# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十五篇）

## 未知三步路徑的有限可觀測性：進位樓層與末位數字的互補、非單調辨識及可信重建邊界

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XXV: Finite Observability of Unknown Three-Step Paths, Complementarity of Magnitude Levels and Low Digits, Nonmonotone Radix Separation, and Limits of Historical Reconstruction*  
**版本：** v0.1（精確有限域枚舉、可證命題、反例、可執行合成證書）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想：** Neo.K；形式化、演算法實驗與核驗：AI 協作  
**直接承接：** 第十四篇的雙作用算術圖、第十九篇的進位辨識，以及第二十二至二十四篇的錯誤證書與歷史可信性分界  
**正式原始碼：** UTF-8 Markdown、LF 換行，數學只使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$` 作為 canonical delimiters  
**證據定位：** 指定有限正整數圖中的完整可重現枚舉；未宣稱已證明任意實數的軌跡定理，亦未宣稱從算式還原真實發生過的歷史。

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**作者：** Neo.K；形式化、演算法實驗與核驗：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

第二十四篇指出，同一條精確數值路徑往往容許多種合法的運算標籤；精確重算並不能單靠結果確定某段過去真正採取了哪一種操作。但先前的進位指紋研究大都**預設整條數值路徑已知**。本篇把未知性往前推一層：只給定三步運算的起點、終點與有限算術語法，中間兩個數值尚未確定。若再取得它們在某種進位制下的**末位數字**，或同時取得**數量級樓層**，究竟能排除多少條可能路徑？哪些資訊是被整數邊關係約束所重建，而不是被畫面想像出來？

沿用第十四至二十四篇同一張 $K=40$ 雙作用整數圖 $G_{40}$：頂點為 $1$ 至 $80$，共有 $156$ 條無向合法雙作用邊；每一方向具有兩種可用算術操作。完整枚舉長度恰為三、允許重複頂點及邊的有向數值行走，得到 **30,342 條數值路徑**，它們投影到起點及終點後，只形成 **3,481 種可到達的有序端點對**。其中只有 **922 種端點對**各自對應唯一數值路徑；最擁擠的端點對 $(1,1)$ 對應 **120 條**數值路徑。因此，從端點唯一重建一般並不成立。若進一步保留運算標籤，每條數值路徑還有八種合法的三步選擇，總計 **242,736 條帶標籤歷史**。

為實際檢驗進位觀察，本文將中間節點 $v_1,v_2$ 的末位數字表示成 $(v_1\bmod q,v_2\bmod q)$，並另外研究它們的塔樓數量級 $\ell_q(v_1),\ell_q(v_2)$。**在固定同一個基底 $q$ 觀察全部路徑的設定下，單用兩個末位數字，最小可全域無歧義辨識的基底為 $q=64$ ；結合樓層與末位後，最小基底則降為 $q=23$。**這兩個結論都由 $2\le q\le80$ 的完整枚舉、每個失敗基底的具體路徑反例，以及獨立的中間邊—鄰接交集判準核對。進位辨識不是基底大小的單調函數：單末位在 $64$ 進位完全可辨識，在 $65$ 進位卻重新出現歧義；樓層加末位在 $23$ 進位完全可辨識，在 $24$ 進位亦再次失敗。

如果在實際觀測以前**只使用已知起點與終點**來選擇基底，不必固定整張圖的單一基底。以每個端點候選集合內的完全單射作為要求，單末位模式的端點條件最小基底最大只需 $40$ ；樓層加末位模式最大只需 $22$。本文用清楚標註的固定寬度位元代理模型，分別計得全域固定方案及端點條件方案的總觀測位元；並證明「較低的所需進位基底」不自動意味「較少的記錄位元或較快的真實計算」。

另一方面，由不同基底觀測同一中間節點的餘數，可以經最小公倍數精確合併；這是既有同餘理論的應用，不能被誤認為全新加乘不變量。即使中間數值可被唯一恢復，原本的加／乘與減／除選擇仍然未被數值觀測辨認。本篇提供一張明示為**合成測試**的雙層證書：在已知端點 $(1,4)$ 下，40 進位中間末位 $(4,2)$ 唯一恢復 $1\to4\to2\to4$，再用二進位標準運算進位指紋區分三段操作位元 `101`。驗證器同時會拒絕末位觀測不足、觀測不可能、標籤改寫與假冒歷史認證的四種負例。

本文的核心結論是：**有限算術圖可以利用合法關係將局部進位觀測提升成完整數值路徑，但路徑的數學可觀測性、運算種類的可辨識性與歷史發生性的可信證據仍是三個不同問題。** 塔樓樓層提供的資訊確實可能協助消除末位混淆；它既不是計算結果本身，也不是任意情況下必然改善效率的演算法。

**關鍵詞：** 進位制塔樓、未知路徑、有限可觀測性、逆向約束、末位數字、數量級樓層、模數別名、非單調辨識、端點條件選擇、數值路徑重建、運算標籤、可信來源、有限算術圖。

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## 1. 問題從「已知路徑的操作」變成「未知路徑本身」

### 1.1 第十九至二十四篇留下的邏輯界線

第十九至二十三篇對已知路徑上的兩種操作選擇建立進位指紋辨識、最佳基底選擇與通道容錯。第二十四篇再指出，即使一份已記錄的操作可逐步重算，仍不能從數值等式本身證明那一份記錄確實來自過去的真實執行。

此前尚有更前置的未知量：假設只知道運算開始於 $a$ 、三步後到達 $d$，那麼中間到底經過了哪些數值？

本篇把問題拆成三層：

1. **數值路徑識別：** 能否唯一找出 $(a,v_1,v_2,d)$？
2. **操作標籤識別：** 若數值路徑已知，是否能確認三步各用了哪種合法操作？
3. **歷史來源認證：** 觀察紀錄是不是可信地來自欲研究的真實執行？

第一層是本文完整枚舉的中心。第二層繼承第十九篇的標準進位指紋，第三層只提出核驗界線，不冒稱已獲外部可信來源。

### 1.2 絕不把「事後重編碼」當成「實際觀測」

若中間值已完整知道，當然可以事後計算它在二、十、二十三或六十四進位下的數字。這只是**無損或有損的表示轉換**，並沒有額外觀察一條未知歷史。

本篇的逆向問題必須假定：在數值路徑還不確定時，觀察系統實際獲得了兩個中間狀態的某種量測，例如最低位數字，或最低位加數量級樓層。程式可以用合成數據測試這個量測模型，卻不能把模擬向量偽稱為曾在外部世界取得的紀錄。

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## 2. 不變的有限算術世界

### 2.1 正整數雙作用圖

固定 $K\ge2$，令：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\},\qquad V_K=\{1,2,\ldots,2K\}.
$$

對 $1\le x<y$，若有整數 $r,d\in A_K$ 滿足：

$$
y=x+d=xr,
$$

則納入無向數值邊 $\{x,y\}$。上升方向可用加法與乘法，下降方向可用減法及精確除法，且每種操作的右運算元由兩端數值唯一決定。

由 $d=x(r-1)\le K$，有 $x\le K$ 、 $y\le2K$，故這是一張合法的有限正整數數值圖。主實驗使用：

$$
K=40,\qquad |V_{40}|=80,\qquad |E_{40}|=156.
$$

**研究範圍說明：** 這仍是原始 $1$ 至 $1000$ 塔樓中的**雙作用受限子圖**，不是全部 $1000$ 個整數和全部合法加減乘除事件。本篇不能用 $80$ 節點的結果冒充完整 $1$ 至 $1000$ 的未知路徑答案。

### 2.2 長度三的完整數值行走

稱：

$$
P=(v_0,v_1,v_2,v_3)
$$

為長度恰為三的合法數值行走，如果每個相鄰數值對都有合法雙作用邊。允許重複頂點及邊，例如 $4\to8\to4\to8$ ；但因圖中沒有自環，相鄰兩節點不能相等。

固定起點 $a$ 與終點 $d$ 時，候選集合為：

$$
\mathcal W_{a,d}=\{(a,b,c,d):\{a,b\},\{b,c\},\{c,d\}\in E_K\}.
$$

在本文最初的未知路徑模型中， $a,d$ 是已知的精確整數， $b,c$ 則是未知且受圖上的三條邊共同限制。

### 2.3 已知數值路徑與操作位元仍有差別

固定一條 $P$，三條有方向的雙作用邊各有兩種合法操作，因此存在恰好：

$$
2^3=8
$$

種不同的完整操作標籤字串。如果不知道任何操作特有的可信觀測，即使 $P$ 已被唯一確定，也不能由數值本身挑出其中之一。

後文的「唯一路徑」一律指**唯一數值節點序列**，不暗示唯一帶標籤的歷史。

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## 3. 端點投影為何不足：候選歷史的精確纖維

### 3.1 端點投影

定義：

$$
\pi_{\mathrm{end}}(v_0,v_1,v_2,v_3)=(v_0,v_3).
$$

此投影把不同的中間路徑，只要起點與終點一致，就放到同一個候選集合中。

對圖的鄰接矩陣 $A$，既有的圖論行走計數公式給出：

$$
|\mathcal W_{a,d}|=(A^3)_{a,d}
=\sum_{b,c\in V_K}A_{a,b}A_{b,c}A_{c,d}.
$$

這是標準的鄰接矩陣冪與行走計數定理；本文採用其精確計數語義，但沒有將塔樓格子誤認成某種全新矩陣乘法。

### 3.2 全域完整枚舉的基本數據

對 $K=40$，以兩種方法完整重算：一種直接逐條產生長度三的行走，另一種對每條**有方向的中間邊** $b\to c$ 計算前後鄰接度數的乘積，再總和：

$$
\#\mathcal W_3
=\sum_{(b,c)\in\vec E_K}\deg(b)\deg(c)
=30{,}342.
$$

因每條有方向的中間邊都可與 $\deg(b)$ 個起點、 $\deg(c)$ 個終點搭配，兩種計數完全相同。

實驗統計：

| 指標 | 結果 |
|---|---:|
| 精確數值節點 | 80 |
| 無向雙作用邊 | 156 |
| 三步數值行走 | 30,342 |
| 可到達的有序端點對 | 3,481 |
| 端點直接唯一決定路徑的對數 | 922 |
| 端點觀察仍有歧義的路徑數 | 29,420 |
| 最大端點纖維 | 120（端點 $1\to1$ ） |
| 同端點之不同路徑的無序候選配對 | 448,605 |

上述 $448{,}605$ 是按每個端點纖維大小 $n$ 計算 $\binom n2$ 後加總，而不是錯誤算術等式的數目。它定量描述：**只知道端點，不足以確認中間過程。**

### 3.3 一個可以直接檢查的逆向歧義

例如相同端點 $1\to4$，至少存在兩條合法路徑：

$$
P=(1,4,1,4),\qquad P'=(1,4,40,4).
$$

它們各有三條合法雙作用邊，卻具有不同第二中間值。光憑起點 $1$ 、終點 $4$ 和「做了三步」不能判斷哪條是實際路徑。此處不涉及計算誤差，兩條都是真正合法的候選數值歷史。

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## 4. 兩種互補的進位塔樓觀察

### 4.1 最低位數字：有意丟失高位資訊

對整數基底 $q\ge2$，定義每個中間值的最低位數字：

$$
r_q(n)=n\bmod q.
$$

固定端點後，將觀察寫成：

$$
\Phi_q(P)=(v_0,v_3,r_q(v_1),r_q(v_2)).
$$

這是**只量測一個最低位數字**，不是保存整個基底 $q$ 的完整字串。若觀察的是完整字串，整數本身早已被無損公開，未知路徑問題會變成平凡的重新讀值。

### 4.2 數量級樓層：只記錄在哪一層

對正整數 $n$，令：

$$
\ell_q(n)=\lfloor\log_q n\rfloor.
$$

在實際程式裡，以重複整除而非浮點對數判定樓層。只看這個值，會把所有落在同一 $q$ 進位數量級區間的數字壓縮成同一層。

### 4.3 聯合觀察：樓層與最低位數字都保留

令：

$$
\Psi_q(P)=(v_0,v_3,\ell_q(v_1),\ell_q(v_2),r_q(v_1),r_q(v_2)).
$$

這不是完整位值編碼。例如 $q=23$ 時， $23,46,69$ 都在樓層 $1$，且末位數字都是 $0$ ；聯合訊號本身仍可能無法單獨還原任意正整數。

本篇研究的是：**再加上已知端點與合法中間連線約束，這種壓縮觀察能否唯一決定一條路徑？**

### 4.4 唯一可觀測性的嚴格判準

給定任一觀察映射 $O$，若對所有同一端點纖維的合法路徑 $P,P'$ 都滿足：

$$
O(P)=O(P')\quad\Longrightarrow\quad P=P',
$$

便稱此觀察在指定的整張三步路徑世界中**全域無別名、可唯一重建**。

若觀察等值類中含有兩條以上不同路徑，則稱其為一個**假合流／觀察別名類**。這不表示兩條歷史在數學上非法，而是它們在此觀察精度下不可區分。

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## 5. 固定末位數字基底：64 可以全域辨識，65 卻不行

### 5.1 完整有限枚舉

將 $q$ 限定為 $2,3,\ldots,80$，對全部 $30{,}342$ 條路徑逐一建立 $\Phi_q$ 等值類，取得：

| 末位觀察基底 $q$ | 被唯一辨識的路徑數 | 不同路徑的假合流配對 |
|---:|---:|---:|
| 2 | 2,836 | 179,285 |
| 10 | 15,246 | 16,252 |
| 30 | 24,614 | 2,993 |
| 39 | 29,270 | 536 |
| 40 | 30,080 | 131 |
| 63 | 30,250 | 46 |
| **64** | **30,342** | **0** |
| 65 | 30,294 | 24 |
| 79 | 30,310 | 16 |
| **80** | **30,342** | **0** |

**有限命題 5.1。** 對本篇 $G_{40}$ 的全部長度三數值路徑，在 $2\le q\le80$ 中，恰好只有 $q=64$ 與 $q=80$ 能使 $\Phi_q$ 全域單射。尤其**最小的固定全域單末位基底是 $64$**。

此命題由全部候選路徑窮舉證明：對 $q\notin\{64,80\}$ 的每一個基底，附件都給出兩條不同但觀察完全一致的合法路徑；對 $64,80$，所有觀察等值類皆為單元素。下文第 6 節另外提供獨立的圖上中間邊判準，不僅依賴同一份路徑分組程式。

### 5.2 64 的成功並不代表 64 進位完整編碼了所有節點

在數值範圍 $1$ 至 $80$ 中， $1$ 與 $65$ 的最低位數字同為 $1$ （基底 $64$ ）。因此不能用「64 進位末位對每個整數都沒有重複」來解釋命題 5.1；這句話本來就是錯的。

真正發生的是：具有相同最低位的候選節點，**不能在已知端點及合法三步鄰接約束下組成兩條不同且相同觀察的完整路徑**。這是測量與算術圖約束的聯合辨識，不是單一數字編碼的單射性。

### 5.3 反例：基底變大，反而重新混淆

取兩條精確合法路徑：

$$
P=(1,33,1,33),\qquad P'=(1,33,66,33).
$$

在 $q=65$ 時，兩個第二中間值 $1$ 、 $66$ 具有相同的末位數字 $1$ ；第一中間值皆為 $33$，起點與終點亦相同。因此：

$$
\Phi_{65}(P)=\Phi_{65}(P'),\qquad P\ne P'.
$$

相反地，在 $q=64$ 時， $1$ 與 $66$ 的末位數字分別為 $1$ 與 $2$，兩條路徑會被區分。

所以即使在同一張固定的有限圖上，**可辨識路徑數也不必隨基底 $q$ 的數值增長而單調增加**。不同模數形成的同餘類不是自然地依照大小彼此細化；若要宣稱資訊增加，必須比較實際觀察分割，而不能只比較模數大小。

![圖 1：進位基底增大不保證辨識單調改善](figures/paper25_radix_nonmonotonicity.png)

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## 6. 獨立數學判準：中間邊與前後鄰接交集

### 6.1 為什麼要第二套驗證方法

若只在一個程式裡先生成全部路徑、再把路徑按末位數字分桶，資料生成與可觀測性計數可能受到共同程式錯誤影響。為了避免同源驗證，本篇另直接從**有方向的中間邊**研究，根本不需要先列出起點—終點組合。

### 定理 6.1（觀察別名的中間邊充要條件）

給定固定基底 $q$，若存在兩條不同的有方向合法中間邊 $(b,c)$ 、 $(b',c')$，滿足：

$$
b\equiv b'\pmod q,\qquad c\equiv c'\pmod q,
$$

且：

$$
N(b)\cap N(b')\ne\varnothing,
\qquad N(c)\cap N(c')\ne\varnothing,
$$

其中 $N(x)$ 是雙作用圖中 $x$ 的鄰居集合，則存在兩條不同的合法三步路徑在 $\Phi_q$ 下產生同一觀察。反之，任何此類觀察別名，都必然提供符合條件的兩條不同中間邊。

**證明。** 正向：從第一個非空鄰接交集選取共同起點 $a$，從第二個交集選取共同終點 $d$，得到兩條合法行走 $(a,b,c,d)$ 、 $(a,b',c',d)$。兩條中間邊不同，故完整路徑不同；但兩個末位及端點相同，故觀察相同。反向：若有兩條同端點、同末位但不同的三步路徑，取其中間邊，便直接得到前兩個同餘條件；共同端點必分別落在兩對鄰居的交集。證畢。

若把上述同餘條件改成「同時具有相同的樓層和末位」，就得到聯合觀察 $\Psi_q$ 的對應充要條件。

### 6.2 與直接路徑枚舉的獨立吻合

本圖只有 $156$ 條無向雙作用邊，因此有 $312$ 條有方向的候選中間邊。第二套驗證器直接比較同觀察桶內兩條不同中間邊，並測試兩組鄰居交集是否皆非空。

對全部 $79$ 個候選基底，同時檢查單末位模式及樓層加末位模式，共 $158$ 項全域單射判定。**每一項都與直接枚舉全部 $30,342$ 條路徑所得結果完全一致。**

這是有限圖上的精確充要條件與窮舉驗證，而不是從幾張漂亮的路徑圖片推測是否存在某種隱藏關係。

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## 7. 樓層與末位的互補：固定基底 23 就足夠

### 7.1 同一批三步路徑，不更換數值世界

對同一個 $K=40$，比較單末位、單樓層與聯合觀察：

| 基底 | 單末位唯一路徑 | 單樓層唯一路徑 | 末位＋樓層唯一路徑 |
|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 2,836 | 11,070 | 15,074 |
| 10 | 15,246 | 2,320 | 20,888 |
| 16 | 20,434 | 2,198 | 25,202 |
| 22 |  |  | 30,324 |
| **23** |  |  | **30,342** |
| 24 |  |  | 30,206 |
| 64 | 30,342 | 1,014 | 30,342 |

表中空白欄表示本表未特意列示；完整逐基底統計保存在 `paper25_modulus_profiles.csv`。三種觀察是不同的資訊投影，不應直接把「更低的基底」當成「更低的實際記錄成本」。

**有限命題 7.1。** 在 $2\le q\le80$ 的固定單一基底範圍，聯合觀察 $\Psi_q$ 全域單射的最小基底為 **$q=23$**；而 $q=24$ 再度不具全域單射性。

命題由完整枚舉證明：對每個 $2\le q<23$，存在一組兩條同端點合法路徑，具有相同的兩個中間樓層及末位觀察；在 $q=23$ 的全部 $30,342$ 條路徑中，聯合觀察沒有任何別名。中間邊—鄰接交集獨立檢查亦確認同一結論。

### 7.2 兩個可直接檢查的反例

**$q=22$：**

$$
(1,11,22,11),\qquad(1,11,44,11).
$$

這兩條合法路徑的第二中間值 $22,44$ 在基底 $22$ 下末位都是 $0$，且數量級樓層都為 $1$ ；所以它們在聯合觀察中仍然重合。

**$q=24$：**

$$
(1,8,24,8),\qquad(1,8,48,8).
$$

第二中間值 $24,48$ 在基底 $24$ 的樓層同為 $1$ 、末位同為 $0$，因此出現同一種別名。可是基底 $23$ 的精確全域枚舉已確認無別名。

這些反例指出，**塔樓位階與最低位可互補，但也不能只憑基底大小對資訊量排序**。

### 7.3 為什麼這才真正接回塔樓構想

使用者最初強調，不只是將數值由左到右平鋪，而是要保留同數量級的格子、置中觀察與跨層的運算關係。在本篇中，數量級樓層 $\ell_q$ 不是視覺裝飾：它是一個可以正式加入觀察證書的額外有限訊號。

對同一批未知路徑，單末位到 $64$ 進位才無別名，聯合樓層後則只需 $23$ 進位。**這個實驗並未證明某種神祕因果定律，但確實量化了「塔樓提供的額外結構資訊能改善逆向辨識」這個具體、可重現的命題。**

![圖 2：不同資訊層的唯一路徑重建數](figures/paper25_observation_layers.png)

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## 8. 端點條件選擇：預先知道端點，就不需要全圖固定同一基底

### 8.1 可合法執行的選擇規則

令 $\mathcal W_{a,d}$ 是已知端點候選集合。對每組可到達的端點，定義：

$$
q^\star_{\mathrm{digit}}(a,d)
=\min\{q\in[2,80]\cap\mathbb Z:\Phi_q\text{ 在 }\mathcal W_{a,d}\text{ 上單射}\}.
$$

同樣定義 $q^\star_{\mathrm{joint}}(a,d)$，將 $\Phi_q$ 改成 $\Psi_q$。

這兩個基底是在**真實中間路徑仍然未知時**，只依照已知端點與預先建立的合法圖選出來的。因此它們是可以事先計算的觀測策略，而不是先偷看答案再挑一個看似便宜的基底。

### 8.2 有界完整枚舉與兩個銳利門檻

在全部 $3,481$ 組可到達端點上，求取各自的最小單射基底，得：

$$
\max_{a,d}q^\star_{\mathrm{digit}}(a,d)=40,
$$

$$
\max_{a,d}q^\star_{\mathrm{joint}}(a,d)=22.
$$

**有限命題 8.1。** 對本篇 $G_{40}$ 的長度三行走，依端點選擇單末位觀測基底時，最大必要的最小基底恰為 $40$ ；若同時觀察樓層與末位，則恰為 $22$。

證明由兩部分構成。上界部分：逐一枚舉全部端點纖維，對每個纖維求得 $q\le40$ 的單末位單射基底及 $q\le22$ 的聯合單射基底。下界部分：端點 $(1,4)$ 在每個 $2\le q<40$ 的單末位模式都有明確碰撞見證，故其最小基底為 $40$ ；端點 $(1,3)$ 在每個 $2\le q<22$ 的聯合模式亦有明確碰撞見證，故其最小基底為 $22$。這兩系列下界反例完整列入 CSV，而不是依賴少數抽樣。

與固定基底的結果相比：

| 觀察模式 | 全圖固定單一基底最小值 | 依已知端點選擇的最大必要值 |
|---|---:|---:|
| 只看中間末位 | 64 | 40 |
| 同時看樓層與末位 | 23 | 22 |

這兩列描述的是兩種不同的觀察政策，不是同一張圖的數值關係被更換。

### 8.3 不能把事後路徑專用基底偽稱成可操作策略

另做一個刻意的負對照：如果**先已經知道真實路徑 $P$**，再為該路徑挑選最小的 $q$，使它與其他端點候選的觀察不同，則全部 $30,342$ 條路徑都可以找到 $q\le39$。

但這種「每條實際路徑專用的最小基底」不能在未知路徑的原問題中直接使用。因為要決定選哪個基底，選擇器可能已需要知道它打算辨識的那條路徑；若觀察基底本身被當成額外傳輸的提示，更必須支付其選擇資訊成本。本文將這個事後方案明確標記為 **oracle／不可部署基準**，絕不把 $39$ 當成可用的全域保證。

![圖 3：依端點合法選擇的基底分布](figures/paper25_endpoint_adaptive_moduli.png)

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## 9. 觀測位元成本：更低的基底不一定更省資訊

### 9.1 一個刻意簡單的固定寬度模型

為了避免把基底數量直接冒稱為實際效率，本篇另外定義一個只計**資料欄位編碼寬度**的代理模型。單個末位數字 $0,\ldots,q-1$ 以：

$$
b_q=\lceil\log_2q\rceil
$$

個位元儲存。樓層最大不超過 $\ell_q(80)$，因此單個樓層索引用：

$$
h_q=\lceil\log_2(1+\ell_q(80))\rceil
$$

個位元儲存。對兩個中間數值，單末位成本為 $2b_q$ ；聯合末位與樓層成本為 $2(b_q+h_q)$。此計算沒有把已知端點、選基底前的圖索引成本、來源驗證、硬體切換、通訊開銷、位元壓縮或演算法執行時間納入。

如果某組端點原本只有一條合法路徑，該策略可不進行中間狀態觀測，成本記為 $0$ ；其餘端點組在事先選定的共同基底下記錄兩個中間觀測。

### 9.2 全部三步路徑的位元代理總量

| 策略 | 全部 30,342 條路徑的代理位元 |
|---|---:|
| 固定基底 64，只看末位 | 364,104 |
| 固定基底 23，同時看樓層與末位 | 364,104 |
| 按端點選最小單末位基底；單候選端點不查詢 | **249,360** |
| 按端點選最小聯合基底；單候選端點不查詢 | **288,760** |

這些數據的意思很明確：在這個**固定寬度代理模型**裡，加入樓層後可以降低所需的**基底數值**，卻不保證降低實際儲存位元。端點條件聯合模式甚至比端點條件單末位模式使用更多位元。

相比固定基底 64 的全路徑方案，端點條件單末位模式在此模型中減少約 **31.5%** 的原始觀測位元；這不是 CPU 時間、能耗或真實感測效率的實測加速率。

![圖 4：四種觀測方案的固定寬度位元模型](figures/paper25_bit_budget.png)

### 9.3 位元模型不是一般資訊理論最小值

若知道不同端點對的先驗機率，可使用變長編碼、熵編碼或其他最優化目標；若資料經過壓縮，總位元亦可能改變。本篇四個數字不是所有可能編碼器中的絕對最小位元數，僅用於**相同資料欄位規則下的可重現成本比較**。

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## 10. 多基底末位觀察與最小公倍數合併

### 10.1 同一個未知整數的多個末位觀測

假設同一個中間數值 $n$ 的最低位在不同基底 $q_1,\ldots,q_s$ 下皆被實際觀測，便得到一組同餘條件：

$$
n\equiv r_i\pmod{q_i}.
$$

若觀察彼此一致，這些條件共同指定 $n$ 在模：

$$
L=\operatorname{lcm}(q_1,\ldots,q_s)
$$

意義下的唯一餘數類。當模數互質時，這是既有中國剩餘定理；不互質時需先確認相容性。它既不是進位塔樓特有的新定律，也不表示任意被偽造的觀測都會相容。

對兩個中間數值分別套用同一組基底後，**其路徑候選分割恰與只使用基底 $L$ 的單末位觀測相同**。程式對每個比較方案逐條核對觀察等值類大小，而不僅比較最終計數。

### 10.2 本篇的精確對照

| 實際觀測的基底集合 | 有效模數 $L$ | 唯一路徑數 | 假合流配對 |
|---|---:|---:|---:|
| $\{2,3\}$ | 6 | 10,190 | 40,733 |
| $\{2,3,5\}$ | 30 | 24,614 | 2,993 |
| $\{8,9\}$ | 72 | 30,310 | 16 |
| $\{8,11\}$ | 88 | 30,342 | 0 |
| $\{2,3,5,7\}$ | 210 | 30,342 | 0 |

基底 $8,9$ 的最小公倍數為 $72$，但即使接近頂點上限 $80$，仍有路徑混淆；例如第二中間節點 $8$ 、 $80$ 在模 $72$ 下相同，且可以位於共同起終點的合法行走中。相反地， $L\ge80$ 對 $1$ 至 $80$ 的所有整數本身就可由餘數唯一確定，因此具有**不需要圖約束的充分條件**。

### 10.3 不把可計算的餘數冒充可取得的餘數

若未實際觀察中間狀態，事後計算它可能具有哪些基底餘數，仍不能決定哪條候選路徑是真的。上節同餘合併是**收到觀測後的推理規則**，不是從空白資料中讀出未曾量測的歷史。

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## 11. 已恢復數值路徑，為什麼仍然需要運算標籤見證

### 11.1 數值路徑完整不等於操作歷史唯一

即使已從末位與樓層觀測恢復唯一：

$$
P=(1,4,2,4),
$$

它的三條邊仍可獨立選擇：

- $1\to4$： $1+3=4$ 或 $1\times4=4$ ；
- $4\to2$： $4-2=2$ 或 $4/2=2$ ；
- $2\to4$： $2+2=4$ 或 $2\times2=4$。

因此存在八條不同的合法帶標籤歷史，且全部具有相同的中間數值及終點。

### 11.2 兩層合成觀測證書

研究套件附上一張可重新執行的合成測試證書：

```json
{
  "schema": "RTGO-XXV-CERT-v1",
  "provenance": "synthetic_demonstration",
  "K": 40,
  "endpoints": [1, 4],
  "numeric_observation": {"base": 40, "interior_residues": [4, 2]},
  "claimed_path": [1, 4, 2, 4],
  "operation_observation": {
    "base": 2,
    "observed_carry_vectors": [[], [0, 1], []],
    "claimed_bits": "101"
  },
  "claim_of_historical_authentication": false
}
```

第一層：已知端點 $(1,4)$，對兩個中間數值取得 40 進位末位 $(4,2)$ ；在固定圖上做完備候選排除，唯一得到 $(1,4,2,4)$。

第二層：使用標準二進位加法／卷積乘法及逆操作的正向一致性見證，比對三步實際觀察向量 `[]、[0,1]、[]`；它只符合操作位元 `101`，即**乘、減、乘**。

這是一張**條件式、合成資料的算術證書**，可證明所列觀察若真實、基底標籤若正確且遵循指定標準算法，則唯一數值路徑與操作位元如何被恢復；它不能單靠 JSON 自證外部歷史來源。

### 11.3 驗證器必須拒絕的負對照

- **不足的中間觀測：** 將上述數值觀測改為 $q=39$ 、末位 $(4,1)$，端點仍為 $(1,4)$，同時容納 $(1,4,1,4)$ 及 $(1,4,40,4)$，必須回報路徑歧義。
- **不可能的中間觀測：** 觀察值與基底範圍不相容或沒有任何合法路徑，必須回報無合法候選。
- **改寫操作標籤：** 保留二進位進位向量卻把操作位元 `101` 改為 `100`，必須回報指紋不一致。
- **假冒歷史認證：** 將合成證書的聲明改成已認證真實歷史，卻沒有可信來源時，必須拒絕該主張。

四種負對照都有獨立 JSON 檔；驗證器退出碼非零，不能把「被拒絕」誤當成驗收失敗。

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## 12. 從有限圖推廣到一般長度時，哪些結論仍然嚴格

### 12.1 已知起終點的有限候選路徑

對任意有限圖、固定步數 $s$，若起點和終點已知，合法數值路徑數可由鄰接矩陣的 $s$ 次冪計算；亦可以前向／反向動態規劃在各時間索引上逐步維護可能到達的節點集合與計數。

加入某個實際得到的中間觀測後，只能保留與該觀測相容的節點；若最後只剩一條完整數值路徑，就得到**在所選有限語法與觀測模型內的唯一候選**。

但不能因此推出任意長度都只需要固定的 23、40 或 64 進位；本文精確門檻來自 $K=40$ 、長度 $3$ 、兩個中間節點及指定的兩種觀察函數。

### 12.2 必要的觀察資訊與可執行觀測策略

任何觀測策略都應清楚說明：

1. 哪些資訊在選基底前已經知道；
2. 中間訊號來自何種實際或合成量測；
3. 基底選擇是否會依未知真實路徑改變；
4. 若多個不同候選仍有同一觀測，是否拒絕宣稱已唯一重建；
5. 若已唯一重建數值，是否仍保存操作標籤辨識與來源認證的剩餘條件。

只要缺少這些區分，任何把未知歷史畫成唯一一條漂亮曲線的塔樓圖，都可能只是視覺上選擇了某一條合法候選，而不是完成了數學逆向辨識。

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## 13. 反例、負結果與研究邊界

### 13.1 固定基底大小不是辨識能力的全序

 $64$ 的單末位全域單射與 $65$ 的失敗、 $23$ 的聯合全域單射與 $24$ 的失敗，都明確否定「只要基底增加一，觀察一定更精確」這個錯誤推論。不同模數不必互相形成細化關係。

### 13.2 樓層改善數值識別，但不等於最低記錄成本

本篇固定寬度位元模型下，端點條件的單末位方案總計 $249{,}360$ 位元，聯合模式反而為 $288{,}760$。因此「可使用較小的基底」和「需要較少資料位元」本來就是兩個不同目標。

### 13.3 終點與數位觀測本身不會顯示未量測的歷史

如果觀測者並未取得真實中間狀態的末位、樓層或實際運算進位，依本篇演算法最多只能輸出**全部合法候選集合**。事後選取某一條候選並計算它的理論進位，不是獲得真實歷史的新證據。

### 13.4 數值重建不代表操作標籤重建

在每條雙作用邊同時有兩種運算的情況下，即使觀測完整中間節點，仍可能有 $2^s$ 種帶操作標記的歷史。若缺少可靠的進位執行紀錄、預先固定的操作證書或其他可信額外資料，無法從數值結果單獨選出歷史上使用的位元字串。

### 13.5 整個 $1$ 至 $1000$ 世界尚未被此次實驗窮盡

本篇的 $80$ 節點是 $G_{40}$ 的合法雙作用緊湊子圖。若將語法擴展為全體 $1$ 至 $1000$ 的加、減、乘、除，甚至容許中間結果超過 $1000$，候選集合、路徑長度、無歧義觀察基底與相應下界均需要**重新定義並完整重算**。不能沿用 $23$ 或 $64$ 的有限結論。

### 13.6 候選路徑的數學存在，不等於物理因果真實性

本篇可證明某條路徑遵循指定的算術事件語法，亦可在可信觀測假設下證明其為唯一相容候選。但這些都不自動等同於物理系統的時間因果、生命經歷、真實計算設備身份或歷史時間戳；後者需要額外的來源與環境證據。

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## 14. 可重現驗證、原始資料與提交規格

### 14.1 兩種相互獨立的可觀測性驗證

核心 `verify_paper25.py` 在不依賴外部網路的情況下：

1. 以整除與差值直接建構所有 $156$ 條雙作用邊，另用因數生成法獨立核對同一邊集合。
2. 完整列出 $30{,}342$ 條三步數值行走，另用中間邊兩側鄰接度數積和獨立核對總數。
3. 枚舉 $q=2,\ldots,80$ 的末位、樓層、聯合觀察等值類，取得唯一路徑數、假合流配對與最大候選纖維。
4. 不使用完整路徑分桶方式，而改用**中間邊與鄰居交集**的定理 6.1，逐個基底確認全域單射真假。
5. 對每組端點完整求出單末位與聯合觀察的最小單射基底；提供全部下界失敗模數的兩條路徑見證。
6. 完整核對多基底同餘觀測與有效最小公倍數的一致性。
7. 以第十九至二十四篇相同算術世界的原始 CSV 作為外部有限基準，逐筆比對全部邊與三步路徑。

第二個 `verify_certificate_paper25.py` 處理觀測證書：它不能只相信 JSON 的宣告路徑與操作位元，必須先從圖上重新列出全部候選，再檢查是否真的唯一；接著逐欄重新生成標準運算進位並拒絕不一致或未經認證的來源主張。

### 14.2 正式發行檔案

| 檔案 | 用途 |
|---|---|
| `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_25_v0.1.md` | UTF-8 Markdown 正式 canonical 原稿 |
| `verify_paper25.py` | 直接數值路徑枚舉、獨立圖驗證、局部觀察與同餘測試 |
| `verify_certificate_paper25.py` | 合成逆向觀測證書驗證，含四種錯誤拒絕 |
| `make_figures.py` | 由已核准的 CSV/JSON 再生四組 PNG/SVG 圖表 |
| `validate_paper25.py` | 文章、數據、證書及 SHA-256 清單的一致性驗證 |
| `release_paper25.py` | 正式內容打包與可重現雜湊建立 |
| `data/paper25_edges.csv` | $G_{40}$ 的 156 條精確算術邊 |
| `data/paper25_all_walks.csv` | 全部 30,342 條合法數值路徑及每條的八種標籤選擇數 |
| `data/paper25_endpoint_fibers.csv` | 3,481 組端點及各自的最小觀察基底、位元成本 |
| `data/paper25_modulus_profiles.csv` | 79 種基底下末位、樓層、聯合觀察的精確混淆統計 |
| `data/paper25_noninjective_witnesses.csv` | 所有固定單末位失敗基底的具體反例 |
| `data/paper25_joint_projection_counterexamples.csv` | $q=22,24$ 的聯合觀察失敗反例 |
| `data/paper25_hard_endpoint_witnesses.csv` | $(1,4)$ 的單末位最小基底 $40$ 的全部下界見證 |
| `data/paper25_hard_endpoint_joint_witnesses.csv` | $(1,3)$ 的聯合最小基底 $22$ 的全部下界見證 |
| `data/paper25_independent_graph_check.csv` | 全部基底由中間邊交集得到的獨立單射判定 |
| `data/paper25_independent_joint_check.csv` | 聯合觀察的獨立單射判定 |
| `data/paper25_crt_profiles.csv` | 多基底餘數與最小公倍數的候選集合比對 |
| `data/paper25_endpoint_moduli_histogram.csv` | 端點條件單末位最小基底統計 |
| `data/paper25_endpoint_joint_moduli_histogram.csv` | 端點條件聯合模式最小基底統計 |
| `data/paper25_oracle_moduli_histogram.csv` | 不可部署的事後路徑專用基底負對照 |
| `data/paper25_synthetic_certificate.json` | 同時檢驗數值與運算指紋的合成證書 |
| `data/paper25_invalid_*.json` | 四種應當被拒絕的反例 |
| `data/paper25_stats.json` | 機器可讀的正式統計與原始參照核對狀態 |
| `reference/` | 第二十四篇未修改的 156 邊及 30,342 路徑 CSV |
| `figures/` | 四組 PNG/SVG 資料圖，並非正式數學證書 |
| `SHA256_MANIFEST.json` | 正式發行檔案逐一 SHA-256 完整性清單 |

### 14.3 離線重新運算

在解壓縮後的套件目錄執行：

```bash
python verify_paper25.py --output . --reference reference
python verify_certificate_paper25.py data/paper25_synthetic_certificate.json
python make_figures.py
python validate_paper25.py
```

故意竄改的四種 JSON 應當由證書驗證器拒絕（非零退出碼）；正式驗收程式會自動檢查這一點。

### 14.4 原始碼與歷史證據的不同定位

正式數學論述只以本 UTF-8 Markdown 檔案為 canonical source，不從聊天畫面重新複製或改寫公式。CSV/JSON 是機器可重建的實測資料；圖表只是觀察視圖；雜湊驗證的是提交後的檔案內容是否與發行紀錄一致，不保證其內容原本就是真實外部歷史。

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## 15. 結論：數值路徑可以被辨識，歷史本身仍須具備來源

本篇將「已知數值路徑的運算辨識」推進到「只知道起終點的未知中間路徑重建」，並在與前篇相同的有限雙作用圖上建立完整逆向觀測基準。全部 $30{,}342$ 條三步路徑投影到端點後，只有 $922$ 條本來就能從端點唯一辨識，其餘需要中間觀測才能排除其他合法歷史。

固定單末位基底最小全域單射值為 $64$ ；同時保留末位與樓層後，最小值為 $23$。兩種模式均呈現對基底大小的**非單調辨識**。改用端點條件的預先觀測選擇，單末位最大必要值降至 $40$ 、聯合模式降至 $22$。這些是精確有限域結論，可由每個失敗基底的反例與完全不同的中間邊鄰接測試獨立核對。

這些結果也刻意排除三種容易造成錯誤的捷徑：第一，不把事後已知真實路徑才挑選的最小基底冒稱為可操作策略；第二，不把較小基底自動當成更少記錄位元或更少 CPU 工作量；第三，不把由數值觀測重建出的唯一路徑直接宣稱為已認證的歷史運算標籤。

從最初的 $9\times99$，我們曾經只能看見相同結果背後的代數對應；當把數字、層級與中間作用關係全部保留下來時，現在已能在明確有限語法內回答：**哪些候選可以存在、哪些觀察足以排除其他候選、哪些操作仍不能由數值唯一決定。**

**本篇核心結語：可以推導出來的路徑，不等於已經觀察到的路徑；可以唯一辨識的運算，也不等於已經證明那段歷史真實發生。**

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## 參考文獻與前篇材料

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）》，2026-11-05；有限雙作用整數圖與精確算術邊。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十九至二十一篇）》，2026-11-05；已知完整數值路徑時的質數進位辨識、局部觀察策略及成本分界。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十二至二十四篇）》，2026-11-05；指紋容錯、共同來源故障與歷史不可辨識性。
4. *Graph Theory Fundamentals*, Springer Nature, 2025, Theorem 1.10（鄰接矩陣冪計算定長行走數）：https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-981-96-4745-3_1 。本篇採用既有圖論結果，沒有將之宣稱為新矩陣算法。
5. Stanford cryptography notes, *The Chinese Remainder Theorem*：https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numbertheory/crt.html 。用於區分完整的模數同餘重建與只是改變數位顯示。

**End of Paper XXV (v0.1).**