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title: "TCGCT × TCGQT v0.6：有限交換群調和證書、跨程序核查與證明依賴圖"
english_title: "Portable Proof-Carrying Harmonic Verification over Finite Abelian Groups"
version: "v0.6 / research draft"
date: "2026-11-02"
author: "Neo.K / EveMissLab"
research_collaboration: "GPT-6"
status: "EXACT_FINITE_SCOPE / EXECUTABLE_PROTOTYPE / NOT_BSD / NOT_FORMAL_PROOF_ASSISTANT"
canonical_source: "UTF-8 Markdown; canonical inline and display dollar delimiters"
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# TCGCT × TCGQT v0.6：有限交換群調和證書、跨程序核查與證明依賴圖

**作者：** Neo.K / EveMissLab  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-11-02  
**版本：** v0.6 / research draft  
**研究協作（原稿所載）：** GPT-6  
**原稿狀態：** EXACT_FINITE_SCOPE / EXECUTABLE_PROTOTYPE / NOT_BSD / NOT_FORMAL_PROOF_ASSISTANT  

## 摘要

本研究延續 v0.2 的精確纖維判定、v0.3 的有限交換群 Galois 軌道、v0.4 的有限向連續提升閘道及 v0.5 的同程序證明 DAG，將有限交換群的兩個子群纖維、四項正交分解和精確角色零判定接入**同一個有型別證明依賴圖**，並提供一種不信任外部 `PASS`、可在獨立程序重新核對的攜帶式數學見證。

此框架的關鍵不是宣稱傳統 BSD 猜想已有新解，而是研究：在不犧牲精確性、來源範圍與前提區分的情況下，能否避免跨程序重新生成部分昂貴的數學證書，改為核驗較簡潔的代數恆等式。以下定理均屬經典有限群／調和分析結果；本版的貢獻為可重播的證書合成、拒絕條件及工程化驗證對照。

## 1. 目標、來源與嚴格的非主張

工作鏈為：TCGCT 精確數學正本 → TCGQT 多尺度、子群與觀察鏡頭 → 調和分析零頻率與交互作用 → 帶來源、版本及獨立可核查見證的 DAG。這裡的「驗證更快」是**減少合法重複核查工作**，不是提高算術的指令吞吐量。

本稿不主張：已證明任意 BSD；精確有限群結論可直接提升至無限／連續群；表示進位不同會改變既有整數的質數性；雜湊等於來源認證；單一算例的時間比率對所有機器成立；Python 原型本身是形式化定理證明器。

保留的來源：v0.5（凍結）、v0.4、v0.3、v0.2，均在 `upstream_v05/` 內。v0.6 將其運算圖的 schema 另升至 0.6，不覆寫前代官方原始碼。

## 2. 有限交換群的兩層纖維平均

定義有限交換群

$$
G=\prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}
$$

與子群 $H_1,H_2\leq G$，其中 $f:G\to\mathbb{Q}$。每個子群的纖維平均為

$$
(P_Hf)(x)=\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(x+h).
$$

由於群律交換，平移平均可重排成同一個 $H_1+H_2$ 子群的平均：

$$
P_{H_1}P_{H_2}=P_{H_2}P_{H_1}=P_{H_1+H_2}.
$$

令 $P_1=P_{H_1}$ 、 $P_2=P_{H_2}$ 、 $I$ 為恆等算子。則

$$
f=f_{00}+f_{01}+f_{10}+f_{11}
$$

其中

$$
\begin{aligned}
f_{00}&=P_1P_2f,\\
f_{01}&=(I-P_1)P_2f,\\
f_{10}&=P_1(I-P_2)f,\\
f_{11}&=(I-P_1)(I-P_2)f.
\end{aligned}
$$

**定理 A（正交與能量守恆）。** 在實數內積 $\langle f,g\rangle=\sum_{x\in G}f(x)g(x)$ 下， $P_1,P_2$ 是互相交換的自伴冪等算子。故以上四個部分兩兩正交，且

$$
\sum_{x\in G}f(x)^2=\sum_{a,b\in\{0,1\}}\sum_{x\in G}f_{ab}(x)^2.
$$

**證明概要。** 平移 $x\mapsto x+h$ 是有限集合的置換，故 $P_H$ 自伴；子群平均兩次等於平均一次，故冪等。相互交換的兩個正交投影共同分解成四個互斥投影，其交叉內積為零。整數輸入時每個輸出值都屬有理數，無需浮點捨入。

本原型在 `src/finite_abelian.py` 計算有限群、生成子群、纖維平均與能量分解；`src/portable_checker.py` 則採獨立的索引與加法實作，從原始輸入重新計算並比較全部四項見證，不採用生產者的判定函式。

## 3. 子群消去、角色掩碼與軌道

對角色 $\chi\in\widehat G$，定義傅立葉係數為 $\widehat f(\chi)=\sum_{x\in G}f(x)\overline{\chi(x)}$。子群平均的頻域作用為

$$
\widehat{P_Hf}(\chi)=\begin{cases}
\widehat f(\chi),&\chi(h)=1\ \text{對所有}\ h\in H,\\
0,&\text{其他}.
\end{cases}
$$

因此四個部分的支持域由 $H_1^\perp$ 、 $H_2^\perp$ 的交集與補集完全決定。這個**結構消失**與輸入訊號的偶然相消不可混淆：前者不需要計算每個係數，後者仍需要代數見證。

設 $L=\operatorname{lcm}(n_1,\ldots,n_r)$，選定原始 $L$ 次單位根 $\zeta_L$。對角色索引 $k=(k_1,\ldots,k_r)$，把頻譜計算整理成整係數多項式

$$
A_k(X)=\sum_{x\in G}f(x)X^{e(k,x)},
\qquad e(k,x)\equiv-L\sum_i\frac{k_ix_i}{n_i}\pmod L.
$$

若 $f$ 為整數訊號，則

$$
\widehat f(k)=A_k(\zeta_L),\qquad
\widehat f(k)=0\iff\Phi_L(X)\mid A_k(X).
$$

其中 $\Phi_L$ 是第 $L$ 個循環多項式。第二個等價由原始 $L$ 次單位根在 $\mathbb Q$ 上的最小多項式性質得到。

**定理 B（Galois 軌道）。** 對 $u\in(\mathbb Z/L\mathbb Z)^\times$，映射 $k\mapsto uk$ 對應 Galois 作用。頻譜零與非零性在這個軌道內一致；但是**相同角色階數不保證屬於同一軌道**。因此只能合法按軌道合併精確零判定，不能只按階數合併。

一個直接的反例在 $G=\mathbb Z/6\times\mathbb Z/10$：取 $f(x,y)=1$ 若 $x=0$，否則為零。角色 $(3,0)$ 與 $(0,5)$ 同為 2 階，但其 Fourier 係數分別為 $10$ 與 $0$。同階合併法會錯誤地宣稱兩者相同。

## 4. 攜帶式見證：讓新程序檢查，而不是信任

本版建立兩種攜帶式見證：

1. 四分量 $f_{00},f_{01},f_{10},f_{11}$ 的**全長精確有理數陣列**。核查者由來源函數、群律與生成元獨立構造 $H_1,H_2$，逐格計算平均與重建，驗算正交與能量。每個分數都要求最簡正規字串，不可偷換為浮點近似。
2. 每個 Galois 軌道的多項式除法證書 $Q_k,R_k$，核查者重建 $A_k$ 與 $\Phi_L$，然後逐係數驗證

$$
A_k(X)=\Phi_L(X)Q_k(X)+R_k(X),\qquad\deg R_k<\deg\Phi_L.
$$

於是 $R_k=0$ **當且僅當**該角色在特徵零下的係數精確為零。新的驗證程序只需要逐項**乘法與等式檢查**，不需要重新執行原生產者的多項式長除。驗證器同時獨立重建 Galois 軌道、角色遮罩與來源訊號；不能依賴傳入的 `PASS` 字串。

這個證書不是密碼學簽章；來源驗收必須由包外提供 **expected claim-graph SHA-256**。將同一 ZIP 裡面寫的雜湊作為自己驗證自己的權威，是本版明確禁止的信任擴張。若來源身分、數學來源的真實性、驗證器程式碼供應鏈或外部證明系統出現問題，這個包不能自行補足。

**設計上的差別**：驗證一份可重用數學證書不等於「完全不用算」，而是只做足以確認結果的檢查工作。新 verifier 仍須檢查原始輸入、結構、型別、全部生成子群及每個必需的多項式恆等式。

## 5. 同一張 DAG 的結合、失效與重用

v0.6 允許下列型別節點與 v0.5 舊節點共存：

- `source/abelian_integer_signal`：完整有界訊號、模數維度、來源 ID 和 revision。
- `proof/abelian_four`：兩組生成元、四分量精確分解。
- `proof/abelian_orbits`：子群遮罩與 Galois 軌道精確角色驗證。
- `proof/all_of`：與舊有有限群、分段線性連續證書共同組成合取；任何未完成、否證或無法驗證的前提均不得暗中升格。

依賴圖的來源雜湊包含型別、算子、參數和上游節點的雜湊。**只有在同一程序已實際驗證過**且來源不變時，才重用無需再驗的記憶體快取。外部冷啟動時走另一條入口：僅對攜帶式 Abelian 見證使用獨立 `portable_checker.py` 重驗；其餘舊類型仍要重新核查，不會自動把記憶體快取升格成跨程序可信快取。

在本版示範的 15 節點合取目標中，初次核查 15 個、相同快照重複核查 0 個。只修改 Abelian 訊號一格且明示 revision 後，核查 4 個、重用 11 個。只修改舊有理折線時，舊路線的結論可能轉為 `UNRESOLVED`，不可因新 Abelian 路線 PASS 就把合取提升。

## 6. 實驗與實際數值

### 6.1 非循環群 $\mathbb Z/6\times\mathbb Z/10$

訊號定義為

$$
f(a,b)=[a=0]+[b=0]+[(a,b)=(1,3)],
$$

其中方括號是 0/1 指示值。60 格數值平方總和為 19；兩個子群由 $(1,0)$ 與 $(0,1)$ 各自生成，總和是整個群。

| 分量 | 精確平方能量 | 對應角色數 |
| --- | ---: | ---: |
| common | 289/60 | 1 |
| h1_only | 107/20 | 9 |
| h2_only | 97/12 | 5 |
| interaction | 3/4 | 45 |
| **合計** | **19** | **60** |

原型將 60 個角色分為 16 個 Galois 軌道；角色的階數只分成 8 類。每個軌道的多項式商／餘式在全新核查程式中逐係數驗證。本例 16 個軌道均非零，與第 3 節的只依一個座標之反例不同，避免誤把「某些結構分量被消去」說成原訊號的所有角色都為零。

### 6.2 210 點 CRT 質數快照

 $G=\mathbb Z/2\times\mathbb Z/3\times\mathbb Z/5\times\mathbb Z/7$ 的 CRT 編碼在 $0\le n<210$ 下有 46 個質數，平方能量為 46。此實驗獨立量測子群平均、四分量重建及 16 個 Galois 軌道。這是**有限快照**，不是質數分布無限定理；CRT 坐標是數論與表示的已知變換。

### 6.3 Cold process 對照基準

`examples/benchmark_v06.json` 保存每條路徑在**全新 Python 子程序**重複 7 次的實測原始數值。每輪比較「由來源重新產生整個證書」與「獨立核查來源加既有商／餘式見證」。測得：

| 案例 | 生產者內部時間中位數 | 核查者內部時間中位數 | 生產者／核查者 |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| 非循環 60 點 | 34.9268 ms | 9.8780 ms | 3.5358 |
| CRT 210 點 | 50.6570 ms | 22.9850 ms | 2.2039 |

**限制：** 單一容器的一次性有限樣本，無信賴區間，且兩條路徑不是同一演算法；核查路徑還需要收到事先產生的證書。加入 Python 啟動與 I/O 後，60 點兩路徑分別為約 792.0 與 762.2 ms，210 點則為約 793.7 與 806.4 ms，並未展示穩健的端到端加速。上表是**特定工作負載的實際驗證成本實驗**，不得解讀成普適速度優勢或證明複雜度結果。冷驗證做了數學核對，而不是略過核對。

## 7. 故障注入與驗證邊界

測試包含：竄改來源版本、來源內容、子群生成元、四分量任一分數、商式、餘式、軌道的省略或重排、臆造 `PASS`、來源數值改動而外部釘選未改、重新計算另一個包內雜湊試圖取代外部釘選、超過有界模數與群大小、試圖把非法群座標寫進算子等。

這些必須被拒絕，而非視為通過。另一個反例是有限群上**相同角色階數不同零性**；測試以完全獨立的初等訊號驗證這件事。有限域模一個質數算得 0 的情況仍然不被自動提升成特徵零下零值。

已知程式限制：Python 的數學實作本身未經 Lean/Coq 形式化；每個新組合群的群階至多 240，最多四個循環因子，每個分量數值限制在 256-bit，沒有任意精度解析函數、p-adic、無窮群或受信任作者簽章。無法驗證時拒絕，不以猜測填補。

## 8. 下一研究義務

1. 將獨立核查進一步縮小到**部分纖維／選定頻率**，讓可攜見證不用攜帶全長四分量矩陣。
2. 在來源變動後，構造**受限增量見證**，不只減少記憶體中的重算，也減少冷程序核查的重複子圖。
3. 為連續分析尾項建立精確、可攜帶、可獨立核查的解析上界見證，避免把 `bandlimited` 假設當成來源數據自行推斷。
4. 固定外部 trust root、版本協議與多程序可驗收的供應鏈，避免把來源雜湊與來源簽名混淆。
5. 若要觀察 BSD，只能把本框架當作**驗證技術候選**，必須另行證明任何從有限表象通往複解析、代數 regulator 或 $p$ -adic 特徵零命題的橋接。

## 9. 重播方式

從本交付根目錄：

```bash
python -B scripts/build_examples.py --check
python -B -m unittest discover -s tests -v
python -B scripts/verify_release.py
```

兩個真正不同程序使用的命令：

```bash
python -B scripts/portable_cli.py produce --graph examples/graph_v06.json --target abelian_orbits --out packet.json
python -B scripts/portable_cli.py verify --packet packet.json --expected-pin YOUR_TRUSTED_EXTERNAL_CLAIM_DIGEST
```

`examples/experiment_v06.json` 所附的 pin 僅供展示格式，不是可信外部錨點；使用者必須從獨立、可信的路徑取得 expected digest。數學 source、證書及證據完整，**不代表來源作者身份已認證**。

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**研究結論：** 在受限的有限交換群整數訊號上，精確纖維四分解與 Galois 軌道零判定可以組成同一張證明 DAG；跨程序可由**獨立重算的結構前提 + 多項式商餘式驗證**重建結論，而非相信外部傳來的 PASS。特定實驗中內部驗證工作量下降，但端到端性能、一般化解析橋接與 BSD 仍是開放事項。