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title: "全域運算軌跡論 VII：多任務觀測、組合閉包與交錯操作顯現的軌跡資訊"
english_title: "Global Computational Trajectory Invariance VII: Multitask Observation, Compositional Closure, and Interaction-Only Trajectory Information"
short_title: "GCTI-07"
author: "Neo.K（全域資訊運算量、跨表示計算正確性與全域運算軌跡原始研究構想）／GPT-6（有限模型、條件定理、反例、精確計算、原始程式與研究原稿）"
affiliation: "EveMissLab／一言諾科技有限公司"
version: "v0.1"
date: "2026-11-05"
status: "RESEARCH DRAFT — CONDITIONAL FINITE THEOREMS; EXACT RATIONAL TESTS; NO UNIVERSAL INFORMATION-CONSERVATION CLAIM"
predecessors: "GCTI-01 to GCTI-06 (frozen source snapshots)"
canonical_source: "UTF-8; LF; no BOM"
canonical_math_delimiters: " $...$ and $$...$$ only"
external_peer_review: "NOT PEER REVIEWED"
formal_proof_assistant: "NOT LEAN OR ROCQ VERIFIED"
reference_implementation: "Python 3.10+ standard library; finite total deterministic Moore machines; Fraction arithmetic"
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# 全域運算軌跡論 VII

## 多任務觀測、組合閉包與交錯操作顯現的軌跡資訊

**GCTI-07 · v0.1 · 2026-11-05**

> **核心問題。** 如果若干局部運算任務各自正確、各自擁有完整的未來觀測證書，將這些任務的證書並排合併，是否已完整保存任務之間可合法交錯執行的全域運算資訊？本文證明在有限確定性系統中，答案一般是否定的：**被動任務交集等價**與**主動操作組合閉包等價**可能嚴格不同，且差異能用精確有理數的來源對質量量化。本文也證明一項可操作的充要判準：兩者相同，當且僅當被動等價已對聯合操作穩定。這是對既有狀態等價、轉移同餘與覆蓋函數數學的組合應用，而非宣稱發現新的普適資訊守恆定律。

**證據分型：** `[DEF]` 研究定義；`[CLASSICAL]` 已成熟的數學基礎；`[PROP]` 具明確前提的可證命題；`[PROOF]` 本稿內證明；`[COUNTER]` 反例；`[DEMO]` 合成有限程式驗證；`[HYP]` 尚未證成的跨域推廣；`[LIMIT]` 有效範圍或拒絕條件。

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**作者：** Neo.K（全域資訊運算量、跨表示計算正確性與全域運算軌跡原始研究構想）／GPT-6（有限模型、條件定理、反例、精確計算、原始程式與研究原稿）  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-11-05  
**版本：** v0.1  
**原稿狀態：** RESEARCH DRAFT — CONDITIONAL FINITE THEOREMS; EXACT RATIONAL TESTS; NO UNIVERSAL INFORMATION-CONSERVATION CLAIM  

## 摘要

GCTI-01 至 GCTI-06 依序建立跨表示正確性、依賴閉包、未來脈絡等價、跨系統共同商、保守版本精化，以及來源權重下的精確碰撞質量帳本。這些結果尚未處理一個對 AI 全域運算特別重要的缺口：**多個任務各自的「完整未來」相加，並不等於允許它們的操作交錯之後的完整未來**。若新任務是在舊任務之間交替行動而形成，單純將先前的商類相交，可能錯誤合併在混合作用下可以被區分的狀態。

本篇在有限、總定義、確定性 Moore 型系統上，將任務視為可執行操作字的語言。對各個局部任務的完整觀測等價取交集，定義**被動任務聯合**；對任務操作字母表的聯集取全部有限串接閉包，定義**主動組合運算商**。證明後者必然細化前者，且兩者一致的充要條件是被動等價對全部聯合操作具有右同餘穩定性。這個判準能在有限狀態上檢查，不必將「混合歷程目前沒有被列舉」誤當作「不存在資訊差異」。

本篇給出一個六狀態、兩操作的精確反例：狀態 $p,q$ 在只執行 $a$ 的任意有限次操作或只執行 $b$ 的任意有限次操作下皆不可區分；但交錯字 $ab$ 使兩者的輸出分別為 $0$ 與 $1$。取來源律 $\mu(p)=\mu(q)=1/2$，其餘狀態權重零，被動碰撞機率為 $1$，主動碰撞機率為 $1/2$，故交錯運算所顯現、而被動合併未保留的精確來源對質量為 $1/2$。這是任務與來源律相對的資訊辨識量，不是一般 Shannon 熵增量，也不是物理資訊從無到有的證明。

更進一步，固定各任務獨立觀測語言時，被動可區分來源對的加權質量是標準**單調次模覆蓋函數**；然而允許任務操作串接的主動增益一般**不次模**，上述六狀態模型就是反例。由此可以區分「多個已知觀察的集合覆蓋收益」與「新的混合運算合法形成後的關係資訊收益」。本輪參考實作新增 **59** 項單元測試全部通過；固定種子重播 **180** 個有限模型、**1148** 組任務子集、**12196** 次狀態對判定與 **8016** 項被動次模不等式；觀察到 **31** 個有正權重的主動／被動差額案例、**56** 項主動次模不等式的反例，未發現程式判定不一致。這些是人工有限模型的可重播結果，不能外推成自然或通用 AI 系統的經驗定律。

**關鍵詞：** 全域運算軌跡、局部—全域、TCGCT、TCGQT、SIO、GRST、XPVB、多任務資訊、行為等價、組合閉包、轉移同餘、Moore 機、任務語言、精確碰撞質量、交互作用差額、加權集合覆蓋、次模函數、可追蹤證據。

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## 0. 從「計算正確」走向「任務組合後仍然正確」

### 0.1 承接 GCTI-01～06

過去六篇分別給出必要的邊界：

1. **GCTI-01：** 不同表示可以保留相同數值，卻不會因此自動保留所有歷程與來源。
2. **GCTI-02：** 局部正確的證據拼接，仍須滿足全域依賴與版本相容條件。
3. **GCTI-03：** 在指定操作語言下，具有相同全部可觀察未來的狀態，可安全壓縮為一個行為商類。
4. **GCTI-04：** 跨系統可以共享行為商，但不代表原始狀態或完整軌跡一一同構。
5. **GCTI-05：** 保守擴大操作集合，只能維持或細化既有行為等價。
6. **GCTI-06：** 固定來源律時，可以精確核對行為商分裂所造成的碰撞質量變化。

本篇新增的問題是：**原本各自在不同任務中已驗證的運算，當被允許跨任務串接時，會不會產生新的可辨識關係？**

這不是在問局部數學是否算錯。反例中的每個運算都完全正確；問題是局部觀察證據並不等於其聯合語言下的觀察證據。

### 0.2 與既有理論的分工

TCGCT 提供精確運算、型別、DAG 與版本來源核查；TCGQT 提供多尺度觀察纖維與關係式表達；SIO Paper 04 提供在指定 generator 同構下可以合法消去的表示冗餘；GRST 指出規則及其可行未來結構不等於單一已發生結果；XPVB-03、04 區分同一結果下不同可行生成歷程。上述皆是研究動機與接口，不可因概念銜接，就宣稱五套框架已自然同構。

本篇使用的是**已指定且可逐步計算的有限轉移模型**，沒有建立宇宙底層資訊或物理場的新定律。

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## 1. [DEF] 底層運算系統、局部任務與觀察記錄

### 1.1 有型別的有限總定義系統

令：

$$
\mathcal M=(S,\Lambda,\delta,q),
$$

其中：

- $S$ 是非空有限狀態集合；
- $\Lambda$ 是有限的原始操作標籤集合；
- $\delta:S\times\Lambda\to S$ 是總定義、確定性的轉移；
- $q:S\to O$ 是精確、確定的觀察函數。

本稿假設所有已聲明的操作在所有狀態均可執行。這個**總定義假設**是本篇有限定理的明示前提：不能直接將不合法的部分操作、例外、權限撤銷或運算型別錯誤視為自迴圈。若實際 TCGCT 計算器使用部分運算，需另以可用性旗標、具型別的未定義狀態或拒絕語義建立相容擴張。

對有限操作字 $w=a_1\cdots a_k$，定義從 $s$ 出發的完整可見記錄：

$$
E(s,w)=\bigl(q(s),q(s_1),\ldots,q(s_k)\bigr),
$$

其中 $s_0=s$， $s_{j+1}=\delta(s_j,a_{j+1})$。空字 $\epsilon$ 的記錄為 $E(s,\epsilon)=(q(s))$。

### 1.2 任務不是單一數值，而是一個可執行語言

令第 $i$ 項任務有操作集合 $\Lambda_i\subseteq\Lambda$，其允許的有限操作歷程為：

$$
L_i=\Lambda_i^*.
$$

任務可具有自己的結果讀取與查詢需求；本篇為取得可以精確比較的最小模型，先固定共同的 $q$。不同來源及不同精度的觀察函數若要合併，必須先建立明示的翻譯與保真條件。

對任何操作字語言 $L\subseteq\Lambda^*$，定義：

$$
s\equiv_L t
\quad\Longleftrightarrow\quad
\forall w\in L:\ E(s,w)=E(t,w).
$$

這種等價依賴 $L$。它不宣稱 $s$ 與 $t$ 具有同一形成歷史、物理身分、證明來源或所有未宣告的後續能力。

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## 2. [DEF] 被動任務合併與主動組合閉包

設已選任務索引集合為 $J$。我們區分兩種並不等價的聯合方式。

### 2.1 被動任務聯合

被動聯合只保留原本各任務各自可執行的觀察語言：

$$
L_J^{\mathrm{pass}}
=\bigcup_{i\in J}L_i.
$$

它的觀察等價為：

$$
E_J^{\mathrm{pass}}
=\bigcap_{i\in J}\equiv_{L_i}.
$$

當 $J=\varnothing$ 時，我們仍固定允許初態觀察 $q$，故基準等價是 $q(s)=q(t)$，而不是在沒有任何觀測時把輸出不同的狀態也當成相同。

### 2.2 主動組合運算閉包

現在允許各任務的原始操作交錯串接。其生成操作集合為：

$$
\Lambda_J=\bigcup_{i\in J}\Lambda_i,
$$

而其完整有限語言是：

$$
L_J^{\mathrm{act}}=(\Lambda_J)^*.
$$

因為各 $L_i=\Lambda_i^*$，必有：

$$
L_J^{\mathrm{pass}}\subseteq L_J^{\mathrm{act}}.
$$

兩者不必相等：當一項任務只容許 $a$ 、另一項只容許 $b$ 時，字 $ab$ 屬於主動閉包，卻不屬於原本任何一個單任務的完整語言。

定義主動等價：

$$
E_J^{\mathrm{act}}
=\equiv_{L_J^{\mathrm{act}}}.
$$

**重要：** 這種新增運算歷程只有在原始操作的跨任務組合被合法授權、型別正確且規則相容時才存在。`a`、`b` 兩個字母被寫在同一份檔案裡，不會自動讓 `ab` 成為可執行的計算。

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## 3. [PROP 3.1] 被動聯合等價恰為局部等價之交集

**條件。** 固定共同觀察函數 $q$ 與任務語言 $L_i$。

**結論。**

$$
\equiv_{\bigcup_{i\in J} L_i}
=\bigcap_{i\in J}\equiv_{L_i}.
$$

**[PROOF]** 兩狀態在語言聯集下等價，當且僅當對聯集的每個字都具有相同觀測記錄；這恰等價於對每一個 $L_i$ 中的每個字都具有相同記錄。依全稱量詞的合取分配即得。證畢。

此式屬於觀測語言與關係交集的直接集合論結果。它證明被動合併的意義明確，**沒有證明它對新增的混合操作字也完整**。

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## 4. [PROP 4.1] 主動組合必然細化被動聯合

**條件。** 系統及任務定義如前，且混合操作合法。

**結論。**

$$
E_J^{\mathrm{act}}
\subseteq
E_J^{\mathrm{pass}}.
$$

**[PROOF]** 由 $L_J^{\mathrm{pass}}\subseteq L_J^{\mathrm{act}}$，若兩狀態對較大的主動語言全部觀測一致，對其子語言當然也一致。證畢。

所以不論來源分布如何，主動分割至少與被動分割一樣細；但是否嚴格更細，必須研究轉移與可達性。

### 4.2 [PROP 4.2] 兩種聯合相等的充要條件：轉移同餘穩定

令 $R=E_J^{\mathrm{pass}}$。稱它對聯合操作集合 $\Lambda_J$ **轉移穩定**，若：

$$
(s,t)\in R
\Longrightarrow
(\delta(s,a),\delta(t,a))\in R
\quad\forall a\in\Lambda_J.
$$

**結論。** 對有限總定義確定性系統，

$$
E_J^{\mathrm{pass}}=E_J^{\mathrm{act}}
\quad\Longleftrightarrow\quad
E_J^{\mathrm{pass}}
\text{ 對 }\Lambda_J\text{ 轉移穩定}.
$$

**[PROOF；充分性]** 若被動關係轉移穩定，並因空字觀測而要求 $q(s)=q(t)$，則從任一被動等價對出發，對任意有限聯合操作字逐步使用穩定性，得到每個前綴的後繼狀態仍被動等價，從而每個前綴的 $q$ 相同。因此被動等價對全部主動語言觀測一致，即 $E_J^{\mathrm{pass}}\subseteq E_J^{\mathrm{act}}$。結合命題 4.1 得到相等。

**[PROOF；必要性]** 若兩者相等，則它等於對全部聯合有限操作字的未來等價。這種等價在任一聯合操作 $a$ 下必保持：否則由兩個後繼的某個可區分字 $w$，可用前置字 $aw$ 區分原始兩狀態，與原先等價矛盾。因此被動關係對聯合操作轉移穩定。證畢。

這提供了一個實用的**有限證書**：先算被動商，再檢查商內每對狀態在每個聯合操作下是否仍落在同一被動商類。若全部成立，被動商已是安全的主動商；若有違例，不能只憑原本任務證書就宣稱全域完整。

此條件實質上是確定性轉移系統的觀測同餘條件，不是新發明的同餘定律；本篇將它應用於「多任務觀測」與「跨任務可執行閉包」的明確比較。

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## 5. [COUNTER] 兩個局部任務完全正確，混合字卻新增可辨識資訊

### 5.1 六狀態兩操作模型

取：

$$
S=\{p,q,u,v,z_0,z_1\},
\qquad \Lambda=\{a,b\}.
$$

觀察輸出為 $q(z_1)=1$，其餘五個狀態的觀察輸出均為 $0$。為避免將狀態 $q$ 與觀察函數 $q$ 混淆，下面表格以 `q` 表示狀態名稱，觀察函數仍由上文定義。

| 狀態 | 觀察 | 經 $a$ 後 | 經 $b$ 後 |
|---|---:|---|---|
| $p$ | 0 | $u$ | $p$ |
| $q$ | 0 | $v$ | $q$ |
| $u$ | 0 | $u$ | $z_0$ |
| $v$ | 0 | $v$ | $z_1$ |
| $z_0$ | 0 | $z_0$ | $z_0$ |
| $z_1$ | 1 | $z_1$ | $z_1$ |

令任務 $T_a$ 只允許 $a$ 的任意有限次重複，任務 $T_b$ 只允許 $b$ 的任意有限次重複。

從 $p$ 與 $q$ 出發，只執行 $a$：第一步分別進入 $u$ 與 $v$，後續重複 $a$ 均留在這兩個狀態，所有觀測皆為 $0$。因此：

$$
p\equiv_{a^*}q.
$$

只執行 $b$： $p$ 、 $q$ 都各自留在原狀態，所有觀測也皆為 $0$，故：

$$
p\equiv_{b^*}q.
$$

所以在被動聯合中， $p$ 、 $q$ 仍屬同一行為商類。

### 5.2 最短的混合區分字

現在允許先 $a$ 再 $b$：

$$
p\xrightarrow{a}u\xrightarrow{b}z_0,
$$

$$
q\xrightarrow{a}v\xrightarrow{b}z_1.
$$

其完整觀察記錄為：

$$
E(p,ab)=(0,0,0),
\qquad E(q,ab)=(0,0,1).
$$

因此：

$$
p\not\equiv_{\{a,b\}^*}q.
$$

空字、單獨的 $a$ 及單獨的 $b$ 都不足以區分這兩個來源狀態；字 $ab$ 是長度為 $2$ 的最短區分見證。參考程式另以狀態對積自動機的廣度優先搜尋獨立找回這個最短見證，並重播兩條路徑的完整觀測。

### 5.3 為什麼它不是算術出錯？

每條表內轉移都是本模型正確宣告的操作。局部 $a^*$ 與 $b^*$ 的推論也完全正確。錯誤只會發生在某個合併演算法把「在所有純 $a$ 歷程及所有純 $b$ 歷程中等價」擴張成「在任何由 $a$ 、 $b$ 混合而成的歷程中等價」。兩句話的量詞範圍不同。

這與使用者原先區分的「計算正確性」與「命題及作用域是否完整」直接銜接：原始局部計算資產可以沿用，但其證書**不能超出已驗證語言作用域**。

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## 6. [DEF/PROP] 交錯操作的精確資訊質量差額

### 6.1 固定來源律與碰撞量

在同一有限狀態域上指定精確有理數來源律：

$$
\mu:S\to\mathbb Q_{\ge0},
\qquad\sum_{s\in S}\mu(s)=1.
$$

對任一觀察等價關係 $R$，設商類集合為 $S/R$，定義碰撞質量：

$$
K_\mu(R)
=\sum_{C\in S/R}\left(\sum_{s\in C}\mu(s)\right)^2.
$$

它代表兩次獨立抽樣落在同一行為商類的機率，而不是證明正確的機率、計算速度或物理資訊總量。

因 $E_J^{\mathrm{act}}\subseteq E_J^{\mathrm{pass}}$，可定義**交錯新增可辨識質量**：

$$
\Delta_\mu(J)
=K_\mu(E_J^{\mathrm{pass}})
-K_\mu(E_J^{\mathrm{act}})\ge0.
$$

這個差額反映**在原有被動觀察下仍然合併的來源對，有多少可經合法的混合運算被分開**。它不意味任何運算憑空創造能量、物理位元，或為系統增加新的原始狀態。

### 6.2 [PROP 6.1] 來源對的精確質量分解

對一個固定來源律、有限狀態域與兩個相容分割，有：

$$
\Delta_\mu(J)
=2\sum_{s<t:\ (s,t)\in E_J^{\mathrm{pass}}\setminus E_J^{\mathrm{act}}}
\mu(s)\mu(t).
$$

此處 $s<t$ 只是給定任意固定的狀態排序以避免重複計數，並非要求狀態具有內在大小次序。

**[PROOF]** 展開每一被動商類的質量平方，再扣除所有位於同一主動商類內的質量平方。對角項 $\mu(s)^2$ 在前後相同；同一主動商類內的異狀態配對也相互抵消。剩下的正是「被動同類、主動異類」的無序配對，並因平方展開而各有係數 $2$。每項非負。證畢。

本稿中的程式不只計算 $K$ 的差，也把每個造成差額的來源狀態對、其精確權重與一條由 BFS 查得的區分操作字列入 JSON，並以兩種途徑核對差額完全相同。

### 6.3 六狀態反例的精確數據

取：

$$
\mu(p)=\mu(q)=\frac12,
\qquad \mu(u)=\mu(v)=\mu(z_0)=\mu(z_1)=0.
$$

對被動聯合，兩個正權重來源仍屬同類，故：

$$
K_\mu(E_{\{T_a,T_b\}}^{\mathrm{pass}})=1.
$$

對主動閉包， $p$ 與 $q$ 分屬不同商類，各有質量 $1/2$，故：

$$
K_\mu(E_{\{T_a,T_b\}}^{\mathrm{act}})
=\frac14+\frac14=\frac12.
$$

精確差額為：

$$
\Delta_\mu(\{T_a,T_b\})=\frac12.
$$

若改為 $\mu(p)=1$ 、其餘皆為零，即使上述**結構性反例仍然存在**，來源律下的差額也變成 $0$。所以不能把「能辨識更多合法狀態」與「固定樣本分布下的碰撞質量改變」混為同一件事。

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## 7. [CLASSICAL/PROP] 被動任務資訊增益是加權覆蓋函數

### 7.1 任務選擇的正規化質量

令 $R_0$ 是僅由初態 $q$ 誘導的等價，並令任務子集 $J$ 的被動增益為：

$$
F_{\mathrm{pass}}(J)
=K_\mu(R_0)-K_\mu(E_J^{\mathrm{pass}}).
$$

則 $F_{\mathrm{pass}}(\varnothing)=0$。它只衡量選擇任務後，哪些初始不可區分的來源對變成可以區分。

對每一對初態觀察相同的不同來源狀態 $s,t$，定義能區分它們的任務集合：

$$
D_{s,t}=\{i:s\not\equiv_{L_i}t\}.
$$

由等價交集與碰撞質量展開可得：

$$
F_{\mathrm{pass}}(J)
=2\sum_{\substack{s<t\\q(s)=q(t)}}
\mu(s)\mu(t)
\mathbf1_{\{J\cap D_{s,t}\ne\varnothing\}}.
$$

### 7.2 [PROP 7.1] 單調性與次模性

**條件。** 任務各自的觀察語言固定、原始來源律固定，且只採被動任務聯合。

**結論。** $F_{\mathrm{pass}}$ 是正規化、非負、單調的次模集合函數。對所有任務集合 $A,B$：

$$
F_{\mathrm{pass}}(A)+F_{\mathrm{pass}}(B)
\ge
F_{\mathrm{pass}}(A\cup B)+F_{\mathrm{pass}}(A\cap B).
$$

**[PROOF]** 每個來源對的貢獻是「選定任務集合是否與固定區分集合 $D_{s,t}$ 相交」的指示函數。該指示函數是非負單調次模的覆蓋函數；它的非負線性組合仍然具有上述性質。證畢。

這是標準加權集合覆蓋與次模函數結果；不是新的資訊定律。若採任務數量預算並優化這個**被動**目標，既有的單調次模最佳化工具才有相應保證。這項保證不能自動搬用到下一節的主動閉包。

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## 8. [COUNTER] 主動組合資訊增益一般不是次模函數

對主動閉包定義：

$$
F_{\mathrm{act}}(J)
=K_\mu(R_0)-K_\mu(E_J^{\mathrm{act}}).
$$

它同樣單調且非負，因允許的原始操作只會增加；但其來源對是否能被區分，不必是某個**單一既有任務**已經可以區分的性質。

六狀態反例與前述固定來源律直接給出：

$$
F_{\mathrm{act}}(\varnothing)=0,
$$

$$
F_{\mathrm{act}}(\{T_a\})=0,
\qquad F_{\mathrm{act}}(\{T_b\})=0,
$$

$$
F_{\mathrm{act}}(\{T_a,T_b\})=\frac12.
$$

若 $F_{\mathrm{act}}$ 次模，必要求：

$$
0+0\ge\frac12+0,
$$

矛盾。

因此主動增益的「兩個任務一起才顯現的差額」，可以大於各自獨立的增益總和。這是**可執行操作組合**造成的新辨識能力，並非將 Shannon 熵、量子糾纏或物理非局部作用重新命名為「協同」。

同時須避免過強主張：主動增益不一定在每個模型都呈現超模性；本反例只證明它**不普遍次模**。在某些結構中主動增益可能等於被動增益，也可能出現冗餘。對新演算法選擇策略，不能因一個反例就預設所有任務組合都有正協同。

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## 9. [PROP 9.1] 相容跨表示傳輸下，資訊差額可以精確保留

設兩個有限總定義系統 $\mathcal M$ 與 $\mathcal M'$ 具相同操作標籤與相容觀察值域。若存在一個狀態映射 $h:S\to S'$，使：

$$
q'(h(s))=q(s),
$$

$$
h(\delta(s,a))=\delta'(h(s),a)
\quad\forall s\in S,\ a\in\Lambda,
$$

則對所有有限操作字 $w$，從 $s$ 與 $h(s)$ 出發的完整可見記錄相同。對任何由上述操作字形成的局部任務或主動閉包，原系統兩狀態的等價性，等價於其映像狀態的等價性：

$$
s\equiv_L t
\quad\Longleftrightarrow\quad
h(s)\equiv'_L h(t).
$$

若目標來源律為來源律的精確推前：

$$
\mu'(y)=\sum_{s:h(s)=y}\mu(s),
$$

則兩側被動商類與主動商類的**正權重分布**相同，因此相應 $K_\mu$ 與交錯資訊質量差額 $\Delta_\mu(J)$ 相同。

**[PROOF]** 對字長歸納，兩側每個操作前綴的狀態由 $h$ 相互對應，觀測依假設相等，故每一有限記錄一致。如此便可逐一對應兩狀態間的可觀察關係，並將原始來源質量沿 $h$ 聚合至目標等價類。被動及主動商類在正權重上的質量相等，碰撞平方和及其差額隨之相等。證畢。

**[LIMIT]** 此命題不要求 $h$ 單射，故原始身分資訊可能被合併；它只保證指定任務語言下的精確觀測及其來源律相容。反過來，若變換只是截斷顯示、浮點近似、無版本來源的摘要、未授權操作或任一不相容的混合運算，便不能使用這個定理。

這使本篇與 TCGCT／TCGQT 的「數學正本—多尺度觀察—合法轉換證書」接口有清楚對接點，但不代表相關多尺度執行器已完成本定理的端到端整合。

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## 10. [DEMO] 可重播有限精確實驗

### 10.1 程式與兩條獨立核對路徑

參考程式 `src/gcti07.py` 使用 Python 標準函式庫。其驗證分工如下：

- **分割精化：** 在有限總定義 Moore 機上反覆依輸出及後繼等價類拆分，直到穩定，取得指定字母集合下最粗的安全行為商。
- **被動聯合：** 對各任務分別計算行為商，再取分割的共同細化，而不是直接將操作集合合併。
- **主動閉包：** 對所有已選任務操作的聯集重新計算穩定商，允許合法交錯字。
- **獨立區分見證：** 另以來源狀態對的積轉移圖 BFS 搜尋最短區分字，交叉核對分割判定。
- **精確質量：** 來源律使用 `fractions.Fraction`；碰撞質量採整數／有理數精確平方和，並獨立累加所有被動同類、主動異類的來源對權重。
- **結構證書：** 直接檢查被動分割是否對全部聯合操作穩定，而不只比較最後類數是否相等。

這些路徑仍共用研究者聲明的同一模型定義。BFS 與精化之間的交叉核對，不等於外部真實資料的來源可信度驗證，也不等於 Lean／Rocq 定理證明。

### 10.2 固定種子隨機有限模型稽核

本輪執行 `randomized_audit(seed=107,models=180)`，使用每個模型 $3$ 至 $7$ 個有限狀態、 $2$ 或 $3$ 個原始操作、精確離散來源權重，逐一比較被動與主動分割。統計結果由 `results/verification.json` 中的 `randomized` 欄位記錄：

| 驗證項目 | 結果 |
|---|---:|
| 有限模型 | 180 |
| 已檢查任務子集 | 1148 |
| 主動狀態對與 BFS 判定 | 12196 |
| 被動集合函數次模不等式 | 8016 |
| 有正來源權重的交錯差額案例 | 31 |
| 被動分割對聯合操作穩定的案例 | 1103 |
| 主動目標次模不等式的反例實例 | 56 |
| 程式判定不一致 | 0 |

隨機模型實驗對有限的生成分布有效，不代表對所有有限系統完成窮舉，更不能以 0 次不一致宣稱上述模型已被證明在無限、概率、非決定性、連續或物理世界通用。

### 10.3 固定反例的重要 JSON 欄位

`task_information` 包含不同任務子集的被動與主動商、精確碰撞率及交錯差額；`composition_certificate` 保存最短字 `['a','b']`、兩邊完整觀測及被動分割的不穩定轉移見證；`randomized` 保存固定種子的有限模型統計。最後的 SHA-256 僅供內容辨識，**不是數學等價或外部來源身分的證明**。

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## 11. [LIMIT] 不能被偷換的七個問題

1. **運算語法與合法性。** 本稿在操作總定義的模型中把全部聯合字視為合法；真實運算的型別、作用域、權限及例外需要另外處理。
2. **同結果與同行為。** 終端數值相同不保證局部任務相同；局部任務相同也不保證主動組合相同。
3. **同觀測與同來源。** 任何觀測商都可能合併來源不同的歷程。GCTI-02 的依賴閉包及來源責任不得因觀測等價而被刪除。
4. **被動資訊與交錯資訊。** 被動合併只檢查原始任務語言；主動閉包要求對新混合字也具有合法的正確性證據。
5. **測度與結構。** 即使有嚴格的商類分裂，在零權重來源上也可能測不到質量差額。固定來源分布是精確量化的必要前提。
6. **次模性與互動。** 被動目標具有標準加權覆蓋性；主動目標一般不次模。不能把被動任務選擇最佳化的保證不經驗證便轉移給主動系統。
7. **資訊不變量與物理守恆。** 本篇沒有發現單一普適「全域資訊量」；已證對象是有限、任務相對的等價商、可見輸出軌跡及其精確有理數質量。

這些限制不否定研究方向，而是指出下一個主張必須跨越哪些精確的數學義務：實際運算如何組合、混合規則如何證明合法、來源如何保持可重播，以及局部觀察何時已對聯合操作閉合。

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## 12. 結論：可保留的資訊不只是任務相加，而是合法組合後的關係

本篇給出了四個可以分層判定的結果：

- `[PROP]` 被動多任務等價正是各局部任務等價的交集。
- `[PROP]` 主動交錯閉包的等價必然細化被動聯合；兩者相等的充要條件是被動等價對聯合操作穩定。
- `[PROP]` 在固定來源律下，兩者的碰撞差額可以表示為被動同類、主動異類的來源對權重總和；被動可辨識質量是單調次模的覆蓋函數。
- `[COUNTER]` 主動可辨識質量不必次模，兩個單獨完全不能區分來源的任務，可以藉由合法交錯操作產生嚴格正差額。

因此，先前「正確計算成果具有沿用性」的命題，可以獲得更細緻的版本：**計算證據能安全沿用到哪裡，不只取決於它原來算得對不對，也取決於新的運算任務是否在原有證書的操作語言閉包之內。**

我們可以先保存經核對的局部歷程，再以明確的轉移同餘條件判定它是否已經包含所需的全域組合資訊。若條件失敗，並不代表原始計算錯誤，而是出現一個可以被精確定位、補充運算見證並重新驗證的**組合資訊缺口**。

> **不是每一條正確的局部軌跡都會自行顯現全域；真正跨域可沿用的，是在合法組合之後仍能承擔其全部觀察義務的運算關係。**

這是 GCTI-07 的條件性數學結論；全域資訊是否具有某種跨所有數學域、跨所有運算系統的普適不變形式，仍屬開放問題。

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## 附錄 A：重播與來源驗證

解開整包 ZIP 後，於 `GCTI_07_2026-11-05/` 執行：

```bash
python -m unittest discover -s tests -v
python -m src.gcti07 --output results/verification.json
python validate_source.py
```

同包的 `upstream/GCTI_06/` 是第六篇的唯讀原始快照，其中保留 GCTI-01～05 的階層原稿、實作與驗證資料。於 `upstream/GCTI_06/` 執行其 `build_release.py` 並非必要；可以直接執行既有的單篇測試與來源驗證。GCTI-07 的打包程式會執行全部前篇回歸，不依賴外部網路。

正式 Markdown 為原始 UTF-8、LF、無 BOM 檔案；數學原始碼一律以 ` $...$ ` 與 `$$...$$` 作唯一 delimiter。驗證器不對原稿進行 Unicode escape 往返，不以網頁上的公式顯示取代原始碼，也不修改原公式反斜線。

## 附錄 B：前置與既有文獻

### EveMissLab 原始研究譜系（作為研究脈絡，非獨立外部驗證）

1. Neo.K / GPT-6，《GCTI-01：全域運算軌跡與計算正確性的跨表示不變結構》，v0.1，2026-11-04。
2. Neo.K / GPT-6，《GCTI-02：局部—全域證據拼接、依賴閉包與正確計算的可再利用性》，v0.1，2026-11-04。
3. Neo.K / GPT-6，《GCTI-03：未來脈絡等價、最小充分資訊結構與跨運算證據保真》，v0.1，2026-11-04。
4. Neo.K / GPT-6，《GCTI-04：跨系統共同軌跡商、合法作用傳輸與可驗證的運算資訊邊界》，v0.1，2026-11-05。
5. Neo.K / GPT-6，《GCTI-05：保守規則演化、跨版本證據精化塔與無限相容摘要的可實現性》，v0.1，2026-11-05。
6. Neo.K / GPT-6，《GCTI-06：任務相對資訊量、保守精化的質量帳本與跨系統運算保真》，v0.1，2026-11-05。
7. Neo.K / EveMissLab，*TCGCT*（精確原生計算及來源版本）：https://github.com/kakon77777-commits/TCGCT 。
8. Neo.K / EveMissLab，*TCGQT*（數學觀測、多尺度纖維）：https://github.com/kakon77777-commits/TCGQT 。
9. *TCGCT × TCGQT 多尺度觀察計算橋接與核心不變量契約*，2026-10-31：https://github.com/kakon77777-commits/TCGCT/blob/main/docs/papers/TCGCT_TCGQT_Multiscale_Compute_Bridge_Contract_v0.1_DRAFT_2026-10-31.md 。
10. *SIO Paper 04: Generator Quotients and Cross-Representation Invariants*，v1.0，2026-10-02。
11. *GRST-12: Unified Global Rule-Shi Theory*，v0.1，2026-10-05。
12. *XPVB-03: Dynamic Invariants and Process Equivalence*、*XPVB-04: Infinite Processes, Limits, and Convergence Structures*，v0.1，2026-11-03。

### 經典數學與理論電腦科學（不主張首創）

13. Edward F. Moore (1956), *Gedanken-experiments on Sequential Machines*，有限確定性機器的觀測實驗與狀態辨識，收於 *Automata Studies*。
14. G. L. Nemhauser, L. A. Wolsey, M. L. Fisher (1978), *An analysis of approximations for maximizing submodular set functions—I*, *Mathematical Programming* 14, 265–294，DOI: https://doi.org/10.1007/BF01588971 。
15. G. L. Nemhauser and L. A. Wolsey (1978), *Best Algorithms for Approximating the Maximum of a Submodular Set Function*, *Mathematics of Operations Research* 3(3), 177–188，DOI: https://doi.org/10.1287/moor.3.3.177 。
16. 有限狀態 Moore 機的分割精化、確定性轉移同餘、積機器 BFS、集合交集、碰撞機率平方和與加權覆蓋函數皆屬既有標準數學／演算法。本篇的研究工作，是在 GCTI 的「局部運算證據—全域組合—任務相對資訊」問題中將其規格化、分型、建立可反駁例與精確來源帳本。

**End of GCTI-07 — finite exact research draft, v0.1 / 2026-11-05.**