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title: "TCGCT × TCGQT v1.2：可信分塊來源、局部調和證書與證明義務範圍"
english_title: "Trusted Chunk Commitments and Selective Exact Harmonic Verification"
version: "v1.2 / finite research prototype"
date: "2026-11-03"
author: "Neo.K / EveMissLab"
research_collaboration: "GPT-6 — formalization, prototype implementation, falsification tests"
status: "RESEARCH_DRAFT / FINITE_ONLY / NOT_BSD_PROOF"
canonical_source: "UTF-8 Markdown; math delimiters $...$ and $$...$$ only"
predecessor: "v1.1 frozen raw-source mathematical binding"
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**作者：** Neo.K / EveMissLab  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-11-03  
**版本：** v1.2 / finite research prototype  
**研究協作（原稿所載）：** GPT-6 — formalization, prototype implementation, falsification tests  
**原稿狀態：** RESEARCH_DRAFT / FINITE_ONLY / NOT_BSD_PROOF  

# 摘要

本研究將 TCGCT–TCGQT v1.1 的完整原始資料／簽署數學物件驗證，接到有限交換群上的可信分塊成員證明與局部調和判定。核心問題不是加速數值生成，而是減少一個**已明確指定的數學命題**需要重新核查的來源範圍。本稿採用三個不同的驗證契約：具有限支援的局部和與局部傅立葉係數，只讀取覆蓋支援集的已驗證區塊；一般全域傅立葉係數需要全部來源，除非另外獲得可核查的結構證書；對子群平均算子的特定頻率，角色正交性可完全不讀數值而判定為零。

在有限群 $\mathbb Z/6\mathbb Z\times\mathbb Z/10\mathbb Z\times\mathbb Z/14\mathbb Z$ 的 840 點質數指示函數示範中，局部 42 點命題只驗證 2/40 個區塊，得出 8 個質數；完整非零頻率命題則必須驗證 40/40 區塊。另以 24,000 點合成整數資料量測相同的 42 點求和問題：局部路徑驗證 3/1,143 個區塊。所有資料根均來自研究示範，並不構成現實發布者的身分證明。

本論文的數學內容是有限交換群角色正交性、整數多項式及循環多項式的標準結果；研究貢獻是把來源承諾、命題指紋、範圍充分性和數學判定轉成可拒絕錯誤的工程驗證契約。沒有證明 BSD，也沒有宣稱對所有任務的端到端驗證成本較低。

## 1. 三種互不替代的證據

1. **資料身分與版本**：原始 v1.1 完整來源先被解析、核查簽章和數學等價；分塊資料集的新 Merkle 根要由獨立信任渠道釘選。雜湊不等於簽章，也不會自行建立授權鏈。
2. **命題身分**：驗證者必須獨立取得命題規格的指紋。沒有此要求，生產者可以將全域命題偷換成局部命題、仍產生自洽 PASS。
3. **數學判定**：只有通過來源範圍和命題身分檢查，才使用精確整數和循環多項式完成驗證。生產者的 PASS 不在證書格式內。

本版不支援任意未知格式的 CSV／PDF／網頁，也不能從未驗證的摘要或被截斷的外部訊號補出未讀數值。

## 2. 有限交換群與儲存座標

設

$$
G=\prod_{j=1}^{d}\mathbb Z/n_j\mathbb Z,\qquad N=\prod_{j=1}^{d}n_j.
$$

訊號 $f:G\to\mathbb Z$ 按照模數清單給出的字典序（最後一個座標最快）儲存為 $N$ 個精確整數，等分為有序固定長度區塊，最後一塊允許較短。 $f$ 的物件身分、整數上界、區塊長度、維度、版本號必須同時被承諾。

每個區塊資料結構包含 schema、資料集 ID、generation、區塊 index、起始位置 start 和完整 values。Merkle 葉子、內節點與根均採用不同的 SHA-256 domain tag：

```text
Leaf = SHA256(tag_leaf || canonical_json(chunk))
Node = SHA256(tag_node || left_digest || right_digest)
Root = SHA256(tag_root || canonical_json(metadata) || merkle_root)
```

如果層級有奇數個節點，最後一個節點以自己的雜湊作為右兄弟；驗證者按已承諾的區塊數重新計算所需路徑高度，拒絕非正規的奇數尾端自複製路徑。區塊與資料集 metadata 不完整即拒絕，不允許默默補值。

此設計基於 SHA-256 抗碰撞性的**計算性承諾**；Merkle membership 不是資訊論上的不可能偽造證明。資料根若由證書提供者自己指定、驗證者沒有獨立可信釘選，則只能算自洽的展示資料，不應得到具來源權威意涵的 PASS。

## 3. 定理 A：有限支援的驗證範圍充分性

取已由驗證者指定的有限集合 $S\subseteq G$，且命題只依賴 $f$ 在 $S$ 上的值。例如：

$$
Q_S(f)=\sum_{x\in S}f(x).
$$

若從可信資料根驗證了覆蓋 $S$ 的每一區塊的成員證明，並確認每個 $x\in S$ 都在已取回資料內，那麼 $Q_S(f)$ 可精確計算，不需要讀取 $G\setminus S$ 的數值。

**證明。** $Q_S$ 對兩個在 $S$ 上一致的函數取相同的值，因為它的每個非零係數都只落在 $S$。認證的區塊成員證明（在資料根可信及雜湊假設下）固定了 $S$ 上的所有輸入，因此由精確整數求和得到的值是該來源快照、該命題的值。此結論不能擴張成 $f$ 在其他位置的性質。 $\square$

**反命題／不可能性邊界。** 對一般全域傅立葉函數

$$
\widehat f(\chi)=\sum_{x\in G}f(x)\overline{\chi(x)},
$$

如果至少有一個未讀取的位置 $y$，而沒有額外結構約束，則取 $f'=f+\mathbf1_{\{y\}}$，這兩個函數在已讀集合上完全一致，卻有

$$
\widehat {f'}(\chi)-\widehat f(\chi)=\overline{\chi(y)}\ne0.
$$

因為角色值永遠不是零，單靠已讀資料不可能判定一般全域傅立葉係數。因此本版 **global_fourier** 必須具備全部區塊；部分讀取明確拒絕為 `INCOMPLETE_OR_EXTRA_CHUNK_SCOPE`。這不是目前實作太保守，而是無額外假設時的必要限制。

## 4. 定理 B：精確的局部有限調和判定

設 $L=\mathrm{lcm}(n_1,\dots,n_d)$， $\zeta_L=e^{2\pi i/L}$，並取頻率 $k_j\in\mathbb Z/n_j\mathbb Z$。定義

$$
\chi_k(x)=\zeta_L^{-\sum_j k_jx_j(L/n_j)}.
$$

給定支援 $S$，建立整係數多項式（指數歸約至 $0,\ldots,L-1$ ）

$$
A_{S,k}(X)=\sum_{x\in S}f(x)X^{e_k(x)},\qquad
 e_k(x)\equiv-\sum_j k_jx_j(L/n_j)\pmod L.
$$

於是 $A_{S,k}(\zeta_L)=\sum_{x\in S}f(x)\chi_k(x)$。因 $\Phi_L$ 是 $\zeta_L$ 在 $\mathbb Q$ 上的最小多項式，得到精確充要條件：

$$
\sum_{x\in S}f(x)\chi_k(x)=0
\iff \Phi_L(X)\mid A_{S,k}(X).
$$

這個判定能以整係數多項式長除直接完成，而無須執行浮點 FFT。驗證器輸出完整的整係數餘式；零值當且僅當餘式完全為零。非零判定也以非零餘式為證，不使用任意容差。

**限制。** 此定理只適用於被明確定義為整數、有限群、有限支援的數學訊號。它不直接解決無限傅立葉級數、特徵零下 p-adic L 函數消失階數、任意解析延拓或 BSD 的首項比較；那些需要額外的解析／代數證明義務。

## 5. 定理 C：無須數值的子群平均結構性零

對 $H\le G$ 定義

$$
(P_Hf)(x)=\frac1{|H|}\sum_{h\in H}f(x+h).
$$

對任意角色 $\chi$，若存在一個子群生成元 $h_0$ 使 $\chi(h_0)\ne 1$，則

$$
\widehat{P_Hf}(\chi)=0
$$

對所有 $f$ 均成立。

**證明。** 將 $\widehat{P_Hf}$ 的求和順序交換，得到其為 $\widehat f(\chi)$ 乘上 $|H|^{-1}\sum_{h\in H}\chi(h)$ （視傅立葉號誌約定可能取共軛，但是否為零不變）。若角色在 $H$ 上非平凡，正交性保證該有限和為零。由於生成元能生成整個 $H$，檢查至少一個生成元上角色非平凡即為充足條件。 $\square$

在 $L$ 次根表達下，驗證者只需要用整數檢查是否存在生成元 $h$ 使

$$
\sum_j k_jh_j(L/n_j)\not\equiv0\pmod L.
$$

若所有生成元均使該式等於零，演算法只回報 `UNRESOLVED_TRIVIAL_CHARACTER_ON_SUBGROUP`；它不宣稱頻譜非零。此證書作用對象是**明確定義的 $P_Hf$**，不能冒稱原始 $f$ 的傅立葉係數消失。

## 6. v1.1 到 v1.2 的可信導入條件

本版保留完整凍結的 v1.1 原始碼、數學證書與 Ed25519 驗證介面。在導入時：

1. 從既有的 v1.1 `CSV_INDEX_VALUE_LF_V1` 或 `JSON_TYPED_TABLE_V1` 讀取**完整原始位元組**，以外部提供的 policy、checkpoint 及來源雜湊釘選進行全量驗證。
2. 經 v1.1 檢查原始位元組、數學表格、SOURCE／CANDIDATE 簽章、數學等價性後，從同一份已核查表格建立 v1.2 區塊與根。
3. 新 metadata 只記錄 v1.1 的來源物件 pin、原始 SHA-256 及舊版收據 digest。**這些欄位本身沒有對新根重新簽署**。必須由驗證者完成首次完整橋接驗證並自行釘選新根，或另以明確授權的簽署流程向接收端發布可信根。
4. 後續局部驗證必須由外部渠道提供可信 policy 指紋和命題指紋，才能只讀取必要的區塊證書。

若使用者僅提供「看似 v1.1 來源」的文字，卻無可信獨立釘選，則不允許由 `origin.kind=V11_VERIFIED_RAW_TABLE` 自動升格為具有權威的來源。示範的所有公鑰與 policy 都是 **DEMO ONLY**，也不驗證外部現實資料的真偽。

## 7. 計算與驗證結果

### 7.1 840 個整數的質數指示函數

取 $G=\mathbb Z/6\times\mathbb Z/10\times\mathbb Z/14$ 共 840 點，令 $f(i)=1$ 當且僅當 $i+2$ 為質數，其他時候 $f(i)=0$。每區塊 21 個整數，共 40 塊。對 $S=\{126,\ldots,167\}$：

- 局部求和的 42 點含 8 個質數，認證兩個區塊；
- 局部非零傅立葉餘式由精確整係數計算，不讀取其他 798 個值；
- 完整訊號的零頻非零判定需要所有 40 區塊；其值等於該 840 點訊號共有 146 個質數；
- 指定子群平均算子的結構性零由角色定理完成，讀取零個訊號值。

這些只是有限算例與已知代數事實，不是新的質數定理。對 `masked_fourier` 的結論也不能外推成未指定範圍的分布結論。

### 7.2 同命題的局部來源與全量重建比較

由 `scripts/benchmark_v12.py` 在此環境量測同一個 42 點求和命題：

| 資料點數 | 全部區塊 | 局部驗證區塊 | 完整數值 JSON bytes | 局部證書 bytes | 局部核查中位數 | 全量 Merkle 重建與查核中位數 |
| ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 840 | 40 | 2 | 2,078 | 1,833 | 0.092 ms | 0.438 ms |
| 24,000 | 1,143 | 3 | 59,369 | 3,547 | 0.204 ms | 12.698 ms |

上述為單機 Python 程式內的觀測結果，無冷程序啟動、網路 I/O、信任根發放、原始資料首次掃描或持久化維護成本，也非不同數學命題間的速度比較。更大的資料或其他工作負載可能沒有優勢；驗證者不能把這裡的比值推廣到所有數學證明。證書 bytes 還包含模型、命題、根與 Merkle 路徑，與只數值 JSON bytes 不是相同封裝格式；僅供資料量級參照。

## 8. 反例與故意拒絕

- 更改已接收區塊內的一個整數、索引、起點或來源資料集 ID，成員證明必須失效。
- 只為全域傅立葉命題提供一個區塊，必須拒絕資料範圍不足。
- 交換完整命題與局部命題，預先釘選的 query digest 必須拒絕偷換。
- 拿一份 demo policy 自稱是真正的來源授權，預設的獨立 CLI 拒絕；只有 `--allow-demo` 才執行測試。
- 同一位置的不同版本或不同資料根不可交換使用；不接受「值看起來一樣」就認定來源相同。
- 在子群平均中選擇平凡角色，無法由正交性直接證明零，必須標記未解決。
- 凍結 v1.1 的原始 CSV 變動，即使 v1.2 新根可被自己重新算出，也必須無法通過外部 v1.1 來源釘選。

## 9. 工程邊界與可反證主張

| 狀態 | 內容 |
| --- | --- |
| **定理／已證代數** | 有限支援充分性、一般全域頻率的未讀取反例、精確循環多項式零判定、子群角色正交性 |
| **程式已測** | SHA-256 成員路徑、嚴格命題與來源 pin、分塊局部數值、有限整數頻譜餘式、v1.1 完整導入與錯誤注入 |
| **受條件限制** | Merkle 完整性基於抗碰撞假設及外部可信根；v1.1 Ed25519 的身分與版本僅對外部政策假設有效 |
| **未證明／未實作** | 任意外部資料的快速真實性判定、通用不讀資料的全域頻譜證明、連續解析域的自動提升、BSD 解決、真實權威發行服務、普遍端到端加速 |

## 10. 下一階段候選：v1.3

下個版本可研究**跨版本差分式來源更新與證明義務閉包**。要同時保留舊資料根、新資料根、被修改區塊、差分合法性、已驗證的舊數學結果和受影響的角色／纖維。不可讓一般 SHA-256 Merkle 更新路徑取代整個數學差分的等價證明；對非局部全域命題，若沒有證明變更的支援性及補償結構，仍應退回完整核查。

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## 來源與譜系

- 凍結研究前版：`upstream_v11/`，v1.1 Raw Source to Mathematical Proof，含其全部先前版本與原驗證器。
- 本版精確數學與來源碼：`fiberchunk/core.py`，`fiberchunk/v11_bridge.py`。
- 資料與實驗：`examples/`；測試：`tests/`；驗收：`manifests/SHA256SUMS.json`。
- TCGCT 主倉：[TCGCT](https://github.com/kakon77777-commits/TCGCT)。
- TCGQT 主倉：[TCGQT](https://github.com/kakon77777-commits/TCGQT)。
- AMRAL 研究站：[AMRAL](https://amral.evemisslab.com/)。

本研究稿沒有寫入三個上游 GitHub 正本，也不重新命名它們已凍結的數學定理與驗證狀態。