# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十三篇）

## 故障來源分層的進位觀察碼、質數錨點的來源覆蓋定理與可信算術見證邊界

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XXIII: Fault-Domain-Lifted Carry Observation Codes, Prime-Anchor Source-Cover Theorems, and the Boundary of Trusted Arithmetic Witnesses*  
**版本：** v0.1（精確數學、完整有限域枚舉及合成故障實驗）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想與問題設定：** Neo.K；形式化、程式與驗證：AI 協作  
**直接承接：** 第十九篇的質數進位辨識；第二十一篇的成本與來源分界；第二十二篇的通道級 Hamming 容錯界線  
**Canonical source：** 原始 UTF-8 Markdown，LF 換行；數學原始碼僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`  
**證據定位：** 有界正整數語法與**假定的**故障來源分組下的精確結果；不將合成故障注入冒稱為真實設備測試，亦不宣稱來源分組標籤已獲實體獨立性認證。

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**作者：** Neo.K；形式化、程式與驗證：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

本研究由最初的 $9\times99$ 關係族，逐步把數值等式、中間計算歷史、進位制觀察、運算標籤、可重建證書與錯誤修復分離成不同資訊層。第二十二篇證明，在固定雙作用整數圖 $G_K$ 中，把每個必要質數進位基底重複 $D$ 份，能使兩個運算候選的**通道級**最小 Hamming 距離至少為 $D$，且需要的通道總數最少為 $D\pi(K)$。然而，這個結果有一項必須顯式處理的前提：多份觀察通道可能共享同一個計算來源、服務、實作或故障原因。若一次故障同時破壞多份副本，前述「通道數量」不足以直接代表「可容忍的故障來源數量」。

本文將每個觀察通道再分配到一個**故障來源域**。一個來源故障可以任意替換或擦除其所擁有的全部觀察向量；一個來源域在距離計數中只算一個區塊。對任意質數 $p\le K$，令 $m_p$ 為實際配置中持有**至少一份**基底 $p$ 觀察的不同故障域數。本文證明一項精確的全圖來源覆蓋定理：**在本文固定的雙作用語法及完整標準加／乘進位指紋下，全圖兩候選碼字的最低來源域 Hamming 距離，恰為所有必要質數的 $m_p$ 中的最小值**。這項等式對任意整數基底配置、任意複本數量及任意互不重疊的故障域分組成立。

於是，若要在最壞情況下修復 $t$ 個未知來源域竄改、同時承受 $e$ 個已知來源域擦除，必要且充分條件為每個必要質數進位都出現在至少 $2t+e+1$ 個不同來源域。從而至少需要 $2t+e+1$ 個來源域，以及至少 $(2t+e+1)\pi(K)$ 個按基底記錄的邏輯觀察通道；兩個下界可由**來源分散式配置**同時達到。單純將同一基底的多份紀錄放到同一故障域，無法提高來源級距離。

主實驗固定 $K=40$，沿用原先的 $80$ 個整數節點、 $156$ 條雙作用數值邊及全部 $30,342$ 條有方向、長度為三的數值行走。同樣使用 $36$ 份質數進位觀察，在「單一來源」「同基底集中」「部分分散」「三來源完全分散」「每通道不同來源」五種分組下，所得到的全圖最小來源域距離分別是 $1,1,2,3,3$。全部 $79$ 種相異基底即使各有獨立來源，其最小距離仍只有 $1$。本篇另對三來源配置的全部 $156$ 條邊、兩種操作及三個來源域進行 $936$ 次整域竄改及 $936$ 次整域擦除，皆能恢復合法操作；並以來源集中及來源部分重疊構造精確的失敗反例。

最後，本文不將容錯碼的正確解碼誤認為**算術結果絕不出錯**或**實際歷史已被認證**。若攻擊者可把所有來源域共同換成另一個完整合法碼字，純距離驗證無法分辨；若其可把數值端點與操作參數一起換成另一套自洽算式，單靠算術合法性亦無法知道原始意圖。因此，本文另外給出由外部可信輸入錨點、獨立精確算術重算與觀察來源紀錄構成的分層驗證契約。**數值對偶、進位觀察、來源獨立與歷史可信性是相關、卻不能互相替代的四種條件。**

**關鍵詞：** 進位制塔樓、全域運算關係、質數錨點、來源域距離、共同原因故障、區塊碼、擦除、未知竄改、冗餘觀察、獨立驗算、可信算術、來源認證、有限域可重現性。

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## 1. 問題定位：36 份觀察是否等於 36 份獨立證據

### 1.1 第二十二篇的精確結論與未處理條件

對每條已知精確數值邊 $e$，第二十二篇已建立兩種操作的多通道進位碼字。若每個通道只會**各自獨立地**被替換或擦除，最小 Hamming 距離可決定修復界線。對 $K=40$，每個質數基底各重複三次，共 $36$ 個通道，在「最多一個通道未知竄改」模型下可以正確解碼。

然而，若三份七進位向量全部來自同一個有缺陷的計算程序，該程序失效時，三份副本可能同時錯誤。此時程式紀錄中有三個欄位，卻不代表真實故障模型只有一個欄位出錯。這不是前篇算術證明有誤，而是**前篇的通道故障模型不能不經檢查直接提升成來源故障模型**。

### 1.2 本篇精確研究的四個問題

1. 在已知同一批進位觀察通道的情況下，如何把共享故障來源納入容錯碼距離？
2. 哪些質數進位制必須分散到多少個來源域，才能保證指定等級的容錯？
3. 相同的 $36$ 個觀察通道，為什麼不同配置會得到不同的修復能力？
4. 即使來源容錯碼能修復觀察紀錄，哪些條件仍是驗證原始算術與歷史來源不可缺少的？

本篇不是對任何真實硬體或雲端服務給出可信獨立性證書。所有來源域都先由資料模型明確指定，之後再在該模型中證明與驗證結果。

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## 2. 完全不變的底層數值語法

### 2.1 正整數雙作用圖

對整數 $K\ge2$，令：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\},\qquad V_K=\{1,2,\ldots,2K\}.
$$

當 $1\le x<y$ 且存在 $d,r\in A_K$ 滿足：

$$
y=x+d=xr,
$$

才納入無向雙作用數值邊 $e=\{x,y\}$。向上可選加法 $+d$ 或乘法 $\times r$ ；向下可選減法 $-d$ 或精確除法 $\div r$。由 $d=x(r-1)\le K$，每條邊必滿足 $x\le K$ 、 $y\le2K$。

固定 $K=40$ 的實驗圖，仍具有 $80$ 個節點、 $156$ 條邊。本文不更換任何既有算術事件，也不把這個雙作用子圖說成 1–1000 的全部算術關係。

### 2.2 進位指紋與通道字母

對整數基底 $q\ge2$，令：

$$
D_q(n;t)=\sum_{i\ge0}n_it^i
$$

為非負整數 $n$ 的標準位值多項式。對 $y=x+d=xr$，兩種操作的完整標準進位多項式定義為：

$$
F_q^0(e;t)=\frac{D_q(x;t)+D_q(d;t)-D_q(y;t)}{q-t},
$$

$$
F_q^1(e;t)=\frac{D_q(x;t)D_q(r;t)-D_q(y;t)}{q-t}.
$$

它們的整數係數是固定加法／卷積乘法算法的完整逐欄進位。第十七篇的多項式缺陷理論保證此商為唯一的整係數多項式。當邊以相反方向行走時，本文沿用**正向乘法一致性見證**，不將其冒稱成特定長除法演算法的內部狀態。

如果 $F_q^0(e)=F_q^1(e)$，該進位基底不能辨別此邊的兩種操作。若它們不同，則此基底在可信觀測條件下具有分辨能力。

### 2.3 精確分離集合

定義：

$$
S(e)=\{q\ge2:F_q^0(e)\ne F_q^1(e)\}.
$$

由於本圖任一結果 $y\le2K$，對 $q>2K$ 所有相關數值皆不需逐位進位，因此 $S(e)$ 有限。對本輪 $K=40$，只需檢查 $q\in\{2,\ldots,80\}$。

**關鍵前提：** 討論來源故障時， $S(e)$ 仍是純算術與指定進位算法的集合；來源分組只影響觀察資料能否可靠取得，不改變 $e$ 是否存在。

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## 3. 新增資料層：觀察通道與故障來源域

### 3.1 通道必須具有兩個不同識別

每份觀察記錄包含：

$$
c_j=(q_j,\rho_j),
$$

其中 $q_j$ 是進位基底， $\rho_j$ 是複本位置識別。即使兩份具有相同 $q_j$，它們仍是不同的**邏輯通道**；但是，兩份不同通道也可能隸屬於同一個會共同出錯的故障來源。

令 $\mathcal D$ 是一組非空、互不重疊的來源域，所有通道恰好分配到其中一個域。用：

$$
g(c_j)\in\mathcal D
$$

表示通道 $c_j$ 所屬的故障域。這是本文的**分區型故障模型**；具有重疊故障集合的複雜系統不屬於此模型的直接結論。

### 3.2 一次來源故障的能力

在一個故障域 $s\in\mathcal D$ 裡，可能同時包含多個進位基底和多份同基底通道。一次故障允許對手：

- 擦除該域內**全部**觀察，且域位置已知；或
- 將該域內**全部**觀察任意改寫，包括改成其他合法操作的完整候選進位。

其他未故障來源域的觀察保持正確。每個域在碼字中只視為一個**區塊字母**，因此無論一個域內有一份還是一百份觀察，只要由一次共同故障全部改寫，在來源域距離上都只算一個位置。

### 3.3 來源域碼字

對邊 $e$ 和操作位元 $b\in\{0,1\}$，將其全部通道觀察按域分組：

$$
\mathcal C_{\mathcal D}^b(e)
=\big((F_{q_j}^b(e))_{c_j\in s}\big)_{s\in\mathcal D}.
$$

域內的通道順序與識別固定；不能隨意排列造成誤比對。兩個候選碼字的**來源域 Hamming 距離**為：

$$
\delta_{\mathcal D}(e)
=\#\{s\in\mathcal D:\exists c_j\in s,\ q_j\in S(e)\}.
$$

同一域有三份都能辨識時仍只貢獻 $1$。這個定義不是把原本的三份進位向量刪掉，而是將它們視為同一個可共同受害的故障單位。

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## 4. 質數進位錨點決定來源域距離

### 4.1 必要錨點的兩個家族

第十九至二十二篇已證明兩個特殊家族：

- 對質數 $p=2$，邊 $2\leftrightarrow4$ **只有基底 $2$** 能區分加法與乘法的標準進位。
- 對每個奇質數 $p\le K$，邊 $1\leftrightarrow p$ **只有基底 $p$** 能區分 $1+(p-1)$ 與 $1\times p$。

因此，對每個必要質數 $p\le K$，都存在一條合法的**錨點邊** $e_p$，使：

$$
S(e_p)=\{p\}.
$$

這裡的分離集合以**所有合法整數進位基底**為候選，不只針對事先挑選的幾個基底。也因此，不能用某個複合基底替代這些錨點在全圖上的必要作用。

### 4.2 不同來源域的質數覆蓋數

對每個質數 $p\le K$ 定義：

$$
m_p(\mathcal D)
=\#\{s\in\mathcal D:\exists c_j\in s,\ q_j=p\}.
$$

這計算的是**有多少個不同故障來源**各自保留了至少一份基底 $p$ 的觀測，而不是總共有多少份基底 $p$ 的複本。如果同一域裡有三份 $p$，則 $m_p$ 仍只增加 $1$。

### 定理 4.1（全圖最小來源域距離的質數錨點公式）

對任意整數 $K\ge2$，以及本篇任意有限、按域分區的進位通道配置：

$$
\min_{e\in E_K}\delta_{\mathcal D}(e)
=\min_{p\le K,\ p\text{ prime}}m_p(\mathcal D).
$$

**證明（下界）。** 任取合法雙作用邊 $y=xr=x+d$，其乘法比 $r$ 是介於 $2$ 與 $K$ 的整數，因此至少具有一個質因數 $p\le K$。第十九篇的精確進位引理指出：若 $p\mid r$，則基底 $p$ 的加法與乘法完整進位不同。換言之，每個持有基底 $p$ 的來源域，都會在此邊的兩個來源域碼字間產生差異。因此：

$$
\delta_{\mathcal D}(e)\ge m_p(\mathcal D)
\ge\min_{p\le K,\ p\text{ prime}}m_p(\mathcal D).
$$

這對每條邊都成立，故取最小後仍成立。

**證明（上界）。** 對任意質數 $p\le K$，取上述錨點邊 $e_p$。因為只有基底 $p$ 能分辨它的兩種操作， $\delta_{\mathcal D}(e_p)=m_p(\mathcal D)$。取 $m_p$ 最小的質數，便得到一條距離恰等於所有 $m_p$ 最小值的合法邊。上下界一致。證畢。

**本定理的特點：** 不需要把全部進位制、全部邊及全部計算歷史重新枚舉一次，僅從必要質數的**來源域出現情況**便能計算整張圖的最小來源級辨識距離。若任一必要質數完全缺失，公式也正確給出距離 $0$。

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## 5. 最小來源覆蓋、容錯門檻與配置單調性

### 5.1 定理 5.1（同時擦除與未知竄改的來源級門檻）

假設最多 $t$ 個來源域可遭未知位置的任意替換，並同時有最多 $e$ 個來源域發生已知位置的擦除。對已知精確邊及其兩個合法操作候選，要求最壞情況**唯一恢復原操作位元**，充分且必要的來源域距離條件為：

$$
\min_{a\in E_K}\delta_{\mathcal D}(a)\ge2t+e+1.
$$

由定理 4.1，這精確等價於：

$$
m_p(\mathcal D)\ge2t+e+1
\qquad\text{對每個質數 }p\le K.
$$

**證明。** 每個來源域是一個可遭任意替換或擦除的碼字位置，因此可直接使用經典最小 Hamming 距離的 $2t+e+1$ 唯一解碼判準。定理 4.1 已把全圖的最低來源域距離精確寫成質數覆蓋下界；兩者代入即得必要且充分條件。證畢。

本定理中的「任意替換」可把整個域改成另個合法碼字中的該域觀察，但**不包含同一次故障任意穿透其他未列入該域的來源**。若故障具有跨域的共同原因，須重新定義域或改用更廣泛的故障集合模型。

### 5.2 兩項不同的最低資源

令 $D=2t+e+1$ 、 $\pi(K)$ 為不超過 $K$ 的質數數量。若要求全圖距離至少 $D$，定理 5.1 要求每個必要質數至少落在 $D$ 個不同來源。故必然有：

$$
\#\mathcal D\ge D,
$$

以及：

$$
\#\{\text{邏輯觀察通道}\}\ge D\pi(K).
$$

兩個下界回答不同問題：前者是來源域數量，後者是帶進位基底標籤的觀察位置數。若有 $D$ 個真正分開的來源，每個來源各觀察**全部**必要質數基底一次，則兩個下界可同時達到。

對 $K=40$， $\pi(40)=12$：

| 零誤差保證 | 最小來源域數 | 最小進位通道數 |
|---|---:|---:|
| 無故障辨識， $D=1$ | 1 | 12 |
| 一個已知來源擦除， $D=2$ | 2 | 24 |
| 一個未知來源竄改修復， $D=3$ | 3 | 36 |
| 一個未知竄改加一個擦除， $D=4$ | 4 | 48 |

**重要：** 這些是本篇分區故障模型的數學最低數量，不是已估算的真實系統成本、失效率、實體硬體數量或計算機運行性能。

### 5.3 定理 5.2（故障域細分與合併的單調性）

若不刪除任何通道，僅把原本某個來源域細分成兩個或更多互不重疊的域，則每條邊的來源域距離不會下降。若把若干域合併，則每條邊的來源域距離不會上升。

**證明。** 一個舊域若原本有至少一個能區分操作的通道，細分後至少會有一個子域仍含該通道，所以該域貢獻的 $1$ 不會減少；若分散到多個子域，可能增加。合併是反向操作：多個分離來源若合併成一個域，原本多次的貢獻最多只保留一次。對每條邊成立，因此對全圖最小值也保留相同方向的單調性。證畢。

這項單調性描述的是**假定來源域故障範圍**的改變，不是把實際同一程式拆成多個進程就自動獲得故障獨立性。

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## 6. 六種來源配置：固定算術，改變故障結構

### 6.1 主實驗的六個方案

除最後一組相異基底方案，其他五組皆使用相同的 $36$ 個邏輯通道：不超過 $40$ 的 $12$ 個質數基底各三份。差別只在把這 $36$ 份觀察放入哪些假定來源域。

- `single_source`：全部 $36$ 通道都屬一個來源域。
- `prime_concentrated`：各質數進位的三份觀察各集中一域，共 $12$ 域。
- `partial_striping`：三個來源域，部分質數的三份觀察只分布於兩域。
- `three_stripes`：三個來源域，每個域各有 $12$ 種質數進位的一份觀察。
- `independent_channels`：每份觀察通道皆由不同來源域負責，共 $36$ 域。
- `all_distinct_79`：全部 $2$ 至 $80$ 的 $79$ 種相異基底各有一個來源域，沒有同基底重複觀察。

本篇主比較是 `prime_concentrated` 與 `three_stripes`：**兩者完全相同的 $36$ 個基底觀察位置，來源分組不同，容錯結論卻不同。**

### 6.2 全圖與三步路徑的精確比較

| 方案 | 通道數 | 來源域數 | 全圖最低域距離 | 距離為 1 的邊 | 距離為 2 的邊 | 距離至少 3 的邊 |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 全部集中一源 | 36 | 1 | 1 | 156 | 0 | 0 |
| 同質數三份集中 | 36 | 12 | 1 | 58 | 23 | 75 |
| 部分來源分散 | 36 | 3 | 2 | 0 | 12 | 144 |
| 三來源完全分散 | 36 | 3 | **3** | 0 | 0 | **156** |
| 每通道不同來源 | 36 | 36 | **3** | 0 | 0 | **156** |
| 79 相異基底 | 79 | 79 | 1 | 50 | 4 | 102 |

這些計數來自同一批 $156$ 條邊；來源域距離由每條邊在各域是否出現至少一種能分辨的進位向量直接算出，並與質數錨點公式逐項一致。

![圖 1：不同來源分組的最低有效距離](figures/paper23_min_distance_by_placement.png)

### 6.3 三步數值路徑的完整對照

將第十九至二十二篇相同的 $30,342$ 條有方向、允許重複節點的三步數值行走繼續使用，且保留每個來源域內的**三步全部進位觀察**作為一個區塊字母。其來源域最小距離分布為：

| 方案 | 路徑距離 1 | 路徑距離 2 | 路徑距離至少 3 | 總路徑 |
|---|---:|---:|---:|---:|
| 全部集中一源 | 30,342 | 0 | 0 | 30,342 |
| 同質數三份集中 | 20,680 | 5,278 | 4,384 | 30,342 |
| 部分來源分散 | 0 | 8,604 | 21,738 | 30,342 |
| 三來源完全分散 | 0 | 0 | 30,342 | 30,342 |
| 每通道不同來源 | 0 | 0 | 30,342 | 30,342 |
| 79 相異基底 | 16,762 | 2,208 | 11,372 | 30,342 |

這裡的三步路徑與第十一篇以四個原始運算元構造的三步語法不是同一種枚舉對象；本表僅研究 $G_{40}$ 上三條有方向的合法雙作用數值邊。

### 6.4 定理 6.1（已知路徑的來源域距離因子化）

對已知數值路徑 $P=(v_0,\ldots,v_s)$，設第 $i$ 步無向邊為 $e_i$。每個來源域字母保留其所有步驟的完整進位向量，且各步操作選擇彼此獨立，則整條路徑的最小來源域碼距離為：

$$
d_{\min}^{\mathcal D}(P)
=\min_{1\le i\le s}\delta_{\mathcal D}(e_i).
$$

**證明。** 任兩個不同操作位元字串至少在一個步驟有不同。兩個完整來源域碼字在該步能被區分的全部來源域，必在其整條路徑碼字中不同，因此任兩碼字的距離至少為對應步驟的最小來源距離。反向選擇使距離最小的單一步驟，僅翻轉該步操作位元，其餘所有步驟保持相同；這時兩個完整碼字的相異來源域恰為該步的分離來源域。上下界一致。證畢。

因此在三來源完全分散方案中，所有 $30,342$ 條三步路徑的兩候選歷史間最小距離至少為 $3$，這不需要假設不同步驟使用不同的來源域；同一來源域可同時承載多個步驟，但一次來源故障會把這些步驟都視為同一個損壞區塊。

![圖 2：各來源配置的邊距離分布](figures/paper23_edge_distance_classes.png)

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## 7. 來源域錨點直接定位最脆弱的地方

### 7.1 必要質數的來源曝光數

在 `partial_striping` 方案中， $12$ 個必要質數裡，有六個質數的三份觀察只分布於兩個來源域，其餘六個分布於三個來源域。所以全圖最低距離恰為 $2$。完整分布保存在 `data/paper23_prime_domain_anchors.csv`，並可由該表直接重新計算，而不必依賴畫面上的顏色。

在 `prime_concentrated` 方案中，全部質數的三份觀察各自只存在一個來源域，故全圖最低距離為 $1$ ；即使有 $12$ 個總來源，也沒有任一錨點獲得兩域冗餘。

在 `three_stripes` 方案中，每個必要質數都有三個不同來源域各存一份，因此全圖最低距離為 $3$。

![圖 3：必要質數的來源域曝光數](figures/paper23_anchor_domain_exposure.png)

### 7.2 整張圖的距離可以從少數錨點導出

這是定理 4.1 的操作性優點。對指定的**同一算術語法**，不需要為所有 $156$ 條邊各設計一份物理冗餘策略；只要使每個必要質數的觀測配置滿足指定來源域下界，其餘邊因包含某個乘法比質因數而自動取得相同的最低保證。

但是來源域是否真正獨立、是否存在共享程式碼錯誤、基底標記有無混淆，依然不是從 $m_p$ 的整數大小便能推論的事實。

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## 8. 合成故障注入與精確解碼

### 8.1 三來源全部分散的單域錯誤測試

本篇對 $K=40$ 的每條合法雙作用邊、兩個原操作位元、三個來源域，分別進行一次**整域未知替換**與一次**已知整域擦除**：

$$
156\times2\times3=936.
$$

兩類實驗各有 $936$ 筆，共 $1,872$ 筆。對未知替換，故意把受損來源域內**所有進位資料**換成另個合法操作的完整來源域碼字，屬於比僅隨機修改單一係數更具判別力的對抗性測試。

採用兩碼字最小來源域距離解碼，當最接近碼字的距離不超過 $1$ 且最接近者唯一才接受。全部 $936$ 筆未知替換均恢復原操作；全部 $936$ 筆已知擦除亦由其餘來源資料正確恢復原操作。

這些故障都是**受控合成**。形式編碼的最小距離定理已對任意單域替換提供一般保證；有限故障注入用於檢查實作是否符合證明，而不是用測試取代證明。

### 8.2 集中式失敗反例： $1\leftrightarrow7$

考慮合法邊：

$$
1+6=1\times7=7.
$$

只有七進位會使兩種操作的標準完整進位指紋不同。若三份七進位資料全部集中在來源域 `P07`，一次來源域擦除後，剩下任何其他基底的指紋都相同，兩個候選操作無法辨別。

更強的是，一次 `P07` 來源域未知替換，可以把原操作的整域指紋完整改成另一個合法操作的指紋，使觀察值與另一個合法碼字**完全相同**。沒有外部來源或運算標籤錨點的解碼器，無法判定原來是哪一個操作。

### 8.3 部分分散反例：擦除能恢復，未知替換未必能修復

仍取 $1\leftrightarrow7$。在本篇 `partial_striping` 的配置中，三份七進位觀察分散於兩個不同來源域，因而來源域距離為 $2$。擦除其中一域時，另一域仍能辨識原操作；然而若其中一域被替換成相反操作的完整碼字，所得觀察恰可能與兩個候選碼字各距離 $1$。最近碼字解碼出現平手，不足以保證修復。

這是完整的**來源級**負對照；如果錯將兩個來源內三份重複資料當成三個獨立通道，就會誤報有距離 $3$ 的修復能力。

### 8.4 完整三步合成證書

隨套件附上：

```text
path:       1 → 7 → 1 → 7
choice:     1   0   1
source:     D0, D1, D2
fault:      D1 的全部三步、全部質數進位觀測遭到替換
result:     唯一恢復原始 choice 101
```

正式 JSON 包含各來源域所有步驟與質數基底的實際合成向量。驗證器不直接相信 `choice` 欄位，而是枚舉同一路徑全部 $2^3=8$ 種操作候選，按完整域字母逐一比對。實測最近候選距離為 $1$，第二近距離為 $2$，故能在允許的一域未知替換預算下唯一解碼。

**必須再次強調：** 該證書的來源標示為 `synthetic_demonstration_not_authenticated`，不能被讀成真實設備曾執行過該操作的歷史認證。

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## 9. 觀察來源故障與算術計算錯誤不是同一件事

### 9.1 只修復觀察向量，不足以保證計算結果正確

本文的來源域碼字以前提「正確的精確數值邊 $x<y$ 已知」建立。若程式把原本要算的數值端點或右操作元一起改成別的合法運算，完整進位指紋及容錯碼仍可能**完全符合那一套被改寫後的算式**。所以進位指紋容錯不是對任意錯誤算術結果的無條件檢驗。

例如以下兩條算式都合法：

$$
2+2=4=2\times2,
$$

$$
2+4=6=2\times3.
$$

若來源記錄只說「我執行了一條合法雙作用邊」，它無法單獨判定原先意圖究竟是到達 $4$ 還是到達 $6$。若有**可信的原始輸入與預期規格**指定 `x=2, op=+ , operand=2`，則獨立精確算術重算能確認唯一正確輸出為 $4$，並拒絕聲稱相同任務輸出為 $6$ 的紀錄。

### 9.2 三層分工式驗證契約

我們提出一個用於資料管線的分層驗證格式，而非聲稱已有完整可信執行基礎設施。

**第一層：規格／輸入錨定。** 保留外部可信的輸入數值、選定操作、合法右運算元、版本化語法及任務識別。若此層缺失，互相矛盾但各自正確的算術歷史可能無法分辨。

**第二層：獨立算術重算。** 使用確定性的整數規格計算預期輸出，將它與記錄的結果逐步比較；可用不同實作的數位卷積與整數算術交叉核對，但不得將「程式碼不同」直接宣稱為物理或軟體故障原因必然獨立。

**第三層：來源域觀察證書。** 在正確數值邊與合法操作的條件下，附上各進位基底的完整觀察、來源域標記及明確的失效預算，才能援引本篇的距離判準處理擦除與未知替換。

三層各有其數學或工程前提。第一、二層處理**計算結果及任務正確性**；第三層處理**觀察通道遭損壞時的操作辨識**。它們不應互稱或相互取代。

### 9.3 無法由內部自洽證書直接推出真實歷史

假設對手可以同時修改全部來源域的觀察與它們的來源標記，並提供另一個完整合法碼字。那麼僅檢查指紋及算術合法性的驗證器，無法從輸入資料本身推導出「哪個版本才是真正發生的」。這是**資訊不足造成的不可識別性**，不是透過再多進位制就必然可以解決的問題。

若需要主張某台設備曾經執行某個操作，必須另接入可稽核來源機制，例如可信執行記錄、來源鏈及獨立可驗證的身分／完整性保護。本文的合成證書沒有這種外部證據，所以只聲稱條件式重算與容錯能力。

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## 10. 不同層級的共同原因故障

### 10.1 分組為來源域仍然不是完整的故障模型

本文把通道按來源域作**不重疊分區**，假設一次故障只會影響其中一個域。然而真實軟體可能存在跨來源域的共同依賴，例如三台機器都使用同一份規格錯誤、相同程式庫、相同建置鏈或相同的輸入資料。在這種情況下，物理上三個來源域仍可能同時受到一個共同原因影響。

因此，`three_stripes` 配置的距離 $3$ 應讀成：**如果三個來源域對本模型中指定的單一故障確實互相隔離，則具有一次來源級未知替換修復保證。** 不應把它直接改寫成「三份來自三台機器，所以一定安全」。

### 10.2 精確區分故障模型與真實可靠性

可以用來源域距離證明：在不超過既定故障預算的條件下，解碼器是否一定唯一恢復正確操作。但要估計設備的可靠率，還需要故障發生機率、相依性、威脅模型及實際量測資料。

NASA 與 NIST 的可靠性研究都提醒，傳統冗餘模型的可靠率推導依賴獨立性假設，而共同原因故障會削弱或破壞冗餘效益。本文的貢獻不是重新提出「共同原因故障」概念，而是將它接入本系列已有的質數進位錨點及可重現整數運算證書，得到**來源域覆蓋的精確等價判準**。[參考文獻 5–7]

### 10.3 更一般的故障集合需另行建模

若一個故障事件可以同時破壞任意多個彼此重疊的通道群，則不能把「故障一次」等同於「某一個分區域損壞」。此時須改用允許故障集合、超圖覆蓋或其他具有明確攻擊預算的模型；本文的 $m_p$ 公式不能不經證明就直接移植。

同理，若基底標籤或精確數值本身可被竄改，原來的碼字比較可能被重新定義。這是觀測來源的驗證範圍問題，而不是再增加一份相同進位紀錄就自動消失。

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## 11. 全部資料、完整驗收與跨篇對照

### 11.1 前篇世界的逐筆一致性

驗證器從 $y=x+d=xr$ 的整數定義**重新建立** $156$ 條邊，並用兩種算法獨立計算各基底加／乘進位向量：

1. 標準逐欄歸一化進位遞迴。
2. 數位缺陷多項式除以 $q-t$ 的逐係數精確整數商。

兩個向量須逐係數一致。對全部 $156$ 條邊的分離集合、全部 $30,342$ 條有方向三步數值行走及其先前通道級距離，本篇另使用第二十二篇未修改的原始 CSV **逐筆核對**，確保這次研究沒有悄悄更換運算語法或數據母集合。

### 11.2 六種配置的來源距離完整枚舉

對六種方案，各自按來源域收集所有通道，再對每條邊檢查域內是否存在分離基底。程式要求全圖最低距離同時與第 4 節的質數來源覆蓋公式一致。對全部三步路徑亦計算其逐步最小域距離，另抽取 $161$ 條確定性路徑，直接枚舉每條路徑的八組完整碼字並計算兩兩來源域 Hamming 距離，與第 6.4 節的因子化公式逐條一致。

除主實驗外，另對 $K\in\{2,4,8,12,20,40\}$ 重建邊集合，直接驗證每個必要質數錨點在全部可能相關基底中都只有唯一辨識基底。對每個 $K$ 的最低通道／來源數量由定理 5.1 精確給出，不以小尺度實驗代替一般證明。

### 11.3 故障注入與正反例

- 三來源配置：全部 $156\times2\times3=936$ 次來源未知替換正例，全部恢復。
- 三來源配置：全部 $936$ 次來源已知擦除正例，全部恢復。
- 同基底集中：對邊 $1\leftrightarrow7$ 擦除唯一來源後呈現不可辨識；改成另一合法碼字後造成錯誤辨識風險。
- 部分來源分散：對邊 $1\leftrightarrow7$ 單域未知替換造成兩個候選碼字等距，不能保證修復。
- 三步合成證書：枚舉 $8$ 種操作位元，在一個來源域的全部資料替換後唯一恢復 `101`。
- 算術輸入錨定：兩套不同但各自合法的 $2\to4$ 、 $2\to6$ 歷史，只有附加可信的原始操作條件才能判定哪個符合該任務。

這些檢查是**明確故障模型與實作的精確核驗**，不是採樣得到的現實失效率或對抗外部真實攻擊的防禦證明。

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## 12. 可重現研究套件與資料格式

### 12.1 Python 標準函式庫驗證器

正式核心程式 `verify_paper23.py` 可在離線 Python 3 執行：

```bash
python verify_paper23.py --output . --reference reference
```

它獨立重建算術邊、逐位運算、來源域分組、區塊距離、全部三步路徑、質數錨點、通道故障及三步合成證書；使用任意精度整數，不依賴浮點數判定數位邊界或算術合法性。

圖表程式：

```bash
python make_figures.py
```

圖表僅用於閱讀，正式數學結論的驗證以精確數據與證書為準。圖表生成需要 Matplotlib；核心算術驗證只需標準函式庫。

### 12.2 檔案清單

| 檔案 | 內容 |
|---|---|
| `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_23_v0.1.md` | 正式 UTF-8 Markdown 原稿 |
| `verify_paper23.py` | 精確算術、來源距離、完整域枚舉、正反例及跨篇核對 |
| `verify_certificate_paper23.py` | 合成來源域故障證書的條件式重算與篡改拒絕 |
| `make_figures.py` | 從正式 CSV 再生三組 PNG/SVG |
| `validate_paper23.py` | 正式原稿、數據及 SHA-256 manifest 驗證 |
| `release_paper23.py` | 建立最終 manifest 與 ZIP |
| `data/paper23_edge_domain_distance.csv` | 156 條邊在六種分組下的精確來源距離 |
| `data/paper23_path_domain_distance.csv` | 全部 30,342 條三步數值行走的距離 |
| `data/paper23_prime_domain_anchors.csv` | 12 種必要質數基底的來源覆蓋數 |
| `data/paper23_policy_comparison.csv` | 六方案的距離與資源比較 |
| `data/paper23_parameter_sensitivity.csv` | 六種 $K$ 的通道／來源下界 |
| `data/paper23_fault_injections.csv` | 936 次單域替換與 936 次擦除的正向紀錄 |
| `data/paper23_synthetic_domain_certificate.json` | 含整域竄改的三步合成證書 |
| `data/paper23_input_anchor_counterexample.json` | 兩種自洽算術歷史與外部輸入錨定示例 |
| `data/paper23_intentional_tamper_example.json` | 故意篡改聲稱的操作位元、必須被拒絕的負對照 |
| `data/paper23_stats.json` | 全部機器可讀統計、驗證與來源假設 |
| `reference/` | 第二十二篇的邊、路徑及摘要原始對照檔 |
| `figures/` | 三組 PNG/SVG 資料圖 |
| `SHA256_MANIFEST.json` | 正式內容檔案的逐檔 SHA-256 |

### 12.3 正式驗證順序

```bash
python verify_paper23.py --output . --reference reference
python verify_certificate_paper23.py data/paper23_synthetic_domain_certificate.json
# 下一條指令預期回報 REJECT（非零返回碼）
python verify_certificate_paper23.py data/paper23_intentional_tamper_example.json
python make_figures.py
python validate_paper23.py
```

提交前還需以 ZIP 獨立解壓至全新資料夾，從中重新執行主驗證、證書核驗與圖表生成，逐檔比對 SHA-256。數學原始碼只以本 UTF-8 Markdown 中原有的 ` $...$ `、`$$...$$` 分隔符保存；不得從畫面字型或公式渲染結果反推正式內容。

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## 13. 嚴格界線與不能主張的事情

### 13.1 36 份觀測不直接等於三次容錯

若同一質數的三份觀測集中在同一故障域，對該質數錨點的來源距離仍為 $1$。因此即使通道級距離是 $3$，也不能直接宣稱能修復一次**來源域級**故障。

### 13.2 三個來源域不直接等於真正獨立的三套計算

`three_stripes` 是一個有清楚標記的**抽象配置**。若三份實作共享同一個會出錯的核心程序、外部來源或規格，便存在跨域共同故障；本篇只對已聲明的來源域故障預算提供條件式保證。

### 13.3 來源域距離只衡量操作標籤辨識

全部碼字都以前提「精確數值端點已知、運算語法不變、實際觀測符合某個合法操作候選」建立。資料若整體換成另一套自洽算式，形式距離無法直接確定原始任務意圖。算術正確性需要有可信的規格／輸入錨點與獨立重算。

### 13.4 正確解碼不等於真實歷史驗真

合成證書可以逐步重算與拒絕超過錯誤預算的測試資料，卻沒有外部可信來源時，不能證明它對應真實設備過去的行為。若對手能偽造全部來源資料與身分標記，純粹的運算關係證書沒有足夠資訊解決來源真偽。

### 13.5 分區模型不能覆蓋所有共同原因故障

本文的域分區不重疊；實際故障可能同時波及多域，且可以具有複雜的軟體、硬體與人為共享來源。這一情況需要明確的共同故障集合及其保證預算，不應把本文的來源域距離直接套用。

### 13.6 本篇只研究明定的有限正整數語法

 $156$ 條算術邊與 $30,342$ 條行走只屬於 $K=40$ 的雙作用子圖，與任意長演算法、所有自然數乃至全體實數的所有運算均不同。研究結果依賴標準加法和卷積乘法的進位指紋，改變演算法或允許其他數域需要重新定義觀察與錯誤條件。

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## 14. 結論：真實的冗餘，不是同一份資訊出現幾次

第十九篇把進位制提升為可以辨別算術操作的觀察基底；第二十二篇以完整進位指紋的通道 Hamming 距離量化單點故障可容忍程度。第二十三篇進一步指出，**通道是資料的儲存位置，來源域才是指定故障模型的共同受害單位**。若不區分二者，反覆記錄相同資料容易製造錯誤的安全感。

本文證明了一項可直接使用的精確判準：對指定雙作用圖，整張圖的最小來源域距離恰等於每種必要質數進位的獨立來源曝光數之最小值。因此要承受一次未知來源竄改，必須且只須讓每個必要質數進位出現在至少三個不同的假定獨立來源域。 $K=40$ 的完整實驗在同樣 $36$ 份通道下，確認來源集中、部分分散與完全分散可分別得到最小距離 $1,2,3$ ；與第二十二篇原始 $156$ 條邊、 $30,342$ 條路徑逐筆一致。

最後，本文把**來源容錯、算術結果正確與歷史來源認證**明確拆開：來源容錯用區塊距離處理；算術正確用可信輸入與獨立精確重算處理；歷史來源則需要獨立可稽核的記錄依據。三者可以在同一座進位制塔樓上共同觀察，卻不是同一條公式能保證的事情。

**本篇核心結語：資訊的重複，不能代替資訊來源的獨立；而來源的獨立，也不能代替對原始意圖與計算事實的驗證。**

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## 參考文獻與系列承接

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十九篇）》，2026-11-05。質數進位基底及完整逐位指紋的全圖辨識定理。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十一篇）》，2026-11-05。進位觀察成本代理量、固定最佳化與歷史來源條件。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十二篇）》，2026-11-05。通道級 Hamming 距離、質數錨點與三份重複觀察的錯誤修復界線。
4. R. W. Hamming, “Error Detecting and Error Correcting Codes,” *Bell System Technical Journal* 29(2), 147–160 (1950), DOI: https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1950.tb00463.x 。本文的區塊最小距離及 $2t+e+1$ 解碼判準使用標準編碼理論。
5. H. W. Jones, “Common Cause Failures Dominate and Defeat Redundancy,” *Proceedings of the 2025 Reliability and Maintainability Symposium*, DOI: https://doi.org/10.1109/RAMS48127.2025.10935209 。共同故障削弱冗餘效益的既有可靠性研究。
6. NASA, “Common Cause Failure Modes,” NASA Technical Reports Server, document 20110015733, https://ntrs.nasa.gov/api/citations/20110015733/downloads/20110015733.pdf 。共同故障風險與來源相依性的既有說明。
7. NIST, *Engineering Statistics Handbook*, “Parallel or Redundant Model,” https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section1/apr183.htm 。冗餘可靠性計算中獨立性假設的標準背景。

**End of Paper XXIII (v0.1).**