# 關係幾何與載體展開 XI：部分缺失的無標記關係譜、未知相對觀察方向的自校準與有限可辨識性

**英文題名：** Relational Geometry and Carrier Unfolding XI: Blind Relative-Angle Self-Calibration, Partially Missing Unlabeled Spectra, and Finite Identifiability Certificates  
**系列：** RGC — Relational Geometry and Carrier Unfolding  
**版本：** P11 / v1.0.0  
**日期：** 2026-11-05  
**研究問題與原始載體—關係幾何構想：** Neo.K  
**數學形式化、精確反例、演算法、合成實驗與原稿協作：** GPT-6  
**Canonical source：** 本 UTF-8 Markdown 原始檔；全部數學使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`。聊天渲染、PNG 與 SVG 均不是正式數學原稿。  
**驗證狀態：** 明確指定模型內的代數定理、有限資料精確證書與可重現合成實驗；不是實體光學驗證、一般三維相機自校準定理或同行審查結果。

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**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

P10 已在兩個相差 $45^\circ$ 的**已知**觀察方向下，以圓不變量精確配對兩袋獨立亂序、但涵蓋同一批完整來源點的平方投影關係譜。本篇同時放寬兩個條件：兩袋來源點可以部分缺失；兩位觀察者的相對方向不再預先給定。本篇首先選取第一位觀察者作為角座標規範，令未知相對方位為 $\delta\in(0,\pi/2)$，建立以 $c=\cos2\delta$ 表示的二元二次曲線不變量。它允許從**任意候選跨袋配對**產生至多兩個候選 $c$，再於有限候選全集上計算二分圖最大匹配。這項方法不依賴已知局部區段標籤、共同樣本編號或事先給定的相對角度。

在十二個精確有理數生成的來源角度中，觀察者 A 與 B 各取得十筆資料，實際共同來源為八筆。對所有 $10\times10$ 可能跨袋邊，得到 $158$ 個不同的合法相對方向候選。真實參數 $c=3/5$ 具有最大匹配數 $8$，第二高的錯誤參數 $c=-4/5$ 僅具有最大匹配數 $4$。因此，若候選物理解釋必須至少包含五個共同來源，該資料的相對參數可以被唯一辨識；在本項合成見證裡，該候選的八條零殘差邊恰為八組真實對應。這是一個**有限資料的精確可核查證書**，不是任意雜訊或任意來源配置的普遍唯一性定理。

本篇再研究另一個資訊條件不同的通道：如果額外提供**兩組已知對應的校準點**，且其交叉乘積之差不為零，未知 $c$ 便可由代數差分直接恢復。由此推導已知每筆 $q$ 雜訊上界下的誤差包絡，並透過可計算的二分配對殘差建立充分保證。在兩袋獨立亂序、各缺兩筆且共同八筆的模擬中，各雜訊設定進行 $192$ 次重播；有界 $q$ 雜訊 $10^{-5}$ 下仍完成 $192/192$ 次完整配對， $10^{-4}$ 下則為 $46/192$。後者不能以低雜訊保證代替。

最後指出三個原則性障礙：未知手性會導致角度鏡射歧義，無共同來源時不能一般性自校準，以及有限譜取樣不能唯一決定完整連續載體。本篇恢復的是指定法向平面中、受限制的相對觀察幾何，並未證明傳統 $1.X$ 維歐氏空間存在。

**關鍵詞：** 關係幾何、部分缺失、無標記觀測、自校準、未知相對方向、二次曲線不變量、有限候選、二分匹配、材料載體、可辨識性、手性規範、穩定性證書。

## 1. 研究問題與前篇連續性

RGC 系列最初的問題是：三條原始直線，經由特定幾何載體的展開與觀測，能否構成精確的正方形？P01–P03 建立嚴格的構造基準；P06 建立具有連續折角的二維內稟等距載體；P07–P09 分別研究多觀察者反演、有限缺失與無標記順序；P10 利用已校準雙觀察方向的代數相容性消除預先提供局部區段標籤的需要。

P10 仍留下兩項相互獨立的額外資訊：

1. 兩位觀察者的方向差已知，特別設定為 $\pi/4$。
2. 兩份譜袋來自完全相同的有限來源集合。

P11 要放寬兩者，但不以「再多給幾個觀察者」取代可辨識性分析。本篇刻意分離以下兩條路線。

**路線 A：無錨點的精確自校準。** 兩個儀器的身份已知，但其相對法向平面方位未知；共同來源身分與數量未逐筆提供；資料僅為兩個沒有共同索引的有限多重集合。採用精確代數、枚舉候選相對方位與二分圖配對。其恢復保證需要有限候選證書及共同樣本數量下界。

**路線 B：雙錨點的有界雜訊反演。** 額外給出兩組已知對應之校準量測；不用預先提供相對方位數值。校準相對方向後，再配對其餘無標記、部分缺失的資料。此路線可建立顯式噪聲上界，但與路線 A 不是同一個先驗條件。

**不在求解範圍內：** 一般三維相機旋轉矩陣、未知投影尺度與內參、任意遮擋場景、任意類型觀測雜訊、無限維關係算子的普遍反演，以及有限樣本對完整連續載體的唯一重建。

## 2. 載體、可觀測譜與規範選擇

沿用 P06 的廣義圓柱載體，令

$$
\mathbf N(u)=(\cos\alpha(u),\sin\alpha(u),0),
\qquad \mathbf e=(0,0,1),
$$

$$
\Psi(t,u)=\mathbf B+t\mathbf e+\int_0^u\bigl(\mathbf N(r)\times\mathbf e\bigr)\,dr.
$$

其切向量正交且為單位長度，故

$$
(D\Psi)^{\mathsf T}D\Psi=I_2.
$$

因此本篇整個幾何載體的**內稟維度仍為二維**。後文 $D_{\mathrm{PR}}$ 若出現，只是觀察者相依的譜參與指標，而不是傳統非整數座標軸個數。

先以 A 觀察者作為角座標零點，令 $\beta_A=0$。B 觀察者相對方向為未知的 $\beta_B=\delta$。兩者的平方投影譜為

$$
q_A(\alpha)=\cos^2\alpha,
\qquad
q_B(\alpha)=\cos^2(\alpha-\delta).
$$

P10 已定義的可觀察參與比為

$$
D_{\mathrm{PR}}(q)=\frac{(1+q)^2}{1+q^2}.
$$

因 $q\in[0,1]$ 上該函數單調，無雜訊時可換回 $q$ ；但帶雜訊時， $D_{\mathrm{PR}}$ 雜訊不等價於等幅 $q$ 雜訊。**本篇的穩定性定理僅針對 $q$ 的明確有界誤差。**

令

$$
x=2q_A-1=\cos2\alpha,
\qquad
y=2q_B-1=\cos(2\alpha-2\delta),
$$

$$
c=\cos2\delta,
\qquad s=\sin2\delta.
$$

在本篇主構造中，假設正向定向先驗 $0<\delta<\pi/2$，所以 $s>0$ ；只保留 $-1<c<1$ 的非退化候選。這是**手性／定向先驗**，並非由一份平方譜自動推得。A 被指定為方位基準也只固定一個全域旋轉規範，不代表測到了物理世界的絕對北向。

## 3. 定理一：未知方位的二次曲線消元

依二倍角差公式，

$$
y=cx+s\sin2\alpha.
$$

由 $x^2+\sin^22\alpha=1$ 與 $s^2=1-c^2$ 可消去隱含角度，得到

$$
\boxed{\ x^2+y^2-2cxy=1-c^2\ }.
$$

**定理 3.1（二次曲線相容條件）。** 任何同源且位於上述法向平面模型內的觀測對 $(x,y)$，必須滿足

$$
f_c(x,y)=x^2+y^2-2cxy+c^2-1=0.
$$

對固定 $-1<c<1$ 以及 $x,y\in[-1,1]$，此條件也足以構造一個符合 $s=+\sqrt{1-c^2}$ 的角度 $\alpha$，使兩個平方投影等於所給資料；但若進一步要求 $\alpha$ 落在 P06 的指定有限角域，則還需要檢查角域約束。

**證明。** 必要性由上式平方並整理直接得到。反向取

$$
v=\frac{y-cx}{\sqrt{1-c^2}}.
$$

由 $f_c(x,y)=0$ 可得 $x^2+v^2=1$。因此存在 $2\alpha$ 使 $\cos2\alpha=x$ 、 $\sin2\alpha=v$，代回即得原量測方程。若角域限制額外給定，需要將求得的 $\alpha$ 選入該區間。證畢。

**推論 3.2（單一候選跨袋配對給出的方位候選）。** 對任意一筆 A 袋的 $x$ 與任意一筆 B 袋的 $y$，把 $f_c(x,y)=0$ 視為 $c$ 的二次方程，最多有兩個合法解：

$$
c_{\pm}=xy\pm\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}.
$$

如果兩筆真實同源，其真實 $c$ 必定在這兩個候選之中。因此，當來源袋是有限的，所有可能的真實 $c$ 必然屬於跨袋所有候選邊產生的**有限候選集合**。

這個結論沒有使用已知點標籤，也不要求先知曉兩袋共同來源的逐點配對。

## 4. 定理二：有限候選全集、缺失樣本與自校準證書

令 A 袋共有 $m$ 個 $x_i$，B 袋共有 $n$ 個 $y_j$，皆可部分缺失。定義所有合法候選的集合

$$
\mathcal C=\bigcup_{i=1}^{m}\bigcup_{j=1}^{n}
\left(\{c_+(x_i,y_j),c_-(x_i,y_j)\}\cap(-1,1)\right).
$$

對任一 $c\in\mathcal C$，建立二分圖 $G(c)$：左側為 A 袋各筆量測，右側為 B 袋各筆量測，若且唯若 $f_c(x_i,y_j)=0$，便加入邊 $(i,j)$。令 $\nu(c)$ 為圖 $G(c)$ 的最大匹配基數。

**定理 4.1（有限無錨點自校準的充分辨識證書）。** 假設真正的共同來源數量至少為 $K\ge1$，且真實相對方向滿足本篇的非退化模型。若恰有一個 $c_*\in\mathcal C$ 滿足 $\nu(c_*)\ge K$，則真實的相對方向參數必為 $c_*$。若又已知 $0<\delta<\pi/2$，則相對角唯一為 $\delta=\tfrac12\arccos c_*$。

**證明。** 任一真正同源配對皆滿足定理 3.1，故真實 $c$ 屬於 $\mathcal C$，且 $G(c)$ 至少含有 $K$ 條互不共用頂點的真實配對邊。因此 $\nu(c)\ge K$。若全集中只有一個候選達到此門檻，真實 $c$ 不可能是其他候選。正向定向限制使 $\tfrac12\arccos c$ 在 $(0,\pi/2)$ 單值，故角度亦唯一。證畢。

**重要精度邊界。** 唯一辨識 $c$ 不自動等於所有零殘差邊都是**真正的物理同源關係**。若存在不同來源的偶然相容邊，即使 $c$ 唯一，來源配對仍可能不唯一。要斷言每個點身分都已恢復，必須另行檢查 $G(c_*)$ 的最大匹配是否唯一，以及是否有足夠的無偶然相容與實際重疊條件。這些條件不能從「候選排名最高」一句話省略。

**演算法 4.2。** 枚舉所有 $m\times n$ 候選對，各產生至多兩個 $c$，合併相同候選，對每個 $c$ 建立零殘差二分圖並計算最大匹配。輸出候選、最大匹配數、相關的配對方案與可辨識性標記。精確算術與候選相等性判斷是此路線的重要部分；若換成浮點與雜訊，單純的相等判斷沒有穩定性保證。

![不同候選相對方向的最大匹配支援數](figures/02_candidate_offset_support.png)

## 5. 精確有理數見證：兩袋皆缺失、未知相對角仍可辨識

沿用 P10 的十二個有理數切線參數

`1/5, 2/5, 4/5, 6/5, 9/5, 13/5, 21/5, 39/5, -9, -4, -7/3, -3/2`。

對每個 $t_i=\tan\alpha_i$，定義

$$
x_i=\frac{1-t_i^2}{1+t_i^2},
\qquad
v_i=\frac{2t_i}{1+t_i^2},
\qquad
y_i=\frac35x_i+\frac45v_i.
$$

所有 $x_i,y_i$ 均為有理數，且十二個 $\alpha_i$ 位於 P06 的法向角域 $[0,\Theta]$，其中

$$
\Theta=\arccos\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\approx128.172708^\circ.
$$

兩位觀察者實際取得的來源索引集合（**僅供模擬生成與驗收**）為

$$
A=\{0,1,2,3,4,5,6,8,9,11\},
$$

$$
B=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11\}.
$$

兩袋各有十個觀測，交集八個，聯集十二個。反演程式接收的是由這些來源產生的兩袋值；對應索引不提供給無錨點的候選枚舉程序。

**驗證證書 5.1。** 使用 Python `fractions.Fraction` 精確生成所有跨袋候選根，並以精確有理數比較歸併：

| 指標 | 精確結果 |
|---|---:|
| A、B 袋數量 | $10$ 、 $10$ |
| 真實共同來源數 | $8$ |
| 不同合法候選 $c$ | $158$ |
| $c=3/5$ 最大匹配 | $8$ |
| $c=-4/5$ 最大匹配 | $4$ |
| 其餘候選最大匹配 | $\le2$ |
| $c=3/5$ 的零殘差邊數 | $8$ |

所以在此特定資料上，**若事先知道真正共同來源至少五筆**，則定理 4.1 的門檻 $K=5$ 已足以唯一辨識 $c=3/5$，從而反推出

$$
\delta=\frac12\arccos\frac35
=\arctan\frac12
\approx26.565051^\circ.
$$

此資料的 $G(3/5)$ 恰有八條邊，且恰好都是八筆真實共同來源對應；故匹配唯一且等於合成真值。這是這份資料的**獨立精確計算結果**，不表示一般資料只要相對角度正確就必無錯誤相容邊。

相反， $c=-4/5$ 也有四組精確相容的錯誤配對。若共同來源下界低於五，僅靠此資料的代數匹配基數便不足以排除這個假候選。這是本篇保留的具體反例邊界。

![有限候選共識的圓錐截面與同源觀測點](figures/01_partial_observations_conic.png)

![真實方位下的部分缺失零殘差匹配](figures/03_partial_matching_residual_matrix.png)

## 6. 定理三：已知兩組錨點時的相對方位精確反演

現考慮資訊條件不同的路線 B。設 $(x_1,y_1)$ 、 $(x_2,y_2)$ 是兩筆**事先已知同源**的校準對。對兩筆資料各套用二次曲線不變量，再相減，得到

$$
(x_1^2+y_1^2)-(x_2^2+y_2^2)
=2c(x_1y_1-x_2y_2).
$$

**定理 6.1（雙錨點精確自校準）。** 若

$$
B=x_1y_1-x_2y_2\ne0,
$$

則未知相對方向參數由下式唯一決定：

$$
c=\frac{x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2}{2B}.
$$

**證明。** 將兩個 $f_c=0$ 方程相減，常數項與 $c^2$ 項消失，得到一個關於 $c$ 的一次方程；因 $B\ne0$，解唯一。證畢。

對第 5 節的合成樣本，選取來源索引 4 與 9 作為**已知對應錨點**，得到

$$
B=-\frac{4021227}{4059005}\approx-0.990693,
\qquad c=\frac35.
$$

兩錨點不能免費假裝成「無標記資料」。它們是路線 B 額外取得的來源身分資訊，應與路線 A 分開記錄成本。

## 7. 定理四：有界譜誤差下的配準充分保證

考慮每筆 $q$ 觀測的誤差不超過 $\eta\ge0$，因此每筆 $x=2q-1$ 或 $y=2q-1$ 的絕對誤差不超過 $\varepsilon=2\eta$。以帶帽號表示受雜訊量測，使用兩個受雜訊校準對計算 $\widehat c$ 與 $\widehat B$。

由 $|x|,|y|\le1$ 得到

$$
|\Delta(x^2)|\le2\varepsilon+\varepsilon^2,
\qquad
|\Delta(xy)|\le2\varepsilon+\varepsilon^2.
$$

對雙錨點的分子 $A$ 與分母 $B$，有

$$
|\widehat A-A|\le8\varepsilon+4\varepsilon^2,
\qquad
|\widehat B-B|\le4\varepsilon+2\varepsilon^2.
$$

又因 $A=2cB$ 且 $|c|\le1$，只要 $\widehat B\ne0$，便有

$$
|\widehat c-c|\le
H=\frac{16\eta(1+\eta)}{|\widehat B|}.
$$

因此任一配對邊的多項式殘差之觀測擾動，可以由完全明示的上界控制：

$$
|f_{\widehat c}(\widehat x,\widehat y)-f_c(x,y)|\le E,
$$

$$
E=16\eta(1+\eta)+2H\bigl[(1+2\eta)^2+1\bigr]+H^2.
$$

**證明要點。** 先把殘差變化拆為「固定真實 $c$ 時 $x,y$ 的變化」與「固定受雜訊 $\widehat x,\widehat y$ 時 $c$ 的變化」。前者由平方項與交叉項的乘法誤差控制，合計不超過 $16\eta(1+\eta)$ ；後者由 $\widehat c=c+h$ 的展開

$$
f_{c+h}(\widehat x,\widehat y)-f_c(\widehat x,\widehat y)
=-2h\widehat x\widehat y+2ch+h^2
$$

及 $|\widehat x|,|\widehat y|\le1+2\eta$ 控制。對 $h$ 代入已知上界 $H$，即得所述 $E$。證畢。

令此有限資料中所有**非同源**跨袋配對的精確最小殘差為

$$
\gamma=\min_{i\in A,\,j\in B,\,i\ne j}|f_c(x_i,y_j)|.
$$

假設 $\gamma>0$。則有下述保證。

**定理 7.1（部分缺失下的有限雜訊配對保證）。** 在上述雙錨點條件、統一誤差界及 $\gamma>2E$ 成立時，以 $|f_{\widehat c}(\widehat x_i,\widehat y_j)|\le E$ 選取相容邊（浮點程式可另加入明示的捨入容忍值），則所有真實共同來源對均被選中，且不會選中任何錯誤跨袋邊。因而這些相容邊構成唯一的真實部分匹配。

**證明。** 真實邊的精確殘差是零，帶雜訊殘差最多為 $E$。非同源邊的精確殘差至少為 $\gamma$，其帶雜訊殘差至少為 $\gamma-E>E$。故以 $E$ 為閾值正確分離兩類邊。因每個來源在每袋至多出現一次，真實邊互不衝突。證畢。

第 5 節資料的非同源最小間隔具有精確值

$$
\gamma=\frac{249984}{59059225}\approx0.0042327680392.
$$

**嚴格區分：** $H$ 、 $E$ 可由已知雜訊上界與實際兩錨點量測形成； $\gamma$ 是資料生成模型下的真實幾何間隔，在全無真實身分資訊時不會自動得知。因此 $\gamma>2E$ 是**數學充分條件與實驗可核查證書**，不等於每次部署時都能直接讀取的在線保證。

## 8. 不能被省略的非唯一性反例

### 8.1 未知手性的鏡射歧義

若放棄 $\delta>0$ 的定向先驗，把所有角度替換為

$$
\alpha'=\pi-\alpha,
\qquad \delta'=-\delta,
$$

則

$$
\cos^2\alpha'=\cos^2\alpha,
\qquad
\cos^2(\alpha'-\delta')=\cos^2(\alpha-\delta).
$$

例如取 $\alpha=\pi/3$，則 $\alpha'=2\pi/3$，兩者都落在 P06 的合法角域 $[0,\Theta]$。因此僅憑平方投影資料，不可能普遍分辨這種方向翻轉；在沒有明確定向先驗時，反演只能唯一到這個鏡射規範。

### 8.2 全域旋轉規範

若 A 的真實物理方向也完全未知，對所有物理法向及觀察方向同步加上任意常數 $\varphi$，所有 $q$ 不變。故本篇從 A 座標出發得到的 $\delta$ 是**相對方位**，不是未測量的絕對空間朝向。

### 8.3 完全沒有共同來源與小共同數

若兩袋沒有共同來源，每一袋可以由獨立的法向角場生成。那麼兩者之間缺少同源方程的約束，無法一般性地從無配對的有限譜袋唯一求出 $\delta$。即使有少數共同點，若候選相對方位可支持多組相同大小的匹配，亦無法在沒有額外資訊時宣稱自校準成功。

本篇精確見證中的錯誤參數 $c=-4/5$ 支援四組相容邊，直接展示了「少數跨袋吻合」並不等於真實校準。

### 8.4 未觀測來源與材料弧長

若某來源僅被 A 觀察，便只有 $x=\cos2\alpha$ ；在沒有其他區分分支的先驗下，可能有多個合法 $\alpha$。同樣地，已完成的配對只給出共同來源的法向角，沒有自動產生它們的材料弧長座標 $u$。

即使有限筆 $u$ 與 $\alpha(u)$ 都被觀察，取兩個樣本之間未採樣的小開區間，選擇非零、緊支撐、光滑函數 $h(u)$，令

$$
\widetilde\alpha(u)=\alpha(u)+\epsilon h(u).
$$

可使所有已取樣位置的角度完全不變，同時令區間內的曲率場與截面曲線不同。將兩個角場各自代入第 2 節的等距載體嵌入，便得到不同的連續載體，卻有相同的有限觀測。因此**有限資料的精確自校準與配對，仍不會單憑自身唯一確定整個連續載體**。

## 9. 程式與合成雜訊實驗

### 9.1 精確驗收

`src/verify_exact.py` 使用標準 Python 有理數與 SymPy 獨立恆等式，完成 **197/197 PASS**。該集合包含：有理數單位圓恆等式、觀察譜生成、候選根包含真實參數、每條非同源邊的非零殘差、兩錨點解、全部候選最大匹配、角域與角度反演、二次曲線符號恆等式。

所有 $158$ 個候選及其最大匹配基數由原始碼重新運算；並非只在文中列出預先指定的真實參數。

### 9.2 有雜訊的實驗條件

另一支程式 `src/simulate.py` 先各自隨機打亂 A 與 B 的十筆譜值，再於各筆 $q$ 加入絕對值不超過 $\eta$ 的均勻誤差。**只有兩組預先指定的錨點對應交給校準器**；其餘共同來源 ID 只保留於資料產生器與事後驗收。模擬先由受雜訊錨點計算 $\widehat c$，再用第 7 節的可觀測誤差包絡 $E$ 建立殘差閾值，最後計算二分最大匹配。

每個雜訊級別重播 $192$ 次，合計 $1,920$ 次；固定亂數種子可重現。對所有重播，觀察到的 $|\widehat c-c|$ 均不超過推導的校準誤差上界。這項實驗有明示兩個已知對應點，**不可被描述成雜訊下的完全盲自校準測試**。

| $q$ 誤差上界 $\eta$ | 完整八筆配對成功 | 符合保守充分界的重播數 | 平均正確邊數 | 平均錯誤邊數 |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| $0$ | $192/192$ | $192/192$ | $8.000$ | $0.000$ |
| $10^{-7}$ | $192/192$ | $192/192$ | $8.000$ | $0.000$ |
| $3\times10^{-7}$ | $192/192$ | $192/192$ | $8.000$ | $0.000$ |
| $10^{-6}$ | $192/192$ | $192/192$ | $8.000$ | $0.000$ |
| $3\times10^{-6}$ | $192/192$ | $192/192$ | $8.000$ | $0.000$ |
| $10^{-5}$ | $192/192$ | $192/192$ | $8.000$ | $0.000$ |
| $3\times10^{-5}$ | $192/192$ | $0/192$ | $8.000$ | $0.000$ |
| $10^{-4}$ | $46/192$ | $0/192$ | $6.964$ | $1.036$ |
| $3\times10^{-4}$ | $16/192$ | $0/192$ | $6.313$ | $1.688$ |
| $10^{-3}$ | $0/192$ | $0/192$ | $5.063$ | $4.885$ |

**關鍵解讀：** 在 $3\times10^{-5}$ 時雖然所有重播仍正確，卻沒有一個重播符合本篇保守充分界。因此「該組實驗成功」與「該組實驗受到本定理保證」在邏輯上不同。在更高雜訊下，錯誤邊可能進入候選圖；成功率下降屬於指定資料與演算法的經驗結果。

![雙錨點觀測下的噪聲強度與完整配對成功率](figures/04_anchored_noise_stability.png)

## 10. 討論與有效範圍

P11 把 P10 的已校準、完整同源兩袋，擴張為**未知相對角度、部分來源缺失**的最小非線性譜反演模型。研究的關鍵不是預先選定一個特殊「1.7D」或「1.8D」，而是從關係量測本身推得候選變換，再檢查這些變換是否能同時解釋多個相互獨立的觀察關係。

精確路線最重要的收穫是將「不知道相機角度」轉化成有限二次方程根的共同參數辨識，並附上假候選支援數與真正相容邊的精確證書。有雜訊路線則展示校準資訊的實際價值，以及校準所需的觀察對應成本。

需避免以下推論跳躍：

- 從法向平面的相對方位自校準，跳到一般未知三維相機姿態完全恢復。
- 從有限精確資料的唯一候選，跳到任意有限資料的全域唯一性。
- 從配準邊的正確性，跳到未觀測材料弧長或整個連續曲面已重建。
- 從有效譜參與比 $D_{\mathrm{PR}}$ 位於 $1$ 與 $2$ 之間，跳到傳統非整數歐氏維度存在的結論。

本篇定理使用的是已知三角測量恆等式、二次消元與二分圖匹配等既有數學工具；具體的載體觀測模型、缺失條件、有限候選證書及其可重現見證屬於本研究系列組合出的結果，不宣稱取得一般無標記感測理論的優先權。

## 11. 結論

本篇得到三個層次不同且可以逐一驗證的結論。第一，在本篇二維法向平面及定向規範之下，未知相對觀察角度可以透過二次曲線不變量消元成有限候選；指定的十二來源、雙袋各缺兩筆的精確資料，確實能在共同數下界至少五的前提下唯一確定真實參數。第二，兩組已知同源的校準點可在非退化條件下精確求出相對角度，並得到明確的有界雜訊配準充分條件。第三，手性翻轉、缺乏足夠共同來源，以及未觀測材料弧長，依然構成不可省略的辨識障礙。

**在幾何研究裡，真正需要恢復的不是某個孤立的維度數字，而是哪些觀察關係足以唯一決定某個幾何構造，以及哪些資訊永遠無法從那些觀察中推出。**

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## 參考文獻

1. RGC P06 (2026-11-03)，*Continuous Carrier and Local Relational Fields*。提供廣義圓柱等距載體與法向角域。
2. RGC P07–P09 (2026-11-04)，多觀察者局部譜反演、校準、缺失觀測與無標記弧長配準系列。提供前置辨識界線。
3. RGC P10 (2026-11-04)，*Unlabeled Global Atlas Gluing*。提供已校準雙觀察圓不變量和完整同源樣本基準。
4. Unnikrishnan, J., Haghighatshoar, S., & Vetterli, M. (2018). *Unlabeled Sensing With Random Linear Measurements*. IEEE Transactions on Information Theory, 64(5), 3237–3253. https://doi.org/10.1109/TIT.2018.2809002 。其隨機線性觀測設定不同於本篇特殊三角平方譜；僅作無標記感測理論背景。

## 附錄 A：重現指令與驗收規範

```bash
python -m pip install -r requirements.txt
python src/verify_exact.py
python src/simulate.py
python src/render_figures.py
python src/validate_release.py
```

主要來源檔：`src/core.py`（精確資料與匹配）、`src/verify_exact.py`（精確及符號檢查）、`src/simulate.py`（帶有兩錨點的雜訊實驗）、`src/render_figures.py`（四張 PNG 與四張 SVG）、`src/validate_release.py`（UTF-8、公式分隔符、圖檔與 JSON 校驗）。

主要輸出：`results/exact_verification.json`、`results/synthetic_noise.json`、`results/release_validation.json`；`SHA256SUMS.txt` 提供發行版逐檔雜湊。研究套件中的任何機率結果均是固定樣本、固定模型與固定種子的合成測試，不得代替硬體測量或外部審稿。