# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十六篇）

## 未知路徑的觀測缺失、跨階段關係校驗與有限錯誤修復

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XXVI: Missing Observations of Unknown Paths, Cross-Stage Relational Checksums, and Exact Finite-Error Reconstruction*  
**版本：** v0.1（有限域精確定理、完整枚舉、獨立投影驗證與合成故障測試）  
**日期：** 2026-11-05  
**系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想：** Neo.K；形式化、程式與算術驗證：AI 協作  
**直接承接：** 第十四篇的雙作用算術圖、第二十二至二十四篇的故障與歷史證據界線、第二十五篇的未知三步路徑與末位—樓層觀察  
**Canonical source：** UTF-8、LF 換行；正式數學原始碼唯一採用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`  
**證據定位：** 指定有限正整數運算語法及指定觀測通道故障模型的精確結論；不聲稱已實現實際設備觀測、物理因果驗證或一般實數的通用錯誤修復。

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**作者：** Neo.K；形式化、程式與算術驗證：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

第二十五篇證明：在一張固定的、具有 $80$ 個精確數值節點及 $156$ 條雙作用邊的算術圖上，僅憑三步運算起點與終點，通常不能重建兩個未知中間值。將兩個中間值的低位數字與進位數量級樓層合併後，可在指定進位制下使完整路徑可辨識。然而「沒有錯誤時可以辨識」與「部分觀測消失、或某筆觀測被替換後仍然可以重建」是兩個不同的命題。本篇進一步把**不同中間階段間的可驗算數值關係**作為新的觀察通道，檢查其是否能取代重複保存每一個中間節點。

沿用 $K=40$ 的有限雙作用圖 $G_{40}$，完整枚舉長度恰為三、容許重訪節點的 $30,342$ 條數值行走。它們構成 $3,481$ 組可到達的有序起訖端點集合；同端點不同路徑的無序候選配對共有 $448,605$ 組。以進位基底 $23$ 的「樓層、末位」作為兩個中間節點的獨立觀察，全部同端點候選可在無誤時唯一辨識；但是其中 $150,130$ 組候選配對，恰只在一個中間階段的觀測上不同。因此若丟失該階段，單靠另一階段不可能保證恢復完整路徑：全部 $30,342$ 條路徑中，無論遺失哪一階段，只有 $6,202$ 條仍具有唯一的剩餘觀測識別。

本文提出兩種新增關係校驗的精確觀測碼。第一種只加上一個 $s=(v_1+v_2)\bmod64$，使固定已知起點與終點的路徑碼字具有最小 Hamming 距離 $2$：可以恢復一個已知位置的觀測遺失，或保證偵測一個未知位置的任意替換，但尚不能保證修復未知位置的替換。第二種加上兩個模 $81$ 校驗值， $p_0=(v_1+v_2)\bmod81$ 、 $p_1=(v_1+2v_2)\bmod81$，使四個觀察位置構成最小距離 $3$ 的有限路徑碼。兩份線性校驗本身亦能在原始中間值限定於 $1$ 至 $80$ 時，獨立反解全部 $6,400$ 組可能的中間數值對；再結合原本兩個階段的 23 進位觀測，可以在本實驗中保證修復單一未知替換，以及恢復任意兩個已知位置的擦除。

對全部同端點候選配對直接計算：原本兩階段 23 進位觀測的距離譜為 $150,130$ 組距離 $1$ 、 $298,475$ 組距離 $2$ ；增加模 $64$ 總和校驗後，變成 $157,057$ 組距離 $2$ 、 $291,548$ 組距離 $3$ ；使用兩個模 $81$ 校驗後，變成 $161,522$ 組距離 $3$ 、 $287,083$ 組距離 $4$。除逐對距離枚舉外，另以「刪除任意一欄／兩欄後仍為單射」的獨立投影判準驗證上述最低距離，並完成 $121,368$ 次單欄替換、 $121,368$ 次單欄擦除合成解碼測試。

本篇的重點不是宣稱發明一般糾錯碼理論，而是：**在完整保留有限運算關係的前提下，一條路徑的兩個中間數值可以透過跨階段約束互為校驗；關係資訊具有不同於各階段觀測副本的重建角色。** 但上述保證依賴固定數值域、合法路徑集合、觀測欄位與錯誤預算。它不代表計算機可以從不存在的真實歷史紀錄中還原過去，亦不代表對任意實數演算法或共同原因故障具備無條件的容錯能力。

**關鍵詞：** 進位制塔樓、全域運算關係幾何、未知中間歷史、階段性資訊缺失、關係校驗、有限觀測碼、錯誤距離、已知擦除、未知替換、跨階段耦合、端點條件解碼、合成見證。

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## 1. 研究問題：可辨識不等於可修復

第二十五篇處理無錯誤情形：已知起點與終點，能否根據中間數值的某種位值觀測唯一辨識整條三步數值路徑？本篇承接此模型，但把觀測資料可能受損納入正式問題。

首先必須區分四種條件。

1. **無錯誤唯一辨識：** 存在唯一一條合法路徑與全部觀測相容。
2. **已知位置擦除：** 某觀測位置沒有資料，但其他位置可用；解碼器知道哪一欄遺失。
3. **未知位置替換：** 某一欄完整觀測可能被替換為另一個值，解碼器不知道哪一欄損壞。
4. **整個階段或來源的共同故障：** 同一個中間階段的多筆觀測可能一起失效；其損壞位置數量不可偷換成一次單欄錯誤。

原本的塔樓圖若只畫出所有可能的連線，便容易忽略：某條關係即使唯一，在關鍵資訊遺失後也可能重新分裂成多條合法候選。因此本篇將跨階段**加法關係校驗**納入觀測碼，而不預先假設每個觀察欄位皆獨立可靠。

此外，「錯誤修復」只表示在聲明的離散觀測模型中，恢復正確的數值路徑及理論觀測資料。若要指稱歷史上真正使用了哪一個演算法，仍須保存或可靠量測其操作標籤；若要指稱某台設備的真實過去，還需要來源認證。

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## 2. 固定有限數值世界與端點候選纖維

### 2.1 沿用的雙作用圖

對 $K\ge2$，令：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\},\qquad V_K=\{1,2,\ldots,2K\}.
$$

若 $1\le x<y$ 及 $d,r\in A_K$ 滿足：

$$
y=x+d=xr,
$$

就把 $\{x,y\}$ 納入雙作用數值邊。反向則允許減法及精確除法。固定 $K=40$ 時有 $80$ 個節點、 $156$ 條無向邊。

本篇全部運算皆發生於這張**雙作用受限子圖**。這是原先 $1$ 至 $1000$ 塔樓研究的一個具體有限子系統，不能將 $80$ 節點的結果誤稱為所有 $1$ 至 $1000$ 整數運算、或所有實數運算的驗證。

### 2.2 三步路徑與已知端點

令：

$$
P=(v_0,v_1,v_2,v_3)
$$

是合法的三邊數值行走，其中相鄰節點須具有雙作用邊；允許重訪原節點、重走同一邊。固定已知起點 $a$ 、終點 $d$，定義：

$$
\mathcal W_{a,d}=\{(a,b,c,d):\{a,b\},\{b,c\},\{c,d\}\in E_{40}\}.
$$

這裡每一條候選數值路徑都具有自己的中間對 $(b,c)$，但同一對端點可以容許多個中間對。

### 2.3 逐筆驗證的基準數量

| 有限域資料物件 | 精確數量 |
|---|---:|
| 合法三步數值路徑 | 30,342 |
| 不同的可達有序端點對 | 3,481 |
| 只有一條候選路徑的端點對 | 922 |
| 端點纖維內最大候選路徑數 | 120 |
| 同端點不同路徑無序配對 | 448,605 |

兩條不同路徑的比較僅在其起點及終點都相同時進行。這是**端點條件路徑編碼**，不是要把不同起終點的全部路徑放到同一個無標記碼本中辨認。

本文由整數邊條件獨立重新生成 $30,342$ 條路徑，並與第二十五篇的 `paper25_all_walks.csv` 逐列核對，且另以有向中間邊的前後鄰接度數和交叉驗證路徑總數。

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## 3. 23 進位的兩個中間觀察位置

### 3.1 只保存樓層與末位

對正整數 $n$ 和整數基底 $q\ge2$，定義：

$$
O_q(n)=(\ell_q(n),n\bmod q),\qquad
\ell_q(n)=\lfloor\log_q n\rfloor.
$$

執行時，樓層由精確整數除法取得，不使用浮點對數判斷邊界。本篇先固定 $q=23$，對路徑 $P=(a,b,c,d)$ 保存兩個位置：

$$
C_0(P)=(O_{23}(b),O_{23}(c)).
$$

由第二十五篇的有限枚舉，在每個固定端點纖維 $\mathcal W_{a,d}$ 內， $C_0$ 是單射。但對所有 $1$ 至 $80$ 的整數， $O_{23}$ 本身**並非單射**：例如 $23,46,69$ 都有樓層 $1$ 、最低位 $0$。

因此，路徑辨識力來自**合法三步圖關係與兩端點條件**，而非單個「樓層＋末位」觀測可以無損編碼所有整數。

### 3.2 同端點兩條路徑之間的 Hamming 距離

令：

$$
d_H(C(P),C(P'))
=\#\{i:C_i(P)\ne C_i(P')\}.
$$

每個位置是一份完整的「樓層、末位」二元符號，或後文的一份完整模數校驗值；不把同一份符號內每一個位元再誤算成獨立失效來源。

對全部 $448,605$ 組同端點不同路徑的候選， $C_0$ 的距離分布為：

| 距離 | 候選配對數 |
|---:|---:|
| 1 | 150,130 |
| 2 | 298,475 |

其中距離 $1$ 的配對，正好有 $75,065$ 組共享第一中間數值、另 $75,065$ 組共享第二中間數值。在本次的端點纖維內，任何兩條候選只要某個中間數值不同，其對應的 $O_{23}$ 符號也不同。這是**本圖的完備枚舉結果**，不是宣稱 $O_{23}$ 對全體正整數都具這種性質。

### 3.3 中間階段遺失時的不可識別性

若只保留一個中間階段的 $O_{23}$ 觀測及兩端點，真正仍為唯一候選的路徑數如下：

| 被擦除的階段 | 還能唯一辨認 | 仍有歧義 |
|---|---:|---:|
| $v_1$ | 6,202 | 24,140 |
| $v_2$ | 6,202 | 24,140 |

由於圖的邊是無向的，整體路徑反向給出這兩個數量相等的一個結構性解釋；它們不是兩種不同故障模型碰巧得到一樣的圖表數。

具體反例為：

$$
(1,3,1,3),\qquad(1,4,1,3).
$$

兩者起點與終點相同，第二中間值皆為 $1$，第一中間值不同。若第一中間階段**所有觀察來源同時失效**，無論之後如何重新表示留下的第二中間數值，都不能單靠同一個 $1$ 判定原先經過 $3$ 還是 $4$。

這是資料不足，不是進位制計算精度不足。

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## 4. 以跨階段關係代替重複觀察：單一總和校驗

### 4.1 定義模數總和校驗

對正整數中間數值 $b,c$，定義：

$$
S_m(b,c)=(b+c)\bmod m.
$$

當起終點已知時，將原本兩個 23 進位觀測擴充為三位置碼字：

$$
C_m(P)=(O_{23}(b),O_{23}(c),S_m(b,c)).
$$

這個額外位置保存的是**兩個中間數值之間的一條關係**，而非某個階段觀測的重複副本。單靠總和不一定知道 $b$ 或 $c$ ；但已知其中一個階段的部分觀測，以及圖的合法路徑約束後，可以反向篩掉不相容候選。

### 4.2 模 64 的有限域精確結論

取 $m=64$，完整逐路徑檢查得到：

$$
\min_{a,d}\ \min_{P\ne P'\in\mathcal W_{a,d}}
d_H(C_{64}(P),C_{64}(P'))=2,
$$

其中只對含至少兩條候選的端點纖維取內層最小值。距離分布為：

| 距離 | 同端點不同路徑配對 |
|---:|---:|
| 2 | 157,057 |
| 3 | 291,548 |

因此，**在同端點且確知合法路徑語法的前提下**，任一已知位置觀測擦除後，剩餘兩個位置仍足以唯一恢復整條數值路徑；一次未知替換則能保證被發現為不合法碼字，但不能一般性地保證修復。

此處的錯誤保證是 Hamming 最小距離的標準推論。最小距離 $2$ 並不代表已經有能力修復任意一個未知位置的觀測竄改。

### 4.3 模數增加不會單調提高本觀察碼的辨識力

在固定 $C_m$ 的三欄定義下，完整檢查 $2\le m\le85$ ；若要求**丟掉任一個中間階段觀測後仍能恢復全部路徑**，得到：

| 校驗模數 $m$ | 遺失 $v_1$ 的歧義超額 | 遺失 $v_2$ 的歧義超額 |
|---:|---:|---:|
| 62 | 6 | 6 |
| 63 | 23 | 23 |
| **64** | **0** | **0** |
| 65 | 12 | 12 |

此處「歧義超額」為固定端點、保留階段觀測與校驗值所構成的每個等價類之大小減一，再在全圖加總。它不等於相同觀測下全部候選配對數。

因此在**測試範圍 $2$ 至 $85$ 與指定單一總和校驗結構**中， $64$ 是第一個能同時恢復任一階段擦除的模數；但 $65$ 再次失敗。這不是一般模數編碼的普適最小性命題，更不能據此說進位越大資訊越少。

![單一階段遺失時，關係校驗帶來的恢復能力](figures/paper26_erasure_recovery.png)

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## 5. 將關係提升為兩份線性校驗：模 81 的可逆結構

### 5.1 定義兩個不同校驗

由於兩個中間數值皆在 $1$ 至 $80$，選擇奇數模數 $81$，並定義：

$$
p_0=(b+c)\bmod81,
$$

$$
p_1=(b+2c)\bmod81.
$$

完整四位置碼字為：

$$
C_*(P)=(O_{23}(b),O_{23}(c),p_0,p_1).
$$

### 定理 5.1（兩個線性校驗可直接恢復兩個整數中間值）

**定理。** 若 $1\le b,c\le80$，且兩份模 $81$ 校驗 $p_0,p_1$ 完整且正確，則不需知道起點、終點或原本的 23 進位觀測，就能唯一重建 $b,c$：

$$
c\equiv p_1-p_0\pmod{81},
$$

$$
b\equiv 2p_0-p_1\pmod{81}.
$$

**證明。** 兩個校驗的係數矩陣為：

$$
\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}.
$$

其行列式為 $1$，在模 $81$ 的整數環中具有乘法逆元，所以矩陣可逆；直接相減與線性組合即得上述兩個同餘式。因 $b,c$ 都在 $1$ 至 $80$，每個同餘類恰對應至多一個合法中間值，從而可唯一恢復。證畢。

驗證程式以直接雙重整數迴圈，檢查所有 $80^2=6,400$ 種中間值組合均可由兩個校驗完整重建。這是代數定理的有限直接核對，不是以枚舉取代定理證明。

### 5.2 一個一般化的距離充分條件

設每個中間數值位於 $1$ 至 $U$，模數 $m$ 為大於 $U-1$ 的**奇數**。對某個固定端點候選集，若兩個單階段觀測函數各自能區分該候選集中所有不同的相應中間值，即：

$$
f_1(b)=f_1(b')\Longrightarrow b=b',
$$

$$
f_2(c)=f_2(c')\Longrightarrow c=c',
$$

其中比較限定於同一端點候選集合中的合法路徑，那麼加入校驗 $(b+c)\bmod m$ 與 $(b+2c)\bmod m$ 後，任意兩個不同候選碼字的 Hamming 距離至少為 $3$。

**證明。** 對兩個不同中間值對 $(b,c)$ 與 $(b',c')$ 分情況討論。

- 只有 $b$ 不同：第一階段觀測必不同。兩校驗的差皆為 $b-b'$，其非零絕對值小於 $m$，故兩校驗亦不同，總距離至少 $3$。
- 只有 $c$ 不同：第二階段觀測必不同。第一校驗差為 $c-c'$，第二校驗差為 $2(c-c')$ ；因 $m$ 是奇數， $2$ 在模 $m$ 下可逆，兩者皆不為零，故總距離至少 $3$。
- $b$ 與 $c$ 都不同：兩階段觀測皆不同。若兩校驗都相同，兩式相減會推出 $c\equiv c'\pmod m$，再推出 $b\equiv b'\pmod m$ ；由差值絕對值小於 $m$，與兩者不同矛盾。故兩校驗至少一項不同，總距離至少 $3$。

三種情況均成立，證畢。

此定理的條件很重要。若單階段符號在同一端點候選集中會把兩個不同數值混為一談，不能不加檢查就援用結論。本文的 $O_{23}$ 對 $1$ 至 $80$ 不是全域單射，但在已固定端點的合法候選集合中，上述逐階段分離性已由完整枚舉驗證。

### 5.3 第三個關鍵實驗：最小距離確實為 3

對 $K=40$ 、全部 $448,605$ 組同端點不同路徑候選，得到：

| 四欄碼字的 Hamming 距離 | 候選配對數 |
|---:|---:|
| 3 | 161,522 |
| 4 | 287,083 |

不存在距離 $0,1,2$ 的不同合法候選，而距離 $3$ 確實可達，因此最小距離**恰好**等於 $3$，不是只有一個鬆散下界。

利用一般有限碼距離判準，這足以保證：

1. 最多一個**未知位置的完整欄位替換**，可唯一恢復原本路徑；
2. 最多兩個**已知位置的完整欄位擦除**，可唯一恢復原本路徑；
3. 若同時發生未知替換及擦除，必須重新檢查錯誤預算；最小距離 $3$ 不保證「一次未知替換再加一次擦除」仍可修復。

![有限路徑觀測碼的 Hamming 距離譜](figures/paper26_pairwise_distance.png)

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## 6. 獨立驗證：不用同一組配對距離重複證明自己

### 6.1 投影單射與碼距離的等價判準

對任何碼本，最小距離至少為 $D$，當且僅當從全部觀測欄位中任意刪除 $D-1$ 欄，剩下的投影在候選碼本內仍是單射。

**證明。** 若兩個不同碼字距離少於 $D$，刪除它們所有不同位置即可讓剩下的碼字完全相同；反之若刪去最多 $D-1$ 欄後兩個碼字可能完全相同，兩者不同位置必全部包含於刪掉的欄位之中，故距離小於 $D$。證畢。

本文對三位置 $C_{64}$ 的每一種「刪去一欄」情況、四位置 $C_*$ 的每一種「刪去兩欄」情況，分別對 $3,481$ 個端點候選集合重新建立投影索引，要求任何兩條候選在保留欄位下都不發生碰撞。

這一套檢查採**集合去重單射測試**，獨立於前節逐對累加 Hamming 距離的計算；二者所得最小距離一致。另把三種相異進位基底 $23,25,27$ 的完整雙中間階段觀察各視為一個整體觀測框，也得到三框最小距離 $3$，作為不同資料組織方式的正對照。

### 6.2 大量合成錯誤測試

對全部 $30,342$ 條候選路徑，逐條取四位置碼字 $C_*$。每次選定一欄：

- 把該欄觀測修改成一個明確不同的值，再依已知端點找距離最近、且與其他候選有嚴格區別的合法碼字；
- 或將該欄標為已知擦除，要求剩下三欄唯一確定合法路徑。

共執行：

| 故障測試 | 測試次數 | 重新辨識結果 |
|---|---:|---|
| 單欄未知替換 | 121,368 | 全部恢復原路徑 |
| 單欄已知擦除 | 121,368 | 全部恢復原路徑 |

這兩種測試只是**指定形式碼本上的合成故障注入**。進一步對全部候選配對做的距離枚舉已提供任意可能替換字母的數學保證，不只限於實驗所挑選的某種修改方式。

### 6.3 兩次竄改的必要失敗反例

固定相同端點 $1\to4$ 的兩條合法路徑：

$$
P=(1,4,2,4),\qquad P'=(1,4,1,4).
$$

其四位置碼字依序為：

```text
P  : (0,4) | (0,2) | 6 | 8
P' : (0,4) | (0,1) | 5 | 6
```

兩者距離為 $3$。若從 $P$ 的碼字出發，只把第二中間階段符號改成 $(0,1)$，最近合法碼字仍唯一是 $P$。但是若再把總和校驗值也改成 $5$，損壞後的資料對 $P'$ 只差一欄、對 $P$ 則差兩欄，最近碼字解碼器便可能**錯誤地輸出另一條完全合法的路徑**。

這不是驗證程式失效，而是超過了最小距離 $3$ 所保證的單次未知替換上限。套件保留這一案例作為必須被「聲稱原路徑仍受單錯保證」的驗證器拒絕的負對照。

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## 7. 階段故障、關係通道故障與真正的共同來源風險

### 7.1 一個中間階段失效，不等於所有觀察欄位失效

對單一總和校驗方案 $C_{64}$，如果第一或第二中間階段觀測遺失，剩下的另一個階段符號與總和校驗，仍可依圖上的合法路徑約束唯一重建 $30,342$ 條候選的正確路徑。

但此保證的前提是總和校驗來源未在同一次故障中一起消失。若同一裝置同時儲存某階段觀測及唯一的校驗值，而一次故障將兩者一起摧毀，就不符合「只丟失一個欄位」的數學前提。

### 7.2 兩種不同的整體失效仍可以分開分析

對四欄方案 $C_*$：

- 若**兩個原始 23 進位階段觀測**一起遺失，而 $p_0,p_1$ 仍然正確，定理 5.1 可以直接恢復 $b,c$ ；
- 若**兩個關係校驗通道**一起遺失，但兩個原始階段觀測完整，第二十五篇已確認在已知端點纖維內，這兩個觀測仍可唯一辨識數值路徑。

上述是對**特定兩欄擦除組合**的正確性判準，並不等同於原始來源、故障來源與真實觀測都已受到外部認證。

### 7.3 來源失效需要另外計數

設兩個模 $81$ 校驗皆由同一個錯誤函式產生。若此函式同時在兩份校驗中引入相關錯誤，那是兩個欄位共同損壞，不可當成一次未知替換並直接援用距離 $3$ 的修復結論。

如果算術圖的端點或允許的運算語法本身遭到修改，則所有合成觀測皆可能對另一個世界自洽；這是更上游的模型／來源問題。前篇第 23、24 篇所強調的來源稽核，在本文的關係校驗模型中仍然必要。

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## 8. 與直接跨進位冗餘的比較：觀察內容不能只算份數

### 8.1 三種資料結構

我們可將觀察資料組織為：

1. **兩份階段觀測：** 只保留 $O_{23}(b)$ 、 $O_{23}(c)$ ；
2. **階段觀測加關係校驗：** 另外保留 $S_{64}(b,c)$，或兩個模 $81$ 校驗；
3. **多基底整框觀測：** 每個基底保存一整份 $(O_q(b),O_q(c))$，例如 $q=23,25,27$。

在完整的三步路徑與已知端點條件下，第三種三整框模式的 Hamming 最小距離為 $3$，第一種只有 $1$ ；第二種在四位置的雙校驗方案下亦為 $3$。

但其**故障欄位的粒度不一定相同**：一份整框若被視為一個不可拆的通道，會同時包含兩個階段；兩個關係校驗欄位則可能共享同一種計算來源。不能只比「有幾欄」後就宣稱某方案在實務上具有同樣故障可靠性。

### 8.2 固定寬度位元代理模型

因數值節點均在 $1$ 至 $80$，對基底 $23,25,27$ 的單個 $O_q(n)$，可用五位元保存最低位數字、加一位元保存樓層，計六個位元；模 $64$ 校驗需要六位元，模 $81$ 校驗各需七位元。

依此透明的固定寬度代理成本，得到：

| 觀察結構 | 每路徑位元模型 | 最小距離 |
|---|---:|---:|
| 兩個 23 進位階段觀測 | 12 | 1 |
| 加一份模 64 總和校驗 | 18 | 2 |
| 加兩份模 81 關係校驗 | **26** | **3** |
| 23、25 兩個完整整框 | 24 | 2 |
| 23、25、27 三個完整整框 | 36 | 3 |

這不是熵編碼的最短理論位元數，也不等同 CPU 時間、能源成本、磁碟實際壓縮大小或可信故障來源數。尤其兩個方案若將不同欄位分組為不同共同故障來源，不能直接從表中推導哪一套實體系統較可靠。

![觀測碼的固定寬度與最小距離](figures/paper26_width_distance.png)

### 8.3 先保存關係還是先保存數值？

對定理 5.1 的兩個模 $81$ 校驗，完整校驗對可單獨恢復兩個中間數值；對原來的 $O_{23}$ 觀測，若沒有已知端點及合法路徑集合，則不一定能唯一恢復數值。兩者在**資訊恢復條件**上不同。

但如果原本需要追查「真的執行過哪種加／乘操作」，兩種校驗都不保存那個操作選擇位元。即使恢復完整三步數值路徑，仍有 $2^3=8$ 種可能的合法運算標記歷史；此問題必須另使用可信進位指紋或操作紀錄處理。

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## 9. 反例與不能跨越的推廣界線

### 9.1 正確校驗並不能自動證明歷史來源

程式可以將已知路徑編碼後，再故意修改一欄，藉由數學解碼器找回原路徑。但它所證明的僅是：**在這份合成資料及聲明故障預算下，碼本具備唯一解碼能力**。它不能證明某條真正的過去運算確曾經過相同中間值。

### 9.2 更大的模數未必比更小模數更有用

本篇模 $64$ 成功、模 $65$ 失敗的有限反例，延續第二十五篇發現的非單調觀察特徵。這裡的「成功」是將總和觀測與另一階段符號、端點約束合用後，對全部有限候選完成擦除恢復，不是比較模數所能編碼的全域整數總量。

### 9.3 不知道端點時，部分碼字可能重新碰撞

若不再固定起終點，原本依賴圖關係的 $O_{23}$ 觀測未必能唯一識別路徑；本文距離譜及最小距離下界都必須重新計算。兩份模 $81$ 校驗能獨立恢復 $b,c$，也不能由此知道它們來自哪一個起點或終點。

### 9.4 逐位真實進位與關係校驗是不同資訊

模總和校驗是對精確整數中間值計算的關係函數；它不是標準乘法卷積的進位向量，也不是第十七篇進位缺陷多項式的直接替代。若要研究運算算法本身的中間進位，就必須在恢復數值路徑後，繼續辨識實際選用的運算種類和指定算法。

### 9.5 不能從四個模數位置推論任意實數演算法容錯

本篇數值節點限制於 $1$ 至 $80$，全部校驗在有限整數模環上進行。對負數、非終止有理數、無理實數、浮點捨入或無限運算歷史，必須另外給出量化方法、數域與誤差定義；本篇的模 $81$ 反解和 Hamming 結論不應不加條件地直接移植。

### 9.6 不把數值運算關係誤稱物理因果律

本文的「作用」指具有明確輸入與輸出、可逐步核驗的算術事件；「關係校驗」是中間數值之間的代數約束，不能由此直接宣稱發現新的物理力學、時間反轉或實在世界的因果效應。

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## 10. 完整驗證與可重現交付

### 10.1 兩條獨立的碼距離驗證方式

`verify_paper26.py` 首先根據 $y=x+d=xr$ 精確生成全部 $156$ 條邊，再生成所有 $30,342$ 條有序數值路徑。逐對比較同端點不同路徑的六種觀測配置，完整取得各自 Hamming 距離譜。

第二條獨立方法不再逐對累積距離，而是對每個端點纖維，將全部碼字投影到「刪掉最多指定數量欄位」的任一保留欄位集合，並直接檢查單射性。只有兩者都通過，才報告最低距離成立。

此外，程式從第二十五篇的原始 `paper25_all_walks.csv` 逐列讀回舊路徑，與新生成結果完全比對；另用圖的有向中間邊度數加總驗證路徑數。這可防止藉由更換研究世界才獲得較佳的容錯圖形。

### 10.2 校驗反解與故障注入

除了碼距離檢查，直接對所有 $6,400$ 個有界中間值對執行模 $81$ 雙校驗反解。對任意同端點候選，若原始四位置碼字只有一欄發生未知替換，使用唯一最近合法碼字進行恢復；若只有一欄被標記為已知擦除，則使用保留欄位重建。

正式驗證紀錄包含：

| 項目 | 完成數量 |
|---|---:|
| 三步合法數值路徑 | 30,342 |
| 同端點不同路徑配對 | 448,605 |
| 模 $81$ 雙校驗的全域整數對反解 | 6,400 |
| 四位置單欄未知替換測試 | 121,368 |
| 四位置單欄已知擦除測試 | 121,368 |
| 校驗模數 $2$ 至 $85$ 的擦除篩選 | 84 個模數 |

完整錯誤注入只涵蓋明確合成測試；任意替換字母的保證由前述最小距離定理提供，而不是靠抽樣推測。

### 10.3 機器可讀的合成證書

`data/paper26_synthetic_correctable_certificate.json` 明確標示其觀測來源為合成測試。它指定相同端點 $(1,4)$ 、原路徑 $(1,4,2,4)$ 、四位置正確碼字，以及一欄被改寫的觀測資料；驗證器必須恢復原路徑。

`data/paper26_synthetic_two_error_counterexample.json` 刻意把兩欄改成另一條合法候選的資料；驗證器若接受它為「只受到一次未知替換的原路徑」，就屬錯誤，因此此檔案**必須被拒絕**。兩份資料都不能作為真實設備歷史的認證。

### 10.4 可重現套件內容

| 檔案 | 功能 |
|---|---|
| `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_26_v0.1.md` | 本篇完整 UTF-8 Markdown 原始論文 |
| `verify_paper26.py` | 有限算術圖、全部路徑、編碼距離、投影單射與合成故障注入 |
| `verify_certificate_paper26.py` | 合成證書的正例接受與雙錯負例拒絕 |
| `make_figures.py` | 依照已驗證數據產生 PNG/SVG 圖 |
| `validate_paper26.py` | UTF-8、數據、manifest 與原始碼語法檢查 |
| `data/paper26_endpoint_recovery.csv` | 各端點纖維的候選數、共享中間狀態與擦除恢復率 |
| `data/paper26_checksum_modulus_screen.csv` | $2$ 至 $85$ 的單總和校驗模數對照 |
| `data/paper26_pairwise_distance_spectra.csv` | 六種觀察方案的完整 Hamming 距離譜 |
| `data/paper26_policy_comparison.csv` | 故障保證及固定寬度位元代理成本 |
| `data/paper26_stats.json` | 全部主統計與驗證狀態 |
| `data/paper26_synthetic_correctable_certificate.json` | 單錯可恢復的合成觀測證書 |
| `data/paper26_synthetic_two_error_counterexample.json` | 超出單錯預算、必須拒絕的負對照 |
| `reference/` | 第二十五篇未修改的全部數值路徑與端點基準資料 |
| `figures/` | 四張 PNG 及四張 SVG，僅供閱讀 |
| `SHA256_MANIFEST.json` | 正式發行內容的逐檔 SHA-256 |

### 10.5 離線執行與驗收

在套件根目錄執行：

```bash
python verify_paper26.py --output . --reference reference
python verify_certificate_paper26.py data/paper26_synthetic_correctable_certificate.json
python make_figures.py
python validate_paper26.py
```

負對照則必須以非零狀態退出：

```bash
python verify_certificate_paper26.py data/paper26_synthetic_two_error_counterexample.json
```

數值驗證只需 Python 3 標準函式庫；PNG/SVG 再生需要 Matplotlib，但畫面不是數學證書的唯一來源。正式 ZIP 發行前須檢查 UTF-8 與 LF 換行、唯一 canonical 數學 delimiters、原始數據逐項一致、合成證書的正反例、SHA-256 清單及獨立解壓後的完整重算。

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## 11. 結論：中間關係可以成為重建資訊，而不只是圖上的連線

從第二十五篇到第二十六篇，我們將未知三步路徑的問題由**無錯誤唯一辨識**推進為**已知擦除恢復及未知替換修復**。原本兩個中間階段的 23 進位觀測雖能在固定端點纖維內識別完整路徑，但因有 $150,130$ 組不同路徑只在一個觀測位置不同，任何一個中間階段的缺失都可能使數值歷史重新變得模糊。

本文並非直接複製整條路徑來處理這個問題，而是額外保存有限關係校驗。單一模 $64$ 總和校驗把有限路徑碼距離提升到 $2$ ；兩個模 $81$ 的線性校驗又把距離提升至 $3$，並且校驗對本身即可反解兩個有界中間數值。全部 $448,605$ 組同端點不同候選的距離、任意兩欄刪除後的單射、以及合成替換／擦除測試均互相吻合。這些精確結果說明：在指定有限域裡，**跨階段關係可以提供獨立於單一階段觀測的數值恢復能力**。

但研究界線同樣清楚：數值碼字修復不代表運算標籤被恢復，數學校驗通過不代表資料來源可信，有限正整數反解不能代表全部實數歷史都能有限重建。要讓最初的塔樓觀察真正成為可稽核的全域運算框架，就必須同時保存：精確合法關係、足夠的觀測約束、清楚的故障預算，以及不能被觀測模擬替代的歷史來源條件。

**本篇核心結語：一個數值可以因失去觀測而消失於記錄，但只要保留了足夠且可信的關係，它仍可能從其他數值之間被精確重建。**

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## 參考文獻與研究銜接

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）》，2026-11-05：正整數雙作用網路及其精確算術見證。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十二篇）》，2026-11-05：進位指紋、Hamming 距離、擦除及未知替換的通道級容錯模型。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十三、二十四篇）》，2026-11-05：共同來源故障、數值重算與歷史認證的分界。
4. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十五篇）》，2026-11-05：未知三步數值路徑、固定端點纖維及位階—末位互補觀察。
5. Hamming, Richard W. “Error Detecting and Error Correcting Codes.” *Bell System Technical Journal* 29(2), 147–160 (1950). DOI: https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1950.tb00463.x 。本文使用其既有的最小距離、擦除與替換容錯理論，不主張重新發明 Hamming 編碼。
6. 基本模線性代數與有限同餘解法：行列式為單位元的係數矩陣可在模 $m$ 環中反解；本文僅將其應用到特定算術路徑觀測模型。

**End of Paper XXVI (v0.1).**