# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第三篇）

## 雙步乘法歷史、運算交會、重新括號與數量級進位重分配

**英文題名：** Radix Towers and Global Operational Relation Geometry III: Two-Step Multiplication Histories, Path Convergence, Reassociation, and Magnitude-Carry Redistribution  
**版本：** v0.1（定理與完整有限域驗證稿）  
**日期：** 2026-11-03  
**研究脈絡：** EveMissLab／進位制塔樓、全域運算關係、作用—反向約束耦合  
**先行文件：** `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_01_v0.1.md`、`EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_02_v0.1.md`  
**本篇驗證與資料：** `verify_paper03.py`、`paper03_stats.json`、`paper03_centers_1_to_1000.csv`、`paper03_891_triples.csv`、`paper03_891_intermediates.csv`  
**性質：** 定義、初等可證命題、完整有限枚舉與觀察假說；不宣稱解決新的數論開放問題  
**Canonical source：** UTF-8 Markdown；數學原始碼只使用 ` $...$ ` 和 `$$...$$`

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**作者：** Neo.K  
**公司：** 一言諾科技有限公司  

## 摘要

第一篇將一個數值的運算來源、反向約束與計算過程從最終答案中分離；第二篇在正整數觀察域 $S_{1000}=\{1,\ldots,1000\}$ 中完整枚舉了四類單步算術事件，並確認固定數值關係與不同進位制的位值計算軌跡必須分層表示。本篇進入**雙步歷史**：不再只問哪些事件通向同一個數值，而是問同一批乘數在不同的運算結合方式下會經過哪些中間節點、如何跨越數量級樓層，以及這些變化能否用與圖面座標無關的量精確描述。

研究對象限定為所有滿足 $a,b,c\ge2$ 且 $abc\le1000$ 的**有序正整數三元組**，允許比較 $(ab)c$ 與 $a(bc)$ 兩個括號化歷史。完整枚舉得到 $11217$ 組有序三因數組合，因此有 $22434$ 個帶括號的形式歷史；其中 $532$ 個結果節點至少擁有一組非平凡三因數組合。對 $891$ 而言，共有 $18$ 組有序三因數組合，採先計算 $ab$ 的歷史會經過 $6$ 個不同中間節點。

為精確描述塔樓跨層，本篇定義基底 $b$ 下的**數量級進位量**：

$$
\kappa_b(x,y)=\ell_b(xy)-\ell_b(x)-\ell_b(y),
\qquad
\ell_b(x)=\lfloor\log_b x\rfloor.
$$

對正整數 $x,y$， $\kappa_b(x,y)$ 必為 $0$ 或 $1$。由結合律可證：

$$
\kappa_b(a,b)+\kappa_b(ab,c)
=
\kappa_b(b,c)+\kappa_b(a,bc).
$$

這表示：**改變括號可能重新分配兩個步驟中的數量級進位位置，但在固定基底與相同三個乘數下，兩步的進位總量相同。** 此式不是新發明的算術定律，而是從既有整數乘法、位值高度與結合律導出的精確關係；它提供了「底層運算不變而中間軌跡改變」的可驗證最小模型。

針對完全相同的 $11217$ 組整數三元組，重新括號後發生數量級進位位置改變的歷史，在基底 $2,8,10,12,16$ 下分別為 $2582,3102,2936,4718,4584$ 組。這些差異表明：運算的代數事實保持不變，觀察基底卻會改變哪些軌跡被辨識為跨層進位。本篇同時清楚劃定：有限正整數、雙步乘法與數量級進位的結果，不能直接外推為任何實數、任何演算法或物理上的因果作用反作用定律。

**關鍵詞：** 進位制、數量級塔樓、運算歷史、重新括號、乘法結合律、因數分解、進位重分配、關係幾何、前向與反向約束、有限枚舉。

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## 1. 問題的轉向：從結果交會到中間路徑

### 1.1 單步的結果交會尚不足以回答問題

以 $891$ 為例：

$$
891=1\times891=3\times297=9\times99=11\times81=27\times33.
$$

這展示了五組無序正整數因數對，卻沒有說明一組運算是否由更早的運算生成。若把每組因數對只畫成指向 $891$ 的一條箭頭，就會遺失沿途可重用的中間狀態。

例如：

$$
(3\times3)\times99=9\times99=891,
$$

$$
3\times(3\times99)=3\times297=891.
$$

三個原始乘數都是 $3,3,99$，結果都是 $891$ ；但第一條歷史先顯現 $9$，第二條先顯現 $297$。若只保存最終算式的等號，這項差異便會消失。

### 1.2 本篇的研究問題

本篇只處理四個明確問題：

1. 在固定有限域內，同一結果有多少條非平凡雙步乘法歷史？
2. 這些歷史在中間節點上如何交會、共享與分叉？
3. 改變乘法括號時，進位制塔樓的跨層資訊如何重新分配？
4. 哪些量不依賴觀察基底，哪些量必須標註所選基底？

本文不企圖枚舉無限長的任意代數歷史，也不直接定義所有實數上的完整塔樓幾何。

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## 2. 有限域、事件與雙步歷史的嚴格規格

### 2.1 數值域及其邊界

固定：

$$
S_N=\{1,2,\ldots,N\},\qquad N=1000.
$$

每個 $z\in S_N$ 有一個唯一的**數值節點**。相同數值在不同進位制中的字串形式不會產生新的數值節點。

### 2.2 本篇的三因數實驗語法

本篇完整枚舉下列集合：

$$
\mathcal T_N=
\{(a,b,c)\in\mathbb Z_{\ge2}^3:abc\le N\}.
$$

有序表示 $(a,b,c)$ 與 $(c,b,a)$ 原則上是不同輸入序列，不因交換律而合併。

對每個三元組，定義兩個括號化歷史：

$$
P_L(a,b,c):\quad m_L=ab,\qquad z=m_Lc,
$$

$$
P_R(a,b,c):\quad m_R=bc,\qquad z=am_R.
$$

為了杜絕僅因乘以 $1$ 而產生的任意冗餘，本篇規定 $a,b,c\ge2$。這不是聲稱含 $1$ 的運算無研究價值，而是為建立一個有清楚邊界的**非退化乘法歷史基準**。

本篇將一組有序三元組計為**一組三因數組合**，把它的兩個括號化版本計為**兩個形式歷史**。這些是語法計數，不是不同最終數值的計數。

### 2.3 中間狀態沒有超出塔樓

由 $a,b,c\ge2$ 與 $abc\le N$，可知：

$$
2\le ab<abc\le N,
\qquad
2\le bc<abc\le N.
$$

所以本篇的兩類中間乘積均位於 $S_N$ ；這是一個**完全塔內**的雙步實驗。

先前的 $99\times11=1089$ 、 $1089-198=891$ 屬於「先超界再折返」的混合運算歷史，不在 $\mathcal T_N$ 中。本篇會保留其作為後續研究的對照，但不把它偷算進完整枚舉結果。

### 2.4 事件與歷史不可直接合併

左括號歷史至少有兩筆不同事件：

$$
e_1=(a,\times,b;m_L),
\qquad
e_2=(m_L,\times,c;z).
$$

右括號歷史則為：

$$
e'_1=(b,\times,c;m_R),
\qquad e'_2=(a,\times,m_R;z).
$$

相同的 $z$ 不代表相同的事件；相同的事件，也未必表示完整計算歷史完全相同。所有圖表必須保留這個區別。

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## 3. 進位制塔樓的新量：數量級進位

### 3.1 位階高度

令整數基底 $b\ge2$，對正整數 $x$ 定義：

$$
\ell_b(x)=\lfloor\log_b x\rfloor.
$$

在正式驗證程式中， $\ell_b$ 用整數連續整除求得，避免使用浮點對數導致 $b^k$ 邊界被誤判。

對十進位而言， $1$ 至 $9$ 的高度為 $0$， $10$ 至 $99$ 的高度為 $1$， $100$ 至 $999$ 的高度為 $2$ ； $1000$ 是高度 $3$ 的入口。

### 3.2 定義 3.1：數量級進位量

對正整數 $x,y$ 定義：

$$
\kappa_b(x,y)=\ell_b(xy)-\ell_b(x)-\ell_b(y).
$$

它量測**兩個數的位階高度相加之後，乘積是否再額外進入下一個位階**。

此量和傳統直式乘法的逐位 carry 不同：逐位 carry 可以有多個進位位置與不同大小，而 $\kappa_b$ 只測量結果的整體數量級跨越。

### 3.3 命題 3.2：單步數量級進位必為 $0$ 或 $1$

對所有正整數 $x,y$ 及基底 $b\ge2$：

$$
\kappa_b(x,y)\in\{0,1\}.
$$

**證明。** 設 $r=\ell_b(x)$， $s=\ell_b(y)$。由定義：

$$
b^r\le x<b^{r+1},
\qquad
b^s\le y<b^{s+1}.
$$

相乘得：

$$
b^{r+s}\le xy<b^{r+s+2}.
$$

故 $\ell_b(xy)$ 只能為 $r+s$ 或 $r+s+1$。代回定義即得。證畢。

### 3.4 幾個直接例子

十進位：

$$
\kappa_{10}(9,99)=2-0-1=1,
$$

$$
\kappa_{10}(3,3)=0-0-0=0,
$$

$$
\kappa_{10}(3,99)=2-0-1=1.
$$

二進位下，相同整數 $9,99,891$ 的高度分別為 $3,6,9$，因此：

$$
\kappa_2(9,99)=9-3-6=0.
$$

乘法結果未變，但同一個乘法事件被數量級進位量分類為不同狀態。這就是一個**由觀察基底造成的精確差異**。

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## 4. 重新括號時的進位重分配守恆

### 4.1 定理 4.1：雙步進位總量不依賴括號位置

對任意正整數 $a,b,c$ 與整數基底 $b_0\ge2$：

$$
\kappa_{b_0}(a,b)+\kappa_{b_0}(ab,c)
=
\kappa_{b_0}(b,c)+\kappa_{b_0}(a,bc).
$$

**證明。** 展開左式：

$$
\begin{aligned}
&\ell_{b_0}(ab)-\ell_{b_0}(a)-\ell_{b_0}(b)\\
&\quad+\ell_{b_0}(abc)-\ell_{b_0}(ab)-\ell_{b_0}(c)\\
&=\ell_{b_0}(abc)-\ell_{b_0}(a)-\ell_{b_0}(b)-\ell_{b_0}(c).
\end{aligned}
$$

同樣展開右式，得到完全相同的量。證畢。

此式使用乘法結合律與位階函數的定義；它對每個固定基底皆精確成立，並非實驗歸納。它也可被視為由位階函數所誘導的代數相容性恆等式，不應被宣稱為超越已知算術的新定律。

### 4.2 定義 4.2：兩種歷史的進位向量

令：

$$
C_L=(\kappa_b(a,b),\kappa_b(ab,c)),
$$

$$
C_R=(\kappa_b(b,c),\kappa_b(a,bc)).
$$

每個向量的兩個分量只可能是 $0$ 或 $1$。由定理 4.1：

$$
C_L^{(1)}+C_L^{(2)}=C_R^{(1)}+C_R^{(2)}.
$$

兩個向量若不同，唯一可能的形式為：

$$
(0,1)\longleftrightarrow(1,0).
$$

換句話說：在本篇的雙步模型中，**重新括號所能造成的進位向量差異，必然是兩個階段間的位置交換，不會憑空增加或消滅同基底的總量級進位。**

### 4.3 891 的明確見證

選取同一個有序三元組 $(3,3,99)$。

左括號歷史：

$$
(3\times3)\times99=9\times99=891.
$$

在十進位下：

$$
C_L=(\kappa_{10}(3,3),\kappa_{10}(9,99))=(0,1).
$$

右括號歷史：

$$
3\times(3\times99)=3\times297=891.
$$

在十進位下：

$$
C_R=(\kappa_{10}(3,99),\kappa_{10}(3,297))=(1,0).
$$

兩邊總量都為 $1$，但第一條歷史的額外位階進位出現在**第二步**，另一條歷史則出現在**第一步**。這項位置重分配並非由繪圖軟體任意捏造；它能由精確位階函數獨立計算出來。

配套示意圖為 `figures/paper03_rebracketing_891.png`。該圖只呈現其中兩條歷史；畫面線長與角度**不是**新的算術不變量。

### 4.4 命題 4.3：反向排列造成重分配的鏡像配對

把三元組 $(a,b,c)$ 反向排列成 $(c,b,a)$。因乘法可交換：

$$
\kappa_b(x,y)=\kappa_b(y,x).
$$

因此反向排列後的左括號進位向量，恰是原三元組的右括號進位向量；反向排列後的右括號向量，則是原來的左括號向量。

於是，在對反向排列封閉的完整有序三元組集合中：

$$
\#\{C_L=(0,1),C_R=(1,0)\}
=
\#\{C_L=(1,0),C_R=(0,1)\}.
$$

這使**發生位置重分配的三元組總數必為偶數**。證明只需要反向排列所給出的雙射；不需要任何圖面上的左右對稱假設。

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## 5. 多條歷史通向同一結果：精確數量與交會結構

### 5.1 定義 5.1：非平凡三因數歷史數

對 $z\ge1$，記：

$$
H_3(z)=\#\{(a,b,c)\in\mathbb Z_{\ge2}^3:abc=z\}.
$$

若 $z=1$，顯然 $H_3(1)=0$。

### 5.2 定理 5.2：由因數函數計算 $H_3(z)$

對 $z>1$，寫成質因數分解：

$$
z=\prod_{i=1}^{r}p_i^{e_i}.
$$

令 $\tau(z)$ 為正因數個數，令 $d_3(z)$ 為允許因數 $1$ 時的有序三因數分解數。則：

$$
\tau(z)=\prod_{i=1}^{r}(e_i+1),
$$

$$
d_3(z)=\prod_{i=1}^{r}\binom{e_i+2}{2},
$$

$$
H_3(z)=d_3(z)-3\tau(z)+3.
$$

**證明。** 對每個質因數指數 $e_i$，把它分配到三個非負整數指數位置的選法為 $\binom{e_i+2}{2}$，相乘得到 $d_3(z)$。若指定某一乘數等於 $1$，剩下兩個乘數共有 $\tau(z)$ 種有序分解；三種指定位置共需減去 $3\tau(z)$。但其中兩個乘數同時等於 $1$ 的三類交集各被多扣一次，必須加回 $3$。因 $z>1$，三個乘數不可能同時為 $1$，故無最後的三重交集。證畢。

### 5.3 由中間節點重新計數

對左括號歷史，令 $m=ab$。因要求 $a,b,c\ge2$，固定 $z$ 時，中間節點 $m$ 必須是 $z$ 的非平凡真因數，且自身為合數。

每個合法中間節點的歷史權重為：

$$
W_z(m)=\tau(m)-2.
$$

原因是 $a,b\ge2$ 且 $ab=m$ 的有序因數對共有 $\tau(m)-2$ 組；其後的 $c=z/m$ 已被唯一決定。

因此：

$$
H_3(z)=\sum_{\substack{m\mid z\\1<m<z}}\max(0,\tau(m)-2).
$$

這個公式顯示：**同一結果節點中的不同中間節點承載的歷史數量，可以很不均勻。** 但這種不均勻首先來自既有因數結構，尚不能僅憑視覺效果判定存在新型數論定律。

### 5.4 891 的中間節點與權重

由 $891=3^4\times11$，可得：

$$
\tau(891)=10,
\qquad d_3(891)=45,
\qquad H_3(891)=45-30+3=18.
$$

對左括號歷史，完整的六個中間節點如下：

| 中間節點 $m=ab$ | 第二步乘數 $c=891/m$ | 第一階段有序因數對數 $W_{891}(m)$ |
|---:|---:|---:|
| 9 | 99 | 1 |
| 27 | 33 | 2 |
| 33 | 27 | 2 |
| 81 | 11 | 3 |
| 99 | 9 | 4 |
| 297 | 3 | 6 |
| **總計** | — | **18** |

這意味著：左括號表示中的 $297$ 是歷史數量最多的中間節點，連結 $6$ 條不同的三因數有序歷史； $99$ 則連結 $4$ 條。這是**結果置中之後仍能被資料精確支持的關係密度差異**。

若將兩種括號都作為形式歷史記錄，則 $891$ 對應 $36$ 個帶括號歷史；但不能說因此得到 $36$ 個不同答案，也不能將 $18$ 與 $36$ 混作同一個計數。

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## 6. 1–1000 的完整非平凡雙步乘法實驗

### 6.1 完整枚舉範圍

使用整數精確運算，對每個 $a,b\ge2$，只枚舉滿足：

$$
2\le c\le\left\lfloor\frac{1000}{ab}\right\rfloor
$$

的 $c$。每個被枚舉的三元組均符合 $abc\le1000$ ；其他組合均不符合本篇實驗語法。

計數與逐節點的質因數分解公式互相核對；另以不使用相同剪枝條件的較小範圍暴力三重迴圈交叉驗證，避免只有單一程式路徑自證。

### 6.2 實測結果

| 檢查項目 | 精確結果 |
|---|---:|
| 合法有序三因數組合數 | 11,217 |
| 兩種括號化形式歷史合計 | 22,434 |
| 至少存在一組非平凡三因數歷史的結果節點數 | 532 |
| 非平凡三因數歷史最多的結果 | 720 |
| $H_3(720)$ | 183 |
| $H_3(840)$ | 177 |
| $H_3(960)$ | 171 |
| $H_3(891)$ | 18 |

對任何 $z>1$，若以 $\Omega(z)$ 表示質因數個數並計入重複次數，則：

$$
H_3(z)>0\quad\Longleftrightarrow\quad\Omega(z)\ge3.
$$

**證明。** 若 $z=abc$ 且三數都至少為 $2$，各自至少含一個質因數，故 $\Omega(z)\ge3$。反過來，若 $\Omega(z)\ge3$，可取兩個質因數各作一個乘數，剩餘質因數相乘作第三個乘數，得到非平凡三因數分解。證畢。

因此 $532$ 個非空節點並不是視覺上的偶然，而是由質因數數量判準決定的可精確驗證統計。

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## 7. 相同整數歷史在不同進位制下的重分配

### 7.1 不能更換被計算的數值

本節固定 $11217$ 組三元組的**精確整數值**，只更換觀察基底 $b$。這不是把十進位的符號 `99` 直接當作其他進位制的兩個 `9`，以免無意間改變了被比較的運算物件。

### 7.2 完整比較結果

| 基底 $b$ | 左右括號進位向量不同的三元組數 | 占全部 11,217 組的比例 | 891 的 18 組中發生改變者 |
|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 2,582 | 23.02% | 0 |
| 8 | 3,102 | 27.65% | 10 |
| 10 | 2,936 | 26.17% | 8 |
| 12 | 4,718 | 42.06% | 10 |
| 16 | 4,584 | 40.87% | 10 |

此表的「不同」僅表示 $C_L\ne C_R$，不是說兩條歷史的數學結果不同。所有列出的三元組在左右括號下均嚴格產生相同的乘積。

配套圖為 `figures/paper03_radix_redistribution.png`。

### 7.3 十進位下六類完整轉換計數

所有長度為二的進位向量均屬於 $\{00,01,10,11\}$。十進位下完整枚舉得到：

| 左括號 $C_L$ | 右括號 $C_R$ | 歷史數 |
|---|---|---:|
| 00 | 00 | 3,614 |
| 01 | 01 | 735 |
| 01 | 10 | 1,468 |
| 10 | 01 | 1,468 |
| 10 | 10 | 3,606 |
| 11 | 11 | 326 |
| **總計** | | **11,217** |

位置重分配的兩類各有 $1468$ 組，正好符合定理 4.3 的鏡像配對。不存在總進位量由 $0$ 變成 $1$，或由 $1$ 變成 $2$ 的重新括號轉換，符合定理 4.1。

### 7.4 不變與可變的邊界

固定數值而只改變基底時，下列資訊**保持**：

- 三因數組合 $(a,b,c)$ 的精確數值與總乘積 $abc$ ；
- 歷史中事件的輸入與輸出關係；
- 每個結果的 $H_3(z)$ ；
- 中間節點 $ab$ 與 $bc$ 的精確數值；
- 定理 4.1 的恆等式形式與有效性；
- 每個固定基底下重新括號的總進位守恆。

下列資訊**可能改變**：

- $\ell_b(x)$ 對各數字給出的樓層；
- $\kappa_b(x,y)$ 對某個乘法事件的進位分類；
- 左右歷史的進位向量及其是否發生重分配；
- 畫面上所看到的塔樓寬度、線長、交角與密度。

尤其需要注意：**定理 4.1 對每個基底都成立，不表示其守恆總量在不同基底間數值相同。** 這兩個不變性的語義層級不同。

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## 8. 作用—反向約束與運算耦合的最小嚴格版本

### 8.1 前向歷史

對左括號歷史：

$$
a\times b=m,
\qquad m\times c=z.
$$

對應的反向約束是：

$$
z\div c=m,
\qquad m\div b=a.
$$

因為每個運算元均保留，這兩條逆向約束為精確整除事件，而不是從結果中猜測缺失的運算元。

### 8.2 兩類不同的耦合

**第一類：歷史內耦合。** 中間值 $m$ 同時作為第一步的輸出與第二步的輸入，前後事件有依賴關係。

**第二類：多歷史交會。** 不同三元組可能共享同一個 $m$，或共享同一最終結果 $z$。例如 $891$ 的六個中間節點具有不同 $W_{891}(m)$，代表不同數量的前向因數關係匯入同一中間節點，再經第二步抵達同一結果。

這是可檢驗的**運算依賴／約束耦合**。它不需要將數學中的逆向求解直接等同於物理世界的作用力與反作用力，也不保證任何非時間化的等式本身具有物理因果方向。

### 8.3 三個不能互換的概念

- **同值交會：** 多條歷史最後得到相同的 $z$ ；
- **結合重排：** 同一批有序三個乘數，改變先計算哪一個乘積；
- **逆向約束：** 在已知輸出和必要運算元時，可以精確還原歷史中的某一步。

只有把這三者同時記錄，才能區分數學對稱、運算程序與所謂的作用—反向作用關係，而不讓圖上的某條箭頭承擔多種互相衝突的語義。

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## 9. 塔樓置中模式的可驗證圖形協議

本篇建議對下一版可視化原型採取以下**資料先行、觀察分離**方式。

### 9.1 底層事件識別不使用螢幕座標

每筆歷史應含：

- `triple = [a,b,c]`：原始有序乘數；
- `association = left/right`：括號化選擇；
- `first_event`、`second_event`：精確兩步乘法及其輸入輸出；
- `intermediate`、`result`：中間值與最終值；
- `reverse_constraints`：保留的精確逆向條件；
- `radix`：觀察基底；
- `tower_heights`：各節點的 $\ell_b$ ；
- `magnitude_carry_vector`：對應的 $C_L$ 或 $C_R$ ；
- `scope`：內部／外部狀態標記。

不同基底的節點映射必須指向同一組數值識別碼，不能因字串表示不同而把同一數字拆成不同物件。

### 9.2 三種置中視角

**數量級置中：** 各樓層共用中心軸，同位階數放在同一層。此模式觀察數量級擴張與跨層密度。

**結果置中：** 固定 $z$，以所有通向該結果的歷史組成局部星狀／超邊視圖，並依中間節點分群，顯示每個 $W_z(m)$。

**事件／歷史置中：** 固定一組 $(a,b,c)$，將左右括號的兩種路徑並排；不強制兩種路徑使用相同中間節點，並列出其進位向量與反向約束。

### 9.3 不得直接將圖面對稱性當成數學證據

畫面上的線條交點、格子角度或左右對稱可能由排版造成。能被主張為數學關係的性質，至少須能從事件紀錄和明確公式獨立計算，再通過**改變排版而保持數值關係**的對照測試。

對本篇而言， $H_3(z)$ 、 $W_z(m)$ 、事件反向約束與定理 4.1 都通過這個判準；線條角度則尚未具有相同地位。

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## 10. 把最初的 $n\times99$ 例子接回完整塔樓

對十進位中的整數 $1\le n\le9$，重複數位 $nn$ 表示 $11n$，因此：

$$
n\times99=9\times(11n)=100n-n.
$$

從歷史的角度，至少有以下三種表示：

$$
P_1:\quad n\times99,
$$

$$
P_2:\quad (11\times n)\times9,
$$

$$
P_3:\quad (100\times n)-n.
$$

其中 $P_2$ 的中間結果為 $11n$， $P_3$ 的中間結果為 $100n$。兩者和單步的 $P_1$ 都達到 $99n$，但它們不同的歷史來源應個別保存。

當 $n=9$ 時， $P_2$ 為 $(11\times9)\times9$，即先得到 $99$ 再得到 $891$ ； $P_3$ 為 $900-9=891$。而本篇第四節展示的重新括號見證 $(3\times3)\times99$ 與 $3\times(3\times99)$，則提供另一個**只使用乘法**、同樣指向 $891$ 的雙路徑對照。

當 $n=10$ 時， $99n=990$ 仍在 $S_{1000}$，但十進位的 $11n=110$ 已不再是兩位重複數字 `nn`；代數關係持續成立，字串模式則已跨出原本的九組重複數字範圍。這說明：**符號形態的終點不一定是運算關係的終點。**

要研究「跨越 $1000$ 後再次返回」的歷史，需要另外指定包含減法等操作的有限語法。既不能因為結果仍在集合內就宣稱整條歷史都在塔內，也不能因為外部節點不顯示就把它從數學關係中刪除。

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## 11. 實驗驗證與可重現性

### 11.1 精確程序與雙重核對

附屬 `verify_paper03.py` 使用 Python 整數運算：

1. 在明確剪枝的三重迴圈中枚舉所有 $a,b,c\ge2$ 且 $abc\le1000$ 的有序組合；
2. 對每個目標 $z$ 使用質因數分解公式獨立核對 $H_3(z)$ ；
3. 使用中間節點的 $\tau(m)-2$ 權重和，重新核對 $H_3(z)$ ；
4. 對較小上限 $12$ 與 $24$ 使用不共享剪枝結構的暴力三重迴圈再次比較；
5. 在五種進位基底下，逐筆檢查 $\kappa_b$ 的取值範圍與雙步守恆式；
6. 檢查反向排列鏡像配對計數是否相等；
7. 特別核對 $891$ 的 $18$ 組歷史、六個中間節點及各基底的重分配數。

所有上述驗證均已通過，程式回傳 `PASS`。

### 11.2 隨附檔案及用途

| 檔名 | 用途 |
|---|---|
| `verify_paper03.py` | 不依賴第三方套件的完整枚舉、驗證與資料生成 |
| `paper03_stats.json` | 完整域的精確統計與五個進位制的轉換計數 |
| `paper03_centers_1_to_1000.csv` | 每個結果節點的 $\tau$ 、 $d_3$ 、 $H_3$ 、中間節點數及各基底變化 |
| `paper03_891_triples.csv` | 891 的 18 組有序三因數、左右中間值與五基底進位向量 |
| `paper03_891_intermediates.csv` | 891 的六個左括號中間節點及其歷史權重 |
| `make_figures.py` | 選配圖形生成程式，需 matplotlib |
| `figures/paper03_rebracketing_891.png` | 891 在十進位下的兩種括號化歷史示意 |
| `figures/paper03_radix_redistribution.png` | 五個基底下重分配總數的比較 |
| `validate_source.py` | UTF-8、分隔符、數據一致性及檔案驗證 |

CSV 與 JSON 均用 UTF-8 輸出，並在檔案內區分「三元組」、「帶括號歷史」與「數值節點」。原稿的 Markdown 不是從聊天畫面逆向複製，而是獨立保存的 canonical source。

### 11.3 後續實驗需固定的限制

本篇沒有宣稱測試以下所有情況：

- 允許減法、除法、冪運算或反覆重寫的任意多步歷史；
- 中間結果超出 $1000$ 、最後又回到有限域的完整運算網路；
- 負數、有理數、無理實數或計算機浮點誤差；
- 所有可能乘法演算法（例如不同分治或位元層級程序）的實際 CPU／GPU 執行歷史；
- 從圖面形狀推導全新的物理因果關係。

這些範圍需要新的型別定義、路徑語法和相應上界，才能形成可窮舉或可證偽的實驗。

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## 12. 結論：保持的不是每條路徑的外形，而是可核對的關係

本篇從單步結果交會推進到雙步乘法歷史，在 $1$ 至 $1000$ 的有限正整數域中得到了三個主要結果。

**第一，來源歷史存在可以完整計數的交會密度。** 非平凡有序三因數組合共有 $11217$ 組； $891$ 有 $18$ 組，卻只經過 $6$ 個左括號中間節點，且不同節點的歷史權重不均。這讓「同一數值格子背後存在多條運算關係」成為可查詢、可重現的資料結構。

**第二，括號位置會改變中間軌跡，但不改變乘法結果。** 一條歷史可能先經過 $9$，另一條可能先經過 $297$ ；兩者指向 $891$ 的關係可以同時保存，而不必被等號提前合併。

**第三，數量級進位的重分配具有精確守恆規則。** $\kappa_b(x,y)$ 只能是 $0$ 或 $1$，重新括號時的兩步總進位量在固定基底下完全相同，但進位出現於哪一步可以改變；跨基底時，重分配發生的三元組數則明顯不同。這直接展示：**底層代數歷史與觀察層的進位表徵，既有可證明的耦合，也有必須分離的部分。**

本篇尚未證明所有運算都具有一種共同的幾何軌跡定律，更不能將有限整數的結果直接推廣到任意實數。它所完成的，是建立一個比單步等式更細緻、比純繪圖更可檢驗的雙步關係層。

**結語：一個乘積可以只有一個數值結果，卻不必只有一條生成歷史；進位制未必改變它是什麼，卻能改變我們看見它如何到達。**

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**狀態：** Paper 03 / v0.1 — 命題證明完成、11,217 組有序三因數完整枚舉、五基底驗證 PASS。  
**後續銜接：** 保留「塔外中間狀態折返」及混合運算歷史的有限枚舉作為獨立研究題目，不在本篇預先宣稱完成。  
**原始碼規範：** 本文數學公式僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`；正式研究原稿以 UTF-8 檔案為準。