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title: "TCGCT × TCGQT v1.4：多來源證明依賴圖的差分驗證、撤回與受控重用"
english_title: "Source-Pinned Multi-Source Incremental Proof-Obligation DAGs for Exact Finite Harmonic Certificates"
version: "1.4 / bounded executable research manuscript"
date: "2026-11-03"
author: "Neo.K / EveMissLab"
research_collaboration: "GPT-6"
status: "DRAFT / FINITE-EXACT / EMPIRICAL-VALIDATION / NOT-A-BSD-PROOF"
canonical_source: "UTF-8 Markdown; inline math $...$ ; display math $$...$$"
predecessor: "TCGCT_TCGQT_Differential_Harmonic_Proof_v1.3_2026-11-03.zip"
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# 多來源證明依賴圖的差分驗證、撤回與受控重用

**作者：** Neo.K / EveMissLab  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-11-03  
**版本：** 1.4 / bounded executable research manuscript  
**研究協作（原稿所載）：** GPT-6  
**原稿狀態：** DRAFT / FINITE-EXACT / EMPIRICAL-VALIDATION / NOT-A-BSD-PROOF  

## 摘要

本研究延續 TCGCT 精確整數計算、TCGQT 有限交換群的纖維觀察，以及 v1.2–v1.3 的來源釘選分塊證書，將「一項命題的稀疏增量驗證」提升為「多項數學命題及其依賴關係的跨版本更新」。研究目標並非縮短產生結果所需的運算時間，而是**在已有獨立驗證舊基線且來源差分完整的條件下，減少後續必須重新履行的數學驗證義務**。

本文給出一個嚴格限域的證明圖：來源可為多個彼此獨立的有限交換群整數函數；原子證書包含遮罩整數和、局部或全域角色係數的精確零／非零判定，以及子群平均的結構性零判定；導出節點只支援前提合取與整數值的有界線性等式。每個圖節點具有固定數學型別、確定性雜湊、前提關係及驗證狀態。單一來源改變時，使用 v1.3 的雙根 Merkle 差分證書核查完整變更，再依精確作用域重新執行必要的原子計算，沿 DAG 傳播新證據。若任一節點的原命題失效，撤回相關 PASS，且不把失效圖提升為下一版本的可信基線。

在本環境的合成 24,000 點案例中，兩個位置的稀疏變更使六個原子數學節點中只有一個需要精確差分再計算。差分封裝約 3,297 bytes，全量新版數學封裝約 1,074,981 bytes；重用已驗證舊基線的 DAG 更新中位數約 1.576 ms，從冷狀態重新核查舊基線再更新約 86.704 ms，冷核查完整新版約 80.667 ms。這是數學驗證**在特定前提下重用**的正面實例，絕不是跨平台普適加速定理。

## 1. 問題範圍與研究分工

設存在若干有限交換群

$$
G_s=\prod_{j=1}^{d_s}\mathbb Z/n_{s,j}\mathbb Z,\qquad s\in S,
$$

以及有型別的整數訊號 $f_{s,t}:G_s\to\mathbb Z$。TCGCT 的角色在本版是精確整數、線性差分及可追溯計算；TCGQT 的角色是有界群域、子群纖維及查詢相對的結構判定；調和分析提供角色係數的精確代數表達。所有運算只處理**有限且具明確上界的**訊號。沒有處理任意無限維 Hilbert 空間、完整 p-adic 首項公式，或 BSD 的解析橋接。

每個原子節點 $v$ 具有來源 $s(v)$ 、固定查詢 $q_v$ 、驗證結果 $r_v$ 及狀態。組合節點則由先前已經驗證的節點構成。圖 $D=(V,E)$ 有向無環，而且是**嚴格按拓樸順序提交的規格**，不允許前向參照、循環、無型別線性相加或重複命名。

規格本身必須由外部提供 `graph_pin`；每個舊來源的根與政策也必須有外部 `source_policy_pin`。不能靠收到的圖、其內自填的雜湊、或文字 `PASS` 自行建立權威。

## 2. 精確原子驗證的跨版本重用

對於已驗證的舊訊號 $f_{s,t}$ 和新訊號 $f_{s,t+1}$，定義精確差：

$$
\Delta_s(x)=f_{s,t+1}(x)-f_{s,t}(x).
$$

假設 v1.3 已獨立核對舊根 $R_{s,t}$ 與新根 $R_{s,t+1}$，且在固定索引域內驗明所有變更值。令真實變更支撐為 $C_s$。對遮罩 $A\subseteq G_s$，有限線性求和滿足：

$$
\sum_{x\in A} f_{s,t+1}(x)=\sum_{x\in A}f_{s,t}(x)+\sum_{x\in A\cap C_s}\Delta_s(x).
$$

故若 $A\cap C_s=\varnothing$，原數學數值在**新來源根完成驗證後**可以重用。這不代表舊的 root-bound 收據可直接搬到新版本；新收據必須改綁新根與修訂號。若 $A\cap C_s\ne\varnothing$，系統以整數差精確更新，重新檢查原命題。

有限交換群 $G_s$ 的角色 $\chi$ 可由頻率 $k$ 標記，取 $L_s=\mathrm{lcm}(n_{s,1},\ldots,n_{s,d_s})$，並以 $e_k(x)$ 表示指數。對遮罩 $A$ 的角色多項式有：

$$
F_{s,t,A,k}(X)=\sum_{x\in A} f_{s,t}(x)X^{e_k(x)}.
$$

令 $\Phi_{L_s}(X)$ 為循環多項式。特徵零下的精確零判定使用整係數餘式：

$$
F_{s,t,A,k}(X)\equiv0\pmod{\Phi_{L_s}(X)}.
$$

當來源更新時：

$$
[F_{s,t+1,A,k}]_{\Phi_{L_s}}=
\left[F_{s,t,A,k}+\sum_{x\in A\cap C_s}\Delta_s(x)X^{e_k(x)}\right]_{\Phi_{L_s}}.
$$

這是原有有限角色求和的線性恆等式，沒有數值近似與浮點轉換。`global_fourier_*` 的作用域是整個 $G_s$，非零變更必須經此公式確認；不能因為變更稀疏就自動保留原零性。`masked_fourier_*` 可以根據遮罩與變更支撐的交集判定是否需要計算。

若命題是**某子群平均後的訊號**在非平凡角色處為零，該零性取自角色正交，對同一固定群與算子可獨立於來源數值保留。但不允許把它提升成原始訊號具有同樣零性的主張。

## 3. 來源差分與圖依賴的分離

設一個來源 $s$ 的兩版由帶有最小 Merkle 邊界的完整變更葉 $\{(L_i^t,L_i^{t+1})\}$ 描述。由兩版同一邊界重建新舊根並與獨立政策釘選核對，阻止因漏報變更而在其他葉上暗中作出不同假設。此完整性保證**有條件依賴 SHA-256 抗碰撞性與可信外部根**；它不是無條件數學定理，更不是來源作者身分的證明。

圖的依賴關係又是另一層。即使某個原子節點的數學數值未變，當它的來源根更新後，該節點的版本證書也會更新；其下游結點需要重新綁定父證據。相反地，若另一獨立來源完全未更動，該來源節點及其不受影響的子圖可原封不動重用。

### 3.1 四類原子操作

1. `REUSE_OTHER_SOURCE`：本次變更來自其他來源，本節點的完整來源與證書仍有效。
2. `REUSE_STRUCTURE`：固定有限群與子群平均的結構性零定理，不依賴原始數值更新。
3. `REUSE_PROVEN_UNCHANGED_SCOPE`：根差分已核查完整；所有改動位置都不在固定遮罩內，重用數值但換綁來源根。
4. `RECHECK_EXACT_DIFFERENCE`：求和或循環多項式餘式依精確差分更新，重新判定命題。

組合節點按父證據的確定性指紋選擇 `REUSE_DERIVATION` 或 `RECHECK_DEPENDENCY_DERIVATION`。重用父證據時仍需要核查圖規格未改變、節點雜湊與父參照一致；這是有限的來源管理工作，不是免除全部驗證成本。

### 3.2 導出節點的適用域

`all` 對父命題逐一檢查是否已被當前版本接受；`linear_eq` 僅允許把已驗證的整數和，以確定的整數係數組成等式：

$$
\sum_{j=1}^{r}a_jS_j=c.
$$

如果數值相等，但某個父命題在新版本下沒有成立，導出節點仍不能取得 PASS。這避免把「數值碰巧符合」當成「所有宣告的前提均已建立」。此限制刻意比任意代數等價更保守。

## 4. 條件性可靠性命題

**命題 4.1（有界 DAG 差分重驗的正確性）。** 固定一份通過型別檢查的有限 DAG。假設：

- （H1）舊版本每個原子證書均由凍結 v1.2 驗證器從真實提交的資料葉與獨立可信舊根核對，且初始導出節點全部 PASS；
- （H2）圖規格、固定查詢與原子來源指派受獨立釘選約束，且在版本更新期間不改變；
- （H3）新的來源差分通過 v1.3 雙根核對，兩個根均由可信外部政策指定，且相同數學 metadata 之下的所有數值變更均被揭示；
- （H4）原子與導出算子的精確數學實作與型別契約正確，沒有發生驗證器程序內任意記憶體竄改。

則沿 DAG 拓樸順序，先核查受影響原子並使用證實的作用域重用其餘原子，再重新判定受影響導出節點，得到的每個 PASS 均對該新版數學來源與該節點原先宣告的命題成立。

**證明。** 先依 H1 確定舊原子結果。對新版本的任一原子：來源未變時結果未變；結構性角色零定理只依賴 H2 固定的群域；遮罩不交變更支撐時，函數值逐項相同；其餘情況，精確整數和與循環多項式的差分等式直接給出新版值。H3 阻止漏掉作用域外的暗中變更。故新的原子 PASS 不高於其數學證據。其後按 DAG 拓樸順序歸納：每個組合節點只使用已核查父結果與型別化、確定性的合取或線性等式，因此每個導出 PASS 也對其宣告的命題成立。證畢。

**適用限制。** H3 的證據完整性取決於密碼學假設；H4 是驗證器的可信實作前提。這不是無條件形式化健全性定理。H1–H4 任一項缺失時，系統應拒絕、回到完整基線重驗，或回報未建立，而非以圖形看似閉合替代證明。

## 5. 不允許錯誤 PASS 繼續傳播

當來源 A 變更使遮罩整數和不再等於固定目標，原子節點將變成 `CLAIM_NOT_ESTABLISHED`；與其有依賴關係的 `all` 節點亦失效。跨來源線性關係失效時，該節點與其下游同樣撤回 PASS。**整張圖只要存在未成立節點，這次更新就不提升為下一版本可信基線**。若未來要接受不同預期值或不同範圍，必須建立新的可信圖規格，而不是偷偷修改既有查詢。

這項策略不保證得到最短可能證書，也不假定每個重驗失敗都表示原函數的某項更一般數學性質是錯的；它僅表示**本次特定已宣告命題沒有獲得證明**。

## 6. 執行實驗：24,000 點與兩個獨立來源

在 $G_A=\mathbb Z/60\mathbb Z\times\mathbb Z/400\mathbb Z$ 的 24,000 點合成訊號，以及另一個獨立的 $G_B=\mathbb Z/5\mathbb Z\times\mathbb Z/8\mathbb Z$ 上建立九節點圖，其中六個為原子數學節點。只對 A 修改第 1234、23567 個位置，保留固定整數和與非零頻率命題。來源 A 的根差分由兩個修改區塊與共用 Merkle 邊界驗證，來源 B 未修改。

| 本地量測 | 實驗結果 |
| --- | ---: |
| 源 A 訊號位置 | 24,000 |
| 來源 A 更動位置 | 2 |
| 圖節點數／原子數 | 9 / 6 |
| 需要重新執行精確數學差分的原子數 | 1 |
| 需要重檢依賴組合的節點數 | 3 |
| 差分封裝（packet + policy） | 3,297 bytes |
| 完整新版基線證書（全部數學包 + 兩份政策） | 1,074,981 bytes |
| 暖狀態差分驗證，中位數 | 1.5759 ms |
| 冷驗證舊基線再差分，中位數 | 86.7039 ms |
| 冷驗證完整新版，中位數 | 80.6672 ms |

這裡的三種計時分別在**準備好證書輸入**後測量，不含資料生成、網路、金鑰發放或 Python 程序啟動；每種七次。暖狀態先完成合法的基線開啟，才開始計時。後兩者從未驗證的數學狀態開始，因此可比較，但都未測外部來源政策取得成本。這組結果只支持在已驗證基線下的局部工作量減少；冷驗證沒有端到端優勢。測試硬體、Python 排程、輸入分布與實作皆會改變數字。

### 6.1 驗證者可以拒絕什麼

測試包含：漏報變更葉、偽造新舊根或版本政策、改動群域、以別的資料集的封裝冒充來源、調換查詢、循環依賴、尚未宣告的父節點、偽造 PASS、錯誤型別的線性相加、修改程序內快取記錄，以及根已更新但仍搬用舊的 root-bound 證書。新流程亦拒絕用演示政策冒充現實來源。

## 7. 與前版的關係及嚴格未完成部分

v1.4 是 **v1.3 之上的新證明依賴編排器**。本包以 `upstream_v13/` 完整凍結 v1.3 原始檔案，並經過逐位元組比對；它沒有重寫 TCGCT、TCGQT 或 AMRAL GitHub 正本，也沒有取代 v1.2 的精確驗證器。演示程式只有 Python 標準函式庫必須安裝。

未完成或不得宣稱的內容包括：

- 任意數學證明、任意拓樸命題、任意連續調和對象的證書壓縮；
- 對跨程序持久化快取的免重驗授權、遠端分散式協作之信任政策；
- 對真正來源所有權、外部原始資料真實性、簽署金鑰持有者的全面驗證；
- 零知識證明／SNARK／STARK 的一般證明系統；
- 在沒有基線時免讀原始資料的泛用方案；
- BSD 猜想已證明、其 leading-term 橋接已證明，或一般群域的自動正確性。

**研究結論。** 有界精確數學世界中，若原先的來源與證明義務均已被核查，後續只要能取得完整且可信的來源差分，就可以沿證明依賴圖**精確定位需要重驗的工作**。被減少的是有證據支持的重複驗證，不是數學正確性的要求本身。

## 8. 實作、重播與可審核來源

- `proofgraph/core.py`：獨立圖規格檢查、基線驗證、雙根更新、節點狀態與依賴判定。
- `proofgraph/demo.py`：產生確定性兩來源示範；此產生器不是驗證器。
- `scripts/verify_graph.py`：新程序內重新核驗全部舊來源與數學原子，再執行單一差分的 CLI。
- `scripts/benchmark_v14.py`：24,000 點受控量測，數據見 `examples/benchmark_v14.json`。
- `tests/`：數學回歸、範圍更新、圖非法狀態、資料完整性、誤植證書及冷驗證測試。
- `upstream_v13/`：v1.3 完整凍結來源與更早版本。

理論沿用既有的有限交換群角色正交、循環多項式最小多項式、有限整數線性代數、Merkle 承諾，以及 DAG 拓樸排序。**這些既有定理並非本研究的新發明。** 新的研究成果是針對指定數學證書適用域的型別化整合、可拒絕的變更影響判定，與有條件的驗證義務節省觀測。

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*正式 source 為本 UTF-8 Markdown，所有數學分隔符只使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`。聊天呈現、PDF 或 HTML 不作為本研究原稿。*