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title: "TCGCT × TCGQT v0.7：選定 Galois 角色軌道、普遍消去與稀疏增量驗證"
english_title: "Selective Harmonic Proof Obligations and Sparse Incremental Verification"
version: "0.7 / research draft"
date: "2026-11-02"
author: "Neo.K / EveMissLab"
research_collaboration: "GPT-6"
canonical_source: "UTF-8 Markdown; dollar-sign LaTeX delimiters only"
status: "EXACT_FINITE_SCOPE / VERIFIED_EXECUTABLE_PROTOTYPE / NOT_BSD / NOT_GENERAL_SPEEDUP"
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# TCGCT × TCGQT v0.7：選定頻譜義務與已驗證來源的稀疏重驗

**作者：** Neo.K / EveMissLab  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-11-02  
**版本：** 0.7 / research draft  
**研究協作（原稿所載）：** GPT-6  
**原稿狀態：** EXACT_FINITE_SCOPE / VERIFIED_EXECUTABLE_PROTOTYPE / NOT_BSD / NOT_GENERAL_SPEEDUP  

## 摘要

先前 v0.2–v0.6 建立精確纖維、有限交換群角色、循環多項式零判定、有限到連續的條件式提升，以及跨程序完整證書的獨立核查。本稿將驗證對象由「全體頻譜」縮小到「當前命題需要的一個 Galois 軌道」，並為兩個情況採取不同證據標準：（一）特定任意整數訊號的傅立葉係數，必須完整錨定來源並核查精確代數恆等式；（二）對所有有理值函數皆成立的子群平均消去定理，可以只由群結構確認而不讀取任何函數值。

對一份在同一驗證程序中已被核查的舊訊號與舊軌道餘式，再利用稀疏差分恆等式與帶 SHA-256 鏈的 Merkle 更新見證，使指定頻率的餘式在來源變動後得到條件式重驗。沒有舊數學核查的冷程序仍須先重新驗證基準證書；雜湊或外來的 `PASS` 標記不能代替此步。此成果研究的效能對象是「命題相關的核查工作量」，不宣稱普遍縮短 CPU 時間，也不宣稱 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想已得新證明。

## 1. 數學對象與三種互不混同的驗證工作

令

$$
G=\prod_{j=1}^{r}\mathbb Z/n_j\mathbb Z,\qquad L=\operatorname{lcm}(n_1,\ldots,n_r).
$$

原型的數值來源為有限整數值函數 $f:G\to\mathbb Z$。選一個原始 $L$ 次單位根 $\zeta_L$，用座標 $k=(k_j)$ 表示角色：

$$
\chi_k(x)=\zeta_L^{\sum_j (L/n_j) k_jx_j}.
$$

傅立葉係數為

$$
\widehat f(k)=\sum_{x\in G}f(x)\overline{\chi_k(x)}.
$$

本稿區分三種驗證：

1. **有限數值命題**：對固定來源快照的指定角色軌道，證明其係數在特徵零下精確為零或非零。
2. **普遍結構命題**：僅憑子群 $H$ 與角色 $k$ 的相容性，證明每一個有理值 $f$ 的 $P_Hf$ 在 $k$ 處係數為零。
3. **增量命題**：給定已實際驗證的前一個數值命題及已證來源變更，證明更新後指定角色的係數新狀態。

三者的前提、輸入讀取量與適用結論都不同，任何下游證明依賴圖不得把其 PASS 標記互相取代。

## 2. 定理 A：指定軌道的精確零判定

令

$$
e_k(x)\equiv-\sum_j (L/n_j)k_jx_j\pmod L,
$$

並構造整係數多項式

$$
A_k(X)=\sum_{x\in G}f(x)X^{e_k(x)}.
$$

因 $\widehat f(k)=A_k(\zeta_L)$，而 $\Phi_L$ 為 $\zeta_L$ 在 $\mathbb Q$ 上的最小多項式，故

$$
\widehat f(k)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \Phi_L(X)\mid A_k(X).
$$

**證書形式。** 生產者提供 $Q_k,R_k\in\mathbb Z[X]$，核查者不信任其結論，而自行從固定的完整訊號來源重建 $A_k$ 、從標準遞迴重建 $\Phi_L$，逐係數檢查

$$
A_k=\Phi_LQ_k+R_k,\qquad \deg R_k<\deg\Phi_L.
$$

於是 $R_k=0$ 是精確零證書， $R_k\ne0$ 是精確非零證書。此證書沒有使用浮點 FFT，也不依賴單一有限域的零模結果。

設 $u$ 走過 $(\mathbb Z/L\mathbb Z)^\times$， $k\mapsto uk$ 是 Galois 作用。對有理／整數值 $f$，其角色係數在共軛軌道內零性一致。因此可只核查每個**被選中的 Galois 軌道代表元**。不可以按角色階數任意合併不同軌道，因為同階不意味 Galois 共軛；v0.6 的 $\mathbb Z/6\times\mathbb Z/10$ 反例仍成立。

**精確適用邊界。** 本版冷啟動的數值證書仍包含全部 $|G|$ 個來源數值，以確認它確實是對該來源的宣稱。選定一個頻率只是減少多項式證書的數量，並不等於任意傅立葉係數能只從任意小範圍來源推導。

## 3. 定理 B：子群平均的普遍結構消去

若 $H\le G$，令

$$
(P_Hf)(x)=\frac1{|H|}\sum_{h\in H}f(x+h).
$$

子群角色和滿足

$$
\sum_{h\in H}\overline{\chi_k(h)}=0
$$

當且僅當 $\chi_k$ 在 $H$ 上非平凡時。因而對每一個 $f:G\to\mathbb Q$，有

$$
\widehat{P_Hf}(k)=0\quad\text{若}\quad k\notin H^\perp.
$$

這個結果是標準有限群調和分析的結構性消去定理；本稿的工程工作是把它寫成**獨立的、無函數值 payload 的精確證書型別**。核查者只須枚舉子群生成元的閉包，檢查角色是否在消去域；即使未知任何 $f(x)$，普遍量詞仍成立。

**不可混同的反例。** 於 $G=\mathbb Z/6\times\mathbb Z/10$，取 $f(a,b)=[a=0]$，子群 $H=\langle(1,0)\rangle$，角色 $k=(1,0)$。原始訊號有 $\widehat f(k)=10\ne0$，但平均後 $\widehat{P_Hf}(k)=0$。因此來自子群平均的零證書**不能**自動當成原始訊號頻譜的零證書。驗證器對這種越界作出明確拒絕。

## 4. 定理 C：稀疏變更之餘式更新

設 $f'$ 由 $f$ 在有限集合 $S$ 上更新， $\Delta f(x)=f'(x)-f(x)$ ；其他點的差分為零。由線性性，

$$
A'_k(X)=A_k(X)+\sum_{x\in S}\Delta f(x)X^{e_k(x)}.
$$

定義商環中的正規餘式映射

$$
\rho_L(A)=A\bmod\Phi_L(X).
$$

若舊餘式 $r_k=\rho_L(A_k)$ 已經依第 2 節**實際驗證**，則新餘式可由

$$
r'_k=\rho_L\left(r_k+\sum_{x\in S}\Delta f(x)X^{e_k(x)}\right)
$$

精確取得，無需重新逐項建立整個 $A'_k$。這是一個標準多項式商環恆等式；它的正確性不依賴傅立葉近似，也不意味所有未選取角色都獲得了新證書。

**驗證器實作分離。** 生產者路徑沿用原生有限交換群實作與 $\Phi_L$ ；新的獨立核查程式以不同的多項式化簡迴圈驗算 $r'_k$。測試還使用完全重建新來源的冷數值證書，與每輪增量餘式作逐係數比較。初始基準核查不計入增量操作的時間，必須另外報告。

## 5. Merkle 稀疏來源與數學證據的分層

本版的完整來源向量在第一次驗證時建立二元 Merkle 樹。每個葉節點使用「索引 + 完整整數」的標準化 UTF-8 JSON，樹的內節點及填補葉採明確不同的 SHA-256 前綴。外部來源釘選另外包含來源 ID、revision、群維度及根雜湊。

對每筆由舊整數更新為新整數的單點修改，出示該葉的 sibling path；核查者能在不逐一重讀所有其他葉的情況下驗證舊根與新根的鏈接。多筆修改依嚴格升序逐筆驗算，後一筆的 sibling path 必須是前一筆**更新後**的當前樹。所有數學與路徑檢查成功，且新來源釘選符合外部提供的值，才將新狀態提交到記憶體中。

此處存在兩種完全不同的可信度：

- **代數正確性**：來自已驗證的舊餘式，加上精確差分恆等式。這是有限數學定理。
- **來源完整性**：來自 SHA-256 與 Merkle inclusion/update path。這依賴雜湊碰撞抵抗假設及外部可信釘選，不是純數學對來源身分的證明。

如果一個全新的程序只收到舊餘式及 Merkle 根，沒有曾經對舊數學證書的可信驗證記錄，則**不能**直接把它當作基準。`verify-delta-cold` 會先從完整來源重新核查舊證書，再查新差分與稀疏路徑。跨重啟的免重驗「已認證快取」與署名憑證均不在本版宣稱範圍。

## 6. 狀態機、作用域與失敗模式

已驗證基準建立後，單次增量更新遵守以下順序：

```text
VERIFY_OLD_MATH_WITH_EXTERNAL_CLAIM_PIN
  -> PIN_CURRENT_SOURCE_ID_AND_REVISION
  -> PREPARE_SPARSE_PATCH_AND_MERKLE_PATHS
  -> REQUIRE_EXTERNAL_NEW_SOURCE_PIN
  -> COMPUTE_SELECTED_DELTA_REMAINDERS
  -> INDEPENDENT_CHECK_NEW_REMAINDERS_AND_MERKLE_PATHS
  -> COMMIT_VERIFIED_IN_MEMORY_STATE
  -> MARK_UNTRACKED_ORBITS_UNVERIFIED
  -> MARK_PREVIOUS_FOUR_FIBER_WITNESS_STALE
```

拒絕條件包括舊值不符、重複／亂序索引、零變更、來源版本衝突、來源身分改變、範圍外整數、缺少外部釘選、竄改 Merkle sibling、竄改循環多項式商餘式、偽造 PASS、企圖把子群平均零性換成原訊號零性、只靠歷史 remainder 直接冷啟動，以及數學來源不完整卻冒稱已驗。

更新後只允許三種保守敘述：

- `PASS_SELECTED_ORBIT_CURRENT_SOURCE`：指定的已追蹤軌道經基準及本次差分確實驗證。
- `UNVERIFIED_ORBIT_AFTER_CHANGE`：未追蹤軌道尚未驗證，不能藉由相同 source root 冒稱 PASS。
- `STALE_NOT_CARRIED_FORWARD`：依賴完整訊號的舊四纖維分解未跟著此局部證書自動更新。

## 7. 固定實驗與觀察到的驗證成本

以 $G=\mathbb Z/6\times\mathbb Z/10$ （60 點）及 $G=\mathbb Z/2\times\mathbb Z/3\times\mathbb Z/5\times\mathbb Z/7$ （210 點 CRT 質數快照）為例：一筆整數變更後，新程序在有完整基準的前提下重播所選軌道。兩條路線均與重新產生完整新來源的單軌道證書一致；210 點快照有 46 個原始質數，這只是有限表象。

60 點案例中，舊 v0.6 的**完整**證書為 4165 bytes，v0.7 **單軌道**證書為 469 bytes。兩者涵蓋的命題不同，絕不能將封裝大小差讀為同一目標的 8.88 倍加速。單次更新的 JSON receipt 也因附帶 Merkle sibling 與舊／新餘式而比單軌道包大，證明增量路徑並非無代價。

`examples/benchmark_v07.json` 記錄一次容器觀察，在 35 次同程序量測下，實測中位數約為：

| 案例 | 有已驗證基準的稀疏增量核查 | 完整新來源重新產生並核查單軌道證書 | 已產生證書的純冷核查 |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| $|G|=60$ | 0.10949 ms | 0.23228 ms | 0.07645 ms |
| $|G|=210$ | 0.36415 ms | 1.70991 ms | 0.69606 ms |

注意：這是**不同前提與成本範圍**的路徑比較。第一欄不包含舊數學證書的初次認證與預計算；第三欄則有已生成且可取得的證書。完整程序啟動的 60 點案例（各 3 次）甚至沒有顯示局部證書較完整 v0.6 更快；兩者驗證覆蓋也不同。沒有信賴區間，未測跨機器、來源授權、磁碟更新、供應鏈與大型群，因此不得宣稱普適的實際效能優勢。

「更快」在本研究首先有兩個可證的操作性含義：在相同已驗證基準下，單一追蹤軌道只需查核 $|S|$ 個差分項；結構零定理在其正確適用域下不需查核任何函數樣本。這是**已限定命題的驗證義務**減少，不是整個系統已變成次線性、也不是傳統全量驗證已無必要。

## 8. 新穎性、來源、限制與後續問題

定理 A、B、C 均是經典有限群、代數數論與線性性事實的組合，不宣稱發現新定理。可提交評估的工程性研究內容是：證書型別分離、單軌道輸出、獨立核查、帶來源與修訂身份的稀疏更新、拒絕越界及明確的基準成本拆分。Python 並非公理化證明助手；尚未建立 Lean/Coq 驗證。

目前限制：最多四個循環群因子、群階 $\le240$ 、來源整數最多 256 bits、每輪最多 16 個升序不同索引、同程序內持有完整來源、未追蹤頻率沒有新證書、無一般連續調和或 p-adic 的自動提升、沒有身分簽名／抗回滾／跨多寫者交易。有限樣本與有限模域零值不能直接提升到無限解析命題。BSD 仍然未證明，此框架尚未建立任何通向 BSD 全域首項公式的橋接。

下一個可反證的研究問題：對具有限生產規則、可核查的結構生成式，能否把完整來源向量替換成帶計算證明的簡短生成證書，使單一角色的冷啟動核查不必逐格取得全訊號？若無法證明數學等價，必須回退本版完整來源要求。另一項工作是跨程序可驗證的舊證書可信驗證收據，避免把歷史 hash 自行升格為驗證通過。

## 9. 可重播入口

```bash
python -B scripts/build_examples_v07.py --check
python -B -m unittest discover -s tests -v
python -B scripts/verify_release.py --scope current
# Linux/macOS complete history: bash scripts/verify_all.sh
# Windows complete history: .\scripts\verify_all.ps1
```

冷驗證選定軌道時，必須由包外取得與所核查目標匹配的 claim pin；本包 `examples/pin_list_DEMO_ONLY_v07.json` 只供演示，不能視為獨立授權：

```bash
python -B scripts/selective_cli.py verify --packet examples/selected_60_raw_nonzero.json --expected-pin <external-claim-pin>
```

跨程序稀疏核查先重驗兩份基準數學證書，再驗變更收據：

```bash
python -B scripts/selective_cli.py verify-delta-cold --base-packet examples/selected_60_raw_nonzero.json --base-pin <external-baseline-pin-A> --base-packet examples/selected_60_other_orbit.json --base-pin <external-baseline-pin-B> --patch examples/patch_60_v07.json --receipt examples/sparse_60_receipt_v07.json --expected-new-source-pin <external-new-source-pin>
```

所有正式數學原始碼均保存為此 UTF-8 Markdown 檔，未透過聊天渲染畫面或 Unicode 數學字元回寫。本稿仍為內部研究草稿，未對外投稿，也不改寫 TCGCT、TCGQT 與 AMRAL 原倉庫。