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title: "TCGCT × TCGQT v1.3：跨版本差分證書、雙根完整性與精確調和增量驗證"
english_title: "Version-Bound Differential Proofs with Dual-Root Merkle Authentication and Exact Harmonic Updates"
version: "v1.3 / bounded research prototype"
date: "2026-11-03"
author: "Neo.K / EveMissLab"
research_collaboration: "GPT-6"
status: "DRAFT / EXACT-FINITE-DOMAIN / INDEPENDENT_REPLAY_TESTED / NO_BSD_CLAIM"
canonical_source: "UTF-8 Markdown; inline $...$ ; display $$...$$"
parent_artifact: "TCGCT_TCGQT_Trusted_Chunk_Harmonic_Proof_v1.2_2026-11-03.zip"
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# TCGCT × TCGQT v1.3：跨版本差分證書與精確調和增量驗證

**作者：** Neo.K / EveMissLab  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-11-03  
**版本：** v1.3 / bounded research prototype  
**研究協作（原稿所載）：** GPT-6  
**原稿狀態：** DRAFT / EXACT-FINITE-DOMAIN / INDEPENDENT_REPLAY_TESTED / NO_BSD_CLAIM  

## 摘要

本文研究的不是數值運算加速，而是數學驗證工作的**跨版本重用**：若有限數學對象的舊版本已被獨立證明滿足一項命題，且新版本相對於舊版本的差異有完整、經過兩個可信根約束的證據，則驗證者能否只檢查這些差異，合法地決定新命題？

在 TCGCT 精確整數資料、TCGQT 有限群觀察以及 v1.2 分塊調和證書之上，本文實作一個限定適用域的答案：對有限交換群上的指定遮罩整數和、全域或局部角色係數的精確零性，以及子群平均後的結構零性，將先前驗證的結果結合新舊 Merkle 根共同約束的稀疏葉更新，產生 v1.3 差分證書。驗證器既不接受外部 PASS，也不把 SHA-256 當作來源身分認證，更不把只有局部樣本的資訊升格為全域命題。這些方法建立在標準的有限群調和分析、循環多項式與 Merkle 驗證之上；新意是它們的型別化組合與實際可拒絕的證書流程，而非新的普遍數論定理。

在一組 24,000 點的示範中，新版只更動兩個 21 值區塊：差分封裝 2,828 bytes，重新提交完整訊號證書為 1,095,451 bytes。已在同一程序內驗證舊版的前提下，核心差分重驗中位數約 0.26 ms，重新全量驗證約 89.41 ms；然而從未驗證舊版本的冷狀態重新建立基線再做差分，約 89.15 ms，**未取得同樣的速度優勢**。兩種方法的數學結果已交叉核查一致。以上數值僅屬有限合成案例與本環境，並非通用效能定律。

## 1. 問題與目標

設有限交換群

$$
G=\prod_{j=1}^{r}\mathbb Z/n_j\mathbb Z
$$

上的整數訊號為 $f_t:G\to\mathbb Z$，資料由固定順序映射至有限整數索引，並分割為 $M$ 個大小至多 $B$ 的區塊。上一版已經建立以下完整證據：舊版資料根 $R_t$ 、有外部釘選的數學查詢 $q$ 、v1.2 查核過的局部或全域證書，以及該查核的精確結果。

現在資料改變成 $f_{t+1}$。我們希望避免「每次都重新載入並驗證 $|G|$ 個原始值」，但仍必須保證：

1. 變更名單沒有漏報；
2. 新舊版本的數學域、索引語義及查詢範圍相容；
3. 舊結果真的曾被 v1.2 核驗，而非只是含有 PASS 字樣；
4. 新結果由驗證器自行計算，不信任生產者填入的餘式或和；
5. 不能用同一 ZIP 內自附的政策雜湊證明外部資料真實性。

我們稱一份可用於本輪工作的證據為**差分式證明義務證書**（differential proof-obligation certificate）。它不是任意數學推理的壓縮證明，不是 SNARK，也不是對原始數據真實性的聲明。

## 2. 雙根完整差分的數學與密碼學契約

將 v1.2 的葉雜湊記為 $h_i^t$，每層用 domain-separated SHA-256 兩兩結合；最後把固定 metadata 與樹根結合成對外發布的資料根 $R_t$。對於奇數葉數，沿用 v1.2 的末節點自我複製約定。

假設只更動葉索引集合 $C$。v1.3 封裝提供兩種完整葉資料 $L_i^t,L_i^{t+1}$ （每個 $i\in C$ ），以及從舊樹取得的**最小兄弟邊界** $W_C$。同一個邊界可以分別重建：

$$
\mathsf{Root}(L_C^t,W_C)=R_t,
$$

$$
\mathsf{Root}(L_C^{t+1},W_C)=R_{t+1}.
$$

驗證器要求二者都與獨立釘選的根相同。若生產者隱藏了另一個改動葉，新的葉值與未改變的邊界便無法同時重建被外部釘選的新根，除非找到底層雜湊的碰撞或破壞建構的前提。這是一項**以 SHA-256 抗碰撞性與外部可信根為條件的計算完整性保證**，而非無條件的數學恆等式。

驗證器還會檢查每個更動區塊的完整長度、索引、資料集、世代、整數範圍、排序、奇數葉規則，以及恰好要求的兄弟邊界；重複、缺失、額外與錯置證據一律拒絕。

### 2.1 世代與修訂版號不能混同

v1.2 葉內含資料集 ID 與 `generation`。如果任意增加葉的 `generation`，即使所有數值不變，所有葉雜湊也會更動，使稀疏差分失去意義。因此本版固定 v1.2 的數學 `generation` 與 metadata，只在外層新增連續遞增的 `from_revision → to_revision`。這是**同一數學域內的來源快照更新**；若模數、分塊大小、索引定義或 v1.2 generation 真正改變，必須重新建立基線，本版不允許跨域差分。

## 3. 精確調和增量定理

取 $L=\operatorname{lcm}(n_1,\ldots,n_r)$，令 $\zeta_L$ 是一個本原 $L$ 次單位根。角色 $\chi$ 由頻率向量 $k=(k_1,\ldots,k_r)$ 指定。v1.2 對每個群元素 $x$ 建立相位指數

$$
e_k(x)\equiv -\sum_{j=1}^r k_jx_j\frac{L}{n_j}\pmod L.
$$

對指定作用域 $A\subseteq G$，定義整係數多項式：

$$
F_{f,A,k}(X)=\sum_{x\in A}f(x)X^{e_k(x)}.
$$

其在 $\zeta_L$ 的值是約定下的角色和。記 $\Phi_L(X)$ 為第 $L$ 個循環多項式。對整係數訊號，傅立葉係數精確為零，當且僅當

$$
F_{f,A,k}(X)\equiv0\pmod{\Phi_L(X)}.
$$

設新舊差 $\Delta=f_{t+1}-f_t$ 的支撐包含於已驗證的變更葉。由多項式對訊號的線性性，得出：

$$
[F_{f_{t+1},A,k}]_{\Phi_L}=
\left[[F_{f_t,A,k}]_{\Phi_L}+\sum_{x\in A\cap\operatorname{supp}(\Delta)}\Delta(x)X^{e_k(x)}\right]_{\Phi_L}.
$$

這裡方括號代表在 $\mathbb Z[X]/(\Phi_L)$ 的等價類。其證明只是有限求和的逐項分配律、角色定義與循環多項式的最小多項式性質，不依賴浮點計算。

**推論。** 若舊餘式已由可信的 v1.2 數學證書確定，則新餘式只需使用改動支撐集中的數值差與精確整數多項式約減。若已驗證的舊餘式為零，新餘式非零，必須將原零性判斷失效；不能因為新數值「改動很少」就維持 PASS。

### 3.1 整數和的差分

若查詢是遮罩 $A$ 上的整數和，則

$$
S_{t+1}(A)=S_t(A)+\sum_{x\in A\cap\operatorname{supp}(\Delta)}\Delta(x).
$$

因此變更區塊若與遮罩沒有交集，數學值可以完全重用。但仍要核查此次版本的資料根遞移，不能因為「與查詢無關」就接受未獲認證的新版來源。

### 3.2 子群平均的結構零性

若查詢本身是「給定子群平均算子後，指定非平凡角色的係數是否為零」，零性來自角色正交，不依賴訊號值。差分版可以重用該定理，但**不能**把它變成原始訊號的同頻零性，也不能因此聲稱新的資料根已獲驗證。

## 4. 驗證依賴、狀態與安全邊界

輸入包含：v1.2 的已驗證舊基線、稀疏新舊葉、最小 Merkle 兄弟邊界、外部釘選的舊根／新根與版本政策、舊查詢與目標查詢的精確指紋。決策如下：

| 條件 | 可做的事 | 禁止的推論 |
| --- | --- | --- |
| 舊基線 PASS、雙根驗證 PASS、查詢結構不變 | 精確更新並檢驗新結果 | 不信任生產者聲明的 PASS |
| 更動位於遮罩外 | 重用已確認的數學值，仍核查資料版本 | 不省略新根驗證 |
| 頻譜零性因更新而翻轉 | 接受合法的新零／非零查詢 | 不沿用錯誤的舊結論 |
| 新命題與計得值不符 | `CLAIM_NOT_ESTABLISHED`，不提升快取 | 不把錯誤命題標成 PASS |
| 沒有本程序已驗證舊基線 | 拒絕；冷啟動必須重查完整舊證書 | 不相信匯入的 PASS receipt |
| 掩碼、頻率、群域、索引型別改變 | 拒絕差分，另建新證書 | 不把不同命題當作相同命題 |
| 新根未由可信外部通道釘選 | 僅作 DEMO，不聲稱對現實來源有效 | 不將 SHA-256 視為數位簽章 |

本版 `VerifierSession` 僅提供同一 Python 程序內的數學基線重用。句柄不是可跨程序流通的授權憑證；如果不可信程式已取得修改驗證器記憶體的權限，這個 Python 原型不構成安全隔離。冷重播 CLI 必須重新執行完整 v1.2 基線查核。

### 4.1 與 v1.0、v1.1 的關係

v1.0 已建立型別化數學物件的簽署與政策；v1.1 已建立原始 CSV／JSON 到數學物件的完整橋接；v1.2 建立可受外部來源根錨定的 Merkle 分塊與局部調和驗證。**這些版本已凍結在本包內，v1.3 不修改它們。** v1.3 的新根仍須有獨立授權／來源證據；本版沒有新增一套可自動簽署現實資料版本的服務，也沒有證明任何外部物理觀測的真實性。

## 5. 可重算的實驗與邊界

### 5.1 結構驗證

對 60 點非循環群、210 點群與 840 點群，已用不同的數值分布、跨區塊稀疏變更與遮罩交集重新核查。包含逐值變更、單一區塊、奇數 Merkle 葉、單區塊樹、跨兩版連續更新，以及結論從零轉非零、從非零轉零。對抗性測試涵蓋偽造舊根／新根、偽造舊結果、漏報更動區塊、兄弟邊界缺失、任務替換與版本回退。

另以獨立的 SymPy 精確循環多項式計算，核對數十組隨機訊號更新；這個獨立核查只屬於開發測試，正式 v1.3 驗證器仍僅使用 Python 標準函式庫與凍結的 v1.2 整數核心。

### 5.2 同一全域頻譜命題的驗證成本

| 指標 | 840 點、兩個區塊更動 | 24,000 點、兩個區塊更動 |
| --- | ---: | ---: |
| Merkle 分塊大小 | 21 | 21 |
| 新版本完整證書 bytes | 25,171 | 1,095,451 |
| 差分證書 bytes | 2,010 | 2,828 |
| 差分兄弟邊界節點數 | 9 | 17 |
| 已驗證舊基線下的差分核心中位時間 | 0.2804 ms | 0.2595 ms |
| 全量核查新版本核心中位時間 | 2.1803 ms | 89.4085 ms |
| 冷基線重驗後再驗證差分的核心中位時間 | 3.1080 ms | 89.1534 ms |

實驗系統由本地標準 Python 程式測得，並已將原始 JSON 指標保存在 `examples/benchmark_v13.json`。時間比較僅含核查核心，不含 OS 程序啟動、來源抓取、簽署、授權服務、資料上傳、生成初始 Merkle 樹和持久化失效維護。完整結果在本案例成立，不能用來推論普遍速度或證書大小必定縮小。

**冷啟動結論：** 若接收者沒有已驗證的舊基線，必須先重新驗證完整的 v1.2 基線。這個成本並沒有被 v1.3 數學恆等式消除。因此所謂「推理證書減少」最恰當的表述是**有前提的重複驗證義務減量**，而不是一次性證明可以任意免費傳遞。

## 6. 本研究到底完成了什麼

本文完成的是一個有限、可重播、可失敗的證書系統：在固定域中，驗證一次充分的舊版證書後，以經雙根約束的有限變更增量建立新結論。它展示了下列可直接測試的命題：

- **命題 A（值保持）：** 同一來源快照的 v1.2 精確核查結果，經符合資料根證書的差分更新後，與重新驗證新完整來源的結果一致。
- **命題 B（範圍保持）：** 驗證器不得把局部查詢變成全域查詢，不得把結構平均零性當成原始訊號零性。
- **命題 C（有條件的重用）：** 已驗證舊基線與受約束差分同時存在時，新數學結果可以不讀取新版本的全部訊號。
- **命題 D（錯誤拒絕）：** 外部政策／來源指紋、Merkle 證據或數學主張任一項不吻合，都不得輸出新的 PASS。

這四項是**有型別的有限域性質與工程驗證合約**，不是對一般 AI 推理、任意高階數學定理、所有連續函數或 BSD 猜想的證明。此框架既沒有解決 BSD，也沒有證明所有浮點運算可以被消除。傳統解析問題若需要無限級數的嚴格尾項、複分析或同調層面的全域橋接，仍須建立各自充分的數學證書。

## 7. 結語

在這條研究線中，真正值得減少的未必是原本的數學計算，而是已經被合法確認、卻在每次版本變動時遭到無條件重做的驗證工作。

**證書不一定因為字節變短而變強；它可以因為所需重驗的義務被精確縮小，而變得更有效。**

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## 原始碼、證據與來源

- 本包 `differential/core.py`：v1.3 獨立的舊／新 Merkle 根重建、精確差分計算與驗證狀態機。
- 本包 `scripts/verify_diff.py`：跨程序冷啟動全基線重驗命令。
- 本包 `examples/DEMO_PINS_NOT_AUTHORITY.json`：本地示範資料，不是可信來源政策。
- 本包 `examples/benchmark_v13.json`：固定實驗的原始量測，保留正反結果。
- 凍結 `upstream_v12/`：TCGCT × TCGQT Trusted Chunk Harmonic Proof v1.2 全部原始來源，包含該版本依賴的 v1.1–v0.2。
- 理論工具：有限交換群角色正交、整數多項式的循環多項式判定、Merkle 雜湊樹及差分運算；這些是既有的標準數學與密碼學工具，不作新穎性冒稱。