# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第五篇）

## 乘法因數對的對數置中對偶、數量級進位相位與跨進位觀察分化

**英文題名：** Radix Towers and Global Operational Relation Geometry V: Logarithmically Centered Factor Duality, Magnitude-Carry Phases, and Cross-Radix Observation Differentiation  
**版本：** v0.1（可證明結構與完整有限域驗證）  
**日期：** 2026-11-04  
**研究脈絡：** EveMissLab／全域運算關係幾何／進位制觀察／塔樓置中  
**先行研究：** 第一至第四篇（2026-11-03）  
**實驗資料：** `verify_paper05.py`、`paper05_stats.json`、全域與局部 CSV、三張精確資料衍生圖  
**研究性質：** 正整數完整窮舉、初等數學定理與表示層分析；不宣稱已發現新的普適數論定律  
**正式原始碼：** UTF-8 Markdown；數學原始碼統一採用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`，聊天顯示不是 canonical source  

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**作者：** Neo.K  
**公司：** 一言諾科技有限公司  

## 摘要

前四篇先後建立進位塔樓與算術事件的分層語義、有限域單步運算全域枚舉、雙步乘法重新括號的數量級進位重分配，以及塔外折返歷史的互補對偶。本篇回到研究起點所強調的「置中」問題，但將它由畫面設計提升為**可以不依賴圖形排版而精確檢驗的數值關係**。

對一條乘法關係 $xy=z$，交換因數 $x\leftrightarrow y$ 是一個真正的代數對合；若以 $z$ 為固定結果，因數在對數座標中對稱於 $\sqrt z$。進一步使用歸一化座標 $q_z(x)=\ln x/\ln z$，則 $q_z(x)+q_z(y)=1$，相對中心固定在 $1/2$。這項對稱只依賴實數乘法與對數性質，不依賴十進位或任一特定進位制。

當連續對數座標被量化為第 $b$ 進位塔樓的整數樓層 $\ell_b(x)=\lfloor\log_b x\rfloor$ 時，第三篇的數量級進位 $\kappa_b(x,y)=\ell_b(xy)-\ell_b(x)-\ell_b(y)$ 將可取 $0$ 或 $1$。本篇進一步證明：固定結果 $z=xy$ 後， $\kappa_b(x,y)$ 可由因數 $x$ 的**對數小數相位**與結果 $z$ 的相位比較直接決定；同一條判準又能改寫為純整數不等式，避免浮點誤判。

在正整數觀察域 $S_{1000}=\{1,\ldots,1000\}$ 內，排除平凡因數 $1$，完整列舉得到 $2,550$ 組無序非平凡因數對、 $5,070$ 條有序乘法事件； $831$ 個結果節點至少有一組非平凡因數對，其中 $528$ 個至少有兩組。對基底 $2,3,5,8,10,12,16$ 逐一投影，觀察到 $86$ 種不同的七基底進位簽名，且有 $2,534/2,550$ 組因數對在七基底中至少改變一次數量級進位狀態。十進位有 $276$ 個結果節點，其不同因數對在相同基底下出現 $\kappa=0$ 與 $\kappa=1$ 的並存。這些數據是精確枚舉的有限域事實，**不是**跨全部實數的經驗證明。

本篇的核心結論是：**底層乘法關係可具備精確的置中對偶；進位制量化則能改變同一結果之不同生成路徑的層級特徵。** 二者可在同一座塔樓中同步呈現，但必須分別驗證。

**關鍵詞：** 全域運算、關係幾何、進位塔樓、乘法因數對、對數中心、數量級進位、相位門檻、跨進位觀察、有限域窮舉、表示不變量。

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## 1. 問題的精確化：哪一種「置中」可以攜帶數學內容？

此前提出的進位塔樓有多種觀察中心：全域樓層中心、指定結果中心，以及第四篇的塔外互補中心 $m/2$。它們的目的不同，也不能直接視為相同的幾何定理。本篇專注於第四種中心：**乘法因數對的對數中心**。

最初的 $9\times99=891$ 並不是孤立算式。其背後可同時連到 $3\times297$ 、 $11\times81$ 、 $27\times33$，以及更多多步運算歷史。若這些關係只在一般數線上排列，大小跨度會讓對稱性看起來不均衡；若直接把格子繪成左右對稱，也可能錯把排版當成定理。

因此本篇要求：

1. 對稱必須先在精確數值座標中證明；
2. 再把原有數值映射到不同基底的塔樓；
3. 將連續的關係不變性與離散位階的變化分離；
4. 不因兩條歷史最終值相同而刪去來源事件；
5. 不將不同演算法的「數位進位」和數量級進位混合計數。

本篇的主要單步語法是**正整數乘法**。它可以作為日後比較其他運算的基準，但本文本身沒有枚舉無限多種代數重寫，也沒有處理所有實數。

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## 2. 底層有限域與乘法事件

### 2.1 數值集合與方向

固定：

$$
S_N=\{1,2,\ldots,N\},\qquad N=1000.
$$

在此前第二篇，帶方向的乘法事件為：

$$
E_{\times,N}=\{(x,y,z):x,y,z\in S_N,\ xy=z\}.
$$

包含因數 $1$ 時，此集合共有 $7,069$ 個**有序**事件。本篇為免平凡因數對對進位統計造成偏誤，另外定義：

$$
E^{\ast}_{\times,N}=\{(x,y,z)\in E_{\times,N}:x\ge2,\ y\ge2\}.
$$

若視交換 $x\leftrightarrow y$ 為同一組因數對，則採用無序代表集合：

$$
P_N=\{(x,y,z):2\le x\le y,\ xy=z\le N\}.
$$

 $P_N$ 的每個三元組都還保留了具體的因數資訊。它不是直接把所有分解合併成單一結果節點。

### 2.2 固定結果的因數纖維

對每個 $z\in S_N$，定義：

$$
P(z)=\{(x,y):2\le x\le y,\ xy=z\}.
$$

單一結果 $z$ 可有多個來源；不同來源在同一基底下，也可能有不同的數量級進位狀態。

為與既有數論對齊，令 $\tau(z)$ 為 $z$ 的正因數個數。當 $z\ge2$：

$$
|P(z)|=\frac{\tau(z)-2+\mathbf 1_{z\text{ 為平方數}}}{2}.
$$

這是由正因數成對配對直接得到的經典計數關係，不是新定理。對 $z=1$ 另定 $P(1)=\varnothing$。

### 2.3 因數交換對合

定義：

$$
J_{\times}(x,y,z)=(y,x,z).
$$

由乘法交換律， $J_{\times}$ 保留結果，且：

$$
J_{\times}^2=I.
$$

唯一固定點滿足 $x=y$，亦即 $z=x^2$。在 $S_{1000}$ 內，非平凡的整數平方中心為 $2^2$ 至 $31^2$，共有 $30$ 個。

此對合與第四篇外部折返的互補對合 $J$ （交換 $m-c=z$ 中的 $c,z$ ）**不是同一個變換**。雖然兩者都可被畫成鏡射，但作用的事件集合與代數條件不同。

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## 3. 乘法對數置中：從數值對合到幾何不變量

### 3.1 未歸一化的對數中心

令正實數 $x,y$ 滿足 $xy=z$，並取任意實數基底 $b>1$。由對數的加法性：

$$
\log_b x+\log_b y=\log_b z.
$$

兩個座標的算術平均為：

$$
\frac{\log_b x+\log_b y}{2}=\log_b\sqrt z.
$$

**定理 3.1（因數對的精確對數鏡射）。** 對任何正實數乘法事件 $xy=z$，在對數座標中， $x$ 與 $y$ 相對於 $\log_b\sqrt z$ 呈精確鏡射。證明就是上式，與整數格點、有限塔樓、是否存在數位進位都無關。

此定理可擴展到正實數，但這不代表連續實數域已經被有限枚舉，也不表示所有其他運算都具有相同的置中構造。

### 3.2 固定結果的歸一化位置

對 $z>1$ 的正實數乘法事件，定義：

$$
q_z(x)=\frac{\ln x}{\ln z},\qquad q_z(y)=\frac{\ln y}{\ln z}.
$$

則：

$$
q_z(x)+q_z(y)=1.
$$

因此：

$$
q_z(J_{\times}(x))=1-q_z(x).
$$

中心恆為 $1/2$，其物理數值對應 $\sqrt z$。在非平凡整數因數對的標準排序 $2\le x\le y$ 下：

$$
0<q_z(x)\le\frac12\le q_z(y)<1.
$$

因 $\log_b x/\log_b z=\ln x/\ln z$，**這組歸一化座標與選用哪一個對數基底無關**。改變十進位、二進位或十二進位時，不能改變這條連續對稱軸。

**定理 3.2（歸一化座標的基底不變性）。** 對任意兩個有效基底 $b_1,b_2>1$，且 $xy=z>1$：

$$
\frac{\log_{b_1} x}{\log_{b_1}z}
=
\frac{\log_{b_2} x}{\log_{b_2}z}
=
\frac{\ln x}{\ln z}.
$$

證明由換底公式直接成立。

### 3.3 這種置中不能任意推廣為物理因果

 $J_{\times}$ 是算術事件的交換對合， $q_z$ 是代數上自然的座標映射。這些事實支持「在此座標下存在嚴格對稱」，卻不直接支持「乘法有物理作用力與反作用力」、「計算過程必然具有時間因果」或「圖上各種直線長度本身是不變量」。

研究中的「作用—反向約束」應先被精確理解為：若 $x,z$ 已知且 $x\ne0$，可以由 $y=z/x$ 還原另一因數；交換端點仍滿足同一等式。關係可逆與演算法歷史可逆，是不同命題。

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## 4. 從連續對數位置到離散塔樓位階

### 4.1 整數基底的位階高度

對整數基底 $b\ge2$ 與正整數 $n$，沿用第三篇定義：

$$
\ell_b(n)=\lfloor\log_b n\rfloor.
$$

實作上使用整數連續整除或冪次比較，避免在 $n=b^k$ 處出現浮點邊界誤判。

定義數量級進位量：

$$
\kappa_b(x,y)=\ell_b(xy)-\ell_b(x)-\ell_b(y).
$$

由 $b^{\ell_b(x)}\le x<b^{\ell_b(x)+1}$ 與對應的 $y$ 界，可立即得到：

$$
\kappa_b(x,y)\in\{0,1\}.
$$

這個 $\kappa_b$ **不是直式乘法逐位的進位次數**，也不是演算法的時間成本。

### 4.2 對數小數相位

令：

$$
\phi_b(n)=\log_b n-\ell_b(n),\qquad 0\le\phi_b(n)<1.
$$

所以 $\log_b n=\ell_b(n)+\phi_b(n)$。由 $xy=z$ 可得：

$$
\kappa_b(x,y)=\lfloor\phi_b(x)+\phi_b(y)\rfloor.
$$

左邊是整體數量級的額外進位；右邊是兩個小數相位之和是否跨過 $1$。這就是同一運算關係在連續對數座標與離散塔樓之間的精確連結。

### 4.3 定理 4.1：固定結果的相位門檻

對 $xy=z>0$ 與整數基底 $b\ge2$，有：

$$
\kappa_b(x,y)=1\quad\Longleftrightarrow\quad\phi_b(x)>\phi_b(z).
$$

這個看似只檢查一側因數的條件，對交換後的 $y$ 亦同樣成立。

**證明。** 設 $u=\log_b x$， $w=\log_b z$，則 $\log_b y=w-u$。寫成 $u=k+\alpha$ 、 $w=j+\theta$，其中 $k,j$ 為整數， $0\le\alpha,\theta<1$。若 $\alpha\le\theta$，則 $\lfloor w-u\rfloor=j-k$，故 $\kappa_b=0$。若 $\alpha>\theta$，則 $\lfloor w-u\rfloor=j-k-1$，故 $\kappa_b=1$。證畢。

注意門檻比較使用**嚴格大於**。相位剛好相等時不發生額外位階進位。

### 4.4 定理 4.2：無浮點運算的整數相位判別

令 $z=xy$，定義位階尾數（此處是精確有理數，而非機器浮點尾數）：

$$
M_b(n)=\frac{n}{b^{\ell_b(n)}}\in[1,b).
$$

因 $\phi_b(n)=\log_b M_b(n)$，定理 4.1 等價於：

$$
\kappa_b(x,y)=1\quad\Longleftrightarrow\quad M_b(x)>M_b(z).
$$

清除分母得到純整數比較：

$$
\kappa_b(x,y)=1\quad\Longleftrightarrow\quad
x\,b^{\ell_b(z)}>z\,b^{\ell_b(x)}.
$$

**證明。** 由對數單調性， $\phi_b(x)>\phi_b(z)$ 當且僅當 $M_b(x)>M_b(z)$ ；乘上兩側正分母即得最後的不等式。證畢。

這個精確條件提供一條從「視角相位」回到「有限整數驗證」的橋樑：不用計算任何對數，也能知道相同乘法事件在指定進位塔樓上落於哪種 $\kappa$ 狀態。

### 4.5 同一結果的不同來源，能有不同位階進位

以 $z=1000$ 、十進位為例：

$$
10\times100=1000,\qquad\kappa_{10}(10,100)=3-1-2=0.
$$

但：

$$
2\times500=1000,\qquad\kappa_{10}(2,500)=3-0-2=1.
$$

同一結果、同一進位制、同樣都是乘法，因數配對不同便造成額外位階進位狀態不同。差別不是結果數值改變，而是**生成路徑的位階組成不同**。

當 $z=b^k$ 時， $M_b(z)=1$ ；由定理 4.2， $\kappa_b(x,y)=0$ 當且僅當 $M_b(x)=1$。也就是對這個固定結果，沒有額外位階進位的分解必須由完整的基底冪 $x=b^r$ 與 $y=b^{k-r}$ 組成。這個結論是位階定義的直接推論。

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## 5. 兩種「進位」必須分離

### 5.1 數量級進位 $\kappa_b$

 $\kappa_b$ 只描述總位階：

$$
\ell_b(xy)=\ell_b(x)+\ell_b(y)+\kappa_b(x,y).
$$

它最多只有 $0,1$ 兩種狀態。

### 5.2 指定直式演算法的數位進位

把 $x,y$ 分別展為 $b$ 進位數位：

$$
x=\sum_i x_i b^i,\qquad y=\sum_j y_j b^j.
$$

對每個位階 $k$，先做卷積：

$$
t_k=\sum_{i+j=k}x_i y_j.
$$

再設入位進位 $c_{k-1}$，以：

$$
s_k=t_k+c_{k-1},\qquad d_k=s_k\bmod b,\qquad c_k=\left\lfloor\frac{s_k}{b}\right\rfloor
$$

取得輸出數位與新的進位量。這個程序的非零進位位置數，記為 $D_b(x,y)$。

 $D_b$ 依賴選定的**數位卷積程序**與基底； $\kappa_b$ 則只依賴數值、基底與整體位階。即使對同一個 $x,y,z$，二者也沒有必要相等。

### 5.3 明確反例

在十進位下：

- $3\times297=891$： $\kappa_{10}=0$，但上述位值卷積有 $D_{10}=2$ 個非零進位位置。
- $9\times99=891$： $\kappa_{10}=1$，而 $D_{10}=2$。
- $11\times81=891$： $\kappa_{10}=0$，且 $D_{10}=0$。

因此不能用「進位總共發生幾次」這種含糊敘述，同時指涉整體位階轉移和逐位演算法歷史。若要用塔樓繪製兩類軌跡，應用不同的資料欄位與圖例。

### 5.4 乘數交換與卷積演算法的特定對稱

因原始數位卷積 $\sum_{i+j=k}x_i y_j$ 對 $x,y$ 對稱，在本篇**明確指定的卷積程序**下：

$$
D_b(x,y)=D_b(y,x).
$$

這個等式不保證任意不對稱實作（例如固定先展開某側乘數、逐行累加的計算流程）的全部歷史都會相同。**代數交換律保證乘積相同；演算法軌跡是否相同，需另行限定程序。**

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## 6. 891：四組不同因數對如何在同一中心展開

### 6.1 完整無序非平凡來源

$$
891=3\times297=9\times99=11\times81=27\times33.
$$

平方根中心約為：

$$
\sqrt{891}\approx29.8496.
$$

四組有序代表的第一因數與歸一化左座標如下（座標值僅供視覺呈現，整數關係本身精確）：

| 因數對 | $q_{891}(x)$ 約值 | 右側位置 | 與中心的關係 |
|---|---:|---:|---|
| $3\times297$ | 0.161743 | 0.838257 | 最外側 |
| $9\times99$ | 0.323485 | 0.676515 | 較外側 |
| $11\times81$ | 0.353029 | 0.646971 | 較內側 |
| $27\times33$ | 0.485228 | 0.514772 | 最接近中心 |

這些位置由因數比例決定，並不因為畫面使用某一個樓層寬度而出現。若左右兩端指向同一結果中心 891，它們是四條可辨別的來源路徑，而非四個不同結果。

### 6.2 七進位觀察基底的數量級進位簽名

下列每一格均由精確整數位階計算；基底的順序固定為 $2,3,5,8,10,12,16$。

| 因數對 | $b=2$ | $3$ | $5$ | $8$ | $10$ | $12$ | $16$ | 七基底簽名 |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---|
| $3\times297$ | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | `0011000` |
| $9\times99$ | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | `0010111` |
| $11\times81$ | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | `0010011` |
| $27\times33$ | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | `0001000` |

從這四條來源即可看出：

1. 固定 $z=891$ 的底層乘法分解不受進位制影響；
2. $b=2,3$ 時這四條分解的數量級進位都是 $0$ ；
3. $b=10$ 時只有 $9\times99$ 的 $\kappa_{10}=1$ ；
4. $b=5$ 時前三組的 $\kappa_5=1$，第四組為 $0$ ；
5. 置中鏡射關係始終成立，而塔樓樓層的量化結果並不一致。

**需要警惕的是：** 這些簽名不是新的獨立算術常數，而是已知數值與選定七個基底所產生的觀察特徵。改變基底清單、截斷域或數值來源，簽名分布也可能改變。

圖檔 `figures/paper05_log_center_891.png` 將四條來源放入共同歸一化中心；`figures/paper05_891_carry_signatures.png` 則只呈現七個基底的數量級進位位元。兩張圖的顯示目的不同。

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## 7. 完整有限域枚舉： $1$ 至 $1000$

### 7.1 窮舉語法

我們只枚舉正整數乘法的非平凡因數對：

$$
2\le x\le y,\qquad xy\le1000.
$$

不包含 $1\times z$，因為它必然給出平凡的 $\kappa_b(1,z)=0$，且若將其加入每個結果中心，容易稀釋比較不同非平凡來源的差異。

直接迴圈為：先取 $2\le x\le\lfloor\sqrt{1000}\rfloor$，再取 $x\le y\le\lfloor1000/x\rfloor$。全部運算使用 Python 整數，並以獨立的有序事件計數及 $\tau(z)$ 公式交叉驗證。

### 7.2 精確總量

| 指標 | 完整枚舉結果 |
|---|---:|
| 有序、非平凡乘法事件 | 5,070 |
| 無序、非平凡因數對 | 2,550 |
| 因數交換的非平凡固定點（整數平方） | 30 |
| 至少有一組非平凡因數對的結果節點 | 831 |
| 至少有兩組不同無序非平凡分解的結果節點 | 528 |
| 在七基底下出現過至少一條 $\kappa$ 變化來源的結果節點 | 828 |
| 在七基底下至少改變一次 $\kappa$ 的因數對 | 2,534 |
| 七基底的不同 $\kappa$ 位元簽名總數 | 86 |

**計數核對。** 每個非對角無序因數對對應兩個有序事件；每個 $x=y$ 的平方固定點只對應一個有序事件。因此：

$$
5070=2\times2550-30.
$$

另外 $831$ 正好是 $1$ 至 $1000$ 中的合數個數。這些關係在計數上相容。

在本七基底觀察集中，僅有 $58$ 、 $62$ 、 $493$ 這三個具非平凡因數對的結果節點，其每一條非平凡來源的 $\kappa$ 在七個基底下都未發生變化。這個名單依賴目前的七個基底，不應當延伸為「對所有進位制都不變」。

### 7.3 不同基底的完整量化分布

在全部 $2,550$ 組無序非平凡因數對上：

| 基底 $b$ | $\kappa_b=0$ 的來源組數 | $\kappa_b=1$ 的來源組數 | 同一結果下混合兩類進位的節點數 |
|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 1,860 | 690 | 212 |
| 3 | 1,395 | 1,155 | 271 |
| 5 | 1,210 | 1,340 | 279 |
| 8 | 1,054 | 1,496 | 281 |
| 10 | 1,898 | 652 | 276 |
| 12 | 1,500 | 1,050 | 386 |
| 16 | 1,050 | 1,500 | 352 |

「同一結果下混合」意指至少存在兩組不同的非平凡因數對 $(x_1,y_1)$ 、 $(x_2,y_2)$，滿足 $x_1y_1=x_2y_2=z$，但 $\kappa_b(x_1,y_1)\ne\kappa_b(x_2,y_2)$。因此此欄只可能在至少有兩組非平凡分解的 $528$ 個結果節點內成立。

在十進位下，混合節點佔這 $528$ 個可比較節點的 $276/528\approx52.27\%$ ；但此比例只是**本有限域與這組分解語法的觀察統計**，不能視為對任意規模、任意基底或隨機整數的普遍機率。

### 7.4 觀察譜的真正語義

每一組非平凡來源可以得到七基底簽名：

$$
\Sigma_{\mathcal B}(x,y)=\big(\kappa_2(x,y),\kappa_3(x,y),\kappa_5(x,y),\kappa_8(x,y),\kappa_{10}(x,y),\kappa_{12}(x,y),\kappa_{16}(x,y)\big).
$$

這是**觀察索引下的投影向量**，不是對值本身的編碼，也不是聲稱存在新的原始數論不變量。固定 $\mathcal B$ 時，可以用它分群比較不同來源；換掉 $\mathcal B$ 時，維度與分類可能改變。它的研究價值主要是提供可重現、可操作的圖譜索引。

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## 8. 截斷邊界效應：看見的分布也受選定有限域影響

此前研究把 $1$ 至 $1000$ 作為第一個觀察容器，並非把 $1000$ 宣稱為數學上的自然邊界。但 $1000=10^3$，在十進位下恰好是一個位階門檻，所以跨基底比例的直接比較可能受到容器選擇影響。

為檢查敏感性，同一支驗證程式額外對幾個不同上界重新枚舉，仍然只取無序非平凡因數對：

| 上界 $N$ | 因數對數 | 二進位 $\kappa=1$ 比例 | 十進位 $\kappa=1$ 比例 | 十二進位 $\kappa=1$ 比例 |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 999 | 2,543 | 27.13% | 25.40% | 41.21% |
| 1000 | 2,550 | 27.06% | 25.57% | 41.18% |
| 1024 | 2,623 | 26.31% | 27.56% | 40.45% |
| 1200 | 3,173 | 33.03% | 39.21% | 35.61% |
| 2000 | 5,781 | 28.94% | 59.49% | 36.05% |

這張表不是為了排名不同進位制的優劣，而是展示：**截斷數值域與進位制基底一起決定觀察到的量化比例。** 若不固定 $N$ 就比較基底，或把一個特定 $N$ 的排名視為普遍結論，會混淆觀察參數與底層性質。

因此，`1–1000` 的研究結果應被標記為帶有域參數的有限觀察結果；以後進行比較時，至少需要讓不同基底共用相同的十進位值域上界所代表的**底層整數值**，而不是誤把各進位制的同形字串當成相同整數。

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## 9. 圖式設計規格：四層不變性與三種中心

### 9.1 分離四個資料層

**A. 數值層。** 每個整數 $z$ 有一個不可因重新排版而改變的數值識別。

**B. 運算事件層。** 以 $(x,\times,y,z)$ 保存有序輸入、輸出、可交換的角色，以及因數對來源；必要時加入運算歷史 ID。

**C. 觀察層。** 記錄基底 $b$ 、位階 $\ell_b$ 、額外進位 $\kappa_b$ 、選定演算法的數位進位軌跡，以及觀察域的內外部狀態。

**D. 渲染層。** 記錄置中方式、樓層間距、橫向位置、曲線和虛線；這一層不得重新定義算術事件。

### 9.2 三個容易混淆的中心

**整體樓層中心：** 讓不同位階的格子群共用畫面中心軸，以檢查進位分群的排列。

**結果中心：** 將不同因數來源的箭頭聚焦到同一個 $z$，以展示入射關係和可替換的運算路徑。

**乘法對數中心：** 在指定 $z$ 的因數展開圖內，按 $q_z(x)$ 與 $q_z(y)=1-q_z(x)$ 配對，以 $1/2$ 為中心。這個中心是本篇可證明的數學結構，而不是排版任意指定。

第四篇的**塔外互補中心** $m/2$ 仍然保留，但不要誤把它與本篇的 $\sqrt z$ 中心合成同一個算子；前者屬於 $c+z=m$，後者屬於 $xy=z$，一個是線性互補，一個是對數乘法對偶。

### 9.3 基底改變時，究竟哪些資料可以原封不動？

| 資料項目 | 只更換基底時 | 改變格子排版時 |
|---|---|---|
| $xy=z$ 的等式真值 | 不變 | 不變 |
| 固定 $z$ 的非平凡因數對集合 | 不變 | 不變 |
| 因數交換對合 $J_{\times}$ | 不變 | 不變 |
| $q_z(x)+q_z(y)=1$ | 不變 | 不變 |
| $\ell_b(x)$ | 可能改變 | 不變 |
| $\kappa_b(x,y)$ | 可能改變 | 不變 |
| 數位卷積進位位置數 $D_b$ | 可能改變 | 不變（算法固定時） |
| 圖中線長、角度、重疊比例 | 可能改變 | 可能改變 |

此表說明**何謂底層資訊保留**，但沒有聲稱圖形本身必然找到超越已知算術的新定律。

### 9.4 建議的事件資料欄位

每個因數對至少保存：`z`、`x`、`y`、`is_square_center`、`event_id`；每次觀察保存：`base`、`level_x`、`level_y`、`level_z`、`kappa`、`digit_carry_trace_id`；圖形另保存：`center_type`、`q_x`、`q_y`、`layout_xy`。

注意： $q_x,q_y$ 用浮點數只作繪圖；**判斷 $\kappa$ 、平方固定點與整數邊界時一律使用精確整數算術**。

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## 10. 經驗判準：如何避免將「看得更清楚」誤寫成「發現了新數學」

本篇把認識論判準拆成四個層次：

1. **可證關係：** 例如 $q_z(x)+q_z(y)=1$ 、 $J_{\times}^2=I$ 、相位門檻與整數位階比較；無須實驗即可依定義證明。
2. **有限域精確統計：** 例如 $2,550$ 、 $528$ 、 $86$ 種七基底簽名；需要指定域、基底清單與語法，並能重現。
3. **渲染可見特徵：** 例如線條是否聚集成幾束、是否看似金字塔或塔樓；必須排除置中、比例和畫法本身產生的視覺偏差。
4. **未證實的全域關係幾何猜想：** 例如某種跨運算結構能否在更一般數值域、更多演算法下形成非平凡不變量；本篇尚未對此作出證明。

尤其要注意：只要允許無限次加入 $+0$ 、 $\times1$ 、恆等重寫或互相抵消的運算，即使終點固定，計算歷史也可能有無限多條。**有限節點數不代表全體歷史數自然有限。** 因此任何聲稱「窮舉所有運算關係」的研究，都必須同時固定語法、步數、係數界限與等價簡化規則。

本篇的 $2,550$ 僅是所指定**單步非平凡正整數乘法因數對**的完整枚舉；它不包含加減、除法、複合算法、負數、有理數或全體實數。

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## 11. 實作、獨立交叉驗證與資料品質

### 11.1 核心程式

`verify_paper05.py` 僅需 Python 標準函式庫，並使用精確整數完成：

- 非平凡因數對枚舉及有序／無序計數交叉核對；
- 逐結果與 $\tau(z)$ 的因數對公式交叉核對；
- 七種基底的 $\kappa_b$ 與精確相位判準之逐事件一致性驗證；
- 逐事件乘數交換後的 $\kappa_b$ 與指定數位卷積軌跡一致性；
- 固定 $891$ 的四組因數對與七基底簽名；
- 不同域上界下的觀察敏感性；
- CSV 與 JSON 可重現輸出。

`make_figures.py` 只負責將已驗證的 CSV、JSON 呈現為 PNG；圖形不是獨立的真值來源。

### 11.2 直接輸出的資料

| 檔案 | 內容 |
|---|---|
| `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_05_v0.1.md` | 本篇正式 UTF-8 原稿 |
| `verify_paper05.py` | 精確整數枚舉與計算過程驗證 |
| `paper05_stats.json` | 有限域總量、七基底統計、891 例子、邊界敏感性 |
| `paper05_pairs_1_to_1000.csv` | 全 $2,550$ 組因數對、七基底位階進位、指定演算法的數位進位位置數 |
| `paper05_centers_1_to_1000.csv` | 全 $1,000$ 個結果節點的因數來源量、同結果混合狀態 |
| `paper05_891_pair_signatures.csv` | 891 的四組非平凡來源完整特徵 |
| `paper05_891_digit_traces.csv` | 四組來源乘七基底的逐位卷積與進位歷史 |
| `make_figures.py` | 可選的 matplotlib 繪圖腳本 |
| `figures/paper05_log_center_891.png` | 891 的對數置中因數對 |
| `figures/paper05_891_carry_signatures.png` | 891 的七基底 $\kappa$ 特徵矩陣 |
| `figures/paper05_cross_base_mixed_centers.png` | 七基底同值來源混合節點數 |
| `validate_source.py` | 正式 source 與已生成資料驗收 |
| `SHA256_MANIFEST.json` | 套件內各檔 SHA-256 校驗值 |

### 11.3 三項獨立檢驗策略

**策略 A：** 以乘法枚舉總數和交換對合固定點推導有序／無序之間的數量關係；再逐結果使用 $\tau(z)$ 核對。

**策略 B：** 一方面直接以三個整數位階計算 $\kappa_b$ ；另一方面以 `x * base**level_z > z * base**level_x` 的精確整數比較計算相位門檻；兩者對全部七基底、全部 $2,550$ 組非平凡因數對逐一比對。

**策略 C：** 不使用 $\kappa_b$ 生成輸出數位，而獨立執行卷積算法，重建乘積並確認交換乘數後的逐位卷積軌跡相同。此測試針對本篇指定的演算法，而不是任意計算實作。

所有上文報告的統計由配套程式直接生成；近似對數座標僅供繪圖，正式定理不靠近似值成立。

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## 12. 已成立的結論、未成立的主張

### 12.1 已證明或完整驗證

- 對固定正數乘積，因數交換在對數座標下是精確鏡射；在 $z>1$ 時，歸一化對數中心恆為 $1/2$，且不依賴所選基底。
- 數量級進位 $\kappa_b(x,y)$ 只可能是 $0$ 或 $1$，並可由固定結果的相位門檻、等價的精確整數不等式求得。
- 同一個固定結果 $z$ 的不同乘法來源可以具有不同 $\kappa_b$ ；此現象在 $z=1000$ 與 $z=891$ 均有直接見證。
- 在指定七基底、 $N=1000$ 與非平凡因數對語法下，前述所有因數對、結果來源及跨基底簽名分布已完成精確窮舉。
- 分別定義位階進位與逐位卷積進位後，兩種運算歷史可以被可靠區別；它們不能因名稱相似而混用。

### 12.2 尚未成立

- 不能據此宣稱所有代數運算、所有實數、任意演算法都具有完全相同的中心或軌跡。
- 不能把任意圖面線條的對稱性視為自動存在的數學不變量。
- 不能把 $86$ 種有限七基底簽名理解為獨立的數論普適分類。
- 不能僅由「存在進位分化」推論它必然帶來更高計算效能、物理因果機制或新的數學獨立性結果。

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## 結語：可被保留的不是同一幅圖，而是產生那些圖的關係

回到研究起點： $9\times99$ 在十進位是一個簡短的等式；但當 $891$ 被放入有限數值塔樓，並完整保留 $3\times297$ 、 $9\times99$ 、 $11\times81$ 、 $27\times33$ 等來源時，同一數值的**不同運算生成路徑**才得以在同一個觀察場內比較。

若只看答案，這些差異被壓縮為 $891$ ；若只看圖形，則可能被排版、數量級界線或繪圖算法誤導。本篇建立了一條中間道路：先從代數中導出不依賴基底的對數置中鏡射，再研究離散進位塔樓如何把相同的因數對關係切成不同的位階相位。這讓圖形具備可核對的來源與精確的判準。

**數值可以只有一個，生成它的關係不必只有一條；進位制改變的是某些軌跡的可見相位，不是讓那些已成立的乘法關係失效。**

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## 參考與研究脈絡

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第一篇）》，2026-11-03，有限數值域與運算事件基礎。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二篇）》，2026-11-03，單步算術事件的全域枚舉與跨進位軌跡。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第三篇）》，2026-11-03，雙步乘法括號重排與數量級進位守恆。
4. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第四篇）》，2026-11-03，塔外折返與線性互補中心。
5. Wolfram MathWorld, *Divisor Function*, https://mathworld.wolfram.com/DivisorFunction.html ，用於既有 $\tau(n)$ 因數計數記號的背景參照；本文有限域枚舉與定理證明並不依賴外部數據。

**End of Paper 05 — v0.1**