# 關係幾何與載體展開 III：單摺線等距折疊、三線成方的三維實現與觀察關係維度

**英文題名：** Relational Geometry and Carrier Unfolding III: A Single-Crease Isometric Fold Whose Orthographic Image is an Exact Square  
**研究系列：** RGC — Relational Geometry and Carrier Unfolding  
**版本：** P03 / v1.0.0  
**日期：** 2026-11-03  
**原稿狀態：** 理想剛性折片模型的明確構造、數學證明及獨立符號驗證；不是已完成的材料實驗，亦不是非整數歐氏座標維度的存在證明。  
**Canonical source：** 本 UTF-8 Markdown 為正式原稿；數學僅用 ` $...$ ` 與 `$$...$$` 作為 LaTeX 分隔符。

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**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

前兩篇研究（P01–P02）建立三條來源直線段透過分片仿射映射精確形成正方形的基準，並證明只憑有效譜維度或輸出形狀無法恢復完整載體關係。然而，P01 的一般分片仿射映射並不保證保長，仍不足以作為具體折疊材料的幾何模型。本文加入嚴格的**局部等距約束**，提出一個可由單條鉸接摺線實現的三維分片剛性折疊：從一張右等腰三角形薄片出發，在其三條邊各畫一筆，沿一條內部摺線折疊成兩個剛性三角面；該三維折面經正交投影後，三條原始筆畫的像恰構成**四條等長邊及四個直角的正方形**。本文給出完整的三維頂點坐標、精確根式、唯一可行投影邊長、面內度量保持式、無自交性及摺疊角的解析形式。

這一案例產生一個可檢驗的「三層幾何」區分：原始薄片的內稟維度、折疊後三維嵌入薄片的內稟維度皆為 $2$ ；投影到特定二維觀察者後，以 P02 的譜參與比定義的**有效關係維度**卻為 $9/7$。因此，同一載體在不改變內稟維度、也不伸縮材料的情況下，能呈現不同的觀測關係譜。此結果證明了所提出的受限物理幾何模型在理想剛性折片假設下可實現，但**沒有**證明 $1.7D$ 、 $1.8D$ 是三線成方的普遍臨界值。後續維度推導必須由獨立的觀測、材料與幾何約束確定，而非先指定一個目標小數。

**關鍵詞：** 三線成方、載體幾何、等距折疊、剛性摺紙、正交投影、關係譜、觀察者相依性、有效維度、幾何可實現性。

## 1. 研究問題與 P01–P02 的承接

本系列區分三個不同對象：

1. **載體幾何**：薄片及其內稟度量、摺線、合法的材料變形。
2. **關係幾何**：由載體映射誘導的度量算子、主方向、分片接合及其譜。
3. **觀測表示**：給定觀察者的投影或測量規則，以及在這個規則下顯現的幾何。

P01 以二維分片仿射同胚 $F:T\to[0,1]^2$ 完成「三條來源直線段映成四條正方形邊」的存在性證明。P02 顯示同一組局部完整本徵值譜可能生成不同邊界，且相同邊界亦可能具有不同內部關係譜。兩篇均沒有宣稱可用實際不伸長的薄片直接完成該平面變換。

本文將其條件收緊：若一個三角形平面薄片只可沿一條直摺線折成三維表面，每個三角面都必須保持完全剛性，是否仍能令**僅有的三條來源邊界筆畫**在正交投影下精確成方？

我們的結論是肯定的。請先注意計數規則：

- 來源筆畫只有三條直線段 $AB$ 、 $BC$ 、 $CA$。
- $BM$ 是載體內部的一條**摺痕／鉸接線**，不是第四條邊界墨跡。
- 折疊後第三筆 $CA$ 可以在三維中成為兩段相連的直線，經投影形成正方形相鄰的兩條邊。
- 這不是說三維邊界本身是共平面的正方形；正方形是指定**正交觀察者**得到的精確像。

## 2. 來源薄片與幾何條件

令單位右等腰三角形薄片為

$$
T=\{(x,y)\in\mathbb R^2:0\le y\le x\le1\}.
$$

其頂點及摺線端點為

$$
A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(1,1),\quad M=(1/2,1/2).
$$

三條原始筆畫是

$$
L_1=\overline{AB},\qquad L_2=\overline{BC},\qquad L_3=\overline{CA}.
$$

沿線段 $BM$ 將薄片分成 $T_-=\triangle ABM$ 及 $T_+=\triangle BMC$。兩片都是剛性三角面；各面源度量均為通常的歐氏度量 $g=I_2$。來源的相關距離平方為

$$
|AB|^2=|BC|^2=1,
\quad |AM|^2=|BM|^2=|CM|^2=\frac12.
$$

記目標三維映射為 $\Phi:T\to\mathbb R^3$，正交投影為

$$
P:\mathbb R^3\to\mathbb R^2,\qquad P(X,Y,Z)=(X,Y).
$$

**核心條件**是 $\Phi$ 在每個三角面上皆為剛體運動的限制，等價於其分片雅可比滿足

$$
(D\Phi_\pm)^{\mathsf T}D\Phi_\pm=I_2.
$$

這比「輸出看起來像正方形」嚴格得多：每個面上的所有長度、角度與面積都保持不變。

![圖一：三條來源筆畫與觀察者的正方形](figures/source_to_orthographic_square.png)

## 3. 主定理：單摺線等距折疊產生精確正方形

### 定理 3.1（單摺線三線成方）

存在一個連續、無自交且分片等距的映射 $\Phi:T\to\mathbb R^3$，只沿 $BM$ 發生非零摺角，使三條來源邊界筆畫在正交投影下滿足

$$
P\bigl(\Phi(L_1\cup L_2\cup L_3)\bigr)
=\partial [0,s]^2,
$$

其中正方形邊長精確為

$$
s=\frac{\sqrt5-1}{2\sqrt2},
\qquad s^2=u=\frac{3-\sqrt5}{4}.
$$

此時 $s\approx0.437016024449$。整個映射的兩個三角面內不需要拉伸、剪切或局部面積變化；它僅依賴一條理想鉸接摺線，以及一個確定的正交觀察方向。

### 3.1 三維坐標的明確構造

令

$$
u=\frac{3-\sqrt5}{4},\qquad
s=\sqrt u,\qquad
a=\sqrt{1-u},\qquad
b=\sqrt{\frac12-2u}.
$$

取三維折片的四個關鍵點

$$
\begin{aligned}
\widehat A&=(0,0,a),\\
\widehat B&=(s,0,0),\\
\widehat C&=(s,s,a),\\
\widehat M&=(0,s,b).
\end{aligned}
$$

數值近似為

$$
s\approx0.437016024449,\quad
a\approx0.899453719974,\quad
b\approx0.343560749723.
$$

在兩個來源三角面上分別指定唯一的仿射映射，使 $A,B,C,M$ 映至對應的帶帽點。其兩段完整公式可以寫成

$$
\Phi(x,y)=
\begin{cases}
\bigl(s(x-y),\,2sy,\,a(1-x)+(2b-a)y\bigr),&x+y\le1,\\
\bigl(s(2x-1),\,s(1-x+y),\,(a-2b)(x-1)+ay\bigr),&x+y\ge1.
\end{cases}
$$

沿 $x+y=1$ 的兩段公式完全一致，因此映射連續。這條共用線的像就是三維鉸接線 $\widehat B\widehat M$。

![圖二：兩個剛性三角面在三維折疊、正交投影成正方形](figures/rigid_fold_3d.png)

### 3.2 等距性的精確證明

由 $u$ 的定義，可得三條精確關係

$$
a^2+u=1,\qquad
b^2+2u=\frac12,\qquad
ab=\frac12-u.
$$

第三式可由 $u$ 滿足的多項式 $4u^2-6u+1=0$ 與正值分支推出。於是

$$
|\widehat A\widehat B|^2
=|\widehat B\widehat C|^2=u+a^2=1,
$$

$$
|\widehat B\widehat M|^2=2u+b^2=\frac12,
$$

$$
|\widehat A\widehat M|^2
=|\widehat C\widehat M|^2
=u+(a-b)^2=\frac12.
$$

故 $\triangle\widehat A\widehat B\widehat M$ 與來源 $\triangle ABM$ 的三邊逐一相等； $\triangle\widehat B\widehat C\widehat M$ 與來源 $\triangle BMC$ 的三邊也逐一相等。根據 SSS 全等，兩個面分別是平面剛體運動後的像，於各片內保持所有距離與角度。

亦可直接檢查其三維雅可比

$$
J_-^{(3)}=
\begin{pmatrix}
s&-s\\0&2s\\-a&2b-a
\end{pmatrix},
\qquad
J_+^{(3)}=
\begin{pmatrix}
2s&0\\-s&s\\a-2b&a
\end{pmatrix},
$$

並得到

$$
(J_-^{(3)})^{\mathsf T}J_-^{(3)}
=(J_+^{(3)})^{\mathsf T}J_+^{(3)}=I_2.
$$

因此任意位於一片內的可微曲線，其三維像長度不變；跨越摺線的可求長曲線也可以按分片分段計算，整體內稟路徑長度仍保持。**不應混同的是**：三維空間中任意兩點的直線弦長並不都保持。尤其來源 $AC$ 的內稟長度是 $\sqrt2$，折疊後沿 $\widehat A\widehat M\widehat C$ 的路徑長度仍是 $\sqrt2$，但它們的三維弦長已變為 $\sqrt{2u}$。這不是等距條件的失敗，而是曲面內稟距離與外在弦長之別。

### 3.3 四邊正方形的證明

觀察者 $P$ 丟棄第三座標後，四點的像成為

$$
P(\widehat A)=(0,0),\quad
P(\widehat B)=(s,0),\quad
P(\widehat C)=(s,s),\quad
P(\widehat M)=(0,s).
$$

當 $s>0$，這四點恰是邊長 $s$ 的正方形，所有邊長及直角條件為精確等式；來源三筆對應為

$$
\begin{aligned}
AB&\longmapsto\overline{(0,0)(s,0)},\\
BC&\longmapsto\overline{(s,0)(s,s)},\\
CA&\longmapsto\overline{(s,s)(0,s)}\cup\overline{(0,s)(0,0)}.
\end{aligned}
$$

因此 $CA$ 仍是一條**原始來源直線段**，只是在折疊後於 $M$ 形成兩段三維直線，觀測像提供正方形的上、左兩邊。

更精確地，令 P01 的二維分片仿射映射為

$$
F(x,y)=
\begin{cases}
(x-y,2y),&x+y\le1,\\
(2x-1,1-x+y),&x+y\ge1.
\end{cases}
$$

則本篇具有精確分解式

$$
P\circ\Phi=sF.
$$

P01 已證明 $F$ 是 $T$ 到單位正方形的分片仿射同胚，故 $P\circ\Phi$ 是 $T$ 到 $[0,s]^2$ 的同胚。因 $P\circ\Phi$ 已為單射， $\Phi$ 也必為單射，兩片在三維中不能發生自交。定理得證。

## 4. 為什麼是這個尺寸？反向求解與唯一可行根

上節不是先指定一個漂亮的黃金比例數值，再要求坐標去符合它。相反地，可以由剛性條件**反向推出**正方形的尺寸。

固定投影四點為 $(0,0)$ 、 $(s,0)$ 、 $(s,s)$ 、 $(0,s)$，設 $u=s^2$，並用深度平移令 $z_B=0$。來源三角面的五項邊長條件要求

$$
z_A^2=z_C^2=1-u,\qquad
z_M^2=\frac12-2u,
$$

$$
(z_A-z_M)^2=(z_C-z_M)^2=\frac12-u.
$$

從 $z_M^2\ge0$ 可知 $0<u\le1/4$。若 $z_A=-z_C$，由最後兩式相減可知 $z_M=0$，迫使 $u=1/4$ ；但此時 $z_A^2=3/4$ 與 $(z_A-z_M)^2=1/4$ 矛盾。因此 $z_A=z_C$。又由 $|z_A-z_M|^2=1/2-u<1-u=z_A^2$，可知 $z_A$ 與 $z_M$ 必須同號；可用整體深度反射選 $z_A=a>0$ 、 $z_M=b>0$。

這就給出

$$
a^2=1-u,\quad b^2=\frac12-2u,\quad (a-b)^2=\frac12-u.
$$

因此 $ab=1/2-u$，平方後得到

$$
(1-u)\left(\frac12-2u\right)
=\left(\frac12-u\right)^2,
$$

即

$$
4u^2-6u+1=0.
$$

兩根為

$$
u_\pm=\frac{3\pm\sqrt5}{4}.
$$

只有 $u_-=(3-\sqrt5)/4$ 滿足 $0<u\le1/4$ ；將其代入原本未平方的正值關係也成立。因此，在**固定來源三角形、這個頂點對應、單摺線分片等距及正交投影**的模型中，存在唯一的可行正方形邊長 $s$。這不是其他任意摺線位置、觀察方式或材料模型的普遍唯一性定理。

![圖三：唯一可行尺寸的代數相容條件](figures/folding_compatibility_constraint.png)

### 4.1 摺角與幾何實現的附帶資訊

令兩個三角面的朝向一致的法向向量分別為

$$
n_-=(\widehat B-\widehat A)\times(\widehat M-\widehat A),
\qquad
n_+=(\widehat C-\widehat B)\times(\widehat M-\widehat B).
$$

由面積保持，兩者的長度均為 $1/2$ ；內積可精確化簡為 $u^2-u$。故兩片單位法向量之間的夾角 $\vartheta$ 滿足

$$
\cos\vartheta=\frac{u^2-u}{1/4}
=2u-1=\frac{1-\sqrt5}{2}.
$$

因此 $\vartheta\approx128.172708^\circ$，證明折片不是維持平坦狀態。若採用補角定義內部二面角，數值將不同；本篇始終把 $\vartheta$ 定義為**同向取向的面法向量夾角**，以免摺紙慣例混淆。

因為模型只包含共用一條鉸接邊的兩個剛性三角面，此非平坦相對配置可以由一個理想鉸鏈角度建立。此處的「物理可實現性」限於理想零厚度、無限精度的剛性折片運動學；沒有驗證有限厚度紙板、鉸鏈製程、重力載荷或真實投影設備的誤差。

## 5. 一條摺線的必要性：限制模型下的最小性

### 命題 5.1（零摺線不可能，單摺線足夠）

若來源完整三角形只能以**單一剛體運動**嵌入 $\mathbb R^3$，再以正交投影映至 $\mathbb R^2$，則其邊界像不可能具有四個相異、非退化的正方形角點。允許恰一條將來源分成兩個剛性三角面的內部摺線時，定理 3.1 給出成功構造。

**證明。** 單一剛體運動在三角形上是仿射映射，正交投影也是線性映射。兩者的複合在整個三角形上仍為一個仿射映射。仿射映射的三角形像至多為非退化三角形，或退化為線段／點，不能產生四個非共線、具四個直角的角點。第一部分成立。第二部分由定理 3.1 已構造證明。證畢。

所以，**在「無裁切、剛性三角面、正交投影」這個事先限定的類別裡，一條內部摺線是最少的。** 這不等同於對所有可用光學裝置、曲面、拓撲貼合或非剛性材料宣稱普遍最小性。

## 6. 內稟維度、投影關係維度與 1.XD 的位置

P02 定義了度量相容的局部關係算子。當來源度量為 $g=I_2$ 、目標採對應歐氏度量時，變形 $G$ 的關係算子可以用 $J_G^{\mathsf T}J_G$ 表示，譜參與比定為

$$
D_{\mathrm{PR}}(G)=
\frac{\bigl[\operatorname{tr}(J_G^{\mathsf T}J_G)\bigr]^2}
{\operatorname{tr}\bigl[(J_G^{\mathsf T}J_G)^2\bigr]}.
$$

### 6.1 載體本身的度量與維度

本篇兩個三角面均為等距嵌入，所以

$$
(D\Phi_\pm)^{\mathsf T}D\Phi_\pm=I_2,
\qquad D_{\mathrm{PR}}(\Phi)=2.
$$

此外，薄片作為帶有兩個三角面之二維流形的內稟拓撲維度仍是 $2$ ；在自身誘導長度度量下亦沒有因為折疊就變成所謂「 $1.8$ 個獨立軸」。三維是**外部嵌入空間**的維度，不是薄片的內稟維度。

### 6.2 正交投影觀察者的有效譜維度

但觀察映射是 $P\circ\Phi=sF$，因此其兩片的二維雅可比均是 $s$ 倍的 P01 雅可比。P02 已求得 P01 的局部關係算子本徵值為 $3\pm\sqrt5$，故本篇的投影關係算子本徵值為

$$
\lambda_1=u(3+\sqrt5)=1,
\qquad
\lambda_2=u(3-\sqrt5)=\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\right)^2.
$$

由此得到精確結果

$$
D_{\mathrm{PR}}(P\circ\Phi)
=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^2}{\lambda_1^2+\lambda_2^2}
=\frac97\approx1.285714285714.
$$

**這是核心的三層區分：**

| 層次 | 數學對象 | 結果 | 可否稱傳統座標維度？ |
|---|---|---:|---|
| 原始二維薄片 | $T$ 的歐氏內稟度量 | $2$ | 是：二維 |
| 折疊後三維中的薄片 | 分片等距映射 $\Phi(T)$ 的內稟度量 | $2$ | 薄片仍為二維，外部空間是三維 |
| 觀察者投影的局部關係算子 | $P\circ\Phi$ 的譜參與比 | $9/7$ | 否：只是有明確定義的有效關係指標 |

因此，**不伸長材料也能改變觀測關係譜**。但上述 $9/7$ 在此案例中並非一個待尋的自然常數；它是由指定來源、理想折疊幾何、觀察方向與譜參與比定義共同導出的結果。

### 6.3 一般平面觀察角的公式

對任一局部等距平面片，若正交觀察方向與該片單位法向量之夾角為 $\theta$，且 $0\le|\cos\theta|\le1$，則投影在面內的兩個奇異值為 $1$ 與 $|\cos\theta|$，其關係譜本徵值為 $1$ 與 $\cos^2\theta$。因此

$$
D_{\mathrm{PR}}(\theta)=
\frac{(1+\cos^2\theta)^2}{1+\cos^4\theta}.
$$

對本篇兩片折面， $|\cos\theta|=(3-\sqrt5)/2$，故與上式的 $9/7$ 完全一致。單就這個譜指標而言，當局部片被正面觀察時數值是 $2$，側向趨近退化投影時數值趨近 $1$。這種變化不是薄片突然獲得或喪失空間軸，而是**觀測算子把不同切向方向壓縮的程度改變**。

![圖四：內稟關係維度 2 與投影後 9/7 的差別](figures/intrinsic_vs_observed_relation.png)

P02 在相同指標下已顯示 $D_{\mathrm{PR}}=1.8$ 等價於平方伸長本徵值比 $1/2$。本案例的比值卻為 $((3-\sqrt5)/2)^2\approx0.145898$，故自然得到 $9/7$ 而非 $1.8$。**既不能以此普遍否定你的 1.XD 猜想，也不能把本例視為已證明 1.8D。** 重要的是：模型終於提供一組不拉伸、可以從外部量測且數學上精確封閉的基準。

## 7. 觀察者的改變與「實在的正方形」之界線

同一個折面存在三種不應混淆的事實：

1. 來源上， $AB$ 、 $BC$ 、 $CA$ 都是真正的**直線段**；其和是三角形邊界。
2. 三維中， $\widehat A\widehat B$ 與 $\widehat B\widehat C$ 仍各是一條直段，而原來的 $CA$ 在摺線交點 $M$ 轉折；整條三維邊界**不是**共平面的正方形。
3. 由已校準的正交觀察者 $P$ 測量，這三條來源墨跡的影像恰是**真正的二維正方形**，而不是像素誤差所造成的視覺錯覺。

這個觀測結果是明確可計算的，不是「隨便改變圖像就稱其為幾何」。然而，「二維觀察者看到的精確正方形」和「材料自身構成共平面的正方形」仍屬不同命題。

若相機改成未校準的透視投影，或觀察方向旋轉，通常不會再保持精確正方形。若將二維觀察者座標另作可逆變換而正確同步校準目標度量，P02 的關係譜協變原理依然成立；若只是將影像橫向拉寬、卻錯用單位度量計算，則可能誤以為材料的關係維度已改變。

對有限厚度、表面光澤或透視相機，必須以可觀測誤差模型區分：

$$
R_{\mathrm{obs}}=R_{\mathrm{geometry}}+R_{\mathrm{calibration}}+R_{\mathrm{noise}},
$$

這裡是**誤差分解的研究記號**，不應在沒有噪音相關性與獨立性假設時，把右側每項當成可直接由單次照片唯一分離的實驗數據。

## 8. 計算機驗證、可重現性與物理實驗邊界

這篇不是只有解析敘述。隨附兩套互相獨立的計算驗證：

- `src/verify_isometric_fold.py`：Python 3 標準函式庫，使用 $\mathbb Q(\sqrt5)$ 的精確運算檢查剛性邊長、關係譜、正方形幾何、法向角與代數約束，**22 / 22 PASS**。
- `src/symbolic_crosscheck.py`：SymPy 獨立建立根式三維頂點與兩片 $3\times2$ 雅可比，檢查 SSS、 $J^{\mathsf T}J=I$ 、摺線連續性、法向角、譜參與比，**10 / 10 PASS**。
- `src/render_figures.py`：重建四張 PNG 與對應 SVG，包括來源—觀察、三維折面、代數可行根、內稟／觀測關係維度曲線。圖用 NumPy／Matplotlib 生成，**圖像本身不替代數學證明**。

執行：

```powershell
python src/verify_isometric_fold.py
python src/symbolic_crosscheck.py
python src/render_figures.py
python src/validate_release.py
```

### 8.1 可進行但尚未執行的桌面驗證

若要進一步測量實體，可用可忽略厚度的右等腰薄片近似此模型，在 $BM$ 建立單一鉸接摺線，將兩個三角面折成法向量夾角約 $128.172708^\circ$，再用遠距／準直照明或遠心光學取得接近正交的投影。用四角點測量邊長、相鄰點積、對角線、閉合偏差與摺線兩側面積；對照文內的解析坐標，另行估計厚度、鉸鏈位置及相機校準的不確定度。

**本文未宣稱執行過此實體試驗**。一個具有厚度的真實紙片能否在特定製程公差下達到預定誤差，需要實作後的測量報告，不能以 SymPy 驗證取代。

### 8.2 結論狀態表

| 論述 | 狀態 |
|---|---|
| 三條來源直線段經一條摺線與正交投影精確成方 | **顯式構造，數學已證明** |
| 兩片三角面全程不需面內伸縮 | **依剛性片模型已證明** |
| 整個三維折面無自交 | **由正交投影單射已證明** |
| 在固定模型中，投影正方形尺寸唯一 | **精確代數證明** |
| 零摺線剛性三角片即可正交投影成方 | **否，已證明不可能** |
| 薄片的內稟維度改變成 $1.X$ | **否，內稟仍為 2** |
| 本次投影譜參與比為 $9/7$ | **已證明，限本模型** |
| $1.8D$ 是所有三線成方問題的答案 | **無此結論** |
| 真實材料與相機已做物理驗收 | **尚未執行** |

## 9. 研究意義與下一階段判準

P01 的重點是**載體映射的存在性**；P02 的重點是**關係譜與幾何形狀並不能互相唯一反推**。P03 首次在本系列加入更接近現實的**不伸長與剛性摺線條件**，又在這些更嚴格條件之下完成精確三線成方。

這對「關係幾何維度化」有兩項直接意義。第一，三條線能否構成正方形不再完全依賴任意設計的二維映射，而可以由一套明確的三維幾何運動學實現。第二，**觀察者看到的有效關係維度是載體幾何與觀測算子共同作用的結果，不能直接等同載體內稟的空間維度。**

下一階段值得研究的是：若不先固定觀察方向，而由多個已校準觀察者共同測量，能否直接恢復摺線位置、局部面法向及有效關係算子？在保長的剛性載體類別中，能否建立比純粹的譜參與比更不易受觀察方式混淆的「關係幾何維度」？這些問題須以同一組預先固定的物理／幾何模型為前提，不允許為了得到特定 $1.XD$ 而事後任意重定義參數。

**本篇的結論是：我們不是用一個小數維度把三條線變成四條邊，而是先以可驗證的幾何運動學說明三條線如何精確成方，再檢查維度資訊在哪個觀察層次被保留、壓縮或誤讀。**

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## 參考文獻與既有理論邊界

- **[R0]** RGC P01（2026-11-03），*Relational Geometry and Carrier Unfolding I: An Exact Three-Segment-to-Square Construction, Smoothness Obstructions, and Effective Relational Dimension*。本篇的二維觀測映射與 P01 的 $F$ 完全對應。
- **[R0b]** RGC P02（2026-11-03），*Relational Geometry and Carrier Unfolding II: Coordinate-Invariant Effective Dimension, Spectral Non-Identifiability, and the Limits of Interior Observation*。本篇沿用度量相容的關係算子與譜參與比定義。
- **[R1]** Erik D. Demaine and Joseph O'Rourke, *Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra*, Cambridge University Press (2007)。[書籍與補充材料](https://www.gfalop.org/)。折疊幾何、摺痕與多面體屬已發展的數學領域；本篇不主張發明其一般概念。
- **[R2]** Sarah-Marie Belcastro and Thomas C. Hull, *Modelling the folding of paper into three dimensions using affine transformations*, *Linear Algebra and its Applications*, 348 (2002), 273–282。[DOI:10.1016/S0024-3795(01)00608-5](https://doi.org/10.1016/S0024-3795(01)00608-5)。以分片等距模型研究三維折紙，提供本文理想折片條件的既有背景。
- **[R3]** Zeyuan He and Simon D. Guest, *On Rigid Origami I: Piecewise-planar Paper with Straight-line Creases* (2018)，[arXiv:1803.01430](https://arxiv.org/abs/1803.01430)。剛性摺紙的運動學與組態空間背景。

**原創性限制：** 分片剛性等距、單條鉸鏈摺疊與正交投影並非全新數學工具；本篇提供的是針對本系列三線成方問題的一個**完全可檢查的精確特例**，以及對「內稟維度／關係譜／觀察表示」三者的區分。未作全面先例檢索，不宣稱該精確摺疊例在學術文獻中首次出現。