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title: "TCGCT × TCGQT v1.0：來源身分與精確數學證書的可攜式雙鏈驗證"
english_title: "TCGCT–TCGQT v1.0: Portable Verification by Separately Bound Source Authority and Exact Mathematical Evidence"
author: "Neo.K / EveMissLab"
research_collaboration: "GPT-6"
date: "2026-11-02"
version: "v1.0"
status: "RESEARCH_PROTOTYPE / OFFLINE_VERIFICATION / NOT_A_BSD_PROOF"
canonical_source: "UTF-8 Markdown; inline LaTeX $...$ ; display LaTeX $$...$$"
license_status: "Research artifact only; upstream licensing remains independently governed"
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# TCGCT × TCGQT v1.0：來源—數學雙鏈可攜式驗證

**作者：** Neo.K / EveMissLab  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-11-02  
**版本：** v1.0  
**研究協作（原稿所載）：** GPT-6  
**原稿狀態：** RESEARCH_PROTOTYPE / OFFLINE_VERIFICATION / NOT_A_BSD_PROOF  

## 摘要

本稿完成 TCGCT–TCGQT 有限調和驗證路線 v0.2–v0.9 的第一個整合節點：將**來源身分與版本之授權檢查**、**結構性數學等價證書的獨立重算**、**跨程序輸出收據**與**外部單調版本下限**明確分離，再按型別安全的契約接合。研究目標是減少重複數學驗證義務，**不是將簽章當成數學證明，也不是宣稱簽章使驗證器更快**。

數學核心保留 v0.9 的精確有限交換群陪集格計算，其兩個必要驗證子系統 `src/equivalence.py`、`src/lattice_exact.py` 與凍結 v0.9 檔案逐位元組一致。v1.0 新增 Ed25519 簽署聲明的離線驗證，並要求信任政策與序列下限由資料包外部提供，再用獨立的數學驗證器重算原命題。收據列出每一層的來源、結果與剩餘未知，而不是將結果簡化成無條件的 `PASS`。

**結果範圍**：在預先定義的有限整數陪集生成函數上，可於 1,000,000 個群元素的案例中不展開完整訊號驗證數學等價性；在 180 項實際輸入表的完全相等主張上，仍須讀取並比較 180 個值。這些結論只涵蓋已簽署之**規範化型別化數學物件**；不會因簽署通過便證明外部實際世界的來源內容與物件一致。本稿不解決 BSD，也不聲稱提高廣義數學可證性。

## 1. 問題：不能以資料雜湊代替權威，也不能以來源簽章代替證明

先前 v0.9 的 `STRUCTURED_EXACT` 與 `MATERIALIZED_EXACT` 都需要外部來源釘選，但「釘住的 SHA-256 是誰提供的」尚未在證書格式中核查。若同一個攻擊者同時提供數學來源與雜湊，完整性檢查仍可能成立，卻沒有任何外部授權證據。

反過來說，就算擁有合法私鑰的發布者簽署了錯誤數學見證，簽章仍可能完全有效。簽署與數學真值是獨立的判定問題。本版要求：

1. 來源與候選對象的 **canonical typed JSON payload** 由角色相容的外部授權金鑰簽署。
2. 金鑰、公鑰身分、允許來源種類、來源名稱前綴、撤權狀態等規則，由**包外**政策決定，政策自身以另一個包外預期 SHA-256 釘住。
3. 版本高水位由**包外** checkpoint 決定，也以獨立預期 SHA-256 釘住。
4. 嚴格數學檢查完全不讀來源簽章的 `PASS`；僅使用已通過身分及版本檢查的物件，重新計算等價性或明確的反例。
5. 一份驗證收據須把四個結論分開，不能把它們折疊成「真實世界中的資料完全正確」。

這裡的信任政策是**由驗證者所選的規則**，不是資料包自行聲稱的權限。用這份 ZIP 附帶的 `DEMO_TRUST_POLICY_NOT_AN_AUTHORITY.json` 演示時，只是在演示密碼學與型別介面的工作流程，沒有真實的出版者身分保證。

## 2. 數學正本與前置事實

令有限交換群

$$
G=\prod_{i=1}^{d}\mathbb Z/n_i\mathbb Z
$$

定義由整數權重的陪集指示函數組成的訊號

$$
f(x)=c+\sum_{j=1}^{r}a_j\mathbf1_{t_j+H_j}(x).
$$

 $H_j$ 為有限生成子群， $t_j$ 是位移， $c$ 與 $a_j$ 是整數。令兩個候選來源為 $f,g$，差函數 $d=f-g$，則

$$
\mathcal N(f,g)=\sum_{x\in G}d(x)^2.
$$

因每項皆為非負整數，得到

$$
\mathcal N(f,g)=0\quad\Longleftrightarrow\quad(\forall x\in G)\ f(x)=g(x).
$$

以所有陪集項 $C_j$ 及差係數 $b_j$ 寫成 $d(x)=c_\Delta+\sum_j b_j\mathbf1_{C_j}(x)$，則

$$
\mathcal N(f,g)=|G|c_\Delta^2+2c_\Delta\sum_jb_j|C_j|+\sum_{i,j}b_ib_j|C_i\cap C_j|.
$$

交集大小可由整數格的子群指數與陪集可達條件精確取得。當模數與生成元受本版有限上界限制時，驗證器不必逐一枚舉每個 $x$。以上為既有有限群與整數格數學的直接應用；v1.0 並未宣稱發現新的一般定理。

**重要限定**：這只證明*兩個被完整定義的生成式*在 $G$ 上等價。若 `source_kind=EXTERNAL_MATERIALIZED_TABLE`，則數學來源是已讀入的規範化表格，宣稱完全相等時必須逐一比對全部值。簽章不能省掉後者的數學義務。

## 3. 雙鏈不混同

### 3.1 外部授權鏈

某一個權威聲明寫成

$$
A=(\mathrm{role},\mathrm{ID},\mathrm{revision},\mathrm{sequence},\mathrm{kind},\mathrm{hash},\mathrm{scope},\mathrm{keyID}).
$$

對來源或候選物件 $X$，檢查其規範化內容雜湊等於聲明中的 `object_pin`。實作以 `sha256(canonical_json(X))` 取得雜湊，並以帶固定領域分隔前綴的 Ed25519 簽章驗證聲明。**此雜湊不是原始 CSV、PDF 或網頁的逐位元組雜湊。** 若要證明這些外部檔案經解析後確實是 $X$，須再提供獨立、可核查的匯入／解析來源證據。

授權政策檢查公鑰、角色、物件種類、名稱前綴及是否停權；外部 checkpoint 檢查簽署的整數序列號是否不低於對該物件指定的版本下限。序列號與語意版本字串並不自動等價。只有驗證者更新並重新釘選 checkpoint，才可能在本地防止舊簽署物件被重新接受。

### 3.2 精確數學鏈

獨立調用凍結 v0.9 驗證器：

- `STRUCTURED_EXACT`：重新計算有限群整數平方差，不接受任何直接輸入的聲稱值作為最終結果。
- `MATERIALIZED_EXACT`：對 `EQUAL` 完全比較表格；對 `DIFFERENT` 核查指定位置確實不等，且來源表格整體受規範化 payload 釘選。

有效簽章不會使 `norm_square=7` 被當成 `0`。有效數學比較也不會補足缺失的來源簽章。

### 3.3 組合條件

設 $A_s$ 、 $A_c$ 為來源與候選之經政策核查的認可聲明， $M$ 為重新核算之數學斷言， $B$ 為同一組 source/candidate canonical pin 與版本的對應檢查。這版僅在以下條件同時通過時輸出整體成功：

$$
V=A_s\land A_c\land M\land B.
$$

`V` 表示**在明示的外部政策、checkpoint 和有限數學定義域內，證據鏈組合核查通過**，並不表示簽署主體的法律身分已獨立認證、外部現實已驗真、或來源未經攻擊者授權變更。

## 4. 證書的型別化拓樸與依賴圖

```text
[OUT-OF-BAND TRUST POLICY PIN] ──> policy/key/role check ─┐
                                                          ├─> source authority
[SOURCE CANONICAL PAYLOAD] ──> SHA-256 ──> Ed25519 CLAIM ──┘
                                                          │
[OUT-OF-BAND CHECKPOINT PIN] ─> monotone floor ────────────┤
                                                          │
[CANDIDATE CANONICAL PAYLOAD] ─> SHA-256 ─> Ed25519 CLAIM ─┤
                                                          │
[FROZEN v0.9 EXACT MATH] ─> independent equality check ───┤
                                                          ▼
                           [TYPED BINDING RECEIPT + OPEN LIMITATIONS]
```

收據分開列出：兩個簽署角色的 authority/key/object/revision/sequence/scope，數學證書模式、驗證結果、是否讀取原始數值，以及政策與 checkpoint pin。收據自帶 SHA-256 僅作重播核對，不是第三方簽署，也不是新任務的永久授權 token。

## 5. 對抗與拒絕語意

| 攻擊／錯誤 | 理應結果 | 原因 |
|---|---|---|
| 替換來源內容或候選內容 | REJECT | canonical payload pin 與簽章不一致 |
| 偷換來源／候選角色 | REJECT | 角色寫入簽署訊息，且受包外 policy 限制 |
| 使用其他名稱空間的合法簽署金鑰 | REJECT | 來源前綴未受權 |
| 將舊簽章、舊序列號放回已升級 checkpoint | REJECT | 低於外部指定高水位 |
| 有效簽章，但數學見證偽造 | REJECT | v0.9 數學核心獨立重算 |
| 數學正確，但來源未簽章 | REJECT | 缺少來源授權聲明 |
| 塞入包內自稱 `trusted: true` 或 `PASS` | REJECT | 嚴格 schema，不採納額外權限欄位 |
| 外部表格只改動一格 | REJECT or DIFFERENT | 不能從生成式一致性推出材料化表格相同 |
| 只提供資料包裡附帶的 demo policy | DEMO_ONLY | 無真實外部授權錨點 |
| 提供舊 checkpoint，且舊 pin 也由攻擊者選擇 | 無法阻止回滾 | 保證依賴包外釘選及更新，非自動永久防回滾 |

## 6. 來源字串與真正的來源承諾

本研究以 `canonical_json` 的**固定 Python 子集編碼**作為規範化型別化來源：字典鍵排序、UTF-8、無額外空白、整數值、非有限數拒絕。本版**不聲稱已建立跨所有語言的 RFC 8785 完整相容性**。程式碼與 JSON 範例提供規範化行為的重播測試。

來源語義分為：

- `DEFINED_MATH_OBJECT`：簽署的對象本身就是有限生成函數定義；其數學表述可以在此定義域內精確判定。
- `CANONICAL_TABLE_PAYLOAD_ONLY`：簽署的是已完整列出的**規範化表格物件**，而不是外部採集事實或未核查的原始匯入流程。

若未來要連接 AMRAL 或更大的研究資料庫，應另提供源檔 byte digest、受監管的 parser/normalizer identity、擷取來源或採樣契約，並以專門的同一性證書橋接到本版的型別化物件。這些都**不在 v1.0 已完成的接口之內**。

## 7. 實驗域與成本

支援的 v0.9 數學子域：1–4 維循環群，每個模數 2–65536，總群大小不超過 $10^7$，每個生成式最多 12 個陪集項，每項最多三個生成元，整數係數不超過有號 63 位界。材料化完整表格最多 4096 個位置。超出宣告的範圍不給成功結果。

對演示案例：

| 類別 | 群大小 | v0.9 數學範圍 | v1.0 新增驗證義務 |
|---|---:|---|---|
| 結構等價 | 1,000,000 | 整數格平方差為零，不枚舉每點 | 兩份 Ed25519、policy、checkpoint、對應綁定 |
| 結構差異 | 180 | 平方差非零 | 同上 |
| 材料化相等 | 180 | 逐一比較全部 180 值 | 同上 |
| 材料化差異 | 180 | 校驗一個差異位置，完整表格受 pin 約束 | 同上 |

請參閱 `examples/benchmark_v10.json`：時間分為已重播的 v0.9 純數學與 v1.0 簽署加數學程序，以及整體冷啟動。增加簽署與身份核查通常**提高**驗證成本；該成本可換得額外的指定信任語義，並非驗證核心的數學加速。

## 8. 操作說明：如何在不同程序核查

本包只提供**可離線驗證的測試政策**與公開演示簽章，沒有任何真正的私人簽署金鑰。獨立測試的私鑰僅於建立演示時在程序記憶體中短暫存在，不儲存於交付包。

環境：Python 3.10+，`cryptography` 提供 Ed25519 API；除這個明示依賴外，數學核心使用標準函式庫。

```bash
python -B scripts/build_demo.py
python -B -m unittest discover -s tests -v
python -B scripts/check_math_source.py
python -B scripts/verify_release.py --scope current
```

要使用驗證命令，必須由獨立於待驗證資料包的管道取得可信政策與 checkpoint，並從相同獨立管道取得**其預期 SHA-256**：

```bash
python -B scripts/binding_cli.py \
  --packet examples/structured_equal_1000000.json \
  --trust-policy examples/DEMO_TRUST_POLICY_NOT_AN_AUTHORITY.json \
  --checkpoint examples/DEMO_SEQUENCE_CHECKPOINT_NOT_PERSISTENT.json \
  --expected-policy-pin POLICY_SHA256_FROM_INDEPENDENT_CHANNEL \
  --expected-checkpoint-pin CHECKPOINT_SHA256_FROM_INDEPENDENT_CHANNEL
```

上面路徑的 policy/checkpoint 是演示資料，僅為說明格式；要在實際專案中使用，應替換為其自有且經外部認可的政策版本、授權 key registry、被核准的資料定義、持久版本記錄與具體權利關係。

## 9. 與 TCGCT／TCGQT／AMRAL 的關係

這是 v0.2–v0.9 有限調和、生成式與來源等價研究的**可攜式研究整合層**。TCGCT 負責精確值與有型別計算；TCGQT 負責保留觀察視角與結構性證書；調和分析負責可分解的有限群頻譜性質；本版補上按角色、來源與版本進行的有界證書交接。

與 AMRAL BSD 的連結依然只在**驗證方法論**：例如來源數值是否被外部引用、哪個執行器產生了確切版本、同一局部證書是否應被重新驗算。無法因本版成立便推論 BSD 的 $p$ -adic 高度非退化、任意零點消失階或特徵零下首項公式已被證明。BSD 保持開放。

**截至 v1.0，形式化 proof assistant 並未逐定理驗證此套程式；交叉檢查主要來自獨立數學 oracle、既有 v0.9 測試及大量對抗測試。** 任何新數學定理仍須有獨立於程式通過率的嚴格論證與審閱。

## 10. 下一個明確研究缺口

1. 將真正來源檔案 byte-level 認證與 typed JSON 的解析等價建立成可驗證獨立證書。
2. 加入持久化簽署鍵撤權記錄、金鑰輪替、外部更新的 checkpoint 與防重播操作協議。
3. 以多程序、多語言實作完全核查同一規範化編碼和 Ed25519 聲明，避免共同錯誤。
4. 把有限陪集生成式逐步提升到更一般的有限 Fourier／解析證書，同時保留所有無窮極限與誤差界的明示前提。
5. 明確比較「證書可重用減少的重複數學義務」與「權威檢查新增的驗證成本」，分開計量數學工作、加解碼、I/O、CPU 與人類審閱成本。

**結論：v1.0 建立的是一個可以拒絕錯誤來源／錯誤數學及其不當混用的有限研究原型，不是通用信任機構、不是通用數學證明器，也不是 BSD 的解答。**