# 關係幾何與載體展開・生物視覺分支 VII：跨物種視覺載體的共同關係幾何、任務可辨識性與座標度量不變性

**English title:** Relational Geometry and Carrier Unfolding — Biological Vision VII: A Common Relational Geometry for Heterogeneous Visual Carriers, Task Identifiability, and Metric-Aware Invariants  
**研究系列：** RGC-BV07，延續 RGC-BV01–BV06；幾何主線 RGC-P01–P12 獨立保留  
**版本與日期：** v1.0.0 / 2026-11-05  
**原始研究問題與載體—關係幾何構想：** Neo.K  
**文獻核對、數學形式化、程式與合成實驗協作：** GPT-6  
**研究性質：** 文獻支持的生物學背景；既有線性逆問題與資訊幾何定理在明確模型內的整合、精確反例與可重現合成基準。不是新發現的生物視覺維度、活體感測資料、神經解碼驗證、非整數歐氏幾何的實在性證明或獨立同行審查。  
**Canonical source：** 本 UTF-8、LF、無 BOM Markdown。數學原始碼唯一採用 ` $...$ `、`$$...$$`；圖片及聊天畫面均不取代本原稿。

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**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-11-05  
**版本：** v1.0.0  

## 摘要

RGC 生物視覺分支前六篇分別研究異質感測載體（BV01）、跳蛛分層視網膜的失焦反演（BV02）、扇貝凹面反射鏡與雙視網膜的折返歧義（BV03）、螳螂蝦主動旋轉偏振感測器（BV04）、以一維掃描組成二維表示（BV05），以及有限資源下的主動掃描選擇與動態場景補償（BV06）。這些模型都能引出局部觀察的資訊矩陣，卻不代表可以直接比較動物實際看到的內容。尤其同樣的譜參與數 $1.8$ 可能來自深度、偏振、掃描方向或其他完全不同的資訊來源。

本文建立一個任務相依的共同描述：對物理場景狀態 $x$ 、載體與動作 $C_i,a_i$ 、隨機前向觀測 $p_i(y\mid x,a_i)$，以局部雅可比與噪音模型求得 Fisher 資訊矩陣 $F_i$ ；在指定任務映射 $T$ 下，另以觀察核與任務核的包含關係判定局部可辨識性。本文證明：線性無噪音模型中，任務可辨識當且僅當 $\ker H\subseteq\ker T$ ；獨立感測的資訊矩陣相加，其不可觀測子空間是各子空間的交集；單一譜參與數不足以決定任務可辨識性；若未設定並隨座標一同轉換參考度量，譜參與數甚至不是參數重標度不變量。本文提出附帶正定參考度量 $G$ 的廣義譜參與指標，並以一個精確反例展示：相同測量經座標重標度後，未校正指標由 $9/5$ 變為 $81/65$，而廣義指標維持 $9/5$。

合成基準固定五個無量綱場景參數，建立分層失焦、反射雙層、旋轉偏振及主動掃描啟發的四組局部線性觀測算子。四者單獨僅可觀察各自的二維子空間，逐步融合的可觀察秩為 $2,2,4,5$。偏振算子有精確譜本徵值 $4/3$ 、 $2/3$，其參與比恰為 $1.8$ ；但該數值並不告訴我們它是否能辨識深度。實驗的所有矩陣係數均為刻意選定的工程示範參數，**不是任何物種的受器、神經或行為測量**。

本文結論是：跨物種的共同框架應是「可比較的任務、觀察算子、噪音、度量及等價類」，而不是用同一個非整數值替不同感知世界排名。這讓載體幾何從單純的形狀轉換，推進到可檢驗的跨觀察系統幾何關係。

**關鍵詞：** 載體幾何；關係幾何；跳蛛；扇貝；螳螂蝦；主動掃描；Fisher 資訊；局部可辨識性；感測融合；廣義本徵值；參考度量；Blackwell 資訊比較；譜參與比。

## 1. 本文的問題與前六篇的定位

### 1.1 原始問題

RGC 主線始自「在特殊載體條件下，三條原始線能否展開為可觀察的正方形」。生物視覺分支以另一種自然問題延續它：同樣的物理場景，在不同光學與感覺載體下，哪些空間與物理關係可以被辨識？在 BV02–BV06，對不同載體提出了不同的前向模型，但若要真正比較跨物種的觀察幾何，必須解決四個前置問題：

1. 一個感測器可辨識的是「哪個物理參數或任務」，而非只有多少數值方向？
2. 兩個觀察載體的資訊何時互補，何時只是重複？
3. 不同物理量以不同單位與座標表示時，有效參與數是否仍有可比較意義？
4. 幾何上的局部可辨識，是否足以推出低噪音、穩定反演及神經或行為上的使用？

本文依序回答前三項在有限維理想模型內的版本，並為第四項給出反例與邊界。

### 1.2 必須保留的四層分離

- **物理層：** 光在三維空間中的傳播、反射、折射、偏振與時間演化。其傳統空間維度不因感測器改變而被重新定義。
- **載體層：** 生物眼睛的接收層、鏡面結構、偏振受器、感測方向與運動能力。
- **觀察層：** 光子與受器訊號形成的觀測分布、局部敏感方向和噪音。
- **任務層：** 距離、方向、運動、獵物檢測或物體辨識等具有具體判準的量。

本文的「有效關係維度」僅屬第三層的**資訊譜參與指標**，不等於第一層的幾何軸數，也不自動描述生物的主觀視覺場。

## 2. 生物學證據的比較：哪些相同，哪些不能強行相同

| 生物學參照 | 文獻支持的載體機制 | 本系列對應 | 不能直接推出的主張 |
|---|---|---|---|
| 跳蛛，特別是 *Hasarius adansoni* | 主要眼分層受器；失焦程度與距離估計存在行為關聯 [R1, R2] | BV02：共用場景對比度的雙接收層反演 | 真實跳蛛採用本文指定的傅立葉比值演算法 |
| 扇貝，包含 *Argopecten irradians* 等 | 凹面反射鏡、鳥嘌呤晶體、雙視網膜；兩層生理極性及光譜反應不同 [R3, R4, R5] | BV03：近軸鏡面與雙層失焦的折返反例 | 扇貝必定把雙視網膜訊號用來精確測距 |
| 螳螂蝦，部分口足類 | 偏振感測及可獨立旋轉的柄眼；扭轉可提高偏振對比 [R6] | BV04：旋轉線偏振分析器 | 完整 Stokes 反演是該物種的已知神經演算法 |
| 主動掃描系統 | 跳蛛主要眼的視網膜運動 [R7]；部分螳螂蝦的視覺中帶與掃描式色彩處理假說 [R8] | BV05–BV06：線掃描、資訊選位、運動補償 | 生物一定採用均勻列採樣或 D-optimal 掃描 |

生物證據的強弱也不同：跳蛛失焦深度有光學和行為證據；扇貝雙視網膜的光學與生理結構可確認，但特定反演策略未經確認；螳螂蝦主動偏振對比有行為證據；其色彩處理理論仍在發展。2014 年口足類色彩研究提出時間掃描式編碼的可能性 [R8]；2025 年另有實驗在 *Haptosquilla trispinosa* 發現支持光譜對抗處理的行為證據 [R9]。不同研究物種和任務不能直接視為相同。

**方法學約束：** 本研究可用這些自然構造啟發不同的前向算子，但任何數值對照若不是直接測得，必須標示為合成示範；不能替某物種指定「視覺維度等於 1.8」。

## 3. 共同載體—關係觀察框架

### 定義 3.1｜共同場景、載體及任務

令物理場景狀態屬於集合 $\mathcal X$。觀察者 $i$ 的載體 $C_i$ 、動作 $a_i$ 和觀測資料 $Y_i$ 形成前向統計實驗：

$$
Y_i\sim p_i(y\mid x,C_i,a_i),\qquad x\in\mathcal X.
$$

觀察者所需任務由 $T_i:\mathcal X\to\mathcal Z_i$ 表示。**比較不同物種之前，必須先選定共同物理刺激或可明確對應的任務。** 若兩者實際從事不同任務，則不存在不依賴任務與成本的單一視覺優劣排序。

在一個校準工作點 $x_0$ 附近，用局部參數 $\theta\in\mathbb R^d$ 及觀測期望 $\mu_i(\theta)$ 定義感測雅可比：

$$
H_i=\left.\frac{\partial\mu_i}{\partial\theta}\right|_{\theta_0}.
$$

對加性高斯雜訊，若協方差 $R_i$ 正定且不依賴 $\theta$，局部 Fisher 資訊為：

$$
F_i=H_i^\top R_i^{-1}H_i.
$$

其他光子計數、生物受器適應及神經相關雜訊，不必服從此高斯形式；可改以對應概似的 Fisher 資訊取代。本文實驗僅使用已說明的高斯局部模型。

### 定義 3.2｜任務可辨識性

在無雜訊線性模型 $y=H\theta$ 中，任務 $T\theta$ **可辨識**，意指任何兩個產生相同觀測的狀態，必須產生相同任務值：

$$
H\theta_1=H\theta_2\quad\Longrightarrow\quad T\theta_1=T\theta_2.
$$

這並不要求全部場景狀態可被恢復。如果只想估計距離，可能不必恢復偏振或其他紋理模式。

### 定理 3.3｜任務可辨識性核判準

對不受額外先驗限制的有限維線性場景，任務 $T\theta$ 可由 $H\theta$ 唯一決定，當且僅當：

$$
\ker H\subseteq\ker T.
$$

等價地，存在矩陣 $B$，使得 $T=BH$。

**證明。** 若 $v\in\ker H$，則 $H\theta=H(\theta+v)$ ；任務可辨識要求 $T\theta=T(\theta+v)$，所以 $Tv=0$。反過來，若上述核包含成立，令 $B$ 在 $\operatorname{im}H$ 上定義為 $B(H\theta)=T\theta$。此定義不依賴代表元，因為相同 $H\theta$ 的差落在 $\ker H$ ；將 $B$ 線性延拓到觀測空間即得 $T=BH$。證畢。

這是一個經典線性代數準則在此研究問題上的直接應用，不宣稱為新發明。對非線性模型，雅可比核條件最多先提供局部一階判準；若要推出非線性全域唯一性，尚需考察整個前向映射的纖維及模型先驗。

## 4. 不同載體融合時，哪些資訊真正增加？

### 定理 4.1｜感測組合的核交集

若兩個觀測算子共用同一個有限維場景參數，則：

$$
\ker\begin{bmatrix}H_1\\H_2\end{bmatrix}
=\ker H_1\cap\ker H_2.
$$

因此增加新的觀察行不會減少無雜訊模型的可辨識秩，卻可能完全無法增加秩，例如兩個算子只觀察相同參數子空間。

**證明。** 堆疊矩陣作用於 $v$ 的結果為零，當且僅當 $H_1v$ 和 $H_2v$ 同時為零。證畢。

### 命題 4.2｜獨立雜訊下的資訊加法

若兩份量測在給定場景後條件獨立、其噪音協方差已知且正定，則：

$$
F_{1\oplus2}=F_1+F_2.
$$

因此 $F_{1\oplus2}-F_1$ 為半正定矩陣。這只代表在相同參數定義與已知噪音模型下資訊沒有減少；不代表實際生物一定能或會融合全部通道，也不代表額外感測沒有能量、時間或處理成本。

若噪音跨通道相關，必須使用完整的聯合協方差矩陣，不能直接假設簡單相加。

## 5. 「1.XD」最需要解決的度量問題

### 5.1 單獨使用譜參與比會留下座標歧義

對 $F\succeq0$ 的非負本徵值 $\lambda_j$，若不全部為零，常用參與比寫成：

$$
D_{\mathrm{raw}}(F)=\frac{(\sum_j\lambda_j)^2}{\sum_j\lambda_j^2}.
$$

它的取值位於 $1$ 與非零本徵值數量之間，但這個數字依賴事先選好的參數座標與尺度。把「距離以公尺」改為「距離以公分」或對其中一個場景參數重新標準化，並不是改變實際生物的感測能力；直接代入數值矩陣的上述比例卻可能改變。

### 反例 5.2｜同一感測幾何，未校正參與比由 1.8 變為 1.24615

取：

$$
F=\begin{bmatrix}1&0\\0&1/2\end{bmatrix},
\qquad G=I_2.
$$

原始的譜參與比為：

$$
D_{\mathrm{raw}}(F)=\frac{(1+1/2)^2}{1+(1/2)^2}=\frac95.
$$

將參數改寫成 $\theta=A\eta$，其中 $A=\operatorname{diag}(2,1)$，正確資訊矩陣變換是 $F'=A^\top F A=\operatorname{diag}(4,1/2)$。若只對 $F'$ 算未校正比例，得到：

$$
D_{\mathrm{raw}}(F')=\frac{(4+1/2)^2}{16+1/4}=\frac{81}{65}\approx1.246154.
$$

感測器並未改變，只有場景座標的數值尺度改變。因此，單獨把「1.8」叫成載體的客觀關係維度，不足以構成跨載體、跨物種的可比較量。

### 定義 5.3｜附帶參考度量的廣義關係參與數

指定正定場景參考度量 $G$。以廣義本徵值問題：

$$
Fv=\lambda Gv
$$

的非負本徵值，定義：

$$
D_{\mathrm{rel}}(F;G)=\frac{(\sum_j\lambda_j)^2}{\sum_j\lambda_j^2},
$$

全部本徵值為零時另定義 $D_{\mathrm{rel}}=0$。這個指標不是完全不依賴選擇的「自然維度」：**不同的物理任務度量 $G$ 可以給出不同的結果**。它只要求一旦指定了任務度量，在合法的座標變換中必須連同 $G$ 一起轉換。

### 定理 5.4｜共同座標變換下的廣義譜不變性

若 $A$ 可逆、 $F'=A^\top FA$ 且 $G'=A^\top GA$，則 $(F,G)$ 和 $(F',G')$ 有相同的廣義本徵值多重集合，因此：

$$
D_{\mathrm{rel}}(F;G)=D_{\mathrm{rel}}(F';G').
$$

**證明。** 考察廣義特徵多項式：

$$
\det(F'-\lambda G')=\det(A)^2\det(F-\lambda G).
$$

因為 $\det(A)\ne0$，兩者的特徵根與重數相同。證畢。這與既有 Fisher 資訊幾何的協變性一致 [R10]。

在反例 5.2 裡，變換後的 $G'=\operatorname{diag}(4,1)$。廣義本徵值仍為 $1,1/2$，所以 $D_{\mathrm{rel}}=9/5$ 精確不變。

### 定理 5.5｜參與數的界與不可唯一性

當 $r$ 個本徵值嚴格為正，Cauchy–Schwarz 不等式給出：

$$
1\le D_{\mathrm{rel}}\le r.
$$

上界在所有非零本徵值相等時達成。若只有一個非零值，指標恰為 1。當存在多個不相等的非零本徵值時，通常得到非整數；**這是譜能量分配的不均衡，不是物理空間產生半條軸。**

尤其同一 $D_{\mathrm{rel}}$ 可以來自完全不同的可觀測子空間。取 $H_a=(1,0)$ 與 $H_b=(0,1)$，二者的參與數皆為 1，但前者能辨識第一參數、後者不能。數字完全相同，不代表感測或任務等價。

## 6. 一個可完全重現的跨載體合成基準

### 6.1 場景與單位說明

以下僅為**數學與工程化反例**，不是跨物種測量。設定無量綱場景狀態：

$$
\theta=(d,a,b,q,u)^\top\in\mathbb R^5.
$$

其中 $d$ 是逆深度的局部擾動， $a,b$ 是兩個場景紋理模式係數， $q,u$ 是線偏振的兩個 Stokes 類比係數。五者都已相對任務尺度正規化；以 $G=I_5$ 作為**此特定基準**的參考度量。每次量測的雜訊獨立且變異數設為 1。

此混合向量不是某個生物神經系統的真實內部編碼。它只是為了讓四類不同的視覺算子可以被放進**同一個受控數學實驗**。真實的倒數距離、紋理、偏振之間的物理耦合、光子噪音及受器反應必須用實測模型重建，不能直接沿用這些係數。

### 6.2 四個啟發式觀察算子

分層失焦啟發算子：

$$
H_L=\begin{bmatrix}
1&1/2&0&0&0\\
1&-1/2&0&0&0
\end{bmatrix}.
$$

反射雙層啟發算子：

$$
H_R=\begin{bmatrix}
1&4/5&0&0&0\\
3/10&3/5&0&0&0
\end{bmatrix}.
$$

旋轉線偏振啟發算子，第二觀察角取使角度相關係數為 $1/3$ 的特定值：

$$
H_P=\begin{bmatrix}
0&0&0&1&0\\
0&0&0&1/3&2\sqrt{2}/3
\end{bmatrix}.
$$

主動線掃描啟發算子，分別取到兩個不同的紋理模式：

$$
H_S=\begin{bmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0
\end{bmatrix}.
$$

上述算子並沒有假設真實跳蛛、扇貝、螳螂蝦會共同生活或共用同一顆腦。多載體融合只是一項**合成多模態觀察系統**的可辨識性實驗，目的是測試關係幾何論證，不是描述自然界已存在的融合個體。

### 6.3 四個單一算子的結果

| 合成載體 | 無噪音秩 | 本基準的參與數 | 可辨識的單一場景座標 |
|---|---:|---:|---|
| 分層失焦啟發 | 2 | 約 1.470588 | $d,a$ |
| 反射雙層啟發 | 2 | 約 1.063083 | $d,a$ |
| 旋轉偏振啟發 | 2 | 精確 1.8 | $q,u$ |
| 主動線掃描啟發 | 2 | 精確 2.0 | $a,b$ |

對偏振算子，非零本徵值精確為 $4/3$ 和 $2/3$ ；因此：

$$
D_{\mathrm{rel}}(H_P^\top H_P;I_5)
=\frac{(4/3+2/3)^2}{(4/3)^2+(2/3)^2}
=\frac95=1.8.
$$

其秩仍為 2，但只能辨識偏振的兩個分量，不能辨識深度。這正是跨物種比較不能止於「1.8」的可重現反例。

### 6.4 資訊互補與全域可辨識秩

依序堆疊感測算子，得：

| 合成觀察組合 | 可辨識秩（最高 5） | 參與數（本基準） | 單位高斯先驗的後驗協方差跡 |
|---|---:|---:|---:|
| $H_L$ | 2 | 1.470588 | 4.000000 |
| $H_L,H_R$ | 2 | 1.535699 | 3.711310 |
| $H_L,H_R,H_P$ | 4 | 2.724281 | 2.739881 |
| $H_L,H_R,H_P,H_S$ | 5 | 3.523598 | 2.096915 |

後驗欄使用明確的合成先驗 $\theta\sim N(0,I_5)$ 與各量測獨立、單位變異的雜訊，計算：

$$
\Sigma_{\mathrm{post}}=(I_5+\sum_iH_i^\top H_i)^{-1}.
$$

它不是動物的推理誤差或行為表現。尤其在 $H_L$ 後加入 $H_R$ 時，**資訊量和後驗精度能改善，但可辨識秩仍然是 2**，因為兩者看的是相同參數子空間；加入偏振才使秩增至 4，再加入第二個紋理方向才增至 5。

這揭示一個對原始「關係維度化」更有價值的結論：**資訊增加、維度參與比上升、可辨識秩增加、任務成功率改善，是四件不同的事。**

圖 01–05（包含 PNG 與 SVG）位於研究包 `figures/` 目錄。原始合成矩陣及所有數值位於 `results/benchmark.json`。

## 7. 單一共同幾何值不能提供跨物種的資訊優劣排序

### 反例 7.1｜無噪音全場景可恢復，不代表特定任務最精確

考慮二維場景 $\theta=(x_1,x_2)^\top$。感測器 A 量到兩個參數，但各通道雜訊變異數都為 100；感測器 B 只量到 $x_1$，但雜訊變異數為 $0.01$。

A 的無噪音秩為 2，B 的無噪音秩為 1；然而若任務只需要估計 $x_1$，B 的原始測量訊號品質遠高於 A。因而不能把可辨識秩、譜參與數或通道數直接當成精度、任務成功率甚至演化優勢的排名。

### 7.2 統計實驗的資訊優序

若能由 A 的觀測 $Y_A$ 經一個**不依賴未知場景狀態**的隨機通道產生 B 的全部觀測分布，則可說 A 對任意決策問題至少與 B 一樣有資訊。這是 Blackwell 實驗比較的既有概念 [R11]。

在有限維線性高斯特例，如果存在矩陣 $K$，使：

$$
H_B=KH_A,\qquad R_B-KR_AK^\top\succeq0,
$$

就能透過 $Y_B=KY_A+\zeta$ 的構造，其中 $\zeta$ 為與 $Y_A$ 獨立、且協方差恰好為上式半正定差的高斯雜訊，模擬 B 的觀察分布。這提供一個**充分條件**，不宣稱反向必要條件在任意模型下成立。

只有 $\ker H_A\subseteq\ker H_B$ 的無噪音因子化，卻沒有相應的雜訊條件時，不足以宣稱 A 在統計決策上必然比 B 優越。

### 7.3 生物視覺的比較單位

若要把這套數學用在真實生物，至少需要同一物理刺激、相容的目標行為、校準的觀察噪音、光照條件、刺激統計、視網膜的狀態以及運動能力。只有在這些條件下，局部關係算子和任務性能才能建立可反駁的關聯。不同物種在不同生態位的視覺，不必存在單一全域優劣順序。

## 8. 從局部關係幾何走向實際研究的可反駁預測

本文提出以下條件式研究預測；它們是**待測試的經驗命題**，不是此處已完成的動物實驗。

**P1｜新增感測方向的互補性。** 若視覺系統新增的接收方向在某個行為任務的局部雅可比中不落在既有行空間，並且訊噪比可控制，則其局部無噪音可辨識秩會增加；若完全落在既有行空間，則不增加秩，但仍可能改善精度。

**P2｜偏振旋轉與任務分離。** 如果一種動物只為提高特定目標—背景偏振對比而轉眼，觀察方向不必等同於完整兩分量偏振反演最有利的方向。可用行為任務與受器取向資料區分這兩類假說。

**P3｜分層通道的校準需求。** 若距離信息依賴跨層共同場景結構，施加不對等且未知的層增益時，理想反演應出現新的歧義或性能下降；其大小取決於真正神經解碼機制及補償策略。

**P4｜主動掃描的任務與成本折衷。** 若特定掃描系統需要移動受器，最小重建方差、最大辨識資訊及最小能耗可能對應不同軌跡；應分別量測，不能用單一目標代替。

**P5｜跨物種共用數學不等於共用感覺表徵。** 若兩種載體在同一個經校準的任務上具有相同觀察核，仍不能因此斷言它們有相同噪音、主觀顏色或神經編碼。若其同一任務上的行為判別界線不同，應優先檢驗感測噪音、策略、先驗與輸出限制，而非直接宣稱物理空間維度不同。

### 8.1 實際可檢驗所需資料

後續要把本篇合成基準變成跨物種實驗，需要真實受器敏感度曲線、相機或光學傳遞函數、刺激距離及偏振標定、逐試次行為資料、時間與眼球運動追蹤、雜訊相關性估計，以及依任務事先固定的場景參考度量。若缺少這些資料，最多只能做數學可構造性與生物啟發的假說分析。

## 9. 局限、修正事項與既有數學的歸屬

1. **BV01–BV06 的有效維度數值不能直接跨篇視為同一物理量。** 其中各篇的模型參數、正規化、載體及任務不同。本文不會把原先計算出的 1.8、1.79 等數值合併成某種「生物眼睛的共同維度」。
2. **度量不變性是必要但不是充分的生物可比性。** 參考度量 $G$ 必須根據實際任務與物理尺度合理選定，而不是事後為了得到某個數字去挑選。
3. **局部線性不等於全域反演。** 若映射有折返、遮蔽、對稱性、受器飽和或動態場景變化，可能在 Jacobian 滿秩附近仍發生全域歧義；BV03 的失焦折返就是例子。
4. **合成矩陣非實測。** 四類觀測算子僅為可證明的最小模型，不能用其數值比較跳蛛和扇貝的實際感測品質。
5. **資訊融合不是自然界的生理聲明。** 將跨物種的算子堆疊，測的是人工多模態聯合感測的可行性，不意味跨物種共享神經元件。
6. **數學來源。** 核與行空間判準、Gram／Fisher 資訊加法、一般化本徵值、Cauchy–Schwarz 不等式、Blackwell 實驗比較皆是既有數學。本文成果是把它們以任務、度量與生物證據邊界重新組織成此系列的可重現比較框架，並提供具體的反例與合成驗證。

## 10. 驗證、可重現性與正式發行

本稿原始碼在研究包內，程式使用 Python、NumPy、SymPy 與 Matplotlib。所有圖由本包程式自行生成，**沒有嵌入網路照片**。原稿中的參考文獻使用可公開核對的 DOI 或 PubMed／出版社連結。

在 ZIP 解壓後進入 `RGC_BioVision_BV07_2026-11-05/`，執行：

```bash
python -m unittest discover -s tests -v
python -m src.exact_proofs
python -m src.bv07_common_geometry --output results/benchmark.json
python -m src.make_figures
python verify_release.py
```

主要可驗證項目包括：五維合成場景的四個算子、任務核包含、秩增長與未增長案例、獨立 Fisher 資訊相加、精確 $9/5$ 和 $81/65$ 反例、廣義譜的座標變換不變性、後驗不確定性，以及源碼、PNG／SVG、JSON 與 ZIP 封裝完整性。

**驗證等級說明：** Python 測試證明指定程式在這些輸入上符合宣告；SymPy 精確等式是模型內的代數交叉檢查；SHA-256 與 ZIP CRC 僅確認檔案一致。這些不構成生物實驗、全部非線性情況的數學證明，亦非外部同行審查或數學形式化驗證器的完整認證。

## 11. 結論

跨物種視覺可以找到共同的**關係觀測數學**，卻不需要假設它們共享相同的感覺表徵或非整數物理空間。真正可比較的單位應是「哪個場景狀態、哪個任務、哪組接收算子、哪種噪音、哪個參考度量」。在此框架內，可證明不同載體的資訊何時互補，也可精確展示相同譜參與數為何不保證相同的可辨識任務。

BV07 的關鍵修正是：要讓 1.XD 的資訊譜指標跨表示具有一致意義，必須保留參考度量並檢查座標不變性。若省略這個條件，即使不改變生物、光線或觀測資料，光是改寫參數單位，就可能改變「維度」數值。具備此條件後，我們可以把 1.XD 作為某個明確感測任務的**有效關係參與數**來研究，但仍不能把它升格成傳統幾何空間的非整數軸數。

**一個載體的幾何，不僅是它把世界映成什麼形狀，更是它讓世界的哪些差異仍然可以被辨識。**

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## 參考文獻

- **[R1]** Nagata, T., et al. (2012). *Depth perception from image defocus in a jumping spider*. Science, 335, 469–471. DOI: https://doi.org/10.1126/science.1211667；PubMed: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/22282813/ 。
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