# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第六篇）

## 跨運算補償對偶、整數因數篩選與進位雙向越層的有限域驗證

**英文題名：** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry VI: Cross-Operator Compensated Duality, Divisor-Filtered Symmetry, and Bidirectional Radix-Level Crossing in a Finite Domain*  
**版本：** v0.1（形式化、精確定理、完整有限域枚舉）  
**日期：** 2026-11-04  
**研究脈絡：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**先行研究：** 第一至第五篇，尤以第二篇的有序事件定義、第四篇的塔外折返、第五篇的乘法置中為直接基礎  
**對應程式：** `verify_paper06.py`、`make_figures.py`  
**形式性質：** 既有算術定律上的新觀察規格、初等可證命題及有界枚舉；**不宣稱已發現獨立於既有代數的新普適定理**  
**Canonical source：** UTF-8 Markdown；數學原始碼僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`  

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**作者：** Neo.K  
**公司：** 一言諾科技有限公司  

## 摘要

前五篇分別形式化進位制塔樓、有限域算術事件、乘法重新括號時的數量級進位重分配、塔外折返的補數對偶，以及固定乘積因數對的對數置中。本文向研究構想中更基本的一步推進：不再只以單一乘法的兩個因數為觀察對象，而是在**同一個結果節點**周圍，同時記錄乘法、加法、減法、因數約束與正反向歷史，觀察多種運算所形成的可重建關係結構。

我們限制在正整數集合 $S_{1000}=\{1,\ldots,1000\}$，選擇一個最小而可完整窮舉的跨運算語法。對每個 $a,b\ge2$ 且 $ab=z\le1000$，保留原始乘法與兩條補償路徑：

$$
\begin{aligned}
P_0(a,b)&: \quad a\times b=z,\\
P_-(a,b)&: \quad a\times(b-1)=z-a,\quad (z-a)+a=z,\\
P_+(a,b)&: \quad a\times(b+1)=z+a,\quad (z+a)-a=z.
\end{aligned}
$$

正向改變第二乘數，對最終結果作相反方向的加減補償，使兩條路徑精確回到 $z$。兩個中間乘積 $z-a$ 與 $z+a$ 以 $z$ 為真實數值中心形成鏡射；若把 $a,b$ 交換，則可能以另一個距離 $b$ 生成第二組對偶軌跡。這是一種**代數補償對偶**，而不是物理作用力或時間因果律。

在上述固定語法中，1 至 1000 共存在 **5,070** 條帶方向的非平凡乘法事件，每條衍生兩條補償路徑，合計 **10,140** 條帶標籤的跨運算歷史。若放寬為任意整數鏡射距離 $2\le d\le\lfloor z/2\rfloor$，整個觀察域共有 **249,001** 個候選中心—距離組合；其中只有 **5,070** 個能用非平凡整數因數條件實現，其他 **243,931** 個只是幾何上可畫出的對稱而非本語法的乘法補償路徑。這個對照排除了「看見置中對稱即發現特殊算術耦合」的錯誤推論。

進一步證明：在 $N=1000$ 、最小乘數皆至少為 2 的條件下，恰有 **499** 條正向補償路徑的中間乘積越出觀察域，且最大中間乘積為 **1500**。對任意整數進位基底 $q\ge2$，每條路徑在數量級塔樓中向下或向上最多越過一層；**同時跨越下方與上方兩個樓層邊界的情況，只能在二進位出現**。七個基底 $2,3,5,8,10,12,16$ 的完整計數確認了這個定理及其跨進位觀察差異。

本文確立的研究界線是：鏡射、分配律與因數篩選均有已知算術依據；真正可用於後續比較的資料對象，是包含**事件類型、運算方向、中間狀態、逆向約束、觀察基底及塔外節點**的完整軌跡，而不是一張單純排列整數的圖。

**關鍵詞：** 全域運算關係、進位塔樓、代數補償、作用—反向約束、同結果纖維、因數篩選、數量級越層、內外部狀態、運算歷史、有限域窮舉。

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## 1. 研究問題：從結果相等走向歷史耦合

### 1.1 為什麼不再只研究 $9\times99$

最初的關係族：

$$
n\times99=9\times(11n)
$$

已由 $99=9\times11$ 解釋。但若只保存這個等式，我們仍然無法區分：

1. 哪一個數值先被作用；
2. 被作用後的中間狀態位於哪一個樓層；
3. 哪一個補償操作讓終點重新回到共同結果；
4. 何種條件使一個畫面上的鏡射真正對應合法整數乘法；
5. 改變進位制後，哪些越層事件被改變，哪些整數關係保持不變。

因此本篇的基本單位不再只是等式或數值點，而是**帶來源與時間順序的有限運算歷史**。

### 1.2 不把「可以建構」誤當「具有判別力」

對任意正整數 $z$ 和正整數 $d<z$，永遠可以寫出：

$$
(z-d)+d=z=(z+d)-d.
$$

這種加減補償鏡射沒有稀有性，不能單獨作為新數學構造的證據。

本文加入真正的因數耦合條件： $d$ 不只是任意距離，而必須同時扮演乘法作用元；亦即 $d=a$ 、 $z=ab$，且 $a,b\ge2$。因此只有特定鏡射才能接入同一條乘法事件。

### 1.3 「作用—反作用」的嚴格口徑

此處的作用指一個有明確輸入與輸出的算術操作；反向補償指另一個操作抵銷作用元造成的數值位移。二者具有關係約束，但這不表示任一算術演算法本身是物理因果機制。

尤其必須區分：

- **數值關係可逆**：知道 $z$ 與 $a$ 時，可重建 $b=z/a$，但仍須檢查整除。
- **歷史可辨識**：相同結果可能具有不同中間狀態、運算符與步數。
- **時間因果**：需要另外指定可執行的狀態轉移系統，不能由一條等式直接推出。

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## 2. 有限域、運算事件與完整歷史

### 2.1 觀察域

固定整數上限：

$$
N=1000,\qquad S_N=\{1,2,\ldots,N\}.
$$

將 $S_N$ 中每個數值視為可尋址的塔樓格子；允許有限歷史中的中間狀態 $m$ 超出 $S_N$，但最終結果必須回到 $S_N$。超界節點具有明確整數值，不是未知或任意佔位符。

### 2.2 有序非平凡乘法事件

定義：

$$
M_N=\{(a,b,z)\in\mathbb Z_{\ge2}^2\times S_N:ab=z\}.
$$

 $(a,b,z)$ 與 $(b,a,z)$ 作為**有序事件**分別保留，因為後續補償的距離取自第一乘數。它們的結果相同，不表示其中間歷史相同。

### 2.3 固定可執行語法

對 $e=(a,b,z)\in M_N$，定義三種歷史：

$$
\begin{aligned}
P_0(e)&=(a,b;\times;z),\\
P_-(e)&=(b\mapsto b-1;\quad a(b-1)=m_-;\quad m_-+a=z),\\
P_+(e)&=(b\mapsto b+1;\quad a(b+1)=m_+;\quad m_+-a=z).
\end{aligned}
$$

這裡預先計算 $b\pm1$ 也是歷史的一部分。若以逐指令步數衡量，兩條補償路徑不能視作與單步 $P_0$ 具有相同運行成本。

計算得到：

$$
m_-=z-a,\qquad m_+=z+a.
$$

由 $a,b\ge2$，有 $m_-\ge1$ ； $m_+$ 可能大於 $N$。本篇研究的都是**有限、正整數、最多數個基本操作**的歷史，不涉及任意長度或全體實數的窮舉。

### 2.4 事件資料與投影不可混同

至少保留四個不同物件：

$$
\mathcal H=(\text{運算語法},\text{輸入角色},\text{中間序列},\text{結果}),
$$

$$
\operatorname{val}(\mathcal H)=z,
$$

$$
\ell_q(n)=\lfloor\log_q n\rfloor,
$$

以及將數值格子、運算歷史與樓層觀察一起呈現的視圖 $\mathcal O_q(\mathcal H)$。

同結果不代表同歷史；同歷史可在不同基底下得到不同的樓層序列。圖上位置也不自動構成代數不變量。

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## 3. 補償對偶與中心對稱的精確命題

### 3.1 定理 3.1：雙側補償鏡射

**定理 3.1。** 若 $a,b\ge2$， $ab=z$，則：

$$
(z-a)+a=z=(z+a)-a,
$$

且：

$$
(z-a)+(z+a)=2z.
$$

所以 $m_-$ 、 $m_+$ 在**通常的實數數線**上，以 $z$ 為共同中心，且距離均為 $a$。

**證明。** 直接利用分配律： $a(b-1)=ab-a$ 、 $a(b+1)=ab+a$。把兩式相加、相減即得。證畢。

此結果是標準算術恆等式；本文的貢獻不是重新證明分配律，而是將帶有算術來源的對稱作為可記錄、可比較的運算圖式。

### 3.2 交換因數產生不同的補償尺度

對同一個 $z=ab$：

$$
\begin{aligned}
R_a(z)&=(z-a,z,z+a),\\
R_b(z)&=(z-b,z,z+b).
\end{aligned}
$$

若 $a\ne b$，兩組鏡射具有不同距離；若 $a=b$，它們重合。交換因數是代數對合，卻不一定保持**固定作用元 $a$ 的歷史標記**。

因此 $891$ 不僅是不同乘法分解的交點，還是多組不同補償尺度的共同中心。

### 3.3 定理 3.2：合法鏡射的逆向篩選

**定理 3.2。** 固定 $z\in S_N$，取整數距離 $d$，使 $2\le d\le\lfloor z/2\rfloor$。數值鏡射 $(z-d,z,z+d)$ 可被解讀為本篇的某條乘法補償歷史，當且僅當：

$$
d\mid z.
$$

**證明。** 若存在 $a,b\ge2$ 且 $ab=z$，並且補償距離等於 $a=d$，則 $d\mid z$。反之，若 $d\mid z$，取 $a=d$ 、 $b=z/d$ ；由 $d\le z/2$ 得 $b\ge2$。代入 $P_-$ 、 $P_+$ 即得合法的運算歷史。證畢。

**推論 3.2.1。** 對固定 $z$，不同距離 $d$ 對應不同中間狀態 $z\pm d$。因此本語法的有序事件可由中心與合法距離 $(z,d)$ 唯一重建。

**推論 3.2.2。** 若已知外側中間乘積 $m_+>z$，則其乘法來源存在的充要條件是：

$$
2\le m_+-z\le z/2,\qquad (m_+-z)\mid z.
$$

成立時唯一重建：

$$
a=m_+-z,\qquad b=\frac{z}{m_+-z}.
$$

這提供了不依賴「看起來像什麼圖形」的精確逆向約束。

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## 4. 同結果纖維與全域精確計數

### 4.1 固定結果的來源度數

定義：

$$
D_N(z)=\#\{a:2\le a\le z/2,\ a\mid z\}.
$$

 $D_N(z)$ 是固定結果 $z$ 的**有序非平凡乘法來源數量**，因為每個有效 $a$ 都決定 $b=z/a$。對 $z\ge2$：

$$
D_N(z)=\tau(z)-2,
$$

其中 $\tau(z)$ 為通常的正因數個數。對 $z=1$ 定義 $D_N(1)=0$。

本篇補償歷史的數量為：

$$
C_N(z)=2D_N(z).
$$

此計數保留左右補償的方向，也保留因數交換引入的不同作用距離。

### 4.2 定理 4.1：全部合法運算歷史總量

**定理 4.1。** 當 $N\ge4$ 時：

$$
|M_N|=\sum_{a=2}^{\lfloor N/2\rfloor}\left(\left\lfloor\frac Na\right\rfloor-1\right).
$$

亦可改寫為：

$$
|M_N|=\sum_{a=1}^{N}\left\lfloor\frac Na\right\rfloor-2N+1.
$$

**證明。** 固定第一乘數 $a\ge2$ ；由 $b\ge2$ 及 $ab\le N$，第二乘數 $b$ 有 $\lfloor N/a\rfloor-1$ 種合法取值。對所有 $a$ 加總即得第一式。第二式由分離 $a=1$ 與減去平凡配對得到。證畢。

取 $N=1000$，精確枚舉與兩種獨立總和檢查均得到：

$$
|M_{1000}|=5070,\qquad 2|M_{1000}|=10140.
$$

這裡的 $10140$ 是兩種**帶標籤的補償歷史**的個數，不是 10140 個互異的整數值，也不是所有可能演算法歷史的數量。

### 4.3 負對照：純幾何鏡射遠多於合法因數鏡射

對每個 $z\le1000$，先不考慮整除，只允許距離：

$$
2\le d\le\lfloor z/2\rfloor.
$$

則全部候選中心—距離組合為：

$$
A_{1000}=\sum_{z=1}^{1000}\max\left(0,\left\lfloor\frac z2\right\rfloor-1\right)=249001.
$$

其中合法乘法來源只有 $5070$ 個，其餘：

$$
249001-5070=243931
$$

個候選不滿足本語法的整除條件。合法比率為：

$$
\frac{5070}{249001}\approx0.020361364.
$$

約為 $2.036\%$。這個比率只描述**本次固定候選規則與上限**，不是整數乘法的普遍機率，更不是隨機實數的統計機率。

**研究意義：** 置中視覺化可以暴露候選模式，但若不加入可還原的算術約束，畫面上多數鏡射都不屬於我們要研究的乘法耦合圖式。

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## 5. 塔內、塔外與有限外部計數定理

### 5.1 上下側中間狀態的範圍

對每個 $a,b\ge2$ 、 $z=ab\le N$：

$$
\frac z2\le z-a<z<z+a\le\frac{3z}{2}\le\frac{3N}{2}.
$$

因此負向補償的中間乘積 $m_-=z-a$ 必然留在 $S_N$ ；正向補償的 $m_+=z+a$ 最多到 $3N/2$。這和任意長度的無限制代數重寫不同：本篇語法的塔外值**有嚴格上界**。

對 $N=1000$，最大值 $1500$ 確實可由 $a=500,b=2,z=1000$ 達成。

### 5.2 定理 5.1：塔外正向補償歷史恰有 499 條

**定理 5.1。** 令 $N\ge4$。在本篇有序事件集合中，滿足：

$$
ab\le N<a(b+1)
$$

的事件數恰好為：

$$
\left\lfloor\frac N2\right\rfloor-1.
$$

**證明。** 固定 $a\in\{2,\ldots,\lfloor N/2\rfloor\}$，令 $B=\lfloor N/a\rfloor\ge2$。可行的 $b$ 是 $2,\ldots,B$。若 $b=B$，因 $a(B+1)>N$，必然塔外；若 $b\le B-1$，則 $a(b+1)\le aB\le N$，必然塔內。故每個合法 $a$ 恰有一條塔外事件，加總即得。證畢。

因此 $N=1000$ 時：

$$
\#\{P_+(e):m_+>1000\}=499.
$$

這個 $499$ 是**有限觀察邊界 $1000$ 的效應**，與用二、十、十二進位寫出相同整數無關。不能把它誤稱為「十進位進位事件數」。

### 5.3 以 $891$ 為例

 $891=3\times297$。取 $a=297,b=3$：

$$
297(3-1)=594,\qquad297(3+1)=1188,
$$

$$
594+297=891=1188-297.
$$

 $594$ 與 $1188$ 以 $891$ 為中心等距對稱；右側的 $1188$ 雖然超出塔樓，但這條運算歷史及其整除來源完全可以精確重建。

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## 6. 進位制觀察：同一鏡射，四種跨層簽名

### 6.1 數量級樓層，而非數位進位

對整數基底 $q\ge2$，定義：

$$
\ell_q(n)=\lfloor\log_q n\rfloor,\qquad n\ge1.
$$

計算時實作採用整數冪比較，不以浮點對數決定樓層。

對一條補償鏡射 $(z-a,z,z+a)$，定義：

$$
\delta_q^-(z,a)=\ell_q(z)-\ell_q(z-a),
$$

$$
\delta_q^+(z,a)=\ell_q(z+a)-\ell_q(z).
$$

把二元組 $\sigma_q(z,a)=(\delta_q^-,\delta_q^+)$ 稱為**數量級上下越層簽名**。

這裡的 $\delta$ 只描述中間乘積在樓層上的位置差，不能和逐位直式乘法的 carry stream 畫上等號。

### 6.2 定理 6.1：單側越層最多一層

**定理 6.1。** 在本篇語法下，對每個整數基底 $q\ge2$：

$$
\delta_q^-(z,a),\ \delta_q^+(z,a)\in\{0,1\}.
$$

**證明。** 由 $a\le z/2$，得 $z-a\ge z/2$ 、 $z+a\le3z/2$。因此 $z/(z-a)\le2\le q$，且 $(z+a)/z\le3/2<q$。相鄰數量級邊界的比值為 $q$ ；這兩段數值變動都不足以跨越兩道或以上完整樓層邊界。證畢。

### 6.3 定理 6.2：只有二進位可能雙向同時越層

**定理 6.2。** 在 $a,b\ge2$ 、 $ab=z$ 的條件下，如果：

$$
\delta_q^-(z,a)=\delta_q^+(z,a)=1,
$$

則必有 $q=2$。而 $q=2$ 確實存在這種事件。

**證明。** 設 $t=q^{\ell_q(z)}$，故 $t\le z<qt$。若下側越層，則 $z-a<t$ ；由 $a\le z/2$ 得：

$$
z/2\le z-a<t\quad\Longrightarrow\quad z<2t.
$$

若上側越層，則 $z+a\ge qt$ ；由 $a\le z/2$ 得：

$$
3z/2\ge z+a\ge qt\quad\Longrightarrow\quad z\ge\frac{2q}{3}t.
$$

若 $q\ge3$，右式迫使 $z\ge2t$，與 $z<2t$ 矛盾。所以只有 $q=2$ 可行。取 $z=6,a=3,b=2$，則中間狀態為 $3$ 與 $9$ ；在二進位，三者樓層依次為 $1,2,3$，兩側均越層。證畢。

**辨識意義：** 這是由**有界相對位移 $a\le z/2$ 與等比樓層間距**聯合決定的結果，不是神祕的二進位特性，也不是可以直接推廣到任意運算或任意中間歷史的定律。

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## 7. 七種進位制的完整統計

### 7.1 枚舉口徑

對 $|M_{1000}|=5070$ 條有序非平凡事件逐條計算 $\sigma_q(z,a)$，基底取：

$$
q\in\{2,3,5,8,10,12,16\}.
$$

每個基底都有 5070 條相同的**底層整數事件**；不同的只是其樓層簽名。以下表格的四欄依序表示 $(\delta^-_q,\delta^+_q)$。

| 進位基底 $q$ | 00 | 01（只向上） | 10（只向下） | 11（雙側） | 總數 |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 3494 | 583 | 668 | 325 | 5070 |
| 3 | 3712 | 537 | 821 | 0 | 5070 |
| 5 | 4038 | 384 | 648 | 0 | 5070 |
| 8 | 4217 | 286 | 567 | 0 | 5070 |
| 10 | 4401 | 549 | 120 | 0 | 5070 |
| 12 | 4844 | 74 | 152 | 0 | 5070 |
| 16 | 4670 | 132 | 268 | 0 | 5070 |

完整資料見 `paper06_radix_signatures.csv`（35,490 列），可透過標準函式庫程式重新生成。

### 7.2 與塔外的 $499$ 條事件不能混為一談

每個基底下，**塔外正向補償事件始終是 499 條**；但簽名中的上側越層事件數不固定。例如：

- 十進位：上側越層合計 $549$ 條；其中 $499$ 條是超過觀察界 1000 的歷史，另有部分在 10、100 等較低位階跨層。
- 十二進位：上側越層僅 $74$ 條，但塔外事件仍是 $499$ 條；超出 1000 不必然超出相應十二進位樓層。
- 二進位：有 $325$ 條事件屬於雙側越層類型 $11$ ；這與塔外判準是不同的分類。

因此至少需要同時保存：

$$
\chi_{\mathrm{outside}}(m_+)=\mathbf1_{m_+>1000}
$$

與：

$$
\sigma_q(z,a)=(\delta_q^-,\delta_q^+).
$$

前者相對於固定數值觀察界；後者相對於可變的位階分割。兩者的混淆會導致假的「進位制不變／可變」結論。

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## 8. $891$ 的完整置中補償纖維

### 8.1 八個有序作用距離

 $891=3^4\times11$，去除 $1$ 與 $891$ 本身後共有八個合法有序作用距離。對每個 $a\mid891$， $b=891/a$：

| 作用元 $a$ | 對應乘數 $b$ | 左側中間乘積 $891-a$ | 中心 | 右側中間乘積 $891+a$ | 塔外？ |
|---:|---:|---:|---:|---:|---|
| 3 | 297 | 888 | 891 | 894 | 否 |
| 9 | 99 | 882 | 891 | 900 | 否 |
| 11 | 81 | 880 | 891 | 902 | 否 |
| 27 | 33 | 864 | 891 | 918 | 否 |
| 33 | 27 | 858 | 891 | 924 | 否 |
| 81 | 11 | 810 | 891 | 972 | 否 |
| 99 | 9 | 792 | 891 | 990 | 否 |
| 297 | 3 | 594 | 891 | 1188 | 是 |

 $891$ 的本篇合法補償歷史數為 $8\times2=16$。如果不施加整除篩選，允許的幾何候選距離有 $d=2,\ldots,445$，共 **444** 種；因此有 $444-8=436$ 種不屬於本語法的乘法補償關係。

### 8.2 同一事件在不同基底下呈現不同越層

取 $z=891,a=297$，固定數值三元組：

$$
(594,891,1188).
$$

它的**數值鏡射**不隨進位制改變；但樓層簽名如下：

| 基底 | 下側樓層 | 中心樓層 | 上側樓層 | 簽名 |
|---:|---:|---:|---:|:---:|
| 2 | 9 | 9 | 10 | 01 |
| 3 | 5 | 6 | 6 | 10 |
| 5 | 3 | 4 | 4 | 10 |
| 8 | 3 | 3 | 3 | 00 |
| 10 | 2 | 2 | 3 | 01 |
| 12 | 2 | 2 | 2 | 00 |
| 16 | 2 | 2 | 2 | 00 |

這是「固定底層整數、改變觀察基底」的例子，不是固定數字字串而改變其所代表的數值。

### 8.3 最小雙側越層示例

取 $a=3,b=2,z=6$，其補償三元組為：

$$
3,6,9.
$$

- 二進位：樓層 $1,2,3$，簽名 $11$ ；
- 三進位：樓層 $1,1,2$，簽名 $01$ ；
- 十進位：樓層 $0,0,0$，簽名 $00$。

這個例子尤其適合擔任塔樓可視化的基本測試：圖形中心相同，數量級標籤卻依基底改變。

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## 9. 置中圖式的設計規格：不可再把三種中心混成一種

### 9.1 數值鏡射中心

對補償對偶，真實中心是：

$$
\frac{(z-a)+(z+a)}2=z.
$$

此中心使用通常數線的距離，兩端的數值差是 $a$。更換基底不會破壞此等式。

### 9.2 乘法因數對的對數中心

第五篇研究的乘法因數對 $a,b$ 在對數座標中的中心是：

$$
\log_q\sqrt{ab}.
$$

此中心與本篇中間狀態的加法中心 $ab$ 不相同，二者不可畫到同一尺度後直接宣稱相等。

### 9.3 畫面排版的中心

將某個數值置於螢幕或塔樓中央，是 UI 觀察選擇，而不是數學定理。它的作用是降低視覺干擾，允許使用者同時比較：

- 左右中間乘積的數值距離；
- 有序因數來源；
- 正向與負向補償方向；
- 各基底的樓層切分；
- 塔外節點的保留與返回。

若畫面為了緊湊而對每層使用不同的水平縮放，必須明確標示：此時顯示的水平距離不再代表同一套實數距離。

### 9.4 建議的實際資料結構

每個視覺事件保留：

```json
{
  "a": 297,
  "b": 3,
  "z": 891,
  "intermediate_minus": 594,
  "intermediate_plus": 1188,
  "outside_plus": true,
  "operator_history_minus": ["b-1", "multiply", "add_a"],
  "operator_history_plus": ["b+1", "multiply", "subtract_a"],
  "radix": 10,
  "magnitude_signature": [0, 1]
}
```

該 JSON 僅示例資料模型；完整有限域原始資料在 CSV 中。所有樓層結果可以由原始數值與觀察基底重新計算，不必把一種基底的位階寫成不可變的底層資料。

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## 10. 控制組、研究侷限及不當推論的排除

### 10.1 鏡射的負對照

幾何上可鏡射的 $249001$ 個候選中，只有 $5070$ 個通過整除測試。故若有人從一張置中圖直接聲稱「每個左右對稱都代表乘法的作用—反作用關係」，本篇的因數篩選立即提供大量反例。

### 10.2 公式恆等式不等於新的數學定律

本篇的補償等式，從頭到尾都建立在通常分配律、加減互逆與正整數整除上。得到 $10140$ 條運算歷史，說明的是**我們選定的可執行語法能在有限域中被完整追蹤與比較**，不是無窮實數域中已存在的新穎對偶定律。

### 10.3 已控制的兩個邊界效應

**觀察域截斷：** 所有結果 $z\le1000$，但中間狀態最多延伸至 1500，需標明塔外路徑。外部計數 $499$ 依賴 $N=1000$。

**進位觀察切分：** 任意基底 $q$ 的位階切分與固定上限 $N$ 是兩個不同條件。即使某個中間狀態在觀察域外，也可能與中心位於相同的 $q$ 進位樓層。

### 10.4 尚未由本篇實驗成立的主張

- 沒有證明所有算術運算、所有演算法或所有實數都存在唯一的共通塔樓幾何軌跡。
- 沒有證明所用數位進位演算法的計算成本與數量級越層次數具有單調關係。
- 沒有將演算法可逆、數值可逆、物理因果及時間對稱視作等價概念。
- 沒有把一次畫面上看似相似的線條認定為跨進位不變量；是否不變，必須在數值與事件標籤層精確核對。
- 沒有把本篇的恆等式當作第四篇所有塔外折返路徑的完整分類；不同運算語法有不同的歷史集合。

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## 11. 可重現實驗、圖形資料與驗收方式

### 11.1 唯一事件枚舉主程式

隨附 `verify_paper06.py`，只依賴 Python 標準函式庫。核心迴圈將 $a$ 限於 $2,\ldots,500$，將 $b$ 限於 $2,\ldots,\lfloor1000/a\rfloor$，產生全部 $5070$ 條有序事件。

每個事件同時檢查：

1. $z=ab$ ；
2. $m_-=a(b-1)$ 與 $m_+=a(b+1)$ ；
3. $m_-+m_+=2z$ ；
4. $1\le m_-\le1000$ 與 $m_+\le1500$ ；
5. 從 $(z,m_+)$ 可回推 $a=m_+-z$ 及 $b=z/a$ ；
6. 七種基底的 $\delta_q^\pm$ 均在 $\{0,1\}$ ；
7. $q\ge3$ 不存在 $11$ 類；
8. 外部事件恰為 499 條；
9. 用「遍歷全部中心與距離後做整除判定」的獨立迴圈檢查所有 $249001$ 組候選。

### 11.2 資料檔案

- `paper06_motifs_1_to_1000.csv`： $5070$ 條有序事件及兩側中間乘積。
- `paper06_radix_signatures.csv`：七種基底的全部 $35490$ 條帶基底記錄。
- `paper06_centers_1_to_1000.csv`：從 1 到 1000 的每個中心數值、乘法來源度數與鏡射候選數。
- `paper06_stats.json`：整體計數、基底分布及代表案例。
- `figures/paper06_centered_compensation_891.png`：對 891 的數值置中鏡射與塔外界線。
- `figures/paper06_cross_base_signatures.png`：七種進位制的四類越層簽名分布。

圖像是可重建的資料視覺化，不是數學證明的替代物；正式證據為定理、精確整數比較及可重現的枚舉。

### 11.3 原稿品質與程序檢驗

本文正式版本必須通過：

- UTF-8 原始碼可解碼；
- 數學原始碼只使用 ` $...$ ` 和 `$$...$$`；
- 不將 Markdown 渲染結果反向當成數學原稿；
- 原稿中的關鍵計數與 JSON 統計一致；
- 圖表所依據的資料與 CSV 相同；
- ZIP 內資料 SHA-256 可校驗。

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## 12. 綜合結論：全域關係不是線條的總數，而是有約束的聯動歷史

本文在嚴格限定的 1–1000 有限正整數域中，完成了從單純乘法事件到「乘法—加法—減法—反向整除約束」的第一個跨運算橋接。

**第一，補償對偶可以精確構造。** 同一個乘法結果 $z$ 形成兩條帶有相反補償方向的歷史，中間值 $z\pm a$ 以 $z$ 為真正數值中心。

**第二，對稱不等於合法乘法耦合。** 只有當距離 $a$ 也是 $z$ 的非平凡因數時，左右鏡射才能歸入本篇固定語法。完整域中 $249001$ 個候選，只有 $5070$ 個滿足這一條件。

**第三，內外部關係是可數且有界的。** 固定上限 1000 與本篇語法後，恰有 $499$ 條正向補償歷史的中間乘積超界，且最大不超過 1500。

**第四，底層關係與進位觀察確實分化。** 補償鏡射、因數來源和歷史重建與基底無關；但數量級越層簽名依基底改變。這種分化有一個精確可證的特例：雙側同時越層只能發生於二進位。

這些結果並不意味著傳統代數不知道這些等式；它們意味著，**在同一個明確的有限圖式中，同時保留數值關係、運算歷史、逆向約束和進位觀察，確實可以建立一套不依賴視覺錯覺、可檢驗的耦合資料模型**。

> 一個結果可以相同，一段歷史卻不必相同；使兩者可以比較的，不是畫線的自由，而是約束留下的結構。

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## 研究來源與對照文件

1. `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_01_v0.1.md`：定義與關係／表示分離。
2. `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_02_v0.1.md`：有限域有序算術事件與作用—反向約束。
3. `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_03_v0.1.md`：雙步乘法歷史與重新括號的位階重分配。
4. `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_04_v0.1.md`：塔外折返與互補鏡射。
5. `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_05_v0.1.md`：乘法因數對的對數置中與進位相位。
6. 本篇 `verify_paper06.py` 與資料 CSV/JSON：所有新報告統計的可重現來源。

**End of Paper VI — Canonical UTF-8 Markdown Source.**