、計算實驗及可重現驗證：AI 協作  
**直接承接：** 第七至第十篇；尤其是第十篇八種兩步運算語法與保守前綴的負對照  
**正式原稿：** 原始 UTF-8 Markdown，數學原始碼僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`  
**研究範圍：** 有限正整數、有界輸入、指定算術模板及精確中間狀態；不宣稱涵蓋全體實數、任意演算法或物理因果律。

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**作者：** Neo.K；形式化、計算實驗及可重現驗證：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

前十篇逐步將「 $9\times99$ 不只是一條算式」的觀察轉化為可驗證的運算關係圖譜。第十篇發現：將五種兩步模板擴張為八種，可新增精確交會；但若只在既有兩步歷史前面加入可刪除的運算前綴，即使歷史記錄增加到一千萬條以上，在既定的最後中間值—結果投影下，也不會新增交會位置。第十一篇因此正式研究**非保守的三步語法**：兩個中間數值都由運算動態生成，並容許第二步改變下一次作用的輸入。

本文固定 $S_{1000}=\{1,\ldots,1000\}$ 、原始運算元範圍 $A_{40}=\{2,\ldots,40\}$。第一步可為加法或乘法；第二、第三步可為加法、正值減法、乘法或精確整除，共形成 $2\times4\times4=32$ 種有序三步模板。每條歷史以四個有序輸入、兩個精確中間值與最後結果保存；中間值可以超出 $1000$，但最後結果必須返回觀察域。為與第十篇可比，主要交會仍定位於**倒數第二個數值 $u$ 與結果 $z$**，同時額外保存更早的 $m_1$ 與完整事件歷史，絕不把三步歷史壓縮成一條未知來源的箭頭。

以來源計數動態規劃進行精確枚舉，並以小尺度直接四運算元窮舉交叉驗證，主實驗得到 **25,595,725** 條帶標籤的合法三步歷史、**326,459** 個帶模板的 $(F,u,z)$ 入射、**99,740** 個不同精確 $(u,z)$ 位置，以及 **87,131** 個至少有兩種三步模板共同實現的強合流位置。與前篇八種兩步語法的 **5,433** 個強合流位置比較，原有交會全部保留，新增 **81,698** 個：其中 **47,310** 個甚至是舊語法尚未出現的精確數值位置，另外 **34,388** 個則是舊有單來源位置被提升為跨模板合流。這是語法相對的分類，並不意味著產生了 81,698 個全新數論定理。

文章證明兩項更一般的結果。首先，對本文三步語法，任何跨模板強合流的倒數第二個中間值均滿足 $u\le2K^2$，最後結果滿足 $z\le2K^3$ ；後者是**精確可達、銳利的飽和上限**。其次，當 $K\ge5$ 時，原八模板中每個強合流位置均可在三步語法中找到兩種不同模板的見證，從而確保舊交會集合嵌入新交會集合。以 $K=12,20$ 分別在 $N=2K^3$ 與更大結果上限做數值對照，驗證新增交會已飽和，但完整歷史數仍可能增加。對主實驗 $K=40$，三步強合流的理論飽和門檻為 $128,000$，**本文沒有宣稱已在此大上限完成全域窮舉**。

回到 $891$，八模板兩步語法中有兩個強合流中間位置 $27,33$ ；三步語法中則有 **84** 個。尤其存在兩條不同第一步運算，共同經過 $54$ 與塔外 $1782$，再精確除以 $2$ 返回 $891$。這是可驗證的運算歷史共享，而不是數量級排版製造的假合流。七種進位基底下，同一批 **87,131** 個精確交會保持不變，但其上升、同層、下降簽名改變，清楚分離底層算術關係與進位塔樓觀察層。

本文的貢獻是一套可追溯、可證明上限、可做語法負對照的有限運算關係實驗，而不是宣告所有實數具有唯一圖形軌跡，或把代數依賴直接等同於物理因果。

**關鍵詞：** 進位制塔樓、全域運算、非保守語法擴張、三步計算歷史、運算合流、事件共享、外部中間態、形式飽和、逆向見證、跨進位表示、精確算術。

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## 1. 問題來源與三種擴張的分界

### 1.1 為什麼不能只把兩步歷史寫得更長

第十篇區分三件事：歷史數量增加、同一位置的運算來源增加，以及真正出現新的精確關係位置。保守前綴擴張只改變運算歷史多重度；新增的前綴計算完後，仍可完全刪去，而不改變原本的 $(m,z)$。

本篇採用不同的做法：

$$
(a\mathbin{o_0}b)=m_1,
$$

$$
(m_1\mathbin{o_1}c)=u,
$$

$$
(u\mathbin{o_2}d)=z.
$$

第二步的運算直接改變第三步接受的數值。因此不能一般地將新第一步刪除後仍保持同一 $u$ ；若要重建整個算式，必須保留 $m_1$ 、運算符、運算元及依賴順序。

### 1.2 研究對象不是裸數字，也不是畫面上的線

四個可區分對象是：

- **數值：** 具精確正整數語義的 $m_1,u,z$。
- **事件：** 運算符、有序輸入、精確輸出。
- **歷史：** 三次事件及其先後依賴。
- **觀察：** 選定進位基底後的字串、數量級樓層、置中位置及可見連線。

若兩條歷史有相同 $z$，只能稱結果相遇；若有相同 $(u,z)$，才能稱本文的跨模板強合流；若還共享相同的末段事件，則需要檢查完整的運算符和第三步運算元。兩條視覺上相交的線若無精確數值見證，不構成運算耦合。

### 1.3 「作用—反向約束」不是物理作用反作用

在本文中，作用是數值事件沿有向依賴序列更新；反向約束是由最後結果與運算符，反查可能的前驅輸入及合法歷史。兩者在代數意義上相互限制，但不主張它們等同於時間可逆的物理力學作用。

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## 2. 有界數值域、語法與完整歷史

### 2.1 有界輸入、允許塔外中間值

令：

$$
S_N=\{1,2,\ldots,N\},\qquad A_K=\{2,3,\ldots,K\}.
$$

主實驗固定：

$$
N=1000,\qquad K=40.
$$

四個原始運算元 $a,b,c,d$ 都來自 $A_K$ ；第一與第二中間值 $m_1,u$ 必須是正整數，但**不要求**落在 $S_N$。最後結果 $z$ 為正整數且必須滿足 $1\le z\le N$。減法不接受零與負結果；除法必須精確整除；沒有浮點近似或四捨五入。

因此「觀察範圍」與「代數運算可生成的中間狀態範圍」明確分開。

### 2.2 八種兩步語法作為可比基準

承接第十篇，第一步運算組為：

$$
O_0=\{A,M\},
$$

其中 $A$ 代表加法、 $M$ 代表乘法。第二步運算組為：

$$
O_1=\{A,S,M,D\},
$$

其中 $S$ 是正值減法、 $D$ 是精確整除。原先八種兩步模板為：

$$
G_2=O_0\times O_1.
$$

每條合法兩步歷史以 $(F,a,b,c,m,z)$ 保存，並以第十篇已驗證的 **276,046** 條歷史、**39,821** 個精確位置與 **5,433** 個強合流位置為比較基準。

### 2.3 三步語法及 32 種家族

第三步同樣取：

$$
O_2=\{A,S,M,D\}.
$$

三步模板集合定義為：

$$
G_3=O_0\times O_1\times O_2,
$$

因而：

$$
|G_3|=2\times4\times4=32.
$$

一條完整運算歷史的 canonical 記錄為：

$$
H=(F,a,b,c,d,m_1,u,z),
$$

其中 $F=(o_0,o_1,o_2)$，依序滿足：

$$
m_1=a\mathbin{o_0}b,\quad u=m_1\mathbin{o_1}c,\quad z=u\mathbin{o_2}d.
$$

本篇比較的「強合流位置」始終是最後中間值與結果的二元組 $(u,z)$ ；它保留了向舊兩步模型作比較的共同觀察座標。完整歷史另存 $m_1$，因此同一 $(u,z)$ 可能容納許多不同的內部過程。

### 2.4 強合流與跨深度比較

對固定 $(u,z)$，令三步模板存在集合為：

$$
\mathcal F_3(u,z)=\{F\in G_3:\exists H\text{ 合法且經過 }(u,z)\}.
$$

定義：

$$
B_3(N,K)=\{(u,z):|\mathcal F_3(u,z)|\ge2\}.
$$

類似地，定義八種兩步語法的強合流集合 $B_2(N,K)$。對一個兩步模板記錄與三步模板記錄，在原始資料層使用不同的深度標籤，避免模板字串重名。

主要比較三類：

1. **舊交會保留：** $B_2\cap B_3$。
2. **舊精確位置升格：** 原來已有某個 $(u,z)$ 但只有一種兩步來源，新模型給出至少兩種三步來源。
3. **新精確位置形成交會：** 以前連 $(u,z)$ 這個位置都未出現，新模型卻在此有兩種以上三步來源。

第二、第三類不可合併後直接描述為「全新數值節點」。

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## 3. 不展開千萬行也能精確計數的來源分解

### 3.1 第一步的有序來源數

對第一步運算 $o_0$ 和可能的輸出 $v$，定義：

$$
C_{o_0}(v)=\#\{(a,b)\in A_K^2:a\mathbin{o_0}b=v\}.
$$

它可以由合法整數加法分拆或非平凡整數因數對精確枚舉。保留有序輸入，因此 $(a,b)$ 與 $(b,a)$ 在 $a\ne b$ 時是兩筆不同來源。

### 3.2 前兩步的加權入射

固定第一步結果 $v$ 、第二步結果 $u$ 和前綴運算序列 $p=(o_0,o_1)$，定義：

$$
Q_p(v,u)=C_{o_0}(v)\sum_{c=2}^{K}\mathbf1[v\mathbin{o_1}c=u\text{ 為合法正整數}],
$$

以及：

$$
P_p(u)=\sum_{v\ge1}Q_p(v,u).
$$

 $Q$ 保留更早中間值的可重建來源， $P$ 則只將來源依第二個中間值分組。這不是假設所有路徑相同，而是對每條合法、帶順序的第一與第二步歷史作精確加權。

### 3.3 第三步的運算見證數

對三步模板 $F=(p,o_2)$，固定 $(u,z)$，定義：

$$
h_F(u,z)=P_p(u)\sum_{d=2}^{K}\mathbf1[u\mathbin{o_2}d=z\text{ 為合法正整數}].
$$

由於 $u,z$ 正且固定，對每種指定的末段運算 $o_2$，可行的 $d$ 若存在便唯一：

| 末段運算 | 由 $u,z$ 反推 $d$ | 合法條件 |
|---|---|---|
| 加法 A | $z-u$ | $2\le z-u\le K$ |
| 減法 S | $u-z$ | $2\le u-z\le K$ |
| 乘法 M | $z/u$ | $u\mid z$ 且 $2\le z/u\le K$ |
| 除法 D | $u/z$ | $z\mid u$ 且 $2\le u/z\le K$ |

因此 $h_F(u,z)$ 是三步完整歷史在該模板—位置下的精確數量，而不是對數值進行抽樣估計。

### 3.4 雙重計算與可重現原始資料

本篇程式分別採：

- **直接第一、二步枚舉：** 對每個 $a,b,c$ 和 $(o_0,o_1)$ 真正執行兩步，得到前綴計數及其最小字典序見證。
- **來源分解計數：** 先建立 $C_{o_0}(v)$，再按第二步合法運算元加權生成 $Q_p(v,u)$，與直接前綴枚舉逐鍵比較。
- **末段合成：** 逐 $(p,u)$ 與合法 $d,o_2$ 生成 $h_F(u,z)$，保留每個位置的至少一條完整可重算歷史。
- **小尺度獨立驗證：** 於 $K=12,20$，另以四重運算元直接窮舉全部 32 種模板，和加權入射逐鍵比對。

主實驗不將超過兩千五百萬條完整歷史實體化為 CSV；取而代之是**保真加權入射、完整前兩步來源、帶第三步連結的明確轉移資料及逐位置可重算見證**。這是組合計數的資料壓縮，不是刪除運算約束。

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## 4. 有限域完整統計與真正新增的關係

### 4.1 第十篇八模板與本篇三步模型的比較

對 $N=1000,K=40$，得到：

| 測量項目 | 八種兩步模板 $G_2$ | 32 種三步模板 $G_3$ |
|---|---:|---:|
| 運算模板種類 | 8 | 32 |
| 合法帶標籤歷史 | 276,046 | 25,595,725 |
| 帶模板的中間值—結果入射 | 45,660 | 326,459 |
| 不重複精確 $(u,z)$ 位置 | 39,821 | 99,740 |
| 跨模板強合流位置 | 5,433 | 87,131 |

三步語法的候選輸入—模板組合總數為：

$$
32(K-1)^4=74,030,112.
$$

其中 25,595,725 條符合正整數、精確整除與結果上限要求。這是**指定語法的全量組合計數**，不能外推為全世界或所有數學運算的歷史總數。

### 4.2 新舊位置的精確拆分

本篇實測並逐位置核對：

$$
|B_2\cap B_3|=5433,
$$

$$
|B_3\setminus B_2|=81698.
$$

新增交會可分為：

| 相對於舊八模板語法的分類 | 精確強合流位置 |
|---|---:|
| 原本已是強合流，本篇完整保留 | 5,433 |
| 舊語法有此精確位置，但不足兩種來源，現已升格 | 34,388 |
| 舊語法沒有此精確位置，本篇新增且已形成強合流 | 47,310 |
| **三步強合流總計** | **87,131** |

因此：

$$
5433+34388+47310=87131.
$$

若只比較原始的 5,433 與 87,131，便無法知道新的交會有多少來自**增加來源多重性**，又有多少真正擴張了觀察域內可到達的**精確數值位置**。

### 4.3 強合流和單純多條歷史不同

同一模板內改變 $a,b,c,d$，有可能創造許多合法歷史，卻仍只有一種運算符序列。本文要稱為跨模板強合流，至少要求兩種不同的三步運算符序列同時抵達 $(u,z)$。

在目前完整資料中，三步模型有 99,740 個精確位置，只有 87,131 個符合這個較嚴格條件；剩下 12,609 個位置仍然只有一種三步模板來源。這些位置縱使各自包含多個輸入歷史，仍不會被誤報為跨模板合流。

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## 5. 定理：非保守三步合流的精確飽和門檻

### 5.1 定理 5.1：跨模板強合流的倒數第二中間值上界

**定理 5.1。** 對任意 $K\ge2$，本文的 32 種三步語法若在 $(u,z)$ 形成跨模板強合流，則：

$$
u\le2K^2.
$$

**證明。** 第一步若為加法，則 $m_1\le2K$ ；第二步無論是加、減、乘或精確除，都使正整數 $u\le2K^2$，因為最大情況為 $m_1\times K$。第一步若為乘法，則 $m_1\le K^2$ ；第二步若為加法， $u\le K^2+K\le2K^2$，若為減法或除法則更小。故 $u>2K^2$ 時，前兩步模板只可能是 **MM**：先乘、再乘。

現在固定這樣的 $u>2K^2$ 和最後結果 $z$。只有一種前兩步模板 MM，若想形成兩種三步模板，第三步運算種類必須不同。加法及乘法均使 $z>u$ ；減法及除法均使 $z<u$，因此只需考慮同方向的兩種可能。

若加法與乘法同時產生 $z$，必有 $z=u+d_1=u d_2$，其中 $2\le d_1,d_2\le K$。故 $d_1=u(d_2-1)\ge u>K$，矛盾。

若減法與除法同時產生 $z$，必有 $z=u-d_1=u/d_2$。由 $d_2\ge2$，得 $d_1=u(1-1/d_2)\ge u/2>K$，亦矛盾。

所以 $u>2K^2$ 時至多存在一種三步模板，不可能是跨模板強合流點。證畢。

**解釋。** 三步歷史可以有遠大於 $2K^2$ 的中間值；定理限制的是「至少兩種不同運算模板於此相遇」的中間值，而不是限制所有可執行歷史的中間值。

### 5.2 定理 5.2：跨模板強合流的最後結果上界

**定理 5.2。** 在上述語法中，若 $(u,z)$ 為強合流，則：

$$
z\le2K^3.
$$

**證明。** 由定理 5.1 有 $u\le2K^2$。第三步若為乘法， $z=ud\le2K^3$ ；若為加法， $z=u+d\le2K^2+K\le2K^3$ ；若為減法或精確除法， $z<u\le2K^2\le2K^3$。證畢。

### 5.3 定理 5.3：上界可達，故飽和門檻銳利

**定理 5.3。** 對任意 $K\ge2$，本篇的強合流可達：

$$
u=2K^2,\qquad z=2K^3.
$$

**證明。** 取兩條合法三步歷史：

$$
((K+K)\times K)\times K=2K^3,
$$

$$
((2\times K)\times K)\times K=2K^3.
$$

它們分別屬 **AMM** 和 **MMM**，所有原始運算元都在 $A_K$，共享完全相同的最後中間值 $u=2K^2$ 和結果 $z=2K^3$，而模板不同，故為強合流。證畢。

結合定理 5.2，對固定 $K$，若結果觀察上限滿足：

$$
N\ge2K^3,
$$

再增加 $N$ 不會新增三步強合流位置；若 $N<2K^3$，上述極端強合流仍未納入，因此 $2K^3$ 是**恰好而非僅是鬆上界**的全域飽和門檻。

注意，這個飽和是**跨模板強合流位置集合**的飽和，不是所有合法三步歷史數的飽和。單一模板仍可以生成更大的最終結果，直到其自身的不同上界。

### 5.4 與第十篇的精確對照

第十篇兩步模型的強合流結果上限為 $2K^2$ ；本篇三步模型則為 $2K^3$。以 $K=40$：

$$
2K^2=3200,\qquad2K^3=128000.
$$

所以我們現在的 $N=1000$ 是**完整涵蓋該結果範圍內所有合法歷史**，卻不是在固定 $K=40$ 下窮盡所有可能強合流結果。這種界線區分避免把「1–1000 的全量枚舉」誤說成「語法的最終飽和」。

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## 6. 定理：舊兩步強合流為何全部保留

### 6.1 定理 6.1：舊強合流嵌入三步強合流

**定理 6.1。** 對 $K\ge5$ 及任意結果上限 $N$，本文與第十篇的固定語法滿足：

$$
B_2(N,K)\subseteq B_3(N,K).
$$

**證明。** 第十篇已由兩步語法的來源與逆向條件證明：任一兩步強合流位置的中間值 $u$ 必在 $4\le u\le2K$。我們只需證明：對每個此範圍的 $u$，本文的兩步前綴階段至少能以兩種不同的運算符序列生成它。然後從舊位置任取一條合法末段事件 $u\mathbin{o}d=z$，接在兩個前綴後方，便產生兩種不同的三步模板，在同一 $(u,z)$ 形成強合流。

若 $u=4$，可選 $(2+4)-2=4$ （AS）及 $(2\times3)-2=4$ （MS）。若 $u=5$，可選 $(2+5)-2=5$ （AS）及 $(2\times4)-3=5$ （MS）。以上輸入都不超過 $K$，因 $K\ge5$。

若 $6\le u\le2K$，一方面 $u$ 可表示為三個介於 $2$ 至 $K$ 的整數之和，故存在 **AA** 前綴。另一方面，若 $u\le K+4$，可表示為 $(2\times2)+(u-4)=u$，其中 $2\le u-4\le K$ ；若 $K+5\le u\le2K$，取 $b=\lfloor(u-2)/2\rfloor$ 、 $d=u-2b\in\{2,3\}$，有 $(2\times b)+d=u$，而 $b,d\in A_K$。因此又存在不同於 AA 的 **MA** 前綴。

將兩種前綴與原本合法的最後一步接合，即得到不同三步模板而共享精確 $(u,z)$，故包含關係成立。證畢。

**重要區分：** 這是精確強合流位置的嵌入定理；沒有主張每條舊兩步歷史在新語法內都具有逐事件完全相同的保守嵌入，也沒有假設兩種歷史使用相同的原始輸入四元組。

### 6.2 有限實驗中的集合檢查

在 $N=1000,K=40$：

$$
B_2\setminus B_3=\varnothing,
$$

而：

$$
|B_3\setminus B_2|=81698.
$$

驗證程式逐個精確 $(u,z)$ 比對，而非僅檢查兩個集合的大小。 $K=12,20$ 的輔助實驗也符合這項集合包含關係。

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## 7. 891：從兩個交會位置擴展到塔外共同歷史

### 7.1 過去兩步語法的觀察

在原八模板的主實驗中， $z=891$ 有兩個強合流中間值：

$$
u=27,\quad u=33.
$$

其原因之一是 $27$ 和 $33$ 都能由不同的第一步運算生成，再以指定乘數到達 $891$。但這還無法完整容納從 $9\times99$ 延伸出的複合運算歷史。

### 7.2 新增的內部共同位置 $u=99$

三步模型中，以下兩條皆合法：

$$
((2+9)\times9)\times9=891,
$$

$$
((9\times22)\div2)\times9=891.
$$

第一條經過 $m_1=11$ 、 $u=99$ ；第二條經過 $m_1=198$ 、 $u=99$。兩者有不同的前兩步運算，最後都共享 $99\times9=891$。這是精確、可核驗的**同中間值再合流**。

 $(99,891)$ 在舊八模板中已可由單一乘法模板生成，例如 $(9\times11)\times9=891$，但不足以構成原本的跨模板強合流。因此這個案例屬於**既有數值位置的來源升格**，不能叫作全新數值位置。

### 7.3 真正新增的塔外精確位置 $u=1782$

再取兩條三步歷史：

$$
((14+40)\times33)\div2=891,
$$

$$
((2\times27)\times33)\div2=891.
$$

兩條歷史第一步雖然一個是加法、一個是乘法，但都得到 $m_1=54$ ；第二步共享：

$$
54\times33=1782;
$$

第三步共享：

$$
1782\div2=891.
$$

因此同一精確位置 $(1782,891)$ 至少由三步模板 **AMD** 和 **MMD** 共同實現，且最後中間值位於 $1$ – $1000$ 塔樓外部。這不是任意的虛線：整個因果式計算依賴序列有完整運算元和精確整數見證。

更重要的是，舊兩步模型的第一中間值若為加法，最多 $80$ ；若為乘法，最多 $1600$。所以 $1782$ **不可能作為原八模板中的第一中間值**。 $(1782,891)$ 不只是新增運算來源，而是新增了舊兩步語法完全無法到達的精確 $(u,z)$ 位置。

![891 的塔外共同歷史](figures/paper11_891_external_return_witness.png)

### 7.4 891 的全部局部強合流並不只有這兩個例子

實際窮舉結果為：

| 同一結果 $z=891$ 的觀察項目 | 精確數量 |
|---|---:|
| 舊兩步強合流中間值 | 2 |
| 三步強合流中間值 | 84 |
| 相對舊強合流新增位置 | 82 |
| 三步帶模板的 $(F,u,891)$ 入射 | 292 |
| 三步強合流且 $u>1000$ 的位置 | 1（ $u=1782$ ） |

資料檔 `paper11_891_incidence.csv` 提供全部 292 筆模板—位置見證與來源多重度，不只放本文挑選的漂亮例子。

![891 全部強合流中間值](figures/paper11_891_intermediate_fan.png)

### 7.5 避免把 $K=40$ 的語法限制誤認為一般算術限制

在原始 $9\times99$ 敘述中， $99$ 是合法的十進位整數；但在本文 $K=40$ 的固定模板內， $99$ **不能當作原始輸入運算元**。它可以作為計算得到的中間值，這正是保存過程而非只看原始四個輸入的必要性。

因此 891 的這 84 個交會位置是**相對於本篇輸入範圍與三步語法的精確結果**，不是 891 在所有可能代數表達式中的交會總量。

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## 8. 塔外歷史：為何「有虛線」和「有強合流」仍然不同

### 8.1 塔外事件的完整有限計數

在 $N=1000,K=40$ 的三步合法歷史中，計得：

| 外部狀態條件 | 帶標記的完整歷史數 |
|---|---:|
| 第一中間值 $m_1>1000$ | 207,598 |
| 最後中間值 $u>1000$ | 663,137 |
| 任一中間值超過 $1000$ | 796,289 |

兩者的合併不是簡單相加，因有些歷史的兩個中間值都超界；本篇的計數由完整前綴來源權重以及合法第三步組合直接產生。

雖然有 663,137 條歷史在第三步之前位於塔外，真正位於塔外、又擁有至少兩種三步模板共同到達的**精確 $(u,z)$ 強合流位置**，只有 **4,555** 個。這再次顯示「有外部過程」與「具有跨模板共同來源」是不同性質。

### 8.2 有限塔樓的內外不是數值世界的內外

 $u=1782$ 不在我們畫的 1–1000 個格子內，卻仍是確定的正整數；沒有任何數學理由把它視為不存在。虛線應表示「沒有在主顯示網格分配固定格子」，而不表示數值未知。

若未來將實數或連續座標納入，必須重新指定可尋址節點、誤差模型及觀察解析度；有限整數域的表格不能直接宣稱覆蓋全體實數。

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## 9. 七種進位觀察：精確關係不變，樓層相位改變

### 9.1 同一數值的無損表示

對正整數 $n$ 和整數基底 $q\ge2$，令 $R_q(n)$ 是標準位值編碼，令：

$$
\ell_q(n)=\lfloor\log_q n\rfloor.
$$

實際程式使用連續整除決定數量級樓層，不利用浮點對數判斷精確整數冪邊界。

如果先固定每條歷史的真實整數值，再改變 $R_q$，所有精確 $(u,z)$ 、模板來源、共同運算事件均不改變；只有數字顯示、樓層分組與相對位置可能改變。這裡不將「在其他基底仍寫相同數字字串」視為同一個整數。

### 9.2 對同一批三步強合流位置作跨基底投影

對所有 $87,131$ 個精確強合流位置，以：

$$
\Delta_q(u,z)=\ell_q(z)-\ell_q(u)
$$

分成上升、同層與下降三類。得到：

| 基底 $q$ | 上升 | 同層 | 下降 | 合計 |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 7,427 | 68,388 | 11,316 | 87,131 |
| 3 | 6,268 | 71,000 | 9,863 | 87,131 |
| 5 | 5,156 | 73,448 | 8,527 | 87,131 |
| 8 | 4,559 | 74,873 | 7,699 | 87,131 |
| 10 | 3,197 | 76,223 | 7,711 | 87,131 |
| 12 | 3,442 | 77,696 | 5,993 | 87,131 |
| 16 | 3,750 | 77,250 | 6,131 | 87,131 |

![同一強合流集合的七種進位投影](figures/paper11_cross_radix_signatures.png)

這些是**數量級樓層轉移**，並非完整逐位加法、乘法的 carry / borrow stream。若要研究每個算術運算的數位進位，需另外保存逐位卷積、進位鏈及借位鏈，不能僅由 $\Delta_q$ 推斷。

### 9.3 對塔外折返 $1782\to891$ 的具體觀察

同一個精確整數對在不同基底下：

| 基底 $q$ | $\ell_q(1782)$ | $\ell_q(891)$ | 相對觀察 |
|---:|---:|---:|---|
| 2 | 10 | 9 | 下降一層 |
| 3 | 6 | 6 | 同層 |
| 5 | 4 | 4 | 同層 |
| 8 | 3 | 3 | 同層 |
| 10 | 3 | 2 | 下降一層 |
| 12 | 3 | 2 | 下降一層 |
| 16 | 2 | 2 | 同層 |

請注意，**「超過觀察上限 1000」** 在全部基底中都是真的；但**「是否跨越該基底的數量級樓層」** 則不一定相同。兩種邊界必須分別儲存，不可在觀察器中合併成一個標記。

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## 10. 參數敏感度與飽和的數值對照

除主實驗外，使用完全相同的運算語法，改變 $K$ 和 $N$，得到：

| $K$ | $N$ | 舊兩步強合流 | 新三步強合流 | 狀態 |
|---:|---:|---:|---:|---|
| 12 | 1,000 | 445 | 5,438 | 未到 $2K^3=3456$ |
| 12 | 3,456 | 445 | 5,824 | 剛好飽和 |
| 12 | 4,000 | 445 | 5,824 | 仍然飽和 |
| 20 | 1,000 | 1,469 | 21,485 | 未到 $2K^3=16000$ |
| 20 | 16,000 | 1,469 | 27,897 | 剛好飽和 |
| 20 | 17,000 | 1,469 | 27,897 | 仍然飽和 |
| 40 | 1,000 | 5,433 | 87,131 | 未到 $2K^3=128000$ |

這裡 K=12、20 的大上限是已執行的有限枚舉；K=40 的 128,000 則是上節**定理給出的門檻**，不是本輪已經完整跑出的計算數據。對 K=12、20，飽和後合法歷史數仍可能上升，進一步確認「數值位置已飽和」與「原始運算歷史已飽和」不是同一個命題。

原始資料見 `paper11_sensitivity.csv`。

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## 11. 資料圖式、驗證、反例與再現程序

### 11.1 全域關係塔樓的最小資料介面

一個可靠的觀察器至少應能用精確數值索引：

1. 單一數值節點 $n$ ；
2. 其原始位值及不同進位制字串 $R_q(n)$ ；
3. 在某一固定語法下全部入射模板與每個模板的來源數；
4. 至少一條完整可重算的 $a,b,c,d,m_1,u,z$ 見證；
5. 當 $m_1$ 或 $u$ 越出 $1$ – $1000$ 時，仍可查找的精確外部節點；
6. 只按數量級分層的觀察圖與以固定結果 $z$ 置中的精確關係圖。

視覺化屬於投影，不可取代精確的來源資料。即使兩條線在置中模式下相交，也應先調閱運算事件，才能判定是否真正共享中間值或共享最後事件。

### 11.2 原稿與程式清單

- `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_11_v0.1.md`：正式 UTF-8 原稿。
- `verify_paper11.py`：三步來源加權、前綴雙路徑驗證、數值反推、強合流計數與七進位投影。
- `validate_paper11.py`：資料一致性、運算見證、公式分隔符與提交前驗證。
- `make_figures.py`：從已驗證 CSV/JSON 產生 PNG/SVG，不依賴人工手動畫線推算關係。
- `paper11_prefixes.csv`：前兩步精確來源、完整 $m_1,u$ 組合及最小見證。
- `paper11_first_to_last_trace.csv`：完整的前綴 $m_1,u$ 與末段 $u,z$ 轉移資料、整數來源權重。
- `paper11_three_step_incidence.csv`：每種三步模板在 $(u,z)$ 的來源多重度與一條合法完整歷史。
- `paper11_three_step_strong_sites.csv`：全部 87,131 個三步強合流位置、模板集合與舊語法對照標記。
- `paper11_strong_witnesses.csv`：每個強合流位置兩條不同三步模板的可驗證正向見證。
- `paper11_two_step_strong_sites.csv`：第十篇八模板的精確強合流基準位置。
- `paper11_891_incidence.csv`：891 個案完整的模板—位置來源資料。
- `paper11_radix_profiles.csv`：七種基底下的數量級升降資料。
- `paper11_sensitivity.csv`：兩種較小輸入範圍下的飽和對照。
- `paper11_stats.json`：所有計數的機器可讀摘要。
- `figures/`：四張 PNG 及同內容 SVG 圖表。
- `SHA256_MANIFEST.json`：發行檔案的內容雜湊。

### 11.3 再現方式

使用 Python 3 標準函式庫：

```bash
python verify_paper11.py --K 40 --N 1000 --output .
python verify_paper11.py --K 12 --N 1000 --direct --short
python verify_paper11.py --K 20 --N 1000 --direct --short
python validate_paper11.py
```

`--direct` 會執行獨立的四運算元逐項窮舉，故建議先在小 $K$ 使用；主實驗則以完全可證明的來源計數進行加權枚舉，並保留可查驗見證。若需重新生成圖像：

```bash
python make_figures.py
```

任何對照數量都不應僅憑 PDF、PNG 或聊天視窗中的顯示推斷，而應以資料檔及程式計算結果為準。

### 11.4 三種必要的負對照

**負對照 A：** 兩條歷史只有共同結果、但 $u$ 不同，不構成同一強合流位置。比如同時得到 891，但一條經過 99，另一條經過 1782；不能把它們的交會計為 $(99,891)$ 或 $(1782,891)$ 的共同來源。

**負對照 B：** 同一種三步模板改變運算元，即使得到同樣 $(u,z)$，仍然只有一種模板標記；不能用輸入歷史多重度代替跨模板來源種類。

**負對照 C：** 只要改變基底、沒有改變精確整數與語法， $B_3$ 的元素數量必然相同；若圖形格子相交數改變，首先要排除純投影碰撞，而不是宣布底層算術關係改變。

### 11.5 尚未得到證明的推廣

- **不是全部實數：** 有界正整數輸入與可計數歷史不能直接推出任意實數的可視化軌跡定理。
- **不是任意演算法：** 三步、32 種固定運算符序列遠小於所有程式、遞迴、條件分支、微積分與符號變換。
- **不是一般的 Church–Rosser 合流：** 本文的「強合流」是固定深度、固定數值位置的操作性定義，不自動推出任意項重寫系統的合流性或終止性。
- **不是資訊守恆的新定律：** 進位變化下精確整數值與事件合法性不變，直接來自數值表示的無損編碼；不能將有限域觀察結論直接當成新的物理資訊守恆律。
- **不是計算成本結論：** 來源加權能有效壓縮此次枚舉，不代表任意演算法均可同樣高效計數或呈現。

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## 12. 結論：真正的新關係，不是多了一層塔，而是多了一段可驗證的作用歷史

第十篇指出，保守式三步前綴可以讓合法運算歷史數暴增，卻不改變原先的數值合流投影。第十一篇換用非保守的三步演化：第一步產生 $m_1$，第二步改變真正輸入第三步的中間值 $u$，最後再由 $u$ 到達結果 $z$。因此新增的不只是運算歷史的寫法，還包含舊語法無法到達的精確 $(u,z)$ 位置。

在 $N=1000,K=40$ 的明確觀察範圍中，三步模型有 25,595,725 條合法帶標籤歷史、99,740 個精確中間值—結果位置、87,131 個跨模板強合流。其中原八模板的 5,433 個強合流全部保留；另外 34,388 個舊位置升格、47,310 個新精確位置形成交會。 $891$ 從原先的兩個強合流中間值擴展到 84 個，並出現以 $1782$ 為塔外節點的合法共同折返。

這些現象不是從圖上線條的美觀程度判定，而是由每個數值的精確整數語義、三步運算符與反向來源約束共同確認。更進一步，本文證明強合流在本語法中的中間值上限為 $2K^2$，結果飽和門檻銳利地達到 $2K^3$。因而我們不只知道某些關係存在，也知道指定語法的關係搜尋應在何處完成。

七種基底下，這些精確運算關係沒有改變；變化的是樓層觀察的相位。這正回應最初構想中必須分開的三個層次：**底層數值、作用歷史、進位觀察。**

**本篇的結語：當同一個結果不再只有一條可見的算式，真正需要保存的就不只是答案，而是每一次作用如何改變關係世界的可重建軌跡。**

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## 系列參考與術語脈絡

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第七篇）》，2026-11-04。有限二步歷史、跨模板強合流與共享中間數值的第一個完備基準。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第八篇）》，2026-11-05。投影假合流、結果置中與精確資訊恢復。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第九篇）》，2026-11-05。事件級耦合、正向見證與有限語法飽和。
4. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十篇）》，2026-11-05。八種兩步語法擴張與保守式三步前綴負對照。
5. Baader, F. and Nipkow, T. *Term Rewriting and All That*, Cambridge University Press, 1998。僅作為一般項重寫理論與本文有限數值交會定義之間的術語邊界。
6. Shpilka, A. and Yehudayoff, A. “Arithmetic Circuits: A Survey of Recent Results and Open Questions,” 2010。僅作為算術電路與有向運算圖的既有理論背景；本文不以發明有向計算圖為主張。

**End of Paper XI (v0.1).**