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title: "全域運算軌跡論 III：未來脈絡等價、最小充分資訊結構與跨運算證據保真"
english_title: "Global Computational Trajectory Invariance III: Future-Context Equivalence, Minimal Sufficient Information, and Evidence-Preserving Computation"
short_title: "GCTI-03"
author: "Neo.K（全域運算軌跡、底層資訊不變與計算正確性優先之研究構想）／GPT-6（條件性形式化、既有理論歸屬、反例、有限實作與研究原稿）"
affiliation: "EveMissLab／一言諾科技有限公司"
version: "v0.1"
date: "2026-11-04"
status: "RESEARCH DRAFT — CLASSICAL FINITE-STATE MATHEMATICS APPLIED TO GCTI; FINITE EXACT REPLAY; UNIVERSAL INFORMATION INVARIANT UNPROVED"
predecessors: "GCTI-01 v0.1; GCTI-02 v0.1"
canonical_source: "UTF-8; LF; no BOM"
canonical_math_delimiters: ' $...$ and $$...$$ only'
external_peer_review: "NOT PEER REVIEWED"
formal_proof_assistant: "NOT LEAN VERIFIED"
reference_implementation: "Python 3.10+ standard library"
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# 全域運算軌跡論 III

## 未來脈絡等價、最小充分資訊結構與跨運算證據保真

**GCTI-03 · v0.1 · 2026-11-04**

> **研究核心。** 一份計算既然已經正確，是否可以在日後更換命題、觀察域、進位表示、作用域或後繼演算法時被普遍沿用？本文不把「同數值」冒稱為「同來源」或「同一未來」。相反，我們將可沿用性變成一個可以被反例檢驗的問題：**在明確指定的後續運算語言下，兩份歷程究竟是否無法由任何合法有限後續操作區分？**

**標記與責任界線：** `[DEF]` 工作性定義；`[CLASSICAL]` 既有有限自動機／轉移系統數學；`[PROP]` 條件命題及本文證明；`[COUNTER]` 反例；`[DEMO]` 有限精確模型；`[HYP]` 更廣域、尚未證明的研究主張；`[FAIL]` 應當拒絕的推論。本篇不聲稱發明 Myhill–Nerode 定理、Moore 分割精化或雙模擬理論。

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**作者：** Neo.K（全域運算軌跡、底層資訊不變與計算正確性優先之研究構想）／GPT-6（條件性形式化、既有理論歸屬、反例、有限實作與研究原稿）  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-11-04  
**版本：** v0.1  
**原稿狀態：** RESEARCH DRAFT — CLASSICAL FINITE-STATE MATHEMATICS APPLIED TO GCTI; FINITE EXACT REPLAY; UNIVERSAL INFORMATION INVARIANT UNPROVED  

## 摘要

GCTI-01 將有型別運算歷程、合法跨表示變換與命題再適配分開；GCTI-02 則證明：在有限純函數精確運算 DAG 類別中，局部算術均正確與兩兩拼接相容，仍不足以保證整體有合法無環依賴圖。若一個已驗證輸出的完整祖先閉包在新計算中保持不變，則可在相同來源與規則前提下局部沿用證據。這兩篇並未充分回答：**哪些局部歷程在後續操作中可以被同一份更簡潔的資訊表示安全取代？**

本篇把此問題限制到具有有限狀態集、有限動作字母表、確定性部分轉移與明示觀察投影的系統。定義歷程狀態的「未來脈絡等價」：當且僅當對任何有限後續動作字，兩個狀態產生完全相同的觀測前綴，且對每一步的操作可用性給出同樣結果。利用既有有限狀態分割精化方法，構造此等價關係的商系統，證明商系統對宣告的全部有限後續操作保持觀測行為，並且是這一類觀測相容商中的最粗安全合併。

透過精確有限案例，本篇展示：（一）兩條結果同為 $4$ 的來源歷程，在只允許算術後續操作時可以觀測等價，一旦加入來源專屬稽核動作便不再等價；（二）兩條在當下和下一步都顯示 $1$ 的歷程，可能到第二步才區分；（三）四條不同來源的「返回 $1$ 」歷程，在單一數值觀察語言下可被商為一類，若來源變成查詢要件則分為四類；（四）即使全部狀態的數值投影都是 $1$，允許未來操作的結構仍可迫使任意多個不同的等價類。

因此，「最小充分資訊量」必須依賴觀察任務、可用操作、規則版本、來源與證明義務。其候選量可以包含上下文等價類的結構、類數或所需固定長度編碼位數；但這些都不代表宇宙或一切正確運算存在共同守恆資訊標量。本篇提供的是**可以精確判定何時保留、何時合併、何時拒絕的有限數學接口**，不是普遍數學本體論的最終證明。

隨包實作由 Python 標準函式庫建立有限部分確定性轉移系統、缺失動作可辨識語義、分割精化、獨立的雙狀態 BFS 區分見證、商系統重播、嚴格版本與狀態重命名核查，以及進位制無損顯示。41 項測試通過；另生成 120 組固定種子的有限模型、共 780 個狀態與 1,267 條已定義轉移，檢查 2,460 組狀態對的未來等價及區分見證，並完成 15,340 次商系統有限動作字重播比對，全部未見違例。這些統計只支持已實際測試的有限對象。

**關鍵詞：** GCTI、全域運算軌跡、計算正確性、未來脈絡等價、證據再利用、有限狀態系統、分割精化、最小充分商、表示保真、來源稽核、數值投影、有限辨識容量、TCGCT、TCGQT、SIO、GRST、XPVB。

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## 0. 研究脈絡與強猜想的重新定位

### 0.1 前二篇各自保證什麼？

GCTI-01 的核心義務是：在已宣告運算域及合法變換下，經證明的表示變換是否與每個運算步驟交換相容。若只有端點值相同，而中途運算規則或來源不相容，不能直接宣稱整段歷程保真。

GCTI-02 的核心義務是：多個局部精確事件能否按身份、來源修訂與完整依賴拼接為同一合法有限 DAG，以及哪些既有祖先閉包可被沿用。其「全域」指**指定的一整組有限片段**，不是整個宇宙。

本篇考察第三種問題：當兩段歷程的完整祖先閉包**本來就不同**，我們是否仍可能針對指定後續問題合法合併它們？如果可以，這種合併**到底犧牲了哪些資訊**，又保住了哪些資訊？

### 0.2 不允許的三個偷換

- **運算正確性**不能自動提升為任意新命題都正確。機率空間、資料生成協議或作用域的改變，仍需額外適用性判定。
- **相同結果**不能直接提升為相同來源、相同全部後繼能力或相同規則勢。
- **在指定觀察下不可區分**不能直接提升為物理歷程相同、全部資訊守恆、資料來源已認證或未來所有可能查詢都可以安全忽略差異。

本篇有意將「最小充分」限定為**觀測任務相對**的數學性質。

### 0.3 與傳統自動機數學的關係

本文的有限狀態分割精化，屬於經典自動機最小化與行為等價的思想；尤其接近 Moore 式狀態精化、Myhill–Nerode 型未來可區分性，以及確定性有觀察轉移系統的強行為等價。本文不爭取這些數學命題的發現權。

GCTI 在此新增的組織角色，是把「誰可以合併」明確連到**精確計算來源、作用版本、可用後繼算子、觀察查詢、證書沿用與跨表示投影**。這個連接仍需在更大模型中接受實驗與比較，不能把概念整合當成已證的普遍數學發現。

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## 1. [DEF] 有型別的有限未來運算系統

### 1.1 系統本體

定義一個有限、確定性的部分轉移系統：

$$
\mathcal M=(S,A,\delta,q,v).
$$

其中：

- $S$：非空有限狀態集合；狀態可以是來源有別的計算歷程、已驗證輸出或局部計算結構的**模型身份**。
- $A$：有限、已宣告的後續操作字母表；每一動作有固定語義，不能靠同名文字跨版本偷換。
- $\delta:S\times A\rightharpoonup S$：部分且確定的後繼映射；未定義表示該操作在目前宣告規則下不可使用。
- $q:S\to O$：有型別的觀察投影；可以只顯示精確數值，也可以按明確查詢附加來源、稽核狀態或其他資料。
- $v$：規則、觀察與來源模式的版本宣告。

在程式中，`TraceSystem` 以完整、不可被呼叫者原地竄改的映射快照保存觀測與轉移。`rule_version` 是**對模型版本的宣告**，不是外部身份簽章。

### 1.2 後續動作字與可觀察執行

令：

$$
w=a_1a_2\cdots a_k\in A^*.
$$

從 $s_0=s$ 依次執行 $a_i$。若每一步都有定義，令 $s_i=\delta(s_{i-1},a_i)$，則可觀察執行包含：

$$
(q(s_0),q(s_1),\ldots,q(s_k)).
$$

若某一步尚未有合法後繼，執行記錄會另外明確指出**首次缺失的動作及其位置**。因此「不存在這項後續操作」本身是可觀察差異；不得把未定義動作默默當成自迴圈、零成本成功、或任意預設數值。

記整份成功／失敗執行記錄為：

$$
E_{\mathcal M}(s,w).
$$

### 1.3 [DEF 1.3] 未來脈絡等價

在同一規則版本、同一動作字母表及同一觀察語義下，定義：

$$
s\approx_{\mathcal M}t
\quad\Longleftrightarrow\quad
\forall w\in A^*,\;
E_{\mathcal M}(s,w)=E_{\mathcal M}(t,w).
$$

這比單純：

$$
q(s)=q(t)
$$

更強。它要求在任意**有限長度**的允許後續運算下仍無法區分；但它並未要求兩段原始運算來源身份相同，也不要求不在 $A$ 內的動作具有相同能力。

若來源稽核日後成為新的操作，必須在新擴大的動作語言下**重新**計算可替代性。

### 1.4 [CLASSICAL] 單步相容判準

對確定性部分轉移系統， $s\approx_{\mathcal M}t$ 當且僅當：

1. $q(s)=q(t)$ ；
2. 每個 $a\in A$ 對 $s$ 有定義，當且僅當對 $t$ 也有定義；
3. 兩側都可執行 $a$ 時，其後繼仍在同一未來脈絡等價類。

**[PROOF]** 若對全部有限字均相同，取空字得到當下觀察相同；取單字得到操作可用性相同；取 $aw$ 並任選後綴 $w$，得到兩個後繼對全部未來字均相同。反過來，由當下觀察及單步相容，對有限字長歸納：長度零的執行相同；長度 $k+1$ 可先以同一第一動作轉入等價後繼，再套用長度 $k$ 的歸納假設。證畢。

這是確定性轉移系統中成熟的行為等價論證，而非新提出的一般數學定理。

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## 2. [CLASSICAL] 從有限觀察到最小充分商結構

### 2.1 最初的投影等價

從只比較當下觀測值的分割開始：

$$
s\sim_0t
\quad\Longleftrightarrow\quad
q(s)=q(t).
$$

令 $P_k$ 是第 $k$ 階分割，每個狀態 $s$ 的所屬區塊記為 $[s]_k$。對每個動作定義：

$$
\chi_{k,a}(s)=
\begin{cases}
\bot,&\delta(s,a)\text{ 未定義},\\
[\delta(s,a)]_k,&\delta(s,a)\text{ 有定義}.
\end{cases}
$$

這裡 $\bot$ 是**缺失動作的標記**，不得和任何合法後繼類相同。再定義新的辨識簽章：

$$
\sigma_{k+1}(s)=
\left(
[s]_k,\,
(\chi_{k,a}(s))_{a\in A}
\right).
$$

令 $P_{k+1}$ 按相同簽章分組。每一輪只會將既有類別再分開，不會把先前可區分的類別重新合併。

### 2.2 [PROP 2.2] 有限終止及完整未來可區分性

**假設。** $S,A$ 有限， $\delta$ 為部分確定性轉移， $q$ 為明示全定義的觀察函數。

**結論。** 上述分割精化至多經過：

$$
|S|-|P_0|
$$

輪真正產生分裂的精化，即停止在固定點 $P_*$ ；對任意 $s,t$，兩者落在同一 $P_*$ 區塊，當且僅當 $s\approx_{\mathcal M}t$。

**[PROOF]** 分割每次嚴格變細，區塊總數至少增加一個，而最大不超過 $|S|$，故分裂輪數有上述上界。固定點時，同區塊狀態有相同觀測值、相同各動作可用性，且每個動作後繼仍在相同區塊；用 1.4 的單步相容判準，即可推出全部有限後續字的觀測執行相同。反過來，若兩狀態未來脈絡等價，按 $k$ 歸納可知任何一輪 $P_k$ 都無法把它們分開，因此在 $P_*$ 中仍同類。證畢。

**延伸判準。** 若兩狀態終究可區分，則存在長度不超過 $|S|-|P_0|$ 的有限後續動作字，能揭露某個觀察不同或操作可用性不同。這是上述**特定有限確定系統**的界限，不能用於無界狀態或未聲明之無窮操作語言。

### 2.3 [PROP 2.3] 商系統的正確性與相對最小性

令：

$$
Q=S/{\approx_{\mathcal M}},
\qquad
\pi:S\to Q.
$$

對每個類 $[s]$ 定義：

$$
\bar q([s])=q(s),
$$

以及在 $\delta(s,a)$ 有定義時：

$$
\bar\delta([s],a)=[\delta(s,a)].
$$

由 1.4 的相容性，這些定義不依賴代表元，故良定義。對任何有限字 $w$，原系統從 $s$ 執行與商系統從 $\pi(s)$ 執行的觀測前綴及首次缺失動作完全一致。

此外，**在原狀態集合上，所有必須保留相同觀察與全部有限後續行為的等價合併中**，本商是最粗的安全合併。因此，它的類數最少。這裡的「最小」是特定觀測語義與同一轉移系統的商模型意義，不是原始資料無損儲存的最少位元，也不是任何實際硬體上的最低計算成本。

### 2.4 [PROP 2.4] 對未來脈絡不敏感的查詢可以經商因子化

若一個後續查詢結果函數 $F:S\to Y$ 滿足：

$$
s\approx_{\mathcal M}t
\Longrightarrow
F(s)=F(t),
$$

則存在唯一函數 $\bar F:Q\to Y$，使：

$$
F=\bar F\circ\pi.
$$

**[PROOF]** 令 $\bar F([s])=F(s)$。前提保證不依賴類別代表元；唯一性由 $\pi$ 的滿射性得到。證畢。

此結論是商集合的標準因子化性質。它提供**什麼查詢可以從商結構直接回答**的精確接口；若查詢包含未保存的來源身份，就不能使用這個商來假裝回答。


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## 3. [COUNTER] 同結果不代表可以在所有運算中安全替代

### 3.1 數值 $4$ 的兩種形成歷程：有限後續語言的重要性

考慮兩份均可精確核對的算術形成歷程：

$$
2+2=4,
\qquad
2\times2=4.
$$

用 `add_4`、`mul_4` 表示這兩份**來源有別**的計算狀態。它們都投影出數值 $4$。另外有數值為 $5$ 、 $16$ 的狀態，並宣告兩個來源無關的後續動作：

- `increment`：將上述 $4$ 的數值狀態導向 $5$ ；
- `square`：將上述 $4$ 的數值狀態導向 $16$。

如果觀察者只被允許這兩個動作，且兩者對 `add_4` 與 `mul_4` 都有相同的後續語義，那麼它們的**數值及宣告後續行為**等價，可以被同一商類代表。它們仍是兩個不同來源 ID；商類相等不能刪掉原始來源側錄。

若動作語言新增 `audit_add` 與 `audit_mul`，分別表示要求原始來源曾執行加法或乘法的**模型化稽核資格**，則兩側的操作可用性不再相同。在新的語言中：

$$
\mathrm{add\_4}\not\approx_{\mathcal M}\mathrm{mul\_4}.
$$

這不是宣稱 `audit_add` 真能驗證第三方資料來源。它只是以明確的允許／拒絕轉移說明：**當後續任務需要來源資訊時，先前為數值任務建立的商類可能不再充分。**

原型中的具體結果：

| 觀測範圍及動作語言 | 狀態數 | 最小商類數 | `add_4` 與 `mul_4` |
|---|---:|---:|---|
| 僅數值；`increment`、`square` | 4 | 3 | 同類 |
| 同樣數值；另外加入兩項來源稽核 | 4 | 4 | 不同類 |

這個差異並非算術本身出錯，而是**保真要求提高了**。

### 3.2 只看當下和下一步仍可能不足

構造六個狀態 `u0,u1,u2,v0,v1,v2`，僅有動作 `step`。各狀態觀察值為：

$$
q(u_0)=q(u_1)=q(u_2)=1,
$$

$$
q(v_0)=q(v_1)=1,
\qquad q(v_2)=2.
$$

合法後續為：

$$
u_0\to u_1\to u_2,
\qquad
v_0\to v_1\to v_2.
$$

兩個起點在當下、甚至一次 `step` 後都不可區分；但執行兩次 `step`，觀測序列分別是：

$$
(1,1,1),
\qquad
(1,1,2).
$$

原型分割輪次依序得到 $2$ 、 $4$ 、 $6$ 個區塊。此反例說明：只驗證目前結果、當下鄰接表，或固定的一步後繼值，都可能錯誤合併本不應合併的計算狀態。完整有限模型必須檢查後續行為的閉包。

### 3.3 $1^n$ 的觀測不變與不同來源歷程

考慮四個來源狀態 $A,B,C,D$，其數值投影全部為：

$$
q(A)=q(B)=q(C)=q(D)=1.
$$

在示範操作 `extend` 下，允許：

$$
A\to B\to A,\qquad C\to D\to C.
$$

若只關心每次 `extend` 後的數值是否仍是 $1$，且任何長度的此動作都可執行，四個狀態皆屬同一未來脈絡等價類。這不是否認四種狀態身份，而是說**指定數值觀察語言完全無法讀出它們之間的來源差異**。

改以帶來源標籤的投影：

$$
q'(s)=(1,\mathrm{id}(s)),
$$

便得到四個類。此處的差異是在**觀察要求及證據責任**中出現，並不代表通常實數的 $1$ 被拆成四個不同實數。

這個有限例子與 XPVB-03／04 的研究精神相容：一個恆定數值投影，不足以唯一決定過程束的來源與未來結構。它也不聲稱任何有限機器實際執行了 $1^\infty$ 或完整展開無限歷程。

### 3.4 [PROP 3.4] 常值投影不提供統一有界的未來充分表示

對任何整數 $m\ge1$，令：

$$
S_m=\{0,1,\ldots,m\},
\qquad A=\{a\},
\qquad q(i)=1.
$$

定義部分轉移：

$$
\delta(i,a)=i+1 \quad (0\le i<m),
$$

並令 $\delta(m,a)$ 未定義。

雖然全部狀態都顯示相同的 $1$，任意兩個不同狀態 $i<j$ 卻可區分：取動作字 $a^{m-j+1}$，從 $j$ 出發會在最後一步遇到未定義動作；從 $i$ 出發則仍有定義。

因此：

$$
|S_m/{\approx_{\mathcal M}}|=m+1.
$$

**[結論]** 即使最終數值觀察恆定，隨著規則系統規模增加，保留全部有限後續操作能力所需的類數也沒有**跨所有系統的一致有限上界**。這不否定對各個固定有限模型可以求得有限的最小商；它反對的是從「結果都為 $1$ 」直接推出「所有未來可重用資訊只需一個固定大小的標記」。

原型精確計算 $m=1,2,4,8,16,32$，商類數分別是 $2,3,5,9,17,33$。其中未定義動作造成的可觀察差異是此命題的必要條件；若改成全部狀態同樣具有永遠合法的自迴圈，等價類可以重新合併。

### 3.5 [FAIL] 把資訊不可逆丟失誤寫成保真

即使一個數值結果完全正確，若採用：

$$
f(x)=x-x=0,
$$

則不同輸入全都映成 $0$。只從輸出零值無法逆推出原始 $x$。若仍要保留輸入來源、原始運算事件或後續查詢能力，必須保留額外紀錄或來源路徑。

GCTI-02 已證明：若要求某個非平凡狀態標量對所有包含這種消去算子的正確運算都恆定，它只能退化為常數。GCTI-03 因而不尋找一個無條件保存所有狀態差異的神奇數值，而改問：**哪些區別對特定的合法未來仍有作用，哪些區別可以被安全地視為冗餘？**

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## 4. [PROP] 未來充分辨識容量：可以定義，但不宜冒稱普遍守恆資訊量

### 4.1 [DEF 4.1] 類數與固定長度區分類別位數

對固定的 $\mathcal M$，取其最小充分商：

$$
Q_{\mathcal M}=S/{\approx_{\mathcal M}}.
$$

定義「未來行為類數」：

$$
N_{\mathcal M}=|Q_{\mathcal M}|,
$$

以及在**事先不指定機率分布**，只需以固定長度二進位碼標記任一等價類的條件下，所需的最少位數：

$$
B_{\mathcal M}=\lceil\log_2N_{\mathcal M}\rceil.
$$

在 $N_{\mathcal M}=1$ 時，取 $B_{\mathcal M}=0$。這個公式是基本計數／編碼的直接結果。

重要的是： $B_{\mathcal M}$ 不是 Shannon 熵、Kolmogorov 複雜度、物理資訊守恆量或實際記憶體成本，也不表示不需保留來源側錄。它只是**在此狹義分類任務中，辨認哪個安全商類所需的固定長度碼位數**。若需要來源重播、機密驗證、可逆解碼或任意新查詢，則本定義通常不足。

### 4.2 [PROP 4.2] 擴大觀察與後續動作，只可能把商類分得更細

固定相同的底層狀態與轉移資料。若新動作集合 $A'$ 包含原來的 $A$，且原有動作語義與來源版本完全未變，則在 $A'$ 下不可區分的兩狀態，必在 $A$ 下不可區分。

若新觀察函數 $q'$ 比 $q$ 更細，意即存在 $h$ 使：

$$
q=h\circ q',
$$

則對所有後續動作，新投影下不可區分也必然推出舊投影下不可區分。因此兩種增加辨識要求的操作都滿足：

$$
N_{\mathrm{new}}\ge N_{\mathrm{old}}.
$$

**[PROOF]** 舊動作字是新動作字集合的子集；舊觀測前綴可從新觀測前綴經 $h$ 還原。因此每一組被新規格判為等價的狀態，也必滿足舊規格全部辨識義務。由分割的細化關係得到類數不減。證畢。

**必要界線。** 若不是單純增加動作，而是改動原有動作的轉移規則、換版本或替換觀測語義，以上單調結論不適用，必須重新驗證對應關係。

### 4.3 [PROP 4.3] 跨狀態重命名的商結構保真

設 $\varphi:S\to S'$ 是雙射，且兩個固定版本系統有相同動作名稱，並滿足：

$$
q'(\varphi(s))=q(s),
$$

以及對每個 $a\in A$，兩側動作同時有定義或同時未定義；在都有定義時：

$$
\varphi(\delta(s,a))
=
\delta'(\varphi(s),a).
$$

則由對動作字長度歸納，可得：

$$
s\approx_{\mathcal M}t
\iff
\varphi(s)\approx_{\mathcal M'}\varphi(t).
$$

因此最小充分商在 $\varphi$ 下保持同構，類數相同。

這與 SIO-04 的 Generator Quotient 分層思想有明確的方法論關聯：**表示變了，並不必然意味底層可查詢關係變了**。但它不是說本篇的有限狀態商就是 SIO 的生成超圖商，也不表示任意有損投影都構成上述雙射。

### 4.4 不同進位制：只展示值保持，不能混稱全部過程相同

取共同整數：

$$
891_{10}.
$$

在不同的標準進位制中，原型使用精確整數編碼與解碼，得到：

| 基底 | 位值字串 | 還原的整數 |
|---|---|---:|
| 2 | `1101111011` | 891 |
| 8 | `1573` | 891 |
| 10 | `891` | 891 |
| 16 | `37B` | 891 |
| 36 | `OR` | 891 |

這項結果支持**數值在正確解碼後不依賴進位表示**，不支持任意進位制的 carry 軌跡、局部運算成本、相位觀測、演算法依賴圖也全部同一。

TCGCT 保存精確正本與數值來源，TCGQT 可以建立多尺度觀察；兩者之間若要從單純的編碼同值提升為**完整運算軌跡保真**，仍需驗證相應操作的交換相容性。該要求已出現在 2026-10-31 的 TCGCT × TCGQT 橋接契約中，但本篇沒有把尚未實作的宏觀算子等價當成已通過的事實。

### 4.5 有限計數與真實運算資源的分離

即使 $B_{\mathcal M}$ 很小，計算出 $Q_{\mathcal M}$ 也可能需要檢查整張轉移表；同時，維護來源、修訂、驗證與新增操作的成本可能超過單純重算。

因此應明確分開：

- **數學充分性：** 商是否能在指定語義下回答全部後續查詢？
- **源資料可靠性：** 轉移表與觀測值是否真的來自被授權的來源？
- **驗證成本：** 建立和核查商、來源與映射所需工作量。
- **實際運算成本：** 真實 CPU／RAM／I/O／Token／延遲及更新費用。

沒有公平基準實驗，不能把區塊數下降推論為系統端到端性能必然提高。


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## 5. TCGCT × TCGQT × SIO × GRST × XPVB 的共同接口

### 5.1 TCGCT：正確計算與來源依賴的權威

在目前研究階段，TCGCT 對本文的主要啟發不是某個特殊進位制的顯示形狀，而是**精確值、運算型別、完整依賴及來源快照應當可以追蹤**。

GCTI-02 的有限 DAG 驗證仍是判斷「某份已記錄的算術計算是否正確」的基礎；GCTI-03 並不重新從一個觀察等價類去證明原先算術資料為真。只有在上游精確計算與來源條件有效的前提下，未來商類才可能供有限後續查詢安全重用。

**最小責任分工：** 精確來源可供查詢，後續狀態語義可被建構，才允許進行脈絡等價分析。商類證書不能自行生成上游來源授權。

### 5.2 TCGQT：多尺度觀察與充分性界線

TCGQT 可能對同一精確計算物件產生不同的觀察投影，如基底轉換、數位相位、纖維、深度或關係群組。若只保留較粗的視圖，來源差異可能暫時無法被觀察；但只要新任務要求那些差異，便必須回到原始層或更細的證據層。

GCTI-03 的「擴大查詢只會細分安全商類」提供一個有限確定性版本的保真準則，而不是證明任意 TCGQT 多尺度映射都已有良定義的計算同態。

### 5.3 SIO：資訊佔據與跨表示商的更深對接

SIO Paper 04 的 Generator Quotient 研究的是：符號標籤、嵌入及進位編碼改變，卻可能保留相同的生成超圖結構與自由查詢。GCTI-03 的商則研究：**後續行為不可區分時，哪些狀態身份在指定觀察語言下可以共享一個表示。**

兩者不是同一個數學對象：SIO 的商以生成超圖同構為判準，本文以後續運算字的完整觀測行為為判準。但都反對僅把當前畫面或標籤當成底層資訊。

一個可能的未來接縫是：若 SIO 的生成超圖及允許變換能被完整編成此處的有型別轉移系統，是否存在保持 generator-query 的函子或保真映射，令兩種商在特定子類別內對齊？**目前沒有證明這種普遍對齊。**

### 5.4 GRST：相同當下輸出，不等於相同可行未來

GRST-12 將全域規則勢理解為規則對可行未來空間所施加的結構性非均勻，而非一個新物理能量值。

本篇的延遲區分例與常值投影鏈，提供最低限度的對照：當下值相同，未來合法動作與可達觀測仍可能不同。此處只用了**可達性和動作可用性**，沒有建立 GRST 全部成本、放大、穩定性、吸引域或機率性的操作剖面。因此不能用本篇的最小商類數，直接冒稱已測量全域規則勢。

若 GRST 後續需要權重或代價，則必須擴張轉移系統，為成本、機率或時窗指定相容性及等價判準。對一般非決定性或機率系統，本文的確定性演算法不可直接使用。

### 5.5 XPVB：保留不同歷程，但允許任務相對的等價商

XPVB-03／04 的要點之一，是相同宏觀數值結果不強迫來源、微步及生成可能性完全相同。這與本篇一致。

然而，若新的計算任務**確實不查詢來源**，也不使用任何來源敏感動作，在足夠明確的語義下，可以為這個特定任務建立更粗的商。這不代表丟掉原始 XPVB 歷程資料，而是新增一份由證書及作用域界定的**可替代介面**。

XPVB 研究歷程束可如何繼續生成；GCTI-03 研究在給定合法後繼語言下，哪些歷程有相同的全部可觀察有限後繼。兩者應保持分型。

### 5.6 本輪抽象接口提案

為未來 AI 自主數學研究平台，提議將一次「可沿用計算成果」的主張至少拆成下列五項：

1. `EXACT_SOURCE`：精確值、算術核查、型別、來源／修訂；繼承上游證據。
2. `CONTEXT_CONTRACT`：接下來允許什麼運算、查詢什麼資料、何種失敗可被觀察；宣告而非憑直覺補足。
3. `EQUIVALENCE_CERT`：在指定有限系統內，哪些來源有別狀態可被安全合併；記錄商類與可區分反例。
4. `TRANSPORT_CERT`：若跨版本或跨表示，是否存在保持觀測與轉移的明示映射及校驗。
5. `CLAIM_ADAPTATION`：新數學命題對上游精確證據與商類的引用是否合法；此步可交由其他形式驗證或人工／AI 獨立審查。

**這是未來軟體分層提案，不是本文已經打通 TCGCT、TCGQT、SIO、GRST、XPVB 的新 runtime。**

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## 6. [DEMO] 精確有限參考實作與檢驗結果

### 6.1 範圍與方法

隨包 `src/gcti03.py` 實作：

- `TraceSystem`：有限狀態、動作、完整觀測、部分確定轉移與版本；以不可原地改動的資料映射保留快照。
- `refine_to_context_equivalence()`：從當前觀測分割，持續加入全部動作後繼區塊與未定義標記。
- `independent_witness()`：利用**另一套雙狀態乘積圖 BFS**，尋找能區分兩狀態的最短動作字；不重用分割精化的類別分配。
- `execute_word()`：重播各前綴的觀測與首次不可執行的動作。
- `quotient()`：依最終等價類建立商系統，保留全部已宣告動作可用性與觀測。
- `verify_strict_transport()`：檢查版本、狀態雙射、觀測、每個動作可用性及後繼交換性；不驗證外部來源身份。
- `int_to_base()`、`int_from_base()`：標準非負整數進位編碼與完整解碼；不聲稱原生硬體實作或運算加速。

以上是有限參考模型，**不是證明任意真實 AI 計算歷程均可被此類確定性狀態機無損表示**。

### 6.2 可重現的有限測試

於本包中實際完成：

| 驗證項目 | 已取得結果 |
|---|---:|
| GCTI-03 單元測試 | 41 / 41 PASS |
| 固定種子產生的有限轉移模型 | 120 組 |
| 所有模型的狀態總數 | 780 |
| 已定義轉移總數 | 1,267 |
| 兩兩狀態觀測未來比較 | 2,460 |
| 由獨立 BFS 判定為同一未來脈絡類的狀態對 | 56 |
| 可提供區分見證的狀態對 | 2,404 |
| 商系統有限後續字的結果／失敗行為對照 | 15,340 次 |
| 批次檢驗已發現的違例 | 0 |

每組模型的完整轉移表、觀測、最終分割、辨識字與重播統計，保存在 `results/random_120_cases.json`，精簡摘要在 `results/verification.json`。由固定亂數種子生成，是為了可重現案例覆蓋，**並非均勻代表所有可能有限系統的統計抽樣**。單元測試和生成式對照的成功，也不構成一般無界系統的形式證明。

### 6.3 獨立參考與負例的重要性

數學分割精化演算法與區分見證搜尋採不同實作路線；每個隨機模型的狀態對均交叉核查是否同類，並在不同類時要求確實能重播一個區分字。此外，商系統另以有限字直接與原系統比對。

本版提供但不隱瞞以下故障／拒絕情境：

- 使用不存在的動作或未知狀態／後繼；
- 動作列表重複、觀測缺失或模型版本空白；
- 重命名映射非雙射；
- 版本改動而沿用舊傳輸證書；
- 看似同值，但某個來源專用動作的可用性不同；
- 轉移表或觀測發生變化，卻仍宣稱舊的嚴格映射有效；
- 來源資料物件在建立模型後被外部修改；模型快照會避免此種無聲變動。

**[FAIL]** 若某份算術或來源核查本身有錯，本文的行為等價驗證不能將它修正為真；若一個新查詢並未納入目前的動作與觀察規格，商的正確性不覆蓋它。

### 6.4 數學證明與程式測試的關係

本篇 1.4、2.2、2.3、2.4、3.4、4.2、4.3 的結論，依照明確假設給出紙筆證明或既有基礎定理的適用推導；程式測試主要用於查核**實作是否符合其有限語義**。

它們不是 Lean 或 Coq 中的機器檢核定理，未經外部同行審查，也未做真實 TCGCT／TCGQT runtime 整合的端到端效能實驗。因此以下三句必須保持分開：

1. 在有限確定性部分轉移系統中，未來脈絡商的數學性質。
2. Python 參考程式對一批有限合成案例的正確重播。
3. 未來能否把跨域數學計算全面映射成此類結構並保留資訊。

第一項有條件性數學依據；第二項已完成本地測試；第三項仍需獨立研究。

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## 7. [HYP] 全域運算資訊：由單一守恆量轉為具證據的可保存關係

### 7.1 目前能確定的研究定位

假設有一個已被精確驗證的運算來源網路 $G$，以及一組未來可能執行、但必須先明示合法性及驗證義務的操作族 $\mathcal A$。

若可從 $G$ 構造一個有限且對指定任務充分的系統 $\mathcal M_{G,\mathcal A}$，那麼本文的商：

$$
Q_{G,\mathcal A}=S/{\approx_{\mathcal M_{G,\mathcal A}}}
$$

可在**該系統**中作為最粗安全的後續行為表示。其存在是有條件的：關鍵義務是證明原始計算／來源系統與此有限模型之間的語義對應，而不是先宣稱 $Q$ 已經表示一切全域數學資訊。

### 7.2 暫定的強猜想

**[HYP 7.2] 有限可驗證運算類別的保真脈絡傳輸。**

對某些具有精確原生核心、可追蹤依賴、合法跨表示運算與可描述後續查詢的計算類別，可能存在一族相容的**來源保留映射—脈絡商—跨版本證據**，使一部分已驗證的計算關係可以不重做原始算術而安全支援多個新查詢；相應「需要保留哪些資訊」可隨新查詢增減而精確判定。

這不是宣稱所有計算都存在一個同一的非平凡守恆標量，也不是宣稱所有數學命題都有有限充分商、所有任意精度計算均能常數空間儲存，或能免除可信來源核查。

**應當判敗的情況：** 如果跨域映射無法保留關鍵算術或依賴關係，或縮小表示後遺失了某個被宣告後續查詢真正需要的區別，則該候選商必須拒絕升級成保真證據。若完整核查成本高於重算，工程上也應允許回退，而非堅持使用新術語。

### 7.3 為何「全域」不能被理解成「唯一一條路」

不同來源歷程可以在共同節點交會，亦可在相同數值結果下形成不同未來。在本篇語義中，所謂全域軌跡更恰當地指**指定規則下，所有合法狀態、後繼操作與可區分關係的整體網絡**；並不主張它是一條有唯一時間順序的道路。

如果後續要把多元數學運算類別放在同一個更廣泛對象中，必須保留它們的類別分型、作用域、可查詢性與跨類別映射，不能僅把名稱相同的「1」、「數值」、「資訊」、「自由」強制視為相同對象。

### 7.4 與「命題正確／計算正確」的最終關係

新的研究工作流可以有以下有條件的次序：

精確運算及來源驗證 → 合法全域依賴拼接 → 宣告後續任務與觀察域 → 建立最小安全商及跨表示傳輸 → 由命題驗證層檢查引用是否合法。

此流程容許命題的自然語言敘述尚未完整時，先累積局部可驗證的運算證據；但**沒有取消任何一步所必需的數學前提**。尤其對三門問題，主持人的行為協議是概率模型的一部分，若協議改變，不能只拿一個 $2/3$ 的舊結果宣稱所有版本的命題都成立。

AI 在這個流程中可能受益於「計算證據與命題解釋的解耦」，但是否比直接使用 Lean、SMT、proof-carrying code 或傳統數值框架更有效，尚待公平比較。

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## 8. 結論

本文在 GCTI-01、GCTI-02 的精確數值、跨表示與局部—全域證據基礎上，給出第三個有條件、可完整重播的問題：

**正確完成的計算，究竟必須保留多少關係資訊，才能在後續問題中合法沿用？**

對有限確定性部分轉移系統，答案可以精確表述為**相對指定觀察及全部允許有限後續操作的最小充分商**。此商並不等於原始歷程，卻能在明示語義下保持完整未來觀測；擴大後續操作或增加來源查詢，往往迫使原本安全合併的狀態再次分開。

所以，本篇的結論不是「數學已發現一個對一切正確運算都不變的全域資訊量」。恰恰相反，我們得到更可被檢查的一條原則：

> **計算的正確結果可以反覆沿用，但沿用資格並不藏在數字本身；它存在於被保留的運算關係、允許的後繼問題，以及可被重新核查的來源與語義之中。**

GCTI 的更廣域主張，仍需尋找能把不同有限商、精確算術 DAG、跨進位表示、規則勢及無界生成歷程接起來的真正保真映射。當前成果是這項研究的**明確起點與反證邊界**，不是最後的普適定律。

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## 附錄 A：重播與成果檔案

在解壓後的本篇根目錄執行：

```bash
python -m unittest discover -s tests -v
python -m scripts.generate_results
python -m src.gcti03
python validate_source.py
python scripts/verify_manifest.py
```

本包附帶 `upstream/GCTI_02/` 的前篇來源快照（內含 GCTI-01 原稿與相關測試）。若需要重播前篇，進入其目錄後執行：

```bash
python -m unittest discover -s tests -v
python -m src.gcti02
python validate_source.py
```

若進一步進入 `upstream/GCTI_02/upstream/GCTI_01/`，則可執行 GCTI-01 的獨立測試與原始碼驗證。

本篇交付：

- `GCTI_03_Future_Contextual_Equivalence_and_Minimal_Sufficient_Information_v0.1.md`：本篇唯一正式 UTF-8 Markdown 原始稿。
- `src/gcti03.py`：完整有限確定性脈絡等價、商構造、來源嚴格轉譯、進位編解碼。
- `tests/test_gcti03.py`：原始 41 組單元測試。
- `scripts/generate_results.py`：固定種子模型、觀測商與獨立區分見證的重播生成器。
- `results/verification.json`：有限檢驗摘要及重點反例。
- `results/random_120_cases.json`：全部 120 個模型的轉移、觀測與區分見證。
- `docs/CLAIM_LEDGER.md`：主張、前提、反例及仍未證明項目。
- `README.md`、`validate_source.py`、`scripts/verify_manifest.py`、`SHA256SUMS.txt`：重播說明與來源位元完整性檢查。

SHA-256 僅用於封包內容完整性記錄，**不等於學術同行審查、第三方身份驗證或原始外部資料授權**。

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## 附錄 B：研究來源與既有學術基線

### EveMissLab 先行來源

1. Neo.K / GPT-6，《GCTI-01｜全域運算軌跡與計算正確性的跨表示不變結構》，v0.1，2026-11-04；隨前篇快照供離線重播。
2. Neo.K / GPT-6，《GCTI-02｜局部—全域證據拼接、依賴閉包與正確計算的可再利用性》，v0.1，2026-11-04；本包唯讀快照。
3. TCGCT 精確原生運算核心：https://github.com/kakon77777-commits/TCGCT 。
4. TCGQT 多尺度觀測核心：https://github.com/kakon77777-commits/TCGQT 。
5. 《TCGCT × TCGQT 多尺度觀察計算橋接與核心不變量契約》，v0.1，2026-10-31：https://github.com/kakon77777-commits/TCGCT/blob/main/docs/papers/TCGCT_TCGQT_Multiscale_Compute_Bridge_Contract_v0.1_DRAFT_2026-10-31.md 。
6. 《SIO Paper 04: Generator Quotients and Cross-Representation Invariants》，v1.0，2026-10-02。
7. 《GRST-12: Unified Global Rule-Shi Theory》，v0.1，2026-10-05。
8. 《XPVB-03: Dynamic Invariants and Process Equivalence》與《XPVB-04: Infinite Processes, Limits, and Convergence Structures》，v0.1，2026-11-03。
9. 《TCGCT–TCGQT: Exact Source Equivalence via Integer-Lattice Coset Certificates》，v0.9，2026-11-02；區分生成式等價與實際外部來源認證。

### 既有數學與理論電腦科學背景

10. *OpenDSA / Virginia Tech: Minimizing the Number of States in a DFA*：https://opendsa-server.cs.vt.edu/OpenDSA/Books/FLAnotes/html/Minimization.html 。含不可區分性、分割精化與 DFA 最小化之入門方法。
11. *Ilario Bonacina, Theory of Computation lecture notes, Minimization of DFAs*：https://ilariobonacina.github.io/TC-lecture-notes/ch1/minimization.html 。包含 Moore 分割精化與有界辨識字之教學表述。
12. *Stanford CS103, Guide to the Myhill–Nerode Theorem*：https://web.stanford.edu/class/archive/cs/cs103/cs103.1262/guide_to_myhill_nerode 。用後續可區分字建立狀態數下界，屬既有自動機理論。
13. Jan Friso Groote, Jan Martens, Erik P. de Vink, *Lowerbounds for Bisimulation by Partition Refinement*, Logical Methods in Computer Science 19(2), 2023，DOI: https://doi.org/10.46298/lmcs-19(2:10)2023 。說明一般分割精化問題有實際演算法複雜度限制。

上述來源支持經典理論的歸屬，不表示它們替 GCTI 的更強全域資訊不變量假說背書。GCTI-03 的創作重點是研究問題的分層、實驗合約及與前置理論的相容接口；不是將成熟自動機定理重新命名為新發現。

**End of GCTI-03 v0.1 — finite exact research draft; universal global-information invariant remains open.**