# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十八篇）

## 聯合運算證書的故障來源分組、最小五來源構造與區塊錯誤修復界線

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XXVIII: Failure-Domain Partitions of Joint Computation Certificates, a Minimal Five-Source Construction, and Exact Block-Error Recovery Bounds*  
**版本：** v0.1（精確定理、完整有限域配對計數、合成來源故障驗證）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想與問題設定：** Neo.K；形式化、程式設計及獨立驗證：AI 協作  
**直接承接：** 第二十六篇的四欄路徑碼、第二十七篇的十欄聯合證書，及第二十三篇的故障來源分層  
**Canonical source：** UTF-8、LF 換行 Markdown；正式公式的唯一原始碼分隔符是 ` $...$ ` 與 `$$...$$`。  
**證據界線：** 本文只研究固定正整數雙作用語法、已知精確起終點、三條邊的運算歷史，以及有明確欄位—來源映射的合成故障。不宣稱具備外部執行歷史認證或真實硬體獨立性。

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**作者：** Neo.K；形式化、程式設計及獨立驗證：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

第二十七篇將未知中間數值路徑與三個二元操作選擇整合為十欄聯合證書，在已知端點的有限算術世界內取得最小欄位 Hamming 距離 $3$，因而能修復單一未知欄位替換。然而，一個故障來源可能同時產生或保存多個觀測欄位；同一來源發生一次故障，不一定只損壞一欄。**欄位級距離為三，並不自動意味來源級距離為三。** 本篇研究在保留原十欄數學語義不變的情況下，是否存在可以用較少獨立故障來源實現單次來源錯誤修復的欄位配置。

本文固定第十四、二十五至二十七篇相同的受限雙作用圖 $G_{40}$： $80$ 個數值節點、 $156$ 條合法無向邊、 $30,342$ 條有向三步數值行走、 $3,481$ 個起終點纖維，以及每條行走八種合法操作標記，共 $242,736$ 條完整候選歷史。聯合證書前四欄為兩個中間值的 $23$ 進位樓層—末位觀測與兩份模 $81$ 關係校驗；後六欄為三個原始操作位元及三個跨階段奇偶校驗位元。原始碼字內容、端點纖維與合法算術語法均不修改。

我們將十個原子欄位按固定配置映射到若干**故障來源域**；某來源若發生一次錯誤，允許其內任意多個欄位同時被替換。對兩份同端點完整歷史，定義**來源距離**為其碼字出現不同值的來源域數量。本文證明：在沿用第二十七篇的六位元操作碼、要求全體合法完整歷史在一次未知來源域替換後仍可唯一修復時，任何只有四個或更少來源域的配置都不可能達到最低來源距離 $3$。其必要性只需利用操作子碼的八個合法字與二來源擦除後的資訊容量限制，即可得出；與圖形排版或特定數字無關。

另一方面，本文給出一個**五來源精確達成構造**：把前四個路徑欄位依序置於來源 $F_0,F_1,F_2,F_3$，六個操作欄位依序置於 $F_0,F_1,F_2,F_2,F_3,F_4$。我們直接列出操作子碼的全部七個非零差分，證明任意兩個不同操作字至少在三個來源域不同；而不同數值路徑原有的四欄碼也至少在三個不同來源域不同。因此完整聯合碼的最低來源距離**恰為三**，五是此固定證書格式下的精確最小來源域數量。

由第十九至二十七篇使用的相同有限母集合，全部同端點、不同完整歷史的無序配對共有 $29,560,296$ 組。在五來源配置下，來源距離 $3,4,5$ 的配對分別為 **$3,258,232$ 、 $14,476,728$ 、 $11,825,336$**；在一個四來源對照配置下仍有 $121,368$ 組距離僅為 $2$。另對全部 $242,736$ 條歷史，在五個來源中逐一模擬整組欄位受損，共進行 **$1,213,680$ 次確定性合成故障注入**，全部在單來源預算內恢復正確歷史。與此同時，我們構造只損壞兩個來源域便可能讓最近碼字選成另一個合法操作字的明確反例，防止把單源容錯誤稱成無界容錯。

本篇進一步證明一項受限的完美覆蓋性：五來源配置中的六位元操作子碼，其一來源半徑球在全部 $2^6=64$ 個二元觀測字上恰好無重疊且完整覆蓋。這項性質只屬於指定的二元操作子碼與來源分組；**整份含大字母表路徑欄位的聯合碼並沒有因此成為一般意義的完美碼**。

研究最後區分**數學上的來源域分配**、**工程上確實獨立的故障機制**與**執行紀錄的外部可信性**。若來源配置依未知狀態動態變更，或五個邏輯來源共用同一個可使其同時失效的上游程序，則固定配置下的碼距不能直接作為真實設備的保證。本文建立的是可重現、可審計的有限資訊分配判準，而不是已經部署的故障獨立系統。

**關鍵詞：** 進位制塔樓、全域運算關係、聯合觀測證書、來源域、區塊 Hamming 距離、混合字母表碼、跨階段奇偶校驗、最小來源分配、完整有限域配對、共同來源故障、合成錯誤注入、歷史可信性。

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## 1. 問題：同一來源不一定只壞一個欄位

### 1.1 第二十七篇的證書已完成，但故障單位還太細

第二十七篇的聯合證書在**一個原子欄位**被未知替換時具有唯一解碼能力。這項數學結果完全有效，但若同一個服務同時儲存第二中間值的位階觀測、原始運算選擇位元與其奇偶校驗，一次共同錯誤就可能同時破壞三個欄位。

因此有必要把故障模型分開：

1. **原子欄位級故障：** 一次錯誤只影響十欄中的一欄。
2. **來源域級故障：** 一次錯誤可能替換同一來源所承載的任意多個原子欄位。
3. **跨來源共同原因故障：** 表面上分開的多個來源，仍可能由同一實作、輸入或控制面同步失效。
4. **完整歷史來源真實性：** 即使所有欄位一致，也不能僅靠數學證書證明歷史確曾發生。

本文研究第二層的精確數學模型；第三、四層列為工程與信任的必要額外條件。

### 1.2 不更換前篇的算術世界

取輸入運算元範圍 $A_K=\{2,\ldots,K\}$，由 $y=x+d=xr$ 、 $d,r\in A_K$ 定義合法無向雙作用邊，向上可選加法或乘法，向下可選減法或精確除法。主實驗固定 $K=40$。

對合法三步數值行走 $P=(v_0,v_1,v_2,v_3)$，只知道可信起點與終點 $(v_0,v_3)$ ；兩個中間值及三個實際操作選擇可能未知。允許相鄰節點重複行經同一條邊，但每一步都必須依語法合法。

固定觀察集合大小與先前各篇一致：

| 物件 | 數量 |
|---|---:|
| 正整數節點 | 80 |
| 無向雙作用邊 | 156 |
| 有向三步數值行走 | 30,342 |
| 可達起終點纖維 | 3,481 |
| 完整帶標籤歷史 | 242,736 |
| 同端點不同完整歷史無序配對 | 29,560,296 |

上述集合由本篇程式重新枚舉，並和第二十七篇的 30,342 筆原始路徑資料逐筆核對。

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## 2. 十欄聯合碼及不可刪除的原始語義

### 2.1 四個數值路徑觀測欄位

對任意正整數 $n$，令 $O_{23}(n)=(\ell_{23}(n),n\bmod23)$，其中 $\ell_{23}(n)$ 是由整數除法確定的位階。對 $P=(a,b,c,d)$ 定義：

$$
C_P(P)=\big(O_{23}(b),O_{23}(c),(b+c)\bmod81,(b+2c)\bmod81\big).
$$

這裡第 1、2 欄各為一個**完整二元組原子欄位**，不能在計數時拆成兩個互相獨立的故障通道。因第二十七篇已經固定正確的有限路徑集合，任兩條同端點不同數值路徑的四欄碼至少有三個原子欄位不同。

### 2.2 六個二元運算欄位

設 $\epsilon=(b_0,b_1,b_2)\in\mathbb F_2^3$。沿用第二十七篇的操作碼：

$$
C_O(\epsilon)=\big(b_0,b_1,b_2,b_0\oplus b_1,b_0\oplus b_2,b_1\oplus b_2\big).
$$

這六欄依序記為 $b_0,b_1,b_2,p_{01},p_{02},p_{12}$。其八個合法碼字具有普通欄位級最低距離 $3$ ；在操作選擇已知時，與給定數值邊的方向可以唯一重建操作符與右側操作元。

### 2.3 完整聯合證書

$$
C_J(P,\epsilon)=\big(C_P(P),C_O(\epsilon)\big).
$$

共十個原子欄位，且同端點下任何不同歷史至少相差三欄。本文**完全保留這個碼字，不修改任何一個校驗方程**；新的研究變數只有「哪個來源負責哪幾欄」。

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## 3. 來源域分組與來源距離

### 3.1 固定的來源標籤映射

設有 $s$ 個來源域，配置映射為：

$$
\rho:\{0,1,\ldots,9\}\longrightarrow\{0,1,\ldots,s-1\}.
$$

第 $i$ 欄的來源是 $\rho(i)$。所有歷史在同一個實驗中必須採取**相同且已聲明的配置**；來源標籤不應依未知操作位元暗中變動，否則比較者所使用的碼字座標未必一致。

### 3.2 來源距離

對兩條已知相同起終點的合法歷史 $H,H'$，定義其原子欄位差異集合：

$$
\operatorname{Diff}(H,H')=\{i:C_J(H)_i\ne C_J(H')_i\}.
$$

其來源支持集合是：

$$
\operatorname{Supp}_\rho(H,H')=\{\rho(i):i\in\operatorname{Diff}(H,H')\}.
$$

來源距離定義為：

$$
d_\rho(H,H')=|\operatorname{Supp}_\rho(H,H')|.
$$

亦即即使來源 $F_j$ 中有兩欄或三欄不同，仍只計**一個可能同時失效的來源域**。固定端點纖維上的最小來源距離 $D_\rho$ 是所有不同合法完整歷史的 $d_\rho$ 最小值。

### 3.3 來源錯誤修復的必要充分條件

在每次至多 $t$ 個**未知來源域**遭任意替換、且來源域身分可靠可辨的模型中，若需保證唯一解碼全部合法碼字，標準兩碼字距離論證給出：

$$
D_\rho\ge2t+1.
$$

對一次未知來源替換，即要求 $D_\rho\ge3$ ；若只需修復一次**已知來源擦除**，則 $D_\rho\ge2$ 已足夠。這些是經典 Hamming 觀念在整個來源區塊作為一個大字母表符號時的直接應用。

資料來源彼此是否真的獨立、原始端點是否受到可信保護，不包含在這項純組合條件中。

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## 4. 第一個定理：少於五個來源不足以容忍一次未知來源錯誤

### 定理 4.1（固定六位元操作碼的四來源不可能性）

假設六個操作二元欄位依固定配置分派到至多四個來源域；每個操作位元字 $\epsilon\in\{0,1\}^3$ 都是一個合法候選，總共八個碼字。則不可能使全部不同操作碼字的來源距離都至少為 $3$。

**證明。** 將六個二元操作欄位分成至多四個非空來源區塊。因為共有六欄，必可選出兩個來源區塊，其合計至少包含四欄：若恰有四個非空來源，可能的欄位數分布必包含 $3+1+1+1$ 、 $2+2+1+1$ 或比前兩種更不均的分布；若非空來源更少，結論同樣成立。

假設刪去這兩個來源的全部欄位，剩下最多兩個二元欄位，因此最多產生 $2^2=4$ 種不同接收字。但原來有八個不同操作碼字；依鴿籠原理，必有兩個碼字在所有剩餘欄位完全相同。這兩個碼字原本只能在被刪除的至多兩個來源上不同，故來源距離至多 $2$，與要求至少 $3$ 矛盾。證畢。

**重要：** 這個下界不依賴數值路徑欄位如何分組。固定任一合法數值路徑，八種操作選擇已經足以形成上述不可行性。因此把路徑與操作欄位混合放置，也無法用四個來源迴避此下界。

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## 5. 第二個定理：五來源的明確最小構造

### 5.1 一個可直接部署於資料模式的分組

下表用欄位索引 $0$ 至 $9$，每個來源可以承載不同種類的觀測資料：

| 原子欄位 | 欄位索引 | 所屬來源 |
|---|---:|---|
| 第一中間值的 $23$ 進位觀測 | 0 | $F_0$ |
| 第二中間值的 $23$ 進位觀測 | 1 | $F_1$ |
| $(b+c)\bmod81$ | 2 | $F_2$ |
| $(b+2c)\bmod81$ | 3 | $F_3$ |
| 原始操作位元 $b_0$ | 4 | $F_0$ |
| 原始操作位元 $b_1$ | 5 | $F_1$ |
| 原始操作位元 $b_2$ | 6 | $F_2$ |
| 奇偶校驗 $p_{01}$ | 7 | $F_2$ |
| 奇偶校驗 $p_{02}$ | 8 | $F_3$ |
| 奇偶校驗 $p_{12}$ | 9 | $F_4$ |

因此五個來源分別保存：

- $F_0$：欄位 $0,4$ ；
- $F_1$：欄位 $1,5$ ；
- $F_2$：欄位 $2,6,7$ ；
- $F_3$：欄位 $3,8$ ；
- $F_4$：欄位 $9$。

![圖 1：五來源的十欄分配](figures/paper28_five_source_layout.png)

這是數學上的來源標籤配置，不表示五個欄位群組已經安置在五個真實互相獨立的硬體或可信執行環境中。

### 5.2 操作碼的七種非零差分

由操作碼是線性二元碼，任兩個操作碼字的差，必等於其中一個非零操作字相對 `000` 的差。對所有七個非零差分，檢查其觸及的五來源集合：

| 操作位元差分 | 觸及的來源域 | 個數 |
|---|---|---:|
| `001` | $F_2,F_3,F_4$ | 3 |
| `010` | $F_1,F_2,F_4$ | 3 |
| `011` | $F_1,F_2,F_3$ | 3 |
| `100` | $F_0,F_2,F_3$ | 3 |
| `101` | $F_0,F_2,F_4$ | 3 |
| `110` | $F_0,F_1,F_3,F_4$ | 4 |
| `111` | $F_0,F_1,F_2$ | 3 |

因此不同操作字至少在三個獨立來源域不同，且有一些差分恰為三，故操作子碼的最低來源距離恰為 $3$。

![圖 2：七種非零操作差分的來源支持](figures/paper28_operator_source_support.png)

### 5.3 路徑欄位亦保留來源距離三

第二十七篇對相同端點但不同路徑的四個觀測欄位完整枚舉後，只有下列五種差異位置型態：`0111`、`1011`、`1101`、`1110`、`1111`（以固定四位元掩碼記錄）。它們各包含三或四個不同欄位。

在本篇配置中，四個路徑欄位恰好分別位於 $F_0,F_1,F_2,F_3$，所以任何不同路徑都至少在三個來源域不同。若數值路徑相同而操作不同，則由前節得到操作來源距離至少三；若路徑與操作都不同，差異來源集合是兩個集合的聯集，也不可能少於三。

### 定理 5.1（五來源聯合碼的精確距離）

對本篇的十欄聯合碼、固定且已知的五來源配置，任兩條同端點不同合法完整歷史的來源距離至少為三，且確有距離恰為三的歷史配對。因此：

$$
D_{\rho_5}=3.
$$

**證明。** 下界由 5.2、5.3 節的三種互斥情況成立。固定同一合法路徑、挑選兩個僅有一個原始操作位元不同的操作字，便可由 5.2 節表格取得來源距離恰好三的配對，故上界也成立。證畢。

**推論 5.1.1。** 在正確生成的證書、可信起終點、固定來源配置與至多一個未知來源域遭任意替換的條件下，可以唯一修復完整數值路徑及操作位元；對最多兩個來源域的已知擦除亦可唯一恢復。

結合定理 4.1，**五個來源是本文固定證書格式達到來源距離三的最少來源數**。這不是對所有可能的十欄重新編碼、混合字母表最佳化或實體部署成本的普遍最小性。

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## 6. 一個受限但精確的完美來源解碼性質

### 6.1 操作子碼的二元接收空間

五來源構造把六個操作位元分成來源大小為 $(1,1,2,1,1)$ 的五組。對一個已知合法操作碼字，若最多一個來源域的位元可以任意被替換，則可能的接收字數為：

$$
1+4(2^1-1)+(2^2-1)=8.
$$

其中首項代表沒有變化；四個單位元來源各可產生一種非零替換；雙位元來源共有三種非零替換。因此每個合法操作字的一來源半徑球恰含八種二元接收字。

### 定理 6.1（操作子碼在五來源配置下的完全半徑一覆蓋）

全部八個合法操作碼字的來源距離至少為三，因此它們的一來源半徑球彼此不交。每球有八個二元接收字，共 $8\times8=64$ ；而六位元接收空間總共只有 $2^6=64$。故每個二元接收字**恰在一個合法操作字的一來源半徑球中**。

此性質可以透過只含 $64$ 個項目的確定性查找表實現，不需要對每一筆運算歷史都執行完整搜尋。

**界線：** 這是固定六位元操作子碼加來源分組的一種完美覆蓋現象；四個路徑欄位使用比二元更大的字母表，並不能藉此宣稱十欄混合碼也對其全部可能接收字形成完美覆蓋。

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## 7. 四種來源配置的全域完整配對統計

### 7.1 計數口徑

任一同端點完整歷史可表示成一條數值路徑與一個八選一操作字。對不同數值路徑的配對，每對路徑搭配 $8\times8=64$ 組有序操作組合；對同一路徑的配對，八個操作字有 $\binom82=28$ 組無序選擇。

因而全域不同歷史配對總數為：

$$
448605\times64+30342\times28=29560296.
$$

程式先直接枚舉全部 $448,605$ 組不同路徑配對的四欄差異掩碼，再枚舉全部八操作碼字的 64 組有序差異掩碼；對每個來源配置計算**兩組來源支持的聯集**，而非以欄位差數推估來源數。另將每條路徑內的 28 組操作配對加入。結果精確如下。

### 7.2 兩來源、四來源、五來源與十來源的距離譜

| 來源配置 | 最低來源距離 | 精確來源距離譜（距離：配對數） |
|---|---:|---|
| 兩來源按路徑／操作分組 | 1 | `1: 4,438,416; 2: 25,121,880` |
| 四來源對照 | 2 | `2: 121,368; 3: 3,494,832; 4: 25,944,096` |
| **五來源最小構造** | **3** | `3: 3,258,232; 4: 14,476,728; 5: 11,825,336` |
| 十欄全部分開 | 3 | `3: 1,777,648; 4: 2,660,768; 6: 5,168,704; 7: 13,063,184; 8: 6,889,992` |

每列的配對數總和都等於 $29,560,296$。四來源方案在操作欄位使用來源映射 $(0,0,1,1,2,3)$，但前四個路徑欄位仍分配在四個不同來源；它因此有精確的最低來源距離 $2$。

![圖 3：不同來源配置的精確距離譜](figures/paper28_distance_spectra.png)

### 7.3 為何「更多來源」不代表距離一定更大

十欄各自獨立時的最低距離也是三，與五來源構造相同。原因在於原六位元操作碼本身存在只相差三個位元的合法碼字；即使這三個位元各位於不同來源，也不可能在不修改碼字的條件下把這對碼字的來源距離提高至四。

五來源並非把十個欄位壓成五個普通數字，而是允許某些欄位共享同一**故障域標籤**，同時讓所有必要的區別保留在足夠不同的來源上。這是來源配置的組合結果，不是系統速度、儲存位元或外部硬體成本的已證改善。

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## 8. 單來源修復的完整合成驗證

### 8.1 分層解碼、最後檢查共同來源

在五來源配置下，一個來源最多包含一個路徑欄位，因此可以沿用第十七至二十七篇的四欄路徑解碼器：若至多一欄受損，可由同端點纖維中保留的三欄投影恢復原路徑。對六個操作位元，則使用第 6 節的 $64$ 項來源域半徑一解碼表。

完成兩層解碼後，還要把兩個候選合併成十欄聯合碼字，檢查**所有不同欄位的來源標籤聯集是否至多只有一個來源**。這個最後的聯集檢查不可省略：否則兩層解碼器可能各自容忍一個不同來源故障，錯把已超出一次來源故障預算的輸入當成合格證書。

### 8.2 全部三步歷史的逐來源合成錯誤注入

本篇對 $30,342$ 條合法三步行走，每條搭配八種操作字，再逐一選取五個來源域，對該來源所持有的**每個欄位都產生明確的非原值替換**。兩個路徑位階觀測是原子二元組；模 $81$ 關係值以不同整數替換；操作二元欄位則翻轉位元。

測試次數恰為：

$$
30342\times8\times5=1213680.
$$

全部案例由組合解碼器還原成正確的原始路徑與三個操作位元。這是本輪測試的**完整有限歷史 × 五來源配置枚舉**，但每一組來源只注入一種確定性替換樣式；**任意替換樣式的全面保證仍來自定理 5.1 的最小距離證明**，而非聲稱已枚舉所有可能大字母表錯誤值。

### 8.3 一份可重算的正向合成見證

取已知端點 $(1,4)$，真實候選路徑（僅供合成示例）與操作位元：

$$
P=(1,4,2,4),\qquad\epsilon=(1,0,1).
$$

其三步操作可重算為： $1\times4=4$， $4-2=2$， $2\times2=4$。原十欄碼字依序為：

```text
[(0,4), (0,2), 6, 8 | 1,0,1,1,0,1]
```

若來源 $F_2$ 整體受損，第三個路徑關係值與第七、第八個操作欄位可一起改變。單欄級的錯誤計數此時已達三處，但**來源級錯誤數仍為一**；五來源解碼器會恢復上述原始路徑與 `101` 操作字。完整可重放資料保存在 `data/paper28_synthetic_single_source_certificate.json`。

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## 9. 超過來源錯誤預算的反例

### 9.1 兩個來源竄改可以引導到另一個合法字

固定同一條數值路徑，選擇原操作位元 `000` 與另一合法字 `001`。六欄操作碼分別為：

```text
000 -> 000000
001 -> 001011
```

在五來源配置中，這兩個碼字恰好在來源 $F_2,F_3,F_4$ 不同。若對抗者把前兩個不同來源 $F_2,F_3$ 內的相應操作欄位改成 `001` 的值，便可形成觀測字 `001010`。此字距真實 `000` 需要兩個來源的改寫，卻距另一合法操作字 `001` 只需一個來源改寫。

因此若錯誤地把「一次未知來源錯誤」的保證用在**兩個來源實際失效**的情況，最近合法字解碼可能選到另一個完整自洽、但不是原先操作選擇的歷史。資料 `paper28_two_source_negative_case.json` 保存了完整的六位元與來源差異見證。

### 9.2 有效碼字與外部歷史認證仍不相同

若對手可以一次替換全部來源中需要改寫的欄位，使最後接收到另一份完美合法的聯合碼字，則算術、奇偶和來源距離本身都不能證明原歷史曾經採用哪一個操作字。正確的使用方式是：要證明「事後被改寫」，仍需另有可信預先承諾、獨立採集的執行紀錄或其他外部來源約束。

### 9.3 錯誤的配置版本也會破壞保證

來源域配置本身必須是可驗證的控制資訊。若觀測值使用一個分組版本生成，解碼器卻誤以另一個版本為準，則「一次來源故障」所代表的欄位集合可能已經改變；不能沿用前一個配置的來源碼距。

當來源分組**依運算狀態動態調整**時，必須保留可信的配置版本、時間索引和狀態轉移規則，再對全部可能版本組合重算來源距離。若分組版本本身依尚未知的操作位元選擇，還必須防止藉由配置標籤洩露待辨識結果，否則會形成循環推理。本篇的五來源最小性是在**固定、已知配置**下證明的，不把任意狀態相依部署視為已驗證。

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## 10. 從數學來源域到真實獨立來源的三個必要邊界

### 10.1 邏輯分組不能自動當成物理隔離

本篇的 $F_0,\ldots,F_4$ 是資訊編碼中的來源域標籤。如果五組資料全部由同一個會一起產生錯誤的上游函式計算，即使在畫面或檔案中分為五個群組，也沒有證據表明故障最多只落在其中一組。故障模型若失效，定理的工程保證便沒有理由成立。

### 10.2 正確輸入與可信端點仍是額外假設

本篇所有候選比較都固定**已知精確起終點**。若端點本身可被未知地改寫，候選纖維可能被換掉；來源距離三不足以保證抵禦此類攻擊。端點的可信錨定和版本控制必須額外提供。

### 10.3 欄位成本與故障來源數不等於實際資源成本

來源最少數量是本文的數學最佳化目標。若把三個欄位放在同一來源使實際記憶體、網路或 CPU 成本上升，或者導致更高的共同原因故障機率，則工程成本最優配置未必是本文的五來源配置。本篇沒有測量真實執行延遲、功耗、外部資料防竄改能力或可靠度機率。

這三項界線確保我們不會因為找到漂亮的碼距構造，便越過現有證據範圍宣稱已經完成可靠的實體系統。

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## 11. 完整重現、數據與正式交付

### 11.1 確定性驗證方法

主程式 `verify_paper28.py` 使用 Python 3 標準函式庫，不呼叫網路或外部模型，採以下互相補強的驗證方式：

1. 由 $y=x+d=xr$ 的精確整除條件重新生成 $156$ 條雙作用邊與全部 $30,342$ 條有向三步數值行走。
2. 重新產生所有四欄路徑碼，與第二十七篇未修改的原始路徑 CSV **逐筆比較**。
3. 枚舉同端點不同路徑的全部 $448,605$ 組差異掩碼，直接驗證原始四欄最小距離。
4. 枚舉八個二元操作碼字的全部 $28$ 組無序配對、以及全部七個非零差分。
5. 對六位元操作碼的 $2,3,4,5$ 個來源候選，直接試驗所有欄位分組，檢查四個來源不可能取得距離三，而五來源有解。
6. 對兩來源、四來源、五來源和十來源，使用來源支持聯集計算全部 $29,560,296$ 組同端點歷史配對的精確距離譜。
7. 針對五來源配置，真正建立全部 $64$ 個六位元可能接收字的來源解碼表，驗證每字唯一。
8. 對全部 $242,736$ 條歷史、五個來源域逐一實施確定性整組欄位故障注入，要求完整路徑與操作字全部恢復。
9. 建構合成正例、兩來源惡意替換反例及來源配置版本檢查；正向條件式證書與負例不得混同。

所有整數、模運算、來源差數和距離統計均精確計算。圖像不參與算術真值的決定。

### 11.2 原始資料及可再現檔案

| 檔案 | 用途 |
|---|---|
| `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_28_v0.1.md` | 本篇 UTF-8 正式論文原稿 |
| `verify_paper28.py` | 來源距離定理、完整配對計數與故障注入 |
| `verify_certificate_paper28.py` | 合成來源故障證書的條件式驗算與錯誤拒絕 |
| `make_figures.py` | 從核准數據再生 PNG/SVG 閱讀圖 |
| `validate_paper28.py` | 數學原始碼、CSV/JSON、圖表及內容雜湊驗收 |
| `data/paper28_source_layouts.csv` | 十個原子欄位的四套來源配置 |
| `data/paper28_path_support_masks.csv` | 448,605 組路徑配對的差異支持壓縮統計 |
| `data/paper28_operation_support_masks.csv` | 八操作碼的全部非零差異掩碼 |
| `data/paper28_source_distance_spectrum.csv` | 四種配置的精確全體配對距離譜 |
| `data/paper28_policy_summary.csv` | 每方案最小來源距離與有限故障保證 |
| `data/paper28_synthetic_single_source_certificate.json` | 單來源合成修復正例 |
| `data/paper28_two_source_negative_case.json` | 超出錯誤預算時的錯誤歷史反例 |
| `data/paper28_stats.json` | 主實驗數值、完備檢查和限制聲明 |
| `reference/paper27_path_codes.csv` | 第二十七篇未修改的完整路徑碼參照 |
| `reference/paper27_endpoint_fibers.csv` | 第二十七篇起終點纖維參照 |
| `reference/paper27_stats.json` | 第二十七篇原始摘要參照 |
| `figures/` | 三張 PNG 與對應 SVG 圖 |
| `SHA256_MANIFEST.json` | 正式套件內容的檔案 SHA-256 清單 |

### 11.3 離線執行方式

在完整研究套件根目錄依序執行：

```bash
python verify_paper28.py --output . --reference reference
python verify_certificate_paper28.py data/paper28_synthetic_single_source_certificate.json
python make_figures.py
python validate_paper28.py
```

另一份兩來源反例不是合法的單來源修復證書，因此驗證器必須拒絕將它當成相同性質的成功見證。驗收時另外檢查來源版本與任一超出故障預算的受損正向證書，不應錯標為 `PASS`。

### 11.4 什麼才算正式提交

正式提交的必要條件包括：UTF-8/LF 原稿不被改寫、數學原始碼只採用 ` $...$ ` 和 `$$...$$`、全部精確計數與定理一致、正反例符合聲明的故障模型、跨篇資料一致、PNG/SVG 可以重生、SHA-256 manifest 可核驗，以及 ZIP 獨立解壓後能重新產生相同的輸出。

聊天畫面只是閱讀與討論介面；**本 Markdown 原始檔才是本文正式研究論述的唯一 canonical source**。實驗 CSV、JSON 與 Python 程式是證據附件，不得從圖片或渲染畫面反推出另一套經過「美化」的正式公式。

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## 12. 結論：來源配置本身也是資訊關係的一部分

第二十七篇證明，四欄路徑與六欄操作證書能共同形成十欄、最小欄位距離三的聯合碼；第二十八篇進一步檢驗：**當錯誤發生的單位不是單欄，而是可能共同失效的資訊來源時，原本的十欄應如何配置？**

首先，在固定六位元操作碼的條件下，少於五個來源不可能容忍一次未知來源故障。這由刪去兩個來源後剩下的二元資訊容量直接證明，不需要依賴抽樣數據。其次，本文構造的五來源配置同時讓四欄路徑碼及六欄操作碼保留至少三個來源的差異，從而在全體 242,736 條歷史上達成一次來源級未知替換修復。再次，二十多萬歷史形成的 29,560,296 組同端點比較可透過精確支持掩碼因子化計數，並以 1,213,680 次合成故障注入核對實作的可重建性。最後，兩來源反例與來源版本限制提醒我們：**數學上正確的碼距結論，始終需要對應清楚的故障單位與獨立來源條件。**

因此，在這座由數值、運算、進位與中間資訊構成的塔樓中，來源分配不是附帶的儲存選項，而是能否在資訊受損後保持可驗證關係的另一層結構。這項發現仍屬固定有限語法及固定碼字的嚴格結果；若放寬到未知端點、狀態相依來源、真實共同故障或任意實數，仍須重新定義與驗證。

**本篇核心結語：同一份正確資訊，若被分配到會一起失效的來源，就可能失去重建能力；真正決定資訊能否延續的，不只有它包含什麼，還有它的關係被誰共同承載。**

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## 參考文獻與前置資料

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十六篇）》，2026-11-05。四欄路徑碼、模 81 關係校驗與最小欄位距離三。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十七篇）》，2026-11-05。十欄聯合證書、六位元操作碼與單欄錯誤修復。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十三篇）》，2026-11-05。共同來源域故障與質數進位觀察的故障來源分組。
4. Hamming, Richard W. “Error Detecting and Error Correcting Codes.” *Bell System Technical Journal* 29(2), 147–160, 1950。本文使用經典最小距離與唯一解碼的既有方法，不宣稱重新發明通道級糾錯理論。
5. 本篇新增的數學對象是**固定有限算術聯合碼與固定故障來源分組的精確比較**；相關組合計數與資料皆由套件內的程式重新生成。

**End of Paper XXVIII (v0.1).**