# 關係幾何與載體展開 VII：未知局部關係場的多觀察者反演、譜觀測可識別性與曲率穩定性

**英文題名：** Relational Geometry and Carrier Unfolding VII: Multi-Observer Inversion of Unknown Local Relational Fields, Spectral Identifiability, and Curvature Stability  
**研究系列：** RGC — Relational Geometry and Carrier Unfolding  
**版本：** P07 / v1.0.0  
**日期：** 2026-11-04  
**研究問題與構想：** Neo.K  
**形式化、程式實驗與文本協作：** GPT-6  
**原稿狀態：** 理想模型內的解析定理、精確符號檢查與可重現合成實驗；未完成實體相機、實物折片或同行審查。  
**Canonical source：** 本 UTF-8 Markdown 原始檔；數學公式只使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$` 作為 LaTeX 分隔符。

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**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

關係幾何與載體展開系列此前建立了三條來源直線筆畫經由幾何載體變換產生正方形觀察表示的模型。P03 給出理想三維等距折片；P04–P05 在若干離散剛性面的先驗下處理多視角幾何反演；P06 則將摺線連續化，構成一族具有局部曲率、內稟度量保持不變的可展曲面，並定義觀察者相依的局部有效關係譜指標 $D_{\mathrm{PR}}$。本文研究反向問題：若連續載體與其局部關係場未知，觀察者究竟需取得哪些資訊，才能恢復幾何場，以及恢復是否穩定？

本文嚴格分離兩種觀測通道。第一種是具有逐點對應、完整校準的二維正交影像座標。對三維位置而言，兩個光軸不平行的正交相機形成滿列秩觀測矩陣，因而可以逐點精確恢復三維載體；其最小奇異值則由兩個光軸夾角控制，揭示近乎平行時強烈的雜訊放大。連續切向、法向及曲率可以在足夠光滑且具有來源參數對應的情況下由位置場求導恢復，但求導本身具有額外的不穩定性。

第二種是**只觀測局部有效關係譜** $D_{\mathrm{PR}}$ 的通道。對任一已校準正交觀察方向 $\mathbf n_j$，本文證明 $D_{\mathrm{PR}}$ 透過一個嚴格單調的標量函數，等價於量測 $q_j=(\mathbf n_j\cdot\mathbf N)^2$，其中 $\mathbf N$ 是未知三維曲面單位法向。三個座標軸觀察者一般無法唯一辨識法向；相反，本文給出五個明確且任意三個皆線性獨立的觀察方向，並利用實數相位恢復的互補性質，證明五份理想局部譜足以在每個來源位置恢復單位法向，唯一性僅差整體正負號。

在 P06 的廣義圓柱等距載體族中，若來源弧長參數 $u$ 已知、局部法向場連續可微，則 $|\partial_u\mathbf N|$ 恰等於非零主曲率的大小；因此反演法向還可恢復曲率及以曲率平方積分定義的幾何彎曲泛函。合成實驗包含 40 項數值檢查、29 項獨立符號檢查，以及不同光軸夾角與雜訊強度的反演重播。結果支持模型內的唯一性及條件數分析，但也明示：不具備來源位置對應、相機校準或連續性條件時，單靠有限維度指標不能重建任意曲面； $D_{\mathrm{PR}}=1.X$ 依然不是傳統歐氏空間具有非整數條獨立座標軸的證據。

**關鍵詞：** 關係幾何、載體展開、多觀察者反演、可展曲面、局部法向場、有效關係譜、實數相位恢復、可識別性、曲率重建、反問題條件數。

## 1. 問題的精確分層

同一句「從觀察重建幾何」，可能表示三種不同的任務：

1. **位置反演：** 已知若干影像上的同名點，求每個來源位置的三維嵌入 $\Psi(t,u)$。
2. **關係譜反演：** 已知各觀察者對某個位置讀到的標量 $D_{\mathrm{PR}}(t,u)$，求該位置的空間法向方向。
3. **微分幾何反演：** 已知已恢復的位置或法向場，求切向、曲率及曲率平方積分。

三者的資料量、必要先驗和穩定性不同，不應用一個「所需觀察者數」混為一談。P05 曾研究**未知相機姿態**下離散折片的反演；本文為了檢驗更一般的**未知連續局部關係場**，首先採用*已知相機外參與正交尺度*的受控觀測。這不是宣稱已解決「未知相機姿態、未知對應、任意曲面」的全域問題，而是先建立一條可驗證的反演基準。

本文討論的維度分成：

- 來源載體的內稟維度： $2$。
- 環境嵌入空間維度： $3$。
- 正交相機輸出維度： $2$。
- 局部有效關係譜參與比： $D_{\mathrm{PR}}\in[1,2]$，是隨觀察者而變的實數指標。

前三者是傳統整數座標維度；最後一個是明確定義的譜量，不得代換成拓撲、Hausdorff 或分形維度。

## 2. 承接 P06 的連續等距載體

令來源三角材料在正交來源座標中表示為

$$
\mathcal T=\{(t,u):0\le t\le\ell,\ |u|\le t\},\qquad \ell=\frac1{\sqrt2}.
$$

來源三條直線筆畫是三角域的三條邊；中間的折疊軸是載體內部的關係位置，不另計為來源第四條筆畫。令

$$
\begin{aligned}
\eta&=\frac{3-\sqrt5}{4},\\
s&=\sqrt\eta,\qquad a=\sqrt{1-\eta},\\
b&=\sqrt{\tfrac12-2\eta},\qquad c=a-b.
\end{aligned}
$$

固定三維基準點 $\mathbf B=(s,0,0)$，以及單位向量

$$
\mathbf e=(-\sqrt2s,\sqrt2s,\sqrt2b),
$$

$$
\mathbf v_-=(0,\sqrt2s,-\sqrt2c),\qquad
\mathbf v_+=(\sqrt2s,0,\sqrt2c).
$$

它們滿足 $|\mathbf e|=|\mathbf v_-|=|\mathbf v_+|=1$，且 $\mathbf e$ 與兩個 $\mathbf v_\pm$ 都正交。定義

$$
\theta=\arccos(\mathbf v_-\cdot\mathbf v_+),\qquad
\mathbf w=\frac{\mathbf v_+-(\cos\theta)\mathbf v_-}{\sin\theta}.
$$

對任一固定折疊半寬 $0<\varepsilon<\ell$，取五次平滑階躍

$$
h(r)=\begin{cases}
0,&r\le0,\\
6r^5-15r^4+10r^3,&0<r<1,\\
1,&r\ge1.
\end{cases}
$$

設

$$
\alpha_\varepsilon(u)=\theta h\!\left(\frac{u+\varepsilon}{2\varepsilon}\right),
$$

$$
\mathbf v_\varepsilon(u)=
\cos\alpha_\varepsilon(u)\,\mathbf v_-+
\sin\alpha_\varepsilon(u)\,\mathbf w.
$$

則 P06 的三維連續載體精確定義為

$$
\Psi_\varepsilon(t,u)=\mathbf B+t\mathbf e+
\int_0^u\mathbf v_\varepsilon(r)\,dr.
$$

其來源導數恰為

$$
\partial_t\Psi_\varepsilon=\mathbf e,\qquad
\partial_u\Psi_\varepsilon=\mathbf v_\varepsilon(u),
$$

因而

$$
(D\Psi_\varepsilon)^\mathsf T D\Psi_\varepsilon=I_2.
$$

材料內稟等距、可展、沒有自交的證明已在 P06 給出；本文沿用該模型及其明確限制。令未知單位法向場

$$
\mathbf N(u)=\mathbf e\times\mathbf v_\varepsilon(u).
$$

本篇的**反演**不會把此顯式真值提供給反演演算法；它只用來生成合成觀測並於最後檢驗誤差。

![圖 1：連續幾何載體與兩個已校準正交觀察方向](figures/two_observer_carrier_3d.png)

## 3. 正交觀測下的局部關係譜

令觀察者 $j$ 的光軸為三維單位向量 $\mathbf n_j$。其已校準正交相機矩陣 $C_j\in\mathbb R^{2\times3}$ 的兩個列向量為互相正交的相機平面方向，並滿足

$$
C_jC_j^\mathsf T=I_2,\qquad
C_j^\mathsf TC_j=I_3-\mathbf n_j\mathbf n_j^\mathsf T.
$$

觀察影像與局部觀測度量分別為

$$
Y_j(t,u)=C_j\Psi_\varepsilon(t,u),
$$

$$
H_j(t,u)=(DY_j)^\mathsf T(DY_j).
$$

**命題 3.1（關係譜—法向平方投影恆等式）。** 對本文的等距二維載體， $H_j$ 的兩個非負本徵值恰為

$$
\lambda_{j,1}=1,\qquad
\lambda_{j,2}=q_j=(\mathbf n_j\cdot\mathbf N)^2.
$$

*證明。* 令 $J=[\mathbf e\ \mathbf v_\varepsilon]$，由等距性有 $J^\mathsf TJ=I_2$。代入正交相機公式，得到

$$
H_j=I_2-(J^\mathsf T\mathbf n_j)(J^\mathsf T\mathbf n_j)^\mathsf T.
$$

若 $\mathbf n_j$ 在正交基底 $(\mathbf e,\mathbf v_\varepsilon,\mathbf N)$ 中的分量為 $(a_j,b_j,c_j)$，則 $a_j^2+b_j^2+c_j^2=1$。上一個秩一修正矩陣的本徵值為 $1$ 與 $1-a_j^2-b_j^2=c_j^2$，而 $c_j=\mathbf n_j\cdot\mathbf N$，命題成立。

沿用 P02–P06 的**譜參與比定義**：

$$
D_j=\frac{(\operatorname{tr}H_j)^2}
{\operatorname{tr}(H_j^2)}
=\frac{(1+q_j)^2}{1+q_j^2}.
$$

**命題 3.2（標量譜的可逆性與端點不穩定性）。** 對 $0\le q\le1$，函數 $D=(1+q)^2/(1+q^2)$ 單調遞增，且可由 $D\in[1,2]$ 求回

$$
q=\frac{D-1}{1+\sqrt{1-(D-1)^2}}.
$$

其導數滿足

$$
\frac{dD}{dq}=\frac{2(1+q)(1-q)}{(1+q^2)^2}.
$$

在 $q=1$ 時， $dD/dq=0$，所以觀察譜接近飽和值 $D=2$ 時，將**有雜訊的** $D$ 反求 $q$ 會變得不穩定。這不是精確模型不可逆，而是測量穩定性問題。

**詮釋：** 有效關係維度是一種方向相依的「法向平方投影」經單調函數重新編碼的結果。它本身不是一個獨立、能決定所有幾何形狀的空間維度。

## 4. 通道 A：兩個已校準視角的三維位置反演

假設兩個正交相機 $C_1,C_2$ 的完整二維座標已知，且每個來源點 $(t,u)$ 在兩張影像中有正確對應。設

$$
R=\begin{pmatrix}C_1\\C_2\end{pmatrix}
\in\mathbb R^{4\times3},\qquad
\mathbf y=\begin{pmatrix}\mathbf y_1\\\mathbf y_2\end{pmatrix}=R\mathbf X.
$$

**定理 4.1（兩個非平行正交相機的精確可辨識性）。** 若相機光軸 $\mathbf n_1$ 、 $\mathbf n_2$ 不平行也不反平行，則 $R$ 滿列秩且每個三維點 $\mathbf X$ 均有唯一線性解

$$
\mathbf X=(R^\mathsf TR)^{-1}R^\mathsf T\mathbf y=R^+\mathbf y.
$$

令 $c=|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|<1$，則 $R^\mathsf TR$ 的三個本徵值為

$$
2,\qquad1+c,\qquad1-c.
$$

因此 $R$ 的二範數條件數為

$$
\kappa_2(R)=\sqrt{\frac2{1-c}},
$$

且對線性重建的觀測誤差 $\delta\mathbf y$，有穩定性上界

$$
\|\delta\mathbf X\|_2\le
\frac{\|\delta\mathbf y\|_2}{\sqrt{1-c}}.
$$

*證明。* 由正交相機的定義，

$$
R^\mathsf TR=2I_3-
\mathbf n_1\mathbf n_1^\mathsf T-
\mathbf n_2\mathbf n_2^\mathsf T.
$$

在光軸張成的平面之外，矩陣作用為 $2$ 倍恆等；在該平面中， $\mathbf n_1\mathbf n_1^\mathsf T+\mathbf n_2\mathbf n_2^\mathsf T$ 的非零本徵值為 $1+c$ 和 $1-c$。故 $R^\mathsf TR$ 的本徵值如上；若 $c<1$，全部嚴格正，位置反演唯一。最大奇異值為 $\sqrt2$ 、最小奇異值為 $\sqrt{1-c}$ ；條件數及誤差上界隨之得證。

**限制：** 該結果要求相機的觀察矩陣、相對尺度以及來源點對應已知。若只知道影像形狀而不知道相機方向，不能直接套用；若存在遮蔽、錯誤對應、透視畸變或未知縮放，則必須另建問題。觀察影像的平移零點若未知，局部導數仍可能由影像差分求得，但絕對三維位置的求解需先對齊平移規範。

![圖 2：兩相機夾角與觀測矩陣的條件數](figures/camera_condition_number.png)

## 5. 通道 B：只有有效關係譜時的法向反演

與通道 A 不同，假設每個觀察者只輸出一個局部標量 $D_j(t,u)$，沒有二維點座標。由命題 3.2，我們最多先得到

$$
q_j=(\mathbf n_j\cdot\mathbf N)^2.
$$

因此此通道是一個三維實向量的**無相位線性測量**問題。因平方消去了符號， $\mathbf N$ 與 $-\mathbf N$ 必然不可區分；某些觀察方向配置還會產生更多非平凡歧義。

### 5.1 三個座標軸觀察者的不可識別反例

若觀察方向僅為三個標準基底

$$
\mathbf n_1=(1,0,0),\qquad
\mathbf n_2=(0,1,0),\qquad
\mathbf n_3=(0,0,1),
$$

考慮兩個合法單位法向

$$
\mathbf N_+=\frac1{\sqrt{14}}(1,2,3),\qquad
\mathbf N_-=\frac1{\sqrt{14}}(1,2,-3).
$$

三個觀察者對二者都讀出相同的平方分量

$$
(q_1,q_2,q_3)=\left(\frac1{14},\frac4{14},\frac9{14}\right),
$$

但 $\mathbf N_+\ne\mathbf N_-$ 且 $\mathbf N_+\ne-\mathbf N_-$。所以**三個互相正交的局部譜觀察者一般不足以唯一恢復法向方向**。這是一個明確的局部法向反例，不假稱已證明在特別限制的 P06 單參數族中也一定有同樣歧義。

### 5.2 五個全火花方向的精確可辨識性

選擇下列五個單位觀察方向：

$$
\begin{aligned}
\mathbf n_1&=(1,0,0),\\
\mathbf n_2&=(0,1,0),\\
\mathbf n_3&=(0,0,1),\\
\mathbf n_4&=\frac1{\sqrt3}(1,1,1),\\
\mathbf n_5&=\frac1{\sqrt{14}}(1,2,3).
\end{aligned}
$$

這五個向量滿足 **full spark** 條件：任選其中三個，都線性獨立。完整十組 $3\times3$ 行列式的精確符號非零檢查，附於 `results/symbolic_verification.json`。

**定理 5.1（五個局部譜對法向的唯一辨識，差整體符號）。** 對上述五個方向，若兩個三維向量 $\mathbf x,\mathbf y$ 對所有 $j=1,\dots,5$ 都滿足

$$
(\mathbf n_j\cdot\mathbf x)^2
=(\mathbf n_j\cdot\mathbf y)^2,
$$

則必有 $\mathbf x=\mathbf y$ 或 $\mathbf x=-\mathbf y$。特別地，五份精確局部有效關係譜 $D_j$ 可以恢復未知三維單位法向 $\mathbf N$，僅差不可觀測的全域符號。

*證明。* 對每個 $j$，平方相等等價於兩種可能之一：

$$
\mathbf n_j\cdot(\mathbf x-\mathbf y)=0
$$

或

$$
\mathbf n_j\cdot(\mathbf x+\mathbf y)=0.
$$

將五個觀察方向依其滿足的符號分組。兩組總共五個方向，至少其中一組含三個方向；任何三個方向都線性獨立。若第一組有三個，即 $\mathbf x-\mathbf y=0$ ；若第二組有三個，即 $\mathbf x+\mathbf y=0$。即使有零測量而可任選分組，結論仍成立。這是實數相位恢復中互補性質的直接應用。證畢。

**新舊工作的界線：** 實數相位恢復的互補性質及 full-spark 充分性是既有理論 [R2, R3]；本篇的工作是將 P06 的觀測譜恆等式接上這個理論，給出一組明確的五視角配置、可檢查的反例和計算實驗。不能把一般相位恢復定理宣稱為本文首創。

**數量界線：** 「五個方向足夠」是對這個法向無相位問題的**充分條件**。若額外利用單位長度、已知曲面族、光滑性或其他幾何先驗，某些特殊案例可能需要更少方向；本文不宣稱五個在所有受限模型中都是必要下界。

![圖 3：同一張連續折面，五個方向測得不同的局部有效關係譜](figures/five_observer_spectral_fields.png)

## 6. 從法向場恢復曲率與彎曲泛函

定理 5.1 是**逐點**辨識。要讓法向成為「場」，仍需同一來源點的跨視角配準，以及對來源參數 $u$ 的連續對應。

在 P06 的廣義圓柱載體中， $\mathbf e$ 不隨 $u$ 變，且 $\mathbf v_\varepsilon(u)$ 是單位向量，所以

$$
\mathbf N(u)=\mathbf e\times\mathbf v_\varepsilon(u)
$$

滿足

$$
\frac{d\mathbf N}{du}
=\mathbf e\times\frac{d\mathbf v_\varepsilon}{du}.
$$

又 $d\mathbf v_\varepsilon/du$ 垂直於 $\mathbf e$，故

$$
\left|\frac{d\mathbf N}{du}\right|
=\left|\frac{d\mathbf v_\varepsilon}{du}\right|
=|\alpha_\varepsilon'(u)|
=\kappa_\varepsilon(u).
$$

**命題 6.1（已知來源弧長參數時的彎曲泛函恢復）。** 若 $u$ 已知，且可在整個折疊帶中精確、連續地恢復 $\mathbf N(u)$，則 P06 定義的幾何曲率平方泛函由觀測場唯一決定：

$$
\mathcal E_\varepsilon=
\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}
(\ell-|u|)
\left|\frac{d\mathbf N}{du}\right|^2du.
$$

原因是固定來源 $u$ 的材料寬度為 $\ell-|u|$ ；又零曲率主方向為 $\mathbf e$，另一個主曲率的大小正是 $|\partial_u\mathbf N|$。法向場的整體正負號不改變導數的平方範數，故這個幾何泛函不受鏡面朝向規範影響。

這個結論只在 P06 類似的廣義圓柱等距結構中成立。對任意曲面，單獨沿一個來源方向的法向導數一般不是完整第二基本形式；此外，若沒有 $u$ 的**弧長尺度**，重參數化會改變導數大小。因此只有局部譜值、沒有來源對應及尺度時，不能直接宣稱已恢復物理曲率或材料能量。

## 7. 合成實驗設計

### 7.1 幾何資料與反演限制

取 P06 載體 $\varepsilon=0.075$，在來源曲面上選擇兩條 $t=0.30$ 與 $t=0.66$ 的線，對共同弧長座標

$$
-0.25\le u\le0.25
$$

等距取 $501$ 個採樣點。這些來源位置都在三角域內。從顯式 P06 映射生成三維真值，但反演器只取得模擬觀測資料。反演器具備下列先驗：相機已校準、同名點已配準、來源 $u$ 座標和兩條 $t$ 線的距離已知，且連續載體屬於本文的廣義圓柱類別。

**完整影像座標通道**採用兩部正交相機；第一個光軸固定為 $Z$ 軸，第二個與它的夾角分別取 $7^\circ$ 、 $20^\circ$ 、 $45^\circ$ 、 $70^\circ$，另在無噪音檢查加入 $90^\circ$。在每部相機的兩個輸出座標上加入獨立零均值 Gaussian 雜訊，標準差取 $0.0002$ 、 $0.001$ 、 $0.003$ （同三維座標單位）；每組重播 12 次，使用固定種子。恢復每個三維點後，先用兩條 $t$ 線的差估計共同延伸方向，再對 $u$ 軸上的位置使用 41 點、四次 Savitzky–Golay 局部多項式導數，估計法向；再對法向求導估計曲率，並以梯形積分估計曲率平方泛函。

**局部譜通道**採用定理 5.1 的五個觀察方向，直接從五份 $D_j$ 反求 $q_j$。對 $\sqrt{q_j}$ 的相對符號進行有限枚舉，以最小平方譜殘差選擇單位法向；在加雜訊試驗中，先對 $q_j$ 加入獨立 Gaussian 雜訊並截斷至 $[0,1]$。此試驗的噪音單位是 **$q$ 空間**，不應誤寫成影像像素誤差或 $D_j$ 空間誤差。每種 $q$ 雜訊以 126 個來源位置重播 18 次。

### 7.2 精確影像座標的重建

在無噪音情形，五種相機夾角均恢復相同三維位置，最大逐座標誤差不超過約 $1.8\times10^{-15}$。這屬於雙精度數值誤差，不是物理相機精度。對應條件數如下：

| 光軸夾角 | 觀測矩陣條件數 | 無雜訊三維位置恢復 |
|---:|---:|---|
| $7^\circ$ | 16.3804 | 通過 |
| $20^\circ$ | 5.7588 | 通過 |
| $45^\circ$ | 2.6131 | 通過 |
| $70^\circ$ | 1.7434 | 通過 |
| $90^\circ$ | 1.4142 | 通過 |

上述數值與定理 4.1 的解析條件數相符。即使觀測角很小，只要不完全平行，**無噪音唯一性**仍然成立；但不等同於對雜訊具有高穩定性。

### 7.3 有影像雜訊時的局部場恢復

下表呈現 12 次重播的平均法向 RMS 角誤差（單位：度）；所有反演都只用有雜訊的影像坐標，不用真值法向選擇解：

| 光軸夾角 | $\sigma=0.0002$ | $\sigma=0.001$ | $\sigma=0.003$ |
|---:|---:|---:|---:|
| $7^\circ$ | 1.895 | 9.578 | 30.114 |
| $20^\circ$ | 0.634 | 4.224 | 11.324 |
| $45^\circ$ | 0.439 | 1.721 | 6.257 |
| $70^\circ$ | 0.335 | 1.554 | 4.614 |

特別地，在 $\sigma=0.003$ 下， $7^\circ$ 配置的三維座標平均 RMS 重建誤差約為 $0.02845$，而 $70^\circ$ 為 $0.00408$。該設計也使由法向求導所得到的曲率顯著更易受噪音影響：在 $7^\circ$ 、 $\sigma=0.003$ 下，平均幾何彎曲泛函相對誤差約為 $712\%$ ；在 $70^\circ$ 、相同雜訊下則約為 $14.2\%$。

本數值並非實體攝影試驗，也不是通用估計器的性能極限。法向的 41 點局部多項式正則化可降低高頻噪音，但會引入小的偏差：在無噪音資料中，數值法向仍有約 $0.0162^\circ$ 的 RMS 偏差，曲率泛函約低估 $0.32\%$ ；這個誤差應歸因於離散求導，而不是歸因於相機投影重建。

![圖 4：固定測量雜訊下，不同視角夾角對法向恢復的影響](figures/camera_noise_normal_error.png)

![圖 5：真值曲率與兩種相機配置反演曲率的比較](figures/curvature_recovery_noise.png)

### 7.4 只有五份局部譜時的恢復

在無噪音條件下，以 $501$ 個來源位置的五份局部譜反推出法向，模正負號的最大角誤差低於 $1.3\times10^{-6}$ 度；差異源自雙精度浮點的反三角函數取值。對受擾的 $q$ 值，在 18 次、每次 126 點的實驗中得到：

| $q$ 雜訊標準差 | 平均法向角誤差（度） | 全部重播的最大點誤差（度） |
|---:|---:|---:|
| 0 | 約 $0$ | $<10^{-6}$ |
| $0.0002$ | 0.0197 | 0.4732 |
| $0.0010$ | 0.0959 | 2.7639 |
| $0.0030$ | 0.2768 | 4.6604 |

此演算法僅以逐點測量作有限符號枚舉，**沒有利用跨 $u$ 的平滑先驗**，也沒有使用真值對齊選擇符號。為了讓圖中曲線能與真值放在同一座標方向，繪圖階段才另外選擇整體正負表示；該對齊不是法向反演成功的前提。

![圖 6：五份局部譜恢復 P06 法向分量，差一個整體符號](figures/five_spectrum_normal_recovery.png)

### 7.5 可重現性與驗證層次

- `src/carrier.py`：本地自含的 P06 解析載體與局部譜公式。
- `src/experiments.py`：已校準正交相機、兩視角位置反演、五譜法向反演、帶雜訊抽樣與 40 項檢查。
- `src/symbolic_verification.py`：SymPy 精確檢查，涵蓋五方向全部十組三階行列式、雙相機譜及局部關係譜反函數，共 29 項。
- `src/render_figures.py`：六張 PNG 與六張 SVG 的繪圖來源。
- `results/`：保存計算摘要、測試名稱、參數與條件數，配合 `SHA256SUMS.txt` 確保交付完整性。

程式並不從網頁下載數據，也不使用 P06 的解析法向幫助反演器猜測答案；真值只在合成資料生成與事後驗證階段使用。

## 8. 可識別性與不可識別性的完整對照

| 資料形式 | 在已宣告模型內可恢復的量 | 必須保留的限制 |
|---|---|---|
| 單一已校準正交影像 | 光軸垂直平面上的投影位置 | 光軸方向的深度通常不可辨識 |
| 兩個不平行的已校準正交影像 | 對應來源點的唯一三維位置 | 近似平行時不穩定；要有對應與相對校準 |
| 同樣影像加足夠平滑的來源配準 | 切向、法向、局部曲率估計 | 求導放大誤差；來源弧長尺度必須明確 |
| 單個有效關係譜 $D_j$ | 一個法向平方投影 $q_j$ | 不能決定三維法向 |
| 三個座標軸的有效關係譜 | 三個法向分量的平方 | 獨立符號存在歧義 |
| 五個本文 full-spark 方向的有效關係譜 | 單位法向，至多差整體正負號 | 要知道方向、來源配準及譜的正確定義 |
| 五譜法向場，加已知來源弧長和 P06 結構先驗 | 非零主曲率大小、P06 幾何彎曲泛函 | 不表示任意曲面的完整幾何或材料焦耳能量 |

值得特別注意：恢復「法向」和恢復「位置」是兩項不同結果。僅憑法向即使已在整個來源域唯一辨識（差正負號），也不能在缺乏來源尺度、平移錨點和兼容性條件時，宣稱整個三維曲面位置都已唯一確定。

## 9. 研究限制與反證邊界

**（一）資料模型邊界。** 本文假設正交相機、已知觀察方向與可追蹤的同名來源位置。真實視覺問題可能需要同時估計相機姿態、透視參數、遮蔽、光照與特徵對應；本文結果不能替代它們。

**（二）物理實現邊界。** P06 是理想零厚度、完全等距的可展面。實體紙張或金屬薄片的厚度、回彈、黏彈性、接觸與局部拉伸未在 P07 建模。本文的曲率平方積分不是有單位的材料耗能測量。

**（三）譜指標邊界。** $D_{\mathrm{PR}}$ 是取決於觀察方向及觀測張量的譜參與比。它不是從 $2$ 維向 $1.8$ 維的傳統座標空間過渡，亦未證明三條線只有在某個特定 $1.XD$ 才能形成正方形。P06 的有限正寬折疊本身也只能逼近而不能精確再現指定的正方形投影。

**（四）穩定性邊界。** 精確可辨識與穩定可辨識是兩個條件。兩相機接近平行時，條件數發散；有效譜接近 $D=2$ 時， $q$ 的逆變換變得敏感；曲率作為一階／二階導數資訊，比位置更容易被雜訊破壞。

**（五）適用模型邊界。** 命題 6.1 的完整曲率泛函恢復依賴來源的等距廣義圓柱結構。對任意非可展、非等距、拓撲不明或具有多重自遮蔽的載體，不可直接沿用本文的單一弧長導數公式。

## 10. 結論

本文將 P06 的連續等距載體變成兩類精確描述的反問題，得到三個在模型條件下可被證明的結論。

第一，兩部已校準且光軸不平行的正交相機，在同源點可辨識的條件下，能唯一重建三維位置；但其條件數隨光軸趨近平行而發散。第二，只讀取局部有效關係譜的觀察者，並不直接取得形狀；標量譜可還原為法向平方投影，三個座標軸觀察者存在明確歧義，而本文提供的五個 full-spark 觀察方向，能將法向恢復到整體符號。第三，在 P06 的特殊等距廣義圓柱族中，當來源弧長、連續法向與幾何先驗具備時，還可以進一步恢復曲率與曲率平方泛函。

本文並沒有發現新的非整數傳統空間，也沒有把相位恢復和正交視覺理論宣稱為首創。此篇最主要的研究價值，是給「關係維度化」一個可否證的觀測語義：**不是先替幾何指定一個 1.XD 數值，而是先問哪些方向的關係被觀察、哪些關係被遮蔽、何種觀察集合才能恢復載體，以及恢復對誤差有多敏感。**

對三線成方問題而言，現在可以嚴格區分來源三筆、連續載體、觀測幾何及反演條件。幾何不只需要能被畫出，也必須能被不同觀察者共同檢驗；可觀測之間的差異，正是關係幾何需要明確記錄的一部分。

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## 參考文獻

- **[R1]** Tomasi, C., & Kanade, T. (1992). *Shape and Motion from Image Streams under Orthography: A Factorization Method*. International Journal of Computer Vision, 9(2), 137–154. Carnegie Mellon University publication: https://publications.ri.cmu.edu/shape-and-motion-from-image-streams-under-orthography-a-factorization-method 。本篇沿用正交觀測的既有背景，但不同於其未知相機姿態的影像串流問題。
- **[R2]** Balan, R., Casazza, P., & Edidin, D. (2006). *On signal reconstruction without phase*. Applied and Computational Harmonic Analysis, 20(3), 345–356. https://doi.org/10.1016/j.acha.2005.07.001 。實數相位恢復與互補性質的原始背景。
- **[R3]** Bandeira, A. S., Cahill, J., Mixon, D. G., & Nelson, A. A. (2014). *Saving phase: Injectivity and stability for phase retrieval*. Applied and Computational Harmonic Analysis, 37(1), 106–125. https://doi.org/10.1016/j.acha.2013.10.002 。相位恢復的可識別性與穩定性背景；詳情以正式出版版本為準。
- **[R4]** RGC P06 (2026-11-03). *連續等距載體、局部關係維度場與三線成方的曲率代價*. 本系列前篇，P07 以其解析載體為合成資料基準。
- **[R5]** RGC P03–P05 (2026-11-03). 本系列精確三維等距折片、多觀察者反演及未知相機姿態下的離散模型先行研究。

**研究狀態聲明：** 本文中的數學結論為已明確列出假設的模型內推導；本地驗證只支持程式與符號計算按聲明執行，不等於外部獨立審稿或實體實驗完成。研究者應使用此 UTF-8 原稿、原始碼、原始結果與驗證檔進行重現，而非以聊天畫面渲染公式作為正式 source。