# 關係幾何與載體展開 VIII：未知觀察方向的關係譜校準、缺失觀測與配準不可辨識性

**英文題名：** Relational Geometry and Carrier Unfolding VIII: Blind Spectral Calibration, Missing Observations, and Correspondence Non-Identifiability  
**研究系列：** RGC — Relational Geometry and Carrier Unfolding  
**編號／版本：** P08 / v1.0.0  
**日期：** 2026-11-04  
**原始問題、關係幾何構想：** Neo.K  
**數學形式化、模型實作、合成實驗與原稿協作：** GPT-6  
**研究狀態：** 具限定條件的模型內定理、精確符號檢驗與合成資料實驗；非實體相機實驗、非外部同行審查，亦未證明非整數歐氏維度存在。  
**Canonical source：** 本 UTF-8 Markdown 檔；所有數學原始碼只使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$` 兩種 LaTeX 分隔符。

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**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** v1.0.0  

## 摘要

P07 證明，在相機方向已校準且同名來源位置可配準的情況下，可從多個正交影像或局部關係譜反演 P06 連續載體的部分幾何。本文移除「所有關係譜觀察者的光軸已知」假設，並考察各位置缺失一部分觀測及完全失去跨觀察者配準的情形。問題不再只是已知幾何如何產生譜，而是如何把**觀察者方向、載體法向場及來源對應**三種未知量加以區分。

對具有已知共同母線方向的廣義圓柱等距載體，本文首先給出一項結構性障礙：若所有校準法向都落在母線垂直的同一平面，任意多個只回報平方投影的校準點，都無法分辨相機光軸關於該平面的鏡射。本文提供一組含三個平面內、另加一個平面外法向的明確校準裝置，證明對非退化相機光軸可恢復其三維軸線，至多差不可觀測的整體正負號。這四個法向是**外部校準幾何**，並未增加三線成方原始題目的來源筆畫數。

在觀察方向校準後，利用來源載體法向位於已知二維平面、且法向長度恆為一的先驗，本文進一步證明：兩個具有適當方向差的局部關係譜就足以恢復單位法向，差整體符號；特設的三觀察者配置即使每個位置缺失任一份測量，也仍具有精確可辨識性。相反，若每個觀察者只交付**沒有來源標記的量測多重集合**，本文構造兩組彼此不同的法向集合，使三個觀察者收到完全相同的無序資料，說明未知配準不能僅靠增加譜數量自動解決。

合成實驗沿用 P06 折角約 $128.172708^\circ$ 的平滑等距載體，在 $241$ 個來源位置、三個未知光軸、四個已知校準法向的設定下進行。精確計算包括 **40 項 SymPy 符號檢查**及 **37 項數值檢查**；對八種「雜訊 × 缺失」配置，各進行 $64$ 次固定種子的蒙地卡羅重播。當關係譜 $D$ 的 Gaussian 雜訊標準差為 $0.002$ 時，三個觀察者全部可用的平均法向 RMS 角誤差約為 $0.3307^\circ$，每點缺失一份時約為 $0.5145^\circ$。這些數值僅限本文的合成觀測及估計器，不是實體儀器的性能主張。

本文得到的結論是：**未知幾何不能只靠增大同類觀察數目辨識；校準資料的跨方向跨度、局部模型的先驗，以及來源配準的存在與否，分別控制不同種類的可辨識性。**

**關鍵詞：** 關係幾何、局部關係譜、盲相機光軸校準、相位恢復、反演唯一性、缺失觀測、未知對應、可展曲面、廣義圓柱、幾何規範自由度。

## 1. 從 P07 進入 P08：三種未知必須分開

RGC 系列至 P07 已給出三種不同的維度語義：來源載體的內稟維度為 $2$，嵌入環境的座標維度為 $3$，而由正交觀察的局部度量譜得到的參與比 $D_{\mathrm{PR}}\in[1,2]$ 是與觀察者相關的**標量指標**。這三者不可互換。

P07 的局部譜反演原本知道各觀察者的三維光軸 $\mathbf n_j$，並且知道不同觀察者測得的是同一個來源位置 $u$。P08 把未知性拆成：

1. **觀察者方向未知。** 只知道某一相機對標記校準面輸出的 $D$，尚不知道其光軸 $\mathbf n_j$。
2. **部分譜資料缺失。** 部分位置無法被全部相機觀測；但保留來源位置索引，能知道仍被觀察的是哪個 $u$。
3. **來源配準未知。** 各相機只輸出一袋無標籤的 $D$ 值，沒有資訊說明不同相機的哪一筆測量對應同一個物理點。

本文先解決條件受限的前兩項，並對第三項給出嚴格不可辨識反例。這不等於完整解決未知透視相機、一般曲面、遮蔽及無標記多視角重建。正交影像下的未知相機運動與形狀分解有經典研究 [R1]；本篇只處理**由局部譜反求觀察方向**這一個特別的觀測通道。

## 2. 載體與關係譜的最小模型

### 2.1 將 P06 放在母線對齊的座標系

取固定單位母線方向與其垂直平面為

$$
\mathbf e=(0,0,1),\qquad E=\mathbf e^\perp.
$$

P06 的連續等距廣義圓柱經過空間剛體座標轉換，可用

$$
\mathbf N(u)=(\cos\alpha(u),\sin\alpha(u),0),
$$

$$
\mathbf v(u)=\mathbf N(u)\times\mathbf e,
$$

$$
\Psi(t,u)=\mathbf B+t\mathbf e+\int_0^u\mathbf v(r)\,dr
$$

描述。此處 $\mathbf N$ 是連續單位法向；來源參數 $(t,u)$ 採用材料的正交弧長座標。由 $\mathbf e\cdot\mathbf v=0$ 和 $|\mathbf v|=1$，可得

$$
(D\Psi)^\mathsf T D\Psi=I_2.
$$

因此本篇沒有把物理材料變成非整數維。它只研究同一張內稟二維載體所生成的觀測譜如何反演。上述表示是 P06 解析模型在母線對齊座標下的等距表示，不是新增一種材料假說。

合成資料採用 P06 的平滑折角函數

$$
\alpha(u)=\Theta\,h\left(\frac{u+\varepsilon}{2\varepsilon}\right),\qquad
\varepsilon=0.075,
$$

$$
\Theta\approx2.237036\ \mathrm{rad},\qquad
h(z)=6z^5-15z^4+10z^3\quad (0<z<1),
$$

且在 $z\le0$ 設 $h=0$，在 $z\ge1$ 設 $h=1$。折角 $\Theta$ 的精確定義與 P06、P07 共用，程式以代數常數重新計算而非依靠截斷小數作真值。

![圖 1：P06 等距廣義圓柱在母線對齊座標中的三維載體與局部法向](figures/carrier_normals_3d.png)

### 2.2 量測的是譜，不是座標維度

對任一未知單位觀察光軸 $\mathbf n_j$，正交投影的局部度量具有譜

$$
\{1,q_j(u)\},\qquad q_j(u)=(\mathbf n_j\cdot\mathbf N(u))^2.
$$

沿用 P07 的參與比定義

$$
D_j(u)=F(q_j(u)),\qquad
F(q)=\frac{(1+q)^2}{1+q^2}.
$$

對 $0\le q\le1$， $F$ 嚴格遞增（端點 $q=1$ 的導數為零），因此精確譜值可反求

$$
q=F^{-1}(D)=\frac{D-1}{1+\sqrt{1-(D-1)^2}}.
$$

本篇的光軸恢復只使用平方內積，無法取得相機影像平面內的旋轉角（roll），亦無法區分 $\mathbf n$ 與 $-\mathbf n$。故本文所稱的**相機校準**專指「光軸線方向的校準」，不是完整六自由度相機外參求解。

## 3. 障礙定理：同一法向平面不能完全校準三維光軸

**定理 3.1（共面法向下的軸向鏡射不可辨識性）。** 設全部已知校準法向 $\mathbf K_k$ 都在 $E=\mathbf e^\perp$。取任一單位光軸

$$
\mathbf n_+=\mathbf p+c\mathbf e,
\qquad \mathbf p\in E,
$$

並定義鏡射光軸

$$
\mathbf n_-=\mathbf p-c\mathbf e.
$$

則對**任意多個**共面法向都有

$$
(\mathbf n_+\cdot\mathbf K_k)^2=
(\mathbf n_-\cdot\mathbf K_k)^2.
$$

若 $\mathbf p\ne0$ 且 $c\ne0$，兩個光軸既不相等、也不互為整體相反數，因此對觀察光軸線而言這是非平凡歧義。

*證明。* 因 $\mathbf e\cdot\mathbf K_k=0$，兩個內積均等於 $\mathbf p\cdot\mathbf K_k$ ；平方後自然相等。若 $\mathbf p$ 和 $c$ 均非零，改變軸向分量的符號不會等於對全部三個分量同時變號。證畢。

此反例並不依賴資料噪音，也不依賴特定折角。即使 P06 的曲面產生連續無限多個校準法向，只要它們仍全部位於 $E$，此障礙就仍然存在。

## 4. 四個已知法向的受限盲校準

令外部校準裝置提供四個已知、已標記的單位法向

$$
\begin{aligned}
\mathbf K_1&=(1,0,0),\\
\mathbf K_2&=(0,1,0),\\
\mathbf K_3&=(1,1,0)/\sqrt2,\\
\mathbf K_4&=(1,0,2)/\sqrt5.
\end{aligned}
$$

前三者都在 $E$ ；**第四個不在 $E$**，必須來自額外校準面、不同取向的幾何標定片或等價已知參考。它不是把來源三角形偷偷增加第四條筆畫。令未知光軸

$$
\mathbf n=(a,b,c),\qquad a^2+b^2+c^2=1,
$$

四份轉換後的譜量為

$$
\begin{aligned}
q_1&=a^2,\\
q_2&=b^2,\\
q_3&=(a+b)^2/2,\\
q_4&=(a+2c)^2/5.
\end{aligned}
$$

**定理 4.1（四錨點的泛型光軸線唯一性）。** 若 $a\ne0$，上述四筆精確量測唯一決定 $\mathbf n$，至多差整體正負號。取代表元 $a>0$ 後，反演式為

$$
\begin{aligned}
a&=\sqrt{q_1},\\
b&=\frac{q_3-(q_1+q_2)/2}{a},\\
c&=\frac{5q_4-q_1-4(1-q_1-q_2)}{4a}.
\end{aligned}
$$

*證明。* 前兩筆得到 $a^2,b^2$，第三筆得到 $ab=q_3-(q_1+q_2)/2$，第四筆得到 $ac=(5q_4-a^2-4c^2)/4$。利用單位約束 $c^2=1-a^2-b^2$，且在 $a\ne0$ 時可選 $a=\sqrt{q_1}$，因此 $b,c$ 均被唯一指定；改取 $a=-\sqrt{q_1}$ 只會同時使三個分量變號。證畢。

**適用邊界。** 此定理不是「任何四個光譜就能自校準」的普遍結論；它使用四個**已知方向**的校準法向、單位光軸，以及 $a\ne0$ 的非退化條件。當 $a=0$ 時，這組裝置不保證消除所有歧義；可另加適當法向或使用一般三維實相位恢復的冗餘設計 [R2, R3]。

**精確例子。** 對 $\mathbf n_+=(4/5,0,3/5)$ 和 $\mathbf n_-=(4/5,0,-3/5)$，前三筆 $q$ 完全相同；第四筆則為

$$
q_4(\mathbf n_+)=\frac45,
\qquad q_4(\mathbf n_-)=\frac4{125}.
$$

單一跨平面方向就能將這組原本無法區分的光軸分開。

![圖 2：共面校準下的鏡射歧義，以及平面外錨點如何排除此歧義](figures/coplanar_reflection_offplane_anchor.png)

## 5. 由未知光軸轉入未知局部法向場

### 5.1 為什麼 P07 的五視角在本受限模型中可減為兩視角？

P07 在**任意三維未知法向**且只知無相位平方投影時，採用五個 full-spark 方向來保證辨識。本篇額外知道每一個法向均在固定平面 $E$，且 $|\mathbf N|=1$，因此未知自由度只剩一個角度（再取模正負）。這是大幅減少所需觀測的**額外先驗**，並非推翻 P07 的一般命題。

對已校準光軸 $\mathbf n_j=(a_j,b_j,c_j)$ 及未知法向

$$
\mathbf N(u)=(\cos\alpha(u),\sin\alpha(u),0),
$$

有

$$
q_j(u)=\frac{a_j^2+b_j^2}{2}
+\frac{a_j^2-b_j^2}{2}\cos2\alpha(u)
+a_jb_j\sin2\alpha(u).
$$

令

$$
\mathbf z(u)=
\begin{pmatrix}\cos2\alpha(u)\\\sin2\alpha(u)\end{pmatrix},
\qquad
r_j=q_j-\frac{a_j^2+b_j^2}{2},
$$

$$
M_j=\begin{pmatrix}(a_j^2-b_j^2)/2 & a_jb_j\end{pmatrix}.
$$

**定理 5.1（已知法向平面下，兩份譜的局部唯一性）。** 若任意兩個觀察者 $i,j$ 的 $2\times2$ 矩陣

$$
M_{ij}=\begin{pmatrix}M_i\\M_j\end{pmatrix}
$$

可逆，則由其兩份精確 $D_i,D_j$ 可唯一反求 $\mathbf z=(\cos2\alpha,\sin2\alpha)$，進而恢復 $\mathbf N$，至多差整體正負號。

*證明。* 先由 $D_i,D_j$ 的反函數得到 $q_i,q_j$，再解線性方程 $M_{ij}\mathbf z=(r_i,r_j)^\mathsf T$，得到唯一 $\mathbf z$。因 $\cos2\alpha,\sin2\alpha$ 唯一， $\alpha$ 至多差 $\pi$ 的整數倍，因此法向只有 $\mathbf N$ 和 $-\mathbf N$ 兩種。證畢。

若兩個觀察者在 $E$ 中的投影方向可寫為 $\rho_i(\cos\phi_i,\sin\phi_i)$ 與 $\rho_j(\cos\phi_j,\sin\phi_j)$，則有

$$
\det M_{ij}=\frac{\rho_i^2\rho_j^2}{4}
\sin\bigl(2(\phi_j-\phi_i)\bigr).
$$

因此兩個投影方向既不能平行，也不能相互垂直；**光軸三維夾角本身並不是本觀測通道的充分判準**。

### 5.2 三觀察者配置：每點容忍失去一份測量

取 $\rho=4/5$， $c=3/5$，使用三個未知、但可經第四節錨點校準的相機光軸：

$$
\begin{aligned}
\mathbf n_1&=(4/5,0,3/5),\\
\mathbf n_2&=(4/(5\sqrt2),4/(5\sqrt2),3/5),\\
\mathbf n_3&=(4/(5\sqrt5),8/(5\sqrt5),3/5).
\end{aligned}
$$

在精確算術下，三組二視角矩陣的行列式分別為

$$
\det M_{12}=\frac{64}{625},\qquad
\det M_{13}=\frac{256}{3125},\qquad
\det M_{23}=\frac{192}{3125}.
$$

全部非零。所以對任意一個來源位置，只要任兩份關係譜還在，法向就仍可精確辨識到正負號。三個二視角矩陣的二範數條件數在本配置中為 $1,2,3$。

這是**指定幾何類別**下的缺失容忍定理，不是保證有任意遮蔽、任意資料錯配和未知相機完整姿態的通用三維重建。

## 6. 連續法向的符號提升與載體重建

由第五節逐點反演得到的是無向法向線 $\{\mathbf N(u),-\mathbf N(u)\}$。若 $u$ 屬於連通區間、真實法向連續且提供某一參考位置的正負方向，則可沿著 $u$ 連續選取法向分支；由於連通區間上連續單位向量的無向線場可作全域連續提升，所選分支一經錨定即唯一。

在 P06 已知 $\mathbf e$ 、已知來源弧長座標與一個空間基準點的條件下，便可透過

$$
\mathbf v(u)=\mathbf N(u)\times\mathbf e,
$$

$$
\Psi(t,u)=\mathbf B+t\mathbf e+\int_{u_0}^{u}\mathbf v(r)\,dr
$$

恢復載體位置，差一個已明示的整體平移規範。若沒有來源弧長尺度或正負方向錨點，僅知道點對點的無向法向場則不足以確定相同的有向位置函數。

**穩定性說明。** 當校準矩陣準確、兩視角矩陣 $M_{ij}$ 可逆時，局部線性誤差滿足

$$
\|\delta\mathbf z\|_2\le
\|M_{ij}^{-1}\|_2\,\|\delta\mathbf r\|_2.
$$

另由積分三角不等式有

$$
\|\widehat\Psi(t,u)-\Psi(t,u)\|_2
\le\int_{u_0}^{u}
\|\widehat{\mathbf N}(r)-\mathbf N(r)\|_2\,dr
$$

（假定同一正負方向規範、相同 $\mathbf B,\mathbf e$ ）。但是校準公式含 $1/a$，在 $a\to0$ 時會病態； $D$ 接近 $2$ 時， $F^{-1}$ 也更敏感。本篇數值穩定性只覆蓋指定方向與有限雜訊水平。

![圖 3：每個位置缺失一名觀察者且帶有譜雜訊時，局部法向與載體截面反演的示例](figures/normal_field_and_curve_reconstruction.png)

## 7. 配準不可辨識性的精確反例

即使相機完全已知，只要不同觀察者的測量沒有來源位置標籤，就不能把第五節逐點的可逆矩陣直接套用。

令二維已知觀察方向為

$$
\mathbf p_1=(1,0),\qquad
\mathbf p_2=(0,1),\qquad
\mathbf p_3=(1,1)/\sqrt2.
$$

考慮兩組彼此不同的無向單位法向集合

$$
\mathcal A=\left\{
(\sqrt3/2,1/2),\ (1/2,-\sqrt3/2)
\right\},
$$

$$
\mathcal B=\left\{
(\sqrt3/2,-1/2),\ (1/2,\sqrt3/2)
\right\}.
$$

對每個觀察者，只保留兩份平方投影的**無序多重集合**，則兩個不同真值均生成

$$
\begin{aligned}
\mathcal Q_1&=\{3/4,1/4\},\\
\mathcal Q_2&=\{1/4,3/4\},\\
\mathcal Q_3&=\{(2+\sqrt3)/4,(2-\sqrt3)/4\}.
\end{aligned}
$$

將各項通過嚴格單調的 $F$ 換成 $D_{\mathrm{PR}}$ 後，多重集合仍然完全相同；但 $\mathcal A$ 與 $\mathcal B$ 在固定觀察坐標內既不相等，也不會因逐項全域變號而變成同一集合。

**定理 7.1（無來源配準時的非單射性）。** 僅將每個觀察者的局部譜當成無序多重集合，即使相機光軸已知且所有資料無噪音，來源局部法向的集合也未必可唯一辨識。

*證明。* 上述 $\mathcal A,\mathcal B$ 是不同的法向集合，但對同一組固定觀察方向產生相同三個無序集合，因此正向觀測映射非單射。證畢。

這個反例處理的是「完全取消來源標記」的觀測制度。若另外給出曲線的空間順序、動態追蹤、標記材質、邊界條件或已知單調折角等先驗，可能可排除部分配對，但不是本定理目前使用的資料條件。

![圖 4：兩套不同局部法向集合，可以對每一觀察者產生完全相同的無序譜集合](figures/unlabeled_spectral_ambiguity.png)

## 8. 可重現數值實驗

### 8.1 實驗條件

- 載體：P06 的平滑等距廣義圓柱在母線對齊坐標系下的旋轉等價模型，折角約 $128.172708^\circ$，半寬 $\varepsilon=0.075$。
- 來源採樣： $u\in[-0.22,0.22]$ 上等距 $241$ 點；已知母線方向 $\mathbf e$ 與來源弧長尺度。
- 相機：第五節三個真實光軸，但反演器不直接讀取光軸真值；它先從第四節四個帶標記的已知校準法向所產生的 $D$ 反求光軸。
- 觀測：在每個來源點生成三份關係譜 $D_j$，完全觀察組使用全部三份；缺失組按來源索引輪流失去其中任一份，始終保留兩份及正確的來源對應。
- 雜訊：校準及目標量測均在 **$D$ 空間**加入獨立零均值 Gaussian 雜訊，標準差為 $0,0.0005,0.002,0.005$，並截斷至譜合法區間 $[1,2]$。此雜訊單位不是像素，也不是 $q$ 的標準差。
- 重播：每種雜訊 × 缺失配置以固定偽隨機種子 `20261104` 連續運行 $64$ 次，合計 $512$ 次合成重播。
- 估計器：依第四節公式反演光軸並單位化；依第五節矩陣最小平方恢復 $\cos2\alpha,\sin2\alpha$，投影回單位圓，再從已知起點做連續符號提升；曲線位置採固定網格梯形積分。
- 事後評估：光軸角度與局部法向角度均以無向投影角比較；位置 RMS 在同一固定起點下，對數值積分得到的離散真值曲線進行比較。

注意：本實驗的第四校準法向**不在 P06 同一張廣義圓柱上**，而是來自獨立、方向已知的標定結構。若沒有此校準結構，第三節的鏡射歧義就不會因運行此估計器而自動消失。

### 8.2 無雜訊檢查及矩陣條件數

無雜訊實驗在雙精度誤差範圍內恢復全部三個光軸、 $241$ 個法向及同起點積分截面。三個可用二視角組合的條件數為：

| 可用觀察者 | $\det M$ | 二範數條件數 |
|---|---:|---:|
| 1 + 2 | $64/625$ | $1$ |
| 1 + 3 | $256/3125$ | $2$ |
| 2 + 3 | $192/3125$ | $3$ |

因此即使所有位置輪流失去一份資料，剩餘矩陣仍然是非奇異的。這些值由 SymPy 以精確根式與有理數獨立檢查。

### 8.3 帶雜訊的主要結果

表中法向角誤差為 **64 次重播各自 RMS 值的平均**，曲線位置誤差同理；所有三種誤差均包括同輪校準階段的光軸估計誤差，而非假設光軸仍是已知真值。

| $D$ 雜訊標準差 | 每點缺失一份 | 平均光軸 RMS 角誤差 | 平均法向 RMS 角誤差 | 平均曲線位置 RMS 誤差 |
|---:|:---:|---:|---:|---:|
| 0 | 否 | 近 $0^\circ$ | 近 $0^\circ$ | 近 $0$ |
| 0 | 是 | 近 $0^\circ$ | 近 $0^\circ$ | 近 $0$ |
| 0.0005 | 否 | $0.1288^\circ$ | $0.0815^\circ$ | $0.000192$ |
| 0.0005 | 是 | $0.1326^\circ$ | $0.1305^\circ$ | $0.000201$ |
| 0.0020 | 否 | $0.5155^\circ$ | $0.3307^\circ$ | $0.000764$ |
| 0.0020 | 是 | $0.5218^\circ$ | $0.5145^\circ$ | $0.000854$ |
| 0.0050 | 否 | $1.3523^\circ$ | $0.7924^\circ$ | $0.001871$ |
| 0.0050 | 是 | $1.3396^\circ$ | $1.3169^\circ$ | $0.002036$ |

部分缺失仍然可辨識，但在高雜訊下會造成較大局部法向誤差；這反映的是觀察矩陣的冗餘降低，而非空間維度改變。

![圖 5：完整三視角與每點缺失一視角的雜訊—反演誤差對照](figures/missing_observer_noise_robustness.png)

### 8.4 驗證層級

- `src/verify_symbolic.py`：40 項 SymPy 精確檢查，包括校準光軸、三個二視角行列式、鏡射障礙及無標記對應反例。
- `src/experiments.py`：37 項數值檢查，並以固定種子產出 $512$ 次模擬重播的統計摘要。
- `src/model.py`：獨立可運行的載體、關係譜與反演函數；不依賴前篇檔案才能執行。
- `src/render_figures.py`：五張 PNG／五張 SVG 的完整繪圖來源。
- `results/`：原始摘要 JSON、範例曲線資料 NPZ、驗證報告及檔案 SHA-256 清單。

這些測試證實**提交的原始碼在所宣告的有限模型內執行了相應檢查**；它們不等同於定理的獨立同行審查，也不表示實體材料或相機已測得這些譜量。

## 9. 論證限制與可否證條件

**（一）方向跨度比觀測數量更重要。** 在固定廣義圓柱上，只添加更多共面法向的校準樣本不能突破第三節障礙；增加一個恰當平面外法向則可以在泛型條件下突破。因此必須記錄觀測方向的線性／非線性跨度，而不能只記錄樣本數。

**（二）不包含完整相機姿態。** 關係譜只依賴光軸的平方內積，不含影像框架內的旋轉、相機平移或透視參數。本文完成的是未知**光軸線**的受限校準，而非一般 SfM 的全部未知量。

**（三）校準並非完全無先驗。** 必須事先知道四個校準法向的幾何方向，並知道哪個校準量測對應哪個法向。若全部法向也未知，全球旋轉的規範自由度 $\mathbf n_j\mapsto Q\mathbf n_j$ 、 $\mathbf N(u)\mapsto Q\mathbf N(u)$ 會令所有平方內積不變，無法從譜單獨選定絕對世界座標方向。

**（四）已知母線和單位法向是強先驗。** 「兩個局部譜足夠」利用了固定法向平面與 $|\mathbf N|=1$ ；任意三維法向、任意非可展曲面或未知母線方向不適用此計數。

**（五）缺失與失配不是同一回事。** 有標記的位置少一份量測，可以靠餘下兩份解方程；無標記的多重集合則可能連哪兩筆應該放在同一行都不知道。第七節證明後者即使無噪音也可能非唯一。

**（六）不提供材料力學精度保證。** 本文仍使用零厚度、完全等距的理想載體，沒有測試紙張回彈、厚度、自遮蔽、真實相機畸變、影像特徵追蹤或實際光學儀器能否直接取得所定義的 $D$。

**（七）有效譜維度不是傳統空間維度。** 本篇的 $D_{\mathrm{PR}}$ 維持為觀察者相依的參與比指標。本文既沒有證明 $1.7D$ 或 $1.8D$ 是由「一個完整軸加部分軸」組成的傳統空間，也沒有證明三線成方在某個分數維度才可能；該猜想仍須另行給定維度的公理化定義。

## 10. 結論

P08 對 P07 的已知觀察者前提進行了第一輪嚴格放寬，得到四個能同時構成正、反兩面約束的結果。

首先，若全部校準法向都落在同一平面，三維相機光軸的平面鏡射歧義不可由任何數量的同類平方投影消除。其次，一組明確的三個共面加一個非共面錨點，在指定的非退化條件下足以校準未知光軸線。第三，當連續載體的法向已知侷限在固定平面，兩個方向合適的局部譜足以反演單位法向，特製的三視角配置能承受每個位置缺少其中一個觀察者。最後，移除跨觀察者的來源對應後，譜多重集合可能對應多個不同幾何真值；因此配準不是可以省略的行政資訊，而是反問題的數學內容之一。

這些結果將系列中的「關係幾何」由單一可計算的標量，推進為可以明示**觀察跨度、校準幾何、來源標籤及規範歧義**的反演制度。三線成方起始的數學命題仍然是載體幾何構造問題；P08 建立的是使其成為可觀察、可驗證之幾何研究對象所需的資訊條件。

**核心結論：不只要問幾條線能生成一個形狀，更要問哪些關係資料足以讓觀察者確定那確實是同一個形狀。**

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## 參考文獻

- **[R1]** Tomasi, C., & Kanade, T. (1992). *Shape and Motion from Image Streams under Orthography: A Factorization Method*. International Journal of Computer Vision, 9(2), 137–154. https://publications.ri.cmu.edu/shape-and-motion-from-image-streams-under-orthography-a-factorization-method 。正交影像、未知相機運動與部分缺失點對應的經典背景；本文不宣稱取代其分解方法。
- **[R2]** Balan, R., Casazza, P. G., & Edidin, D. (2006). *On signal reconstruction without phase*. Applied and Computational Harmonic Analysis, 20(3), 345–356. https://doi.org/10.1016/j.acha.2005.07.001 。實數無相位量測的研究背景。
- **[R3]** Bandeira, A. S., Cahill, J., Mixon, D. G., & Nelson, A. A. (2014). *Saving phase: Injectivity and stability for phase retrieval*. Applied and Computational Harmonic Analysis, 37(1), 106–125. https://doi.org/10.1016/j.acha.2013.10.002 。無相位反演的單射與穩定性背景。
- **[R4]** RGC P06 (2026-11-03). *連續等距載體、局部關係維度場與三線成方的曲率代價*. 系列前篇，P08 沿用其連續載體。
- **[R5]** RGC P07 (2026-11-04). *未知局部關係場的多觀察者反演、譜觀測可識別性與曲率穩定性*. 系列前篇，P08 承接其譜—法向平方內積恆等式及多視角反演觀測語義。

## 附錄 A：執行與查核

在解壓縮後的 P08 根目錄執行：

```bash
python -m pip install -r requirements.txt
python src/verify_symbolic.py
python src/experiments.py
python src/render_figures.py
python src/validate_release.py
```

數值實驗會覆寫 `results/numerical_experiments.json` 和 `results/illustrative_field_data.npz`，符號程式會覆寫 `results/symbolic_verification.json`。發行版本的 `SHA256SUMS.txt` 用來驗證**原始交付物**，重跑檔案後若有位元組層級差異，應重新產生對應清單；不可把雜湊更新誤認成已證實原始報告的內容完全相同。

## 附錄 B：正式原稿邊界

聊天畫面只供討論與預覽。本篇內容以 ZIP 內的 UTF-8 Markdown 為正式 source，公式僅使用 ` $...$ ` 及 `$$...$$`，不進行 `unicode_escape` round-trip、不把 LaTeX 數學指令改寫成 Unicode 數學字元後當作 source。任何修改均需先重新驗證、再 commit，並保存原稿與驗證紀錄。