# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十二篇）

## 逐位運算見證的錯誤距離、質數錨點與獨立冗餘通道的精確修復界線

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XXII: Error Distances of Digit-Level Operation Witnesses, Prime-Radix Anchors, and Exact Recovery Bounds under Independently Faulted Observation Channels*  
**版本：** v0.1（有限正整數算術、明確通道故障模型、嚴格命題與完整枚舉）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想：** Neo.K；形式化、程式實驗與驗證：AI 輔助協作  
**直接承接：** 第十九篇的全圖質數進位辨識、第二十篇的局部覆蓋、第二十一篇的成本與可信觀察分界  
**Canonical source：** UTF-8 Markdown，LF 換行；所有正式數學原始碼僅使用 ` $...$ `、`$$...$$`  
**證據性質：** 既有有限編碼理論結合指定算術圖的可證命題及可重現窮舉。**不宣稱實測了真實硬體故障率、歷史執行來源或一般實數演算法的容錯。**

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**作者：** Neo.K；形式化、程式實驗與驗證：AI 輔助協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

本系列前二十一篇從 $9\times99$ 的多重算術表示出發，將整數數值、帶標籤的運算歷史、進位制觀察、跨運算路徑及觀察成本依次分開。第十九篇在指定雙作用整數圖 $G_K$ 中證明：若一條精確數值邊 $y=x+d=xr$ 可以由加法或乘法產生，則所有不超過 $K$ 的質數進位基底形成唯一的全圖最小完整辨識集合。第二十、二十一篇又證明，已知路徑可採較少且成本不同的局部觀察。但是**無錯誤辨識能力**不等同於**觀察遺失後仍能辨識**，更不等同於**未知位置的觀察竄改仍能修復**。

本篇提出一個刻意明確的通道級故障模型：每個通道保存「某個已知數值步驟，在指定進位基底下的一整份標準歸一化進位向量」，視為一個字母；某通道可能被擦除，也可能被替換為任意其他向量。每一步仍只容許兩種合法操作標籤；精確數值路徑、運算語法和通道索引已知。使用每步逐基底的完整指紋作為碼字，便可將「辨識、錯誤偵測、擦除恢復與未知錯誤修復」統一到最小 Hamming 距離上。

對 $K=40$ 的 $156$ 條雙作用邊，窮舉全部 $2$ 至 $80$ 進位基底，得到： $50$ 條邊只有一個基底能辨認兩種操作、 $4$ 條恰有兩個、 $102$ 條有至少三個。因此即使觀察全部 $79$ 種**相異**基底，亦無法提供整張圖的一次擦除恢復保證。這 $50$ 條單一辨識通道邊中， $39$ 條是 $x\leftrightarrow2x$ （ $2\le x\le40$ ），另 $11$ 條為 $1\leftrightarrow p$ （奇質數 $p\le40$ ）。兩族皆能證明：除指定的質數基底外，其他任何整數進位基底均無法分辨其加法與乘法的標準完整進位向量。

以第十九篇質數錨點定理為基礎，本篇進一步證明一項**帶重複通道的全圖最小距離定理**：令 $\pi(K)$ 為不超過 $K$ 的質數數目。若允許把同一基底作為多份獨立故障通道，要求整張 $G_K$ 的兩種運算操作碼字具有至少 $D$ 的最小距離，則所需通道數量恰好至少為 $D\pi(K)$ ；每個質數基底重複 $D$ 次可達下界。對 $K=40$， $\pi(40)=12$，因此無錯誤辨識至少需要 $12$ 通道；一次擦除恢復或一次未知替換偵測至少需要 $24$ 通道；一次未知替換修復至少需要 $36$ 通道。此最小性只屬於**完整進位指紋、通道級 Hamming 故障、已知數值路徑及全圖要求**，並非通用資料容錯硬體的最少實體元件數。

對原有 $30{,}342$ 條長度為三的有向數值行走，本篇完整計算六種觀察配置的最小距離。全部 $79$ 種不同基底中，有 $16{,}762$ 條路徑的最小距離仍僅為 $1$ ；質數基底各三份則使所有 $30{,}342$ 條路徑的最小距離至少為 $3$。另對 $156$ 條邊的兩種運算標籤、 $36$ 個通道位置逐一注入故障，通過 $11{,}232$ 次單通道未知竄改、 $11{,}232$ 次單通道擦除與 $3{,}636$ 次對抗性候選替換測試。故障紀錄均為**合成測試**，不能冒稱真實執行過程的外部可信證據。

最後，本篇給出必要的負對照：對邊 $1\leftrightarrow7$，如果全部三份七進位觀測同時失效，即使另外保留所有質數進位基底，仍無法確定原操作是加法還是乘法。這表明**同一基底的多份邏輯副本**與**真正故障相互獨立的觀察來源**不可混為一談。容錯證書的數學界線可以被精確證明，但其工程可信性仍需另有獨立觀測、來源驗證及故障相關性假設。

**關鍵詞：** 全域運算關係、進位制塔樓、標準進位指紋、最小 Hamming 距離、擦除、未知替換、質數基底錨點、冗餘見證、合成錯誤注入、來源可信性、全局與局部觀察、有限算術碼。

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## 1. 本篇真正改變了什麼問題

### 1.1 前三篇已經處理辨識，但沒有處理故障

第十九篇問：給定一條數值邊的精確兩端，在指定進位基底下實際觀察到的進位向量，能否分辨兩個合法操作？第二十篇問：對一條已知路徑，至少需要哪些基底才能分辨每一步？第二十一篇問：最少基底數量是否等於最少位數工作量，以及無噪聲觀察下回饋式查詢能否改善保證成本？

這三個問題都預設所取得的觀察資料**沒有受到通道故障**。本篇改成詢問：

1. 一筆已知位置的觀察資料如果遺失，剩下的資料還能否唯一確定操作？
2. 一筆觀察資料如果被未知位置的錯誤替換，能否發現錯誤？
3. 若要在未知竄改下**恢復正確操作與預期進位**，究竟需要多少互相可獨立失效的通道？
4. 僅靠增加更多不同進位制，能否對全圖提供這些保證？
5. 完整可修復的算術證書，是否就足以證明某台設備曾真實執行該歷史？

前四項在限定模型下可精確求解；最後一項答案是否定的，來源可信性仍是獨立問題。

### 1.2 四種不同的有效性

本文從一開始就分開：**算術正確性**、**操作選擇辨識**、**觀察損壞後的解碼能力**、**歷史來源認證**。前三者可以使用有限整數運算與編碼距離驗證；第四者需要另外的可信執行證據。

因此，本篇並不把可模擬出來的進位向量當成真實故障量測，也不把一組可更正的觀測資料自動視為不可偽造的記錄。

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## 2. 不變的有限雙作用算術圖

### 2.1 整數運算語法

固定 $K\ge2$，令：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\},\qquad V_K=\{1,2,\ldots,2K\}.
$$

對正整數 $x<y$，只在存在 $d,r\in A_K$ 且

$$
y=x+d=xr
$$

時納入一條雙作用無向邊 $e=\{x,y\}$。由 $d=x(r-1)$，必有 $x\le K$ 、 $y\le2K$。向上操作可選 $A$ （加法）或 $M$ （乘法）；向下可選 $S$ （減法）或 $D$ （精確除法）。

對逆向除法的進位指紋，沿用第十九篇的**逆乘法一致性見證**，不是聲稱已模擬特定長除法硬體的內部狀態。本文研究的無向邊可用這個共同的正向加乘指紋比較，並以已知方向恢復操作標籤。

主實驗固定：

$$
K=40,\quad |V_K|=80,\quad |E_K|=156.
$$

這是 1–1000 全域正整數觀察的一個明確限制子圖；不代表 81–1000 無其他合法運算事件。

### 2.2 完整進位指紋

固定整數進位基底 $q\ge2$，令 $D_q(n;t)$ 為整數 $n$ 的標準數位多項式。對邊 $y=x+d=xr$，定義：

$$
F_q^0(e;t)=\frac{D_q(x;t)+D_q(d;t)-D_q(y;t)}{q-t},
$$

$$
F_q^1(e;t)=\frac{D_q(x;t)D_q(r;t)-D_q(y;t)}{q-t}.
$$

這兩個多項式的整數係數列，分別等於標準加法與標準卷積乘法逐位進位；在指定數值與算法下可唯一重建。每個完整係數列在本篇**被當作一個通道字母**，而不是把其中每個數字係數再分成獨立故障通道。

若兩個字母相同，該基底無法辨識邊上的操作；若不同且觀測來源可信，該基底可分辨操作選擇。這與第十九篇的分離語義完全一致。

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## 3. 通道級錯誤模型與兩碼字距離

### 3.1 為何要先定義故障單位

令 $Q=(q_1,\ldots,q_h)$ 是有序的觀察通道清單。**允許重複的基底值**，但兩個相同基底的通道是兩個不同紀錄位置。若它們只有同一份資料的兩個檔案複製品，則不一定滿足後文的故障假設；數學模型先把它們當作不同可單獨損壞的通道。

對邊 $e$ 的兩個操作位元 $b\in\{0,1\}$，其通道碼字為：

$$
\mathcal C_Q^b(e)=(F_{q_1}^b(e),\ldots,F_{q_h}^b(e)).
$$

完整向量本身可以有不同長度，但因每個位置是已知的基底與步驟索引，只要整個向量完全一致便視為同一字母。

### 3.2 三種有限故障

- **擦除（erasure）：** 某個通道的資料遺失，且解碼器知道哪個通道沒有資料。
- **未知替換（substitution）：** 某個通道的整個向量可能被換成任意向量，解碼器事先不知道位置。
- **共同故障（correlated outage）：** 同一來源的多個通道同時失效。若失效通道數超出本篇設定的保證預算，則不能援引單一故障修復定理。

本篇不研究數值端點 $x,y$ 本身被竄改、運算語法被替換、通道索引與基底標籤被混淆、任意長度的錯誤風暴或外部紀錄來源遭偽造；這些都需要另外定義錯誤語義。

### 3.3 邊的最小距離

對兩個操作候選，Hamming 距離為：

$$
\delta_Q(e)=\sum_{j=1}^{h}\mathbf1[F_{q_j}^0(e)\ne F_{q_j}^1(e)].
$$

請注意同一基底若列出三次，即使理論值相同，也**計三個通道位置**。這是通道故障模型中的距離，不是「不同進位制種類數」的距離。

直接使用標準編碼理論，可得：

- $\delta\ge1$：無錯誤時可以區分兩種操作。
- $\delta\ge2$：可恢復一個已知位置的擦除，亦能保證偵測一個任意未知替換。
- $\delta\ge3$：可保證修復一個未知位置的任意替換。
- 更一般地，若同時容許 $t$ 個未知替換及 $e$ 個已知擦除，足夠且對最壞情況必要的距離條件是 $\delta\ge2t+e+1$。

這些距離判準是經典糾錯碼理論在本篇兩碼字觀察空間的直接應用，並非新創的通用編碼定理。

### 3.4 擦除恢復與真正修復的差別

「一個通道遺失後能選出正確操作位元」是擦除恢復；而「一個未知通道被修改後仍能知道原操作，並由指定算法重建正確理論進位向量」是未知替換修復。即使二者都能成功，若缺少歷史來源認證，也不能證明此理論向量確實來自過去某台裝置。

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## 4. 第一個錨點定理：二倍乘法的唯一辨識基底

### 定理 4.1

對任意整數 $x\ge2$，在合法語法中考慮：

$$
x+x=x\times2=2x.
$$

當整數基底 $q\ge3$ 時，標準加法與標準乘法的完整進位向量必然相同；而當 $q=2$ 時，必然不同。因此，對所有 $2\le x\le K$，邊 $x\leftrightarrow2x$ **只有二進位能辨識兩種運算**。

**證明。** 當 $q\ge3$，整數 $2$ 以單一數字表示，其數位多項式為常數 $2$。故乘法的未歸一化係數為 $D_q(x;t)D_q(2;t)=2D_q(x;t)$，與加法 $D_q(x;t)+D_q(x;t)$ 完全相同。輸出也同為 $D_q(2x;t)$，故兩種進位缺陷及其唯一的商完全相同。

當 $q=2$， $D_2(2;t)=t$，所以乘法的未歸一化多項式為 $tD_2(x;t)$，加法則為 $2D_2(x;t)$。兩者是不同的非零整係數多項式，因為 $D_2(x;t)\ne0$ 且 $t\ne2$。輸出相同，故兩個進位缺陷不同，其商亦不同。證畢。

**主實驗推論。** 在 $K=40$，共有 $39$ 條這類邊： $2\leftrightarrow4$ 至 $40\leftrightarrow80$。對任何候選**相異**基底集合，這些邊最多只有一個辨識通道。

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## 5. 第二個錨點定理：奇質數的唯一辨識基底

### 定理 5.1

對奇質數 $p\le K$，考慮：

$$
1+(p-1)=1\times p=p.
$$

這條邊的乘法 $1\times p$ 在任何整數進位制都不產生進位；加法 $1+(p-1)$ 在基底 $q$ 下產生進位，當且僅當 $q\mid p$。由 $p$ 為質數及 $q\ge2$，只可能是 $q=p$。因此**只有基底 $p$ 能辨識這條邊的兩種操作**。

**證明。** 乘法因 $D_q(1;t)=1$，未歸一化結果已是 $D_q(p;t)$，故進位為零。加法的第一個加數為 $1$，第二個為 $p-1$ ；它能導致進位，當且僅當後者的最低位為 $q-1$，亦即 $p-1\equiv q-1\pmod q$，等價於 $q\mid p$。若無最低位進位，由於其他位沒有第二個非零加數，也不會出現較高位進位。證畢。

對 $K=40$，奇質數錨點為 $p\in\{3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37\}$，共有 $11$ 條。

二倍乘法錨點的 $39$ 條加上奇質數錨點的 $11$ 條，形成至少 $50$ 條只有一個辨識基底的邊；本篇對全部 $2\le q\le80$ 窮舉後確認，**恰好**就是這 $50$ 條。

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## 6. 全圖最少冗餘通道定理

### 6.1 最小距離要求

令 $\pi(K)$ 為不超過 $K$ 的質數數目。允許觀察清單 $Q$ 為任意整數基底的**有限多重集合**，同一基底可以由不同位置重複出現。要求：

$$
\min_{e\in E_K}\delta_Q(e)\ge D,
\qquad D\in\mathbb Z_{\ge1}.
$$

### 定理 6.1（全圖距離 $D$ 的唯一最少通道多重集合）

對本篇的雙作用整數圖 $G_K$，為保證每條邊的兩碼字距離至少為 $D$，觀察通道總數必至少為：

$$
D\pi(K).
$$

取不超過 $K$ 的每個質數進位基底各 $D$ 份，恰好達成此下界。因此在只計通道位置數時，該配置是**唯一的最小總數完整解**。

**證明（必要性）。** 對每個奇質數 $p\le K$，由定理 5.1，邊 $1\leftrightarrow p$ 只能在基底 $p$ 的通道上產生兩種不同指紋。要使其距離至少為 $D$，多重集合中基底 $p$ 至少必須出現 $D$ 次。對質數 $2$，由定理 4.1，邊 $2\leftrightarrow4$ 只能在二進位產生不同指紋，因此基底 $2$ 也至少必須出現 $D$ 次。合計至少 $D\pi(K)$ 個通道。

**證明（充分性）。** 任一合法雙作用邊皆有乘法比 $r\in\{2,\ldots,K\}$，故 $r$ 至少具有一個質因數 $p\le K$。由第十九篇的質數因數分離定理，在基底 $p$ 下，該邊的加法與乘法完整進位向量不同。若每個質數基底有 $D$ 個通道，至少這 $D$ 個基底 $p$ 的位置能區分兩個候選，所以該邊距離至少為 $D$。全部邊皆成立。

**唯一性。** 前述必要條件已強迫每個 $p\le K$ 至少 $D$ 份。總數恰為 $D\pi(K)$ 時，不可能再加入任何其他通道，也不可能增添某個質數份數而減少另一個質數份數，因此最小多重集合唯一。證畢。

### 6.2 單一擦除與未知替換的最小通道數

利用第 3 節的經典距離判準，可得更一般的推論：若最多容許 $t$ 個未知位置的通道替換與 $e$ 個已知位置的通道擦除，要求所有雙作用邊仍可唯一解碼，則最低通道位置數為：

$$
(2t+e+1)\pi(K).
$$

這是**在此 Hamming 通道模型中、已知數值端點、固定加乘進位語義以及最壞情況零誤差要求下**的結果。它不是在其他錯誤模式、其他編碼方法或外部可信硬體中的一般最小容錯成本。

在 $K=40$， $\pi(40)=12$：

| 保證目標 | 最小距離 | 最小通道總數 |
|---|---:|---:|
| 無故障辨識 | 1 | 12 |
| 一次擦除恢復 | 2 | 24 |
| 一次未知替換偵測 | 2 | 24 |
| 一次未知替換修復 | 3 | 36 |
| 同時一次擦除與一次未知替換修復 | 4 | 48 |

**這裡的「份」需要是可獨立損壞的通道位置。** 把同一份沒有來源驗證的資料複製三次，不能據此保證三次故障相互獨立。

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## 7. 三步路徑的整體距離因子化

### 7.1 將每一步編入保留索引的完整碼字

令已知數值行走為：

$$
P=(v_0,v_1,\ldots,v_s),
$$

其第 $i$ 步無向邊為 $e_i=\{v_{i-1},v_i\}$。一條完整運算標記歷史由位元字 $b=(b_1,\ldots,b_s)$ 指定。在每一步都使用相同的通道清單 $Q$，保留**步驟索引與基底索引**，得到碼字：

$$
\mathcal C_Q(P,b)=\big(F_{q_j}^{b_i}(e_i)\big)_{i=1,\ldots,s;\ j=1,\ldots,h}.
$$

在本文語法下，每個步驟有兩種獨立合法標籤，故存在 $2^s$ 條候選歷史。任意兩條歷史若在部分步驟選了不同操作，碼字距離等於那些步驟的邊距離之和。

### 定理 7.1（已知路徑的最小距離）

對長度 $s\ge1$ 的已知雙作用行走：

$$
d_{\min}(P,Q)=\min_{1\le i\le s}\delta_Q(e_i).
$$

**證明。** 兩條不同位元字至少在一個步驟上不同，故兩碼字距離至少為對應步驟中最小的邊距離。選定距離最小的步驟，只翻轉該步的操作位元、其他步驟保持相同，即可取得恰等於該最小邊距離的兩個碼字。故上下界一致。證畢。

這個因子化成立的關鍵是：**完整精確數值路徑已知、各步操作選擇相互獨立、進位觀察保留每步索引**。若移除路徑識別、打亂步驟或允許相依操作限制，公式需要重新檢查。

### 7.2 與前篇的辨識纖維區別

第十九篇的指紋纖維統計在**沒有故障**時把不可辨識步驟合併為等價類；本篇使用兩碼字距離衡量資料受到故障後的最壞情況修復能力。因此一條路徑在某組基底下「無故障時所有操作皆可辨認」，只意味 $d_{\min}\ge1$，並不意味 $d_{\min}\ge2$ 或 $3$。

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## 8. 固定 K=40 的全部 156 條邊實測

### 8.1 完整距離分布按保證等級聚合

本篇保持與第十九至二十一篇一致的精確整數語法及完整進位向量。六種觀察配置分別為：只用十進位；常用七基底；不超過 $40$ 的十二個質數基底；全部相異 $2$ 至 $80$ 基底；每個質數基底兩份；每個質數基底三份。

| 基底通道方案 | $\delta=0$ | $\delta=1$ | $\delta=2$ | $\delta\ge3$ | 合計 |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| 十進位（1 通道） | 101 | 55 | 0 | 0 | 156 |
| 常用七基底（7 通道） | 9 | 56 | 9 | 82 | 156 |
| 十二質數基底（12 通道） | 0 | 58 | 23 | 75 | 156 |
| 全部相異 2–80 基底（79 通道） | 0 | 50 | 4 | 102 | 156 |
| 十二質數各兩份（24 通道） | 0 | 0 | 58 | 98 | 156 |
| 十二質數各三份（36 通道） | 0 | 0 | 0 | 156 | 156 |

其中 $\delta=1$ 的邊**仍可無錯誤辨認**，但無法保證一次擦除後唯一解碼； $\delta=2$ 的邊可承受一次擦除或偵測一次替換，但不能保證修復一次未知替換。

![六種觀察方案的邊距離保證層級](figures/paper22_edge_distance_classes.png)

### 8.2 全部 2–80 相異基底的 50 條單點失效邊

在所有 79 個不同整數基底下，單通道辨識邊**恰有 50 條**；其中二倍比 $r=2$ 的邊有 39 條，奇質數錨點有 11 條。這一有限域完整枚舉與第 4、5 節的普遍錨點定理吻合。

**不能從此推論所有 156 條邊只受單一進位制控制。** 另有 106 條邊在多種基底下具有不同的操作指紋。全圖保證之所以失敗，是因為要求必須涵蓋**最脆弱的每一條邊**，而不是因為大部分邊都沒有冗餘。

### 8.3 使用比更多進位種類更有效的故障模型

全部 79 種相異基底使用的通道位置數已多於三倍質數方案的 36，但前者仍有 50 條距離為 1 的邊；後者在**允許獨立重複觀察**的模型下，卻能把全圖最小距離提升到 3。

這並不表示重複計算在實際機器裡必然更有效，而是證明：**對指定故障模型而言，通道的辨識支援位置與冗餘分配，比單純增加進位制種類更重要。**

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## 9. 全部 30,342 條三步行走的距離與修復比較

固定第十九至二十一篇的同一批有向、可重複節點、長度為三的數值行走，逐條使用定理 7.1 計算八種運算標記歷史的碼字最小距離。

| 觀察方案 | 路徑距離 0 | 距離 1 | 距離 2 | 距離至少 3 | 合計 |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| 十進位 | 28,352 | 1,990 | 0 | 0 | 30,342 |
| 常用七基底 | 5,614 | 16,730 | 2,390 | 5,608 | 30,342 |
| 十二質數基底 | 0 | 20,680 | 5,278 | 4,384 | 30,342 |
| 全部相異 2–80 基底 | 0 | 16,762 | 2,208 | 11,372 | 30,342 |
| 十二質數各兩份 | 0 | 0 | 20,680 | 9,662 | 30,342 |
| 十二質數各三份 | 0 | 0 | 0 | 30,342 | 30,342 |

在全部相異基底方案下，仍有 $16{,}762$ 條路徑包含至少一條距離僅為 $1$ 的邊，因此不能保證**整條路徑**承受一次擦除。即使其他兩步具有數十種分離基底，只要其中一個操作位元失去唯一辨識能力，完整歷史便不再能保證恢復。

與此相對，十二質數各三份方案對全部 $30{,}342$ 條行走都達到至少距離 $3$ ；本篇因此能在明定的通道級故障模型中對任一已知路徑給出一次未知替換修復保證。

![三步已知路徑的故障保證分布](figures/paper22_path_robustness.png)

### 9.1 通道次數不能直接等同真實效能

若一個基底對整條三步路徑的三個步驟都收集一份完整指紋，則所有質數基底各一份，需要：

$$
30{,}342\times3\times12=1{,}092{,}312
$$

個「步驟乘通道」位置。各兩份需要 $2{,}184{,}624$ 個，各三份需要 $3{,}276{,}936$ 個；全部相異 79 基底需要 $7{,}191{,}054$ 個。

這是**資料通道位置的計數**，不是 CPU 執行時間、電功耗、網路傳輸位元或真實系統的固定總成本。第 6 節的最小通道數定理只最小化通道位置數量，並沒有最小化前篇所研究的數字位數工作量。

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## 10. 具體反例：失去唯一基底之後，任何其他進位制都無法補救

### 10.1 邊 1 到 7

考慮：

$$
1+6=1\times7=7.
$$

在基底 $7$ 下，加法的最低位進位為 $1$，乘法的完整進位向量為零；在任何其他整數基底下兩種進位向量相同。因此如果只記錄各種**相異**基底的一份指紋，七進位通道資料一旦被擦除，就無法區分兩種操作。

更強的是，如果七進位的原始指紋被對抗性地替換成**另一個合法操作候選的指紋**，則全部 79 個基底拼成的觀察資料會與另一個完整合法碼字完全相同。在這種情況下，解碼器甚至無法保證察覺它遭到修改。

這個反例不是硬體可能性的猜測，而是由兩碼字 Hamming 距離等於 1 的形式事實直接得到。

### 10.2 邊 2 到 4

同樣地：

$$
2+2=2\times2=4.
$$

僅有二進位能區分兩種操作。無論增加多少其他整數基底，其進位向量仍不能替代二進位的辨識角色。這說明**單一錨點的限制並不只發生在大質數**，也來自最基本的乘二運算族。

### 10.3 三份質數觀察的條件式修復

把每個質數基底記錄三次，考慮一條帶操作位元的合成數值行走：

$$
1\to7\to1\to7.
$$

正式測試證書設定三步操作選擇為 `101`，並故意將第一步某一份七進位指紋替換為相反操作的合法候選指紋。因其餘兩份七進位指紋仍與原操作一致，該步兩碼字的距離至少 3，最近碼字解碼會唯一恢復原操作位元與完整理論指紋。

此結果只是**受控合成故障注入**。如果三份七進位觀測都在同一個故障事件中被清空，剩下的其他質數基底對邊 $1\leftrightarrow7$ 仍沒有辨識力。三份副本必須滿足適用的錯誤數量假設，才能援引修復定理。

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## 11. 故障測試與雙重算術驗證

### 11.1 156 條邊全部重算

`verify_paper22.py` 首先不依賴前篇程式直接生成全部 $156$ 條合法邊，逐基底計算加法與乘法完整進位向量。每個向量同時由兩種算法取得：

1. 對未歸一化數位欄逐欄執行標準進位遞迴。
2. 從原始數位多項式與正規化結果之差，以整數係數除以 $q-t$ 重建進位商。

兩種算法必須逐係數一致；任何失敗都會使正式資料生成中止。生成的 156 條邊及其分離基底清單，也與第二十一篇的原始 CSV 逐列比對。對第十九篇已有的 1,404 條基底／邊指紋，則另以完整係數列表逐項驗證。

### 11.2 整數距離與直接碼字距離交叉核對

對全部 $30{,}342$ 條三步行走，核心程式以各條邊的分離基底數求出最小距離。另按固定步長抽取行走，真正生成每條行走的全部 $2^3=8$ 種完整操作碼字，逐一計算任意兩碼字的完整通道級 Hamming 距離，要求其最小值與定理 7.1 完全一致。

這項獨立驗證避免只將一個尚未檢查的公式直接寫入統計表，再反過來用同一公式宣稱統計被證明。

### 11.3 單通道故障注入

在十二個質數各三份的 36 通道配置下，對每條邊、每個操作位元及每個通道位置各進行一次故障測試：

| 故障測試 | 次數 | 結果 |
|---|---:|---|
| 將單一通道替換成非法測試字母 | 11,232 | 全部正確還原 |
| 擦除單一已知位置通道 | 11,232 | 全部正確還原 |
| 將可辨識通道替換為另一合法操作的完整指紋 | 3,636 | 全部正確還原 |

解碼器只接受與某個合法碼字距離在允許故障預算內、且最近候選唯一的結果。除了正向修復測試，另以 $1\leftrightarrow7$ 建構：全相異基底單點擦除造成無法辨識、單點未知替換造成錯誤解碼、相同基底三份同時失效造成冗餘失效的負對照。

### 11.4 可修復不等於可以推論出曾經真實發生

`data/paper22_synthetic_fault_certificate.json` 明示其觀察為合成資料，並包含精確路徑、操作位元、基底通道清單、注入故障位置及全部逐通道進位向量。

`verify_certificate_paper22.py` 會檢查：每條邊是否合法、每個向量是否與所宣稱操作相容、故障是否恰在宣告的位置，以及解碼是否唯一。附帶的**故意竄改負例**增加第二筆錯誤，必須被驗證器拒絕。

這種證書能證明「所列資料符合一個聲明的有限故障模型」；若沒有獨立且可信的來源認證，它不能證明某個過去的真實硬體運算紀錄並未被偽造。

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## 12. 與第二十一篇的最佳觀察成本模型如何銜接

### 12.1 「覆蓋」與「冗餘覆蓋」不同

第二十一篇只要求每個步驟至少被某個基底辨識一次，因此對已知路徑的每個步驟，只需滿足一重覆蓋。第二十二篇的單一擦除恢復要求每一步至少兩重辨識；單一未知替換修復則要求至少三重辨識。

若每個基底的觀察成本為正值，則加入冗餘要求只會增加或維持最小成本，不可能在完全相同的目標函數與候選集合下直接降低最低成本。至於如何在特定路徑上尋找成本最低的多重覆蓋，則應明確指定**通道是否可獨立重複、每次重複的成本及故障相關性**。本篇的全圖最少通道定理不自動解決所有非均勻成本的最佳化問題。

### 12.2 觀察冗餘與實體來源多樣性

把質數基底 $p$ 重複三次，可以在獨立通道級故障模型中取得距離至少 3；然而三份可能都由同一個演算法實作產生。如果同一程式碼有系統性錯誤，三份相同結果並不提供新的可信來源。

因此需要區分：

- **組合辨識冗餘：** 依進位指紋的 Hamming 距離提供形式保證。
- **來源多樣性：** 確保通道不共享會一起失敗的機制，例如獨立實作或獨立採集。
- **外部可信性：** 由額外的記錄與信任證據，確認觀測真的來自欲研究的歷史。

本篇僅證明第一類；第二、三類屬系統工程與來源稽核問題，不能假裝已經因數學重複次數而自動滿足。

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## 13. 負結果與適用範圍

### 13.1 全部不同進位制仍未必容錯

 $K=40$ 的 50 條單一錨點邊說明，即使使用 79 個相異基底，也無法保證每條邊能承受一次擦除。若只把「觀察視角愈多」當成安全性的充分條件，便會忽略通道是否真正能對最弱關係提供新的資訊。

### 13.2 三份相同觀測不等於三份獨立證據

距離模型把同一進位基底的不同紀錄位置看成可以單獨發生錯誤的通道；如果一次共同故障破壞該基底的全部三份觀測，故障個數已超出「最多一次」的預算。沒有通道獨立性或其他可信性依據，不應將形式碼距離翻譯成真實設備可靠率。

### 13.3 此處的「修復」不包含原始未知操作來源的驗真

本篇可以從受限損壞碼字中恢復一個正確的操作位元及其理論進位向量，**條件是原始碼字確實來自這兩個候選操作之一**。如果原始輸入本身不是合法運算歷史、通道標籤錯誤，或資料由對手憑空編造一套一致的碼字，距離驗證無法替代來源認證。

### 13.4 Hamming 通道故障不同於逐位單係數故障

一個通道在本篇是一整份進位多項式係數列。若改成每個進位係數可能單獨被破壞，或一個進位制的所有相關步驟同時失效，應使用不同的距離與故障模型；不能直接沿用第 6 節的最小通道計數。

### 13.5 不將受限整數語法的定理外推到全部實數

本文用的是有限正整數圖、標準整數進位制與固定加法／卷積乘法；無理數、非終止分數、近似浮點與其他算法並未納入窮舉。若擴充數域，必須重新指定編碼、演算法、截斷、誤差及來源約束，而不能套用本篇 $D\pi(K)$ 的公式。

### 13.6 不把算術修復等同於物理因果逆轉

算術「作用」與「反向約束」描述的是具輸入、運算符與結果的可執行計算規則；錯誤修復描述的是特定觀察碼的解碼能力。這些都不自動等同物理世界的逆因果、時間倒流或動力學反作用律。

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## 14. 可重現檔案、檢驗順序與正式原稿

### 14.1 核心檔案

| 檔案 | 功能 |
|---|---|
| `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_22_v0.1.md` | 本篇 UTF-8 正式論文原稿 |
| `verify_paper22.py` | 精確加／乘進位、雙演算法核對、邊與路徑距離、故障注入、前篇參照檢查 |
| `verify_certificate_paper22.py` | 合成單通道故障證書的正向驗證與錯誤拒絕 |
| `make_figures.py` | 由正式 CSV 資料生成 PNG、SVG 圖表 |
| `validate_paper22.py` | UTF-8、canonical delimiter、CSV/JSON、圖表與 SHA-256 完整檢查 |
| `release_paper22.py` | 建立正式內容雜湊與 ZIP |
| `data/paper22_edge_distances.csv` | 156 條精確邊在六種方案的最小距離 |
| `data/paper22_path_distances.csv` | 30,342 條三步路徑在六種方案的最小距離 |
| `data/paper22_policy_comparison.csv` | 六方案的距離類別聚合與步驟通道數 |
| `data/paper22_examples.csv` | 質數錨點、二倍錨點及其他雙作用邊的完整進位見證 |
| `data/paper22_synthetic_fault_certificate.json` | 可獨立解碼的合成單通道竄改證書 |
| `data/paper22_intentional_tamper_example.json` | 故意額外增加錯誤、必須被拒絕的負對照 |
| `data/paper22_stats.json` | 機器可讀的完整統計與核對摘要 |
| `reference/paper21_edge_cost_index.csv` | 第二十一篇原始 156 邊分離索引的未修改副本 |
| `reference/paper19_edge_fingerprints.csv` | 第十九篇 1,404 條精確進位見證的未修改副本 |
| `figures/` | 三組 PNG/SVG 圖表，僅供閱讀 |
| `SHA256_MANIFEST.json` | 正式發行內容 SHA-256 清單 |

### 14.2 離線執行

在研究套件根目錄執行：

```bash
python verify_paper22.py --output . --reference reference
python verify_certificate_paper22.py data/paper22_synthetic_fault_certificate.json
python make_figures.py
python validate_paper22.py
```

負對照必須回報錯誤拒絕，不能被當成成功證書：

```bash
python verify_certificate_paper22.py data/paper22_intentional_tamper_example.json
```

驗證器以標準整數運算為基礎，不依賴商業 API 或網路。圖表生成需要 Matplotlib，但圖形並非判定算術合法性的唯一依據。

### 14.3 正式提交判準

正式版本必須通過：原稿 UTF-8 與 LF 檢查、唯一 ` $...$ `／`$$...$$` delimiter、全部精確計數與雙算法核對、合成故障的正反例、與第十九及第二十一篇原始資料逐項一致，以及 ZIP 獨立解壓重算及逐檔 SHA-256 比對。**聊天畫面不是 canonical source；正式論文內容以本 Markdown 原始檔為準。**

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## 15. 結論：辨識成立，不代表容錯成立

第二十二篇將先前建立的進位運算辨識問題，推進到具有明確故障語義的觀察碼研究。研究首先揭示一個必須重視的負結果：對 $K=40$ 的全部 156 條雙作用邊，儘管所有邊都有某種可分辨其兩種操作的進位基底，仍有 50 條邊即使遍歷 2–80 的全部相異基底，也只有一個有效辨識基底。因此，不管圖式多麼完整，**只要一條必要觀察通道遺失，某些原本可辨識的作用關係就重新變得模糊**。

接著，本文將標準完整進位向量看成有位置索引的 Hamming 碼字，證明質數錨點所強迫的全圖最低冗餘通道數。每個質數基底各 $D$ 份可使任一雙作用邊取得至少距離 $D$，且沒有更少的通道數能達到相同的全圖距離保證。對 $K=40$，這條一般定理精確區分 12 個通道的無錯誤辨識、24 個通道的一次擦除恢復與 36 個通道的一次未知替換修復。全部 30,342 條三步路徑及數萬筆合成故障測試都支持這些明確而有限的數學結論。

最後，本文必須保留反面條件：重複的進位觀測若共用會一起失效的實作，就不具有所假設的獨立故障預算；一份可驗算的合成碼字若無外部來源證據，也不能證明某個真實歷史曾如此執行。因而真正完整的全域運算觀察，必須同時知道**哪些關係能被顯現、哪些錯誤可被容忍、哪些原始資訊能重建，以及哪一部分仍需要獨立證據**。

**本篇核心結語：能看見一條關係，不代表遺失一次觀察後仍能看見；能修復一條算術見證，也不代表已經修復它曾經真實發生的證據。**

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## 參考文獻與前篇研究

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十九篇）：運算歷史等價類、質數進位辨識基底與跨進位可重用證書》，2026-11-05。本文沿用其質數錨點、標準進位指紋與 1,404 條原始比較資料。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十篇）：自適應進位觀察、局部最小覆蓋與複合基底的運算辨識優勢》，2026-11-05。局部最小觀察集合與全圖辨識集合的區分。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十一篇）：進位觀察的成本敏感最小覆蓋、回饋式查詢的有限界線與可信歷史見證》，2026-11-05。候選數位成本與可信來源的限制。
4. Richard W. Hamming, “Error Detecting and Error Correcting Codes,” *Bell System Technical Journal*, 29(2), 147–160 (1950), DOI: https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1950.tb00463.x 。本篇的錯誤距離、未知替換與擦除恢復界線使用的是經典編碼理論，沒有宣稱重新發明這些定理。
5. University of Michigan, “Error detecting and correcting codes,” https://www.eecs.umich.edu/courses/eecs373.w05/lecture/errorcode.html 。用於核對最小距離與可偵測、可修復錯誤數的標準關係。本篇不依賴教學網頁作為有限圖數據來源。

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**End of Paper XXII (v0.1).**