# E4 Latent Freedom Potential 與不規則 Cooperative Fiber Field

## E4 Latent Freedom Potential and Irregular Cooperative Fiber Field

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-10-02  
**前置：** E0–E3  
**狀態：** Exact exhaustive geometry-to-generator comparison

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

---

## 摘要

E3 已建立：

$$
\mathfrak I_q
=
(\Phi_q,\mathcal J_q),
$$

並提出 latent freedom 可以用「距離 cooperative closure 還缺多少 constituents」描述。

E4 做兩件事。

第一，正式定義：

$$
\boxed{
d_q(A)
=
\min_{G\in\mathcal G_q}
|G\setminus A|,
}
$$

其中：

$$
\mathcal G_q
$$

是 query $q$ 下所有 **minimal freedom generators**。

第二，把同一類 barrier 做成不同幾何 embedding，直接問：

> 幾何外觀改變後，真正決定 freedom algebra 的到底是輪廓，還是 generator structure？

E4 使用三個 $24\times24$ point-probe 模型，每個 barrier 都精確佔據：

$$
72
$$

個格點，每個模型都有：

$$
12
$$

個可釋放 constituents，並對全部：

$$
2^{12}=4096
$$

個 subsets 做 BFS exhaustive evaluation。

核心結果如下。

**結果 A：** straight-separated 與 zigzag-separated 的幾何明顯不同：

$$
\text{interface edges}:54\rightarrow76,
$$

$$
\text{bbox width}:3\rightarrow6.
$$

但它們對全部 $4096$ 個 release subsets 有完全相同的 connectivity truth table：

$$
\boxed{
V_{\mathrm{straight}}(A)
=
V_{\mathrm{zigzag}}(A)
\quad
\forall A\subseteq W.
}
$$

而且：

$$
d_{\mathrm{straight}}(A)
=
d_{\mathrm{zigzag}}(A),
$$

Shapley field、closure-gradient field、Möbius spectrum 也全部 exact 相同。

**結果 B：** 當 12 個候選 constituents 在 zigzag barrier 中改成相鄰耦合配置後，barrier 本身的總 support 仍是 $72$，但 minimal generator family 從：

$$
4
$$

個 size- $3$ generators，變成：

$$
12
$$

個 generators，其中：

$$
6
$$

個 size- $3$，

以及：

$$
6
$$

個 size- $4$。

此時 connectivity truth table 有：

$$
\boxed{
436
}
$$

個 subsets 與 separated model 不同。

因此 E4 得到：

$$
\boxed{
\text{geometric appearance}
\neq
\text{freedom algebra},
}
$$

但同時：

$$
\boxed{
\text{geometry matters when it changes the admissibility generator hypergraph}.
}
$$

---

# 1. Minimal Freedom Generator Hypergraph

令候選 constituent 集合：

$$
W=\{0,\ldots,11\}.
$$

對某一空間模型與 query $q$，定義：

$$
V_q(A)\in\{0,1\}
$$

表示釋放：

$$
A\subseteq W
$$

後是否存在 left-right operational freedom。

minimal generator 定義為：

$$
\boxed{
G\in\mathcal G_q
}
$$

若且唯若：

$$
V_q(G)=1,
$$

且對每個：

$$
x\in G,
$$

都有：

$$
V_q(G\setminus\{x\})=0.
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathcal H_q
=
(W,\mathcal G_q)
}
$$

是一個 hypergraph。

在 cooperative game theory 語言中，這等價於 monotone Boolean game 的 minimal winning coalitions；在本文中，我們把它當成 freedom closure 的 generator representation。

---

# 2. Generator Sufficiency

對 monotone binary freedom game，一旦：

$$
\mathcal G_q
$$

已知，就有：

$$
\boxed{
V_q(A)
=
\mathbf 1
\left[
\exists G\in\mathcal G_q:
G\subseteq A
\right].
}
$$

E4 對三個模型都從 grid BFS 先得到 $V_q$，再抽取 minimal generators，最後由 generators 重建全部 $4096$ 個 truth values。

全部 exact PASS。

因此在這類問題中：

$$
\boxed{
\mathcal G_q
\Longrightarrow
V_q.
}
$$

而所有：

- Möbius interaction；
- Shapley value；
- closure distance；
- latent-freedom gradient；

也都可以從：

$$
\mathcal G_q
$$

重新得到。

這使 generator hypergraph 成為比單一幾何輪廓更接近 freedom structure 的表示。

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# 3. 三個模型的基本差異

| model | support | interface edges | bbox width | winning subsets | minimal generators | generator sizes |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | --- |
| straight_separated | 72 | 54 | 3 | 1695 | 4 | 3:4 |
| zigzag_separated | 72 | 76 | 6 | 1695 | 4 | 3:4 |
| zigzag_coupled | 72 | 76 | 6 | 2131 | 12 | 3:6, 4:6 |


最重要的控制是：

$$
|\operatorname{Supp}(B)|=72
$$

三者完全相同。

因此不是 obstacle 面積改變造成結果。

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# 4. Straight 與 Zigzag：外觀改變，但 freedom algebra 不變

straight-separated 的四個 minimal generators：

| generator | members |
| ---: | --- |
| 0 | {0,1,2} |
| 1 | {3,4,5} |
| 2 | {6,7,8} |
| 3 | {9,10,11} |


zigzag-separated 在抽象 constituent labels 下得到**完全相同**四組 generators。

所以兩個幾何雖然不同：

$$
P_{\mathrm{interface}}:
54\neq76,
$$

以及：

$$
W_{\mathrm{bbox}}:
3\neq6,
$$

但：

$$
\boxed{
\mathcal H_q^{\mathrm{straight}}
\cong
\mathcal H_q^{\mathrm{zigzag}}.
}
$$

且本實驗中的 label correspondence 甚至讓兩者直接相等。

因此：

$$
\boxed{
V^{(1)}(A)=V^{(2)}(A)
}
$$

對所有 $A$ 成立。

這提供一個非常明確的：

$$
\boxed{
\text{Embedding Non-Ownership}
}
$$

例子。

幾何 rendering 可以改變，而 freedom relation 不一定改變。

---

# 5. Latent Freedom Potential

E3 提出 closure proximity。

E4 正式固定：

$$
\boxed{
d_q(A)
=
\min_{G\in\mathcal G_q}
|G\setminus A|.
}
$$

其意義是：

- $d_q(A)=0$：已形成 operational freedom；
- $d_q(A)=1$：距離最近 closure 只差一個 constituent；
- $d_q(A)=2$：至少還差兩個；
- 依此類推。

因此 $d_q$ 是一個 exact integer potential：

$$
\boxed{
d_q:
2^W\rightarrow\mathbb N_0.
}
$$

它不是能量，也不是物理勢能。

它只是 subset/configuration space 上的：

$$
\boxed{
\text{distance-to-valid-freedom closure}.
}
$$

---

# 6. Local Closure Gradient

對：

$$
i\notin A,
$$

定義：

$$
\boxed{
\lambda_i(A)
=
d_q(A)-d_q(A\cup\{i\}).
}
$$

本模型中：

$$
\lambda_i(A)\in\{0,1\}.
$$

若：

$$
\lambda_i(A)=1,
$$

表示加入 constituent $i$ 真的使最近 freedom closure 靠近一步。

若：

$$
\lambda_i(A)=0,
$$

則該 constituent 在目前 context 中沒有縮短最近 closure distance。

再定義均勻 context 平均：

$$
\boxed{
\bar\lambda_i
=
\frac{1}{2^{M-1}}
\sum_{A\not\ni i}
\lambda_i(A).
}
$$

這形成 E4 的 **Latent Freedom Gradient Field**。

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# 7. 相同 Hypergraph，完全相同 Potential Field

straight-separated 與 zigzag-separated 對全部 $A$ 有：

$$
d^{(1)}(A)
=
d^{(2)}(A).
$$

所以必然：

$$
\lambda_i^{(1)}(A)
=
\lambda_i^{(2)}(A)
$$

以及：

$$
\boxed{
\bar\lambda_i^{(1)}
=
\bar\lambda_i^{(2)}.
}
$$

實際 exhaustive computation 得到所有 $12$ 個 constituents：

$$
\boxed{
\bar\lambda_i
=
\frac{59}{256}.
}
$$

同樣地，binary connectivity Shapley value 為：

$$
\boxed{
\phi_i(V)
=
\frac{1}{12}
}
$$

對所有 $i$。

因此 zigzag 幾何並沒有因為「看起來更複雜」就自動增加 freedom information。

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# 8. Coupled Irregular Geometry：什麼時候幾何真的進來？

zigzag-coupled 把同樣 $12$ 個抽象 constituents 嵌入相鄰的四個 barrier rows。

此時 grid adjacency 允許跨列的 mixed tunnels。

抽出的 minimal generators 為：

| generator | size | members |
| ---: | ---: | --- |
| 0 | 3 | {0,1,2} |
| 1 | 4 | {1,2,3,4} |
| 2 | 4 | {0,1,4,5} |
| 3 | 3 | {3,4,5} |
| 4 | 4 | {0,1,4,8} |
| 5 | 3 | {3,4,8} |
| 6 | 3 | {3,7,8} |
| 7 | 3 | {6,7,8} |
| 8 | 4 | {7,8,9,10} |
| 9 | 4 | {3,7,10,11} |
| 10 | 4 | {6,7,10,11} |
| 11 | 3 | {9,10,11} |


共有：

$$
12
$$

個 minimal generators：

$$
6
$$

個 size- $3$ ；

$$
6
$$

個 size- $4$。

因此：

$$
\boxed{
\mathcal H_q^{\mathrm{coupled}}
\not\cong
\mathcal H_q^{\mathrm{separated}}
}
$$

在目前固定 labels 下更是直接不同。

結果有：

$$
436
$$

個 release subsets 的 connectivity state 改變。

所以真正影響 freedom algebra 的不是「不規則」這個形容詞，而是：

$$
\boxed{
\text{irregular geometry}
\rightarrow
\text{changed admissible generator relations}.
}
$$

---

# 9. Fiber Field 比較

| site | straight $\bar\lambda_i$ | zigzag-separated $\bar\lambda_i$ | coupled $\bar\lambda_i$ | straight Shapley | coupled Shapley |
| ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 0 | 59/256 | 59/256 | 55/256 | 1/12 | 709/9240 |
| 1 | 59/256 | 59/256 | 123/512 | 1/12 | 1223/13860 |
| 2 | 59/256 | 59/256 | 179/1024 | 1/12 | 1609/27720 |
| 3 | 59/256 | 59/256 | 339/1024 | 1/12 | 289/2310 |
| 4 | 59/256 | 59/256 | 73/256 | 1/12 | 3029/27720 |
| 5 | 59/256 | 59/256 | 33/256 | 1/12 | 1181/27720 |
| 6 | 59/256 | 59/256 | 33/256 | 1/12 | 1181/27720 |
| 7 | 59/256 | 59/256 | 73/256 | 1/12 | 3029/27720 |
| 8 | 59/256 | 59/256 | 339/1024 | 1/12 | 289/2310 |
| 9 | 59/256 | 59/256 | 179/1024 | 1/12 | 1609/27720 |
| 10 | 59/256 | 59/256 | 123/512 | 1/12 | 1223/13860 |
| 11 | 59/256 | 59/256 | 55/256 | 1/12 | 709/9240 |


separated 兩模型完全重合。

coupled model 則產生非均勻：

$$
\bar\lambda_i
$$

以及非均勻 Shapley influence。

這代表 constituent informational role 由其參與的 generator relations 決定，而不是由單點位置或單點佔據 alone 決定。

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# 10. Möbius Spectrum：同 Hypergraph 的全域代數也相同

對四個互不重疊的 triple generators：

$$
G_1,G_2,G_3,G_4,
$$

binary freedom 可寫成：

$$
\boxed{
V(A)
=
1-
\prod_{j=1}^{4}
\left(
1-u_{G_j}(A)
\right).
}
$$

展開後：

$$
V
=
\sum_j u_{G_j}
-
\sum_{j<k}u_{G_j\cup G_k}
+
\sum_{j<k<l}u_{G_j\cup G_k\cup G_l}
-
u_{G_1\cup G_2\cup G_3\cup G_4}.
$$

因此 Möbius interaction orders 應為：

$$
3,6,9,12.
$$

E4 exhaustive result：

| order | nonzero terms | coefficient sum |
| ---: | ---: | ---: |
| 3 | 4 | 4 |
| 6 | 6 | -6 |
| 9 | 4 | 4 |
| 12 | 1 | -1 |


也就是：

$$
4,\;6,\;4,\;1
$$

個非零 terms。

straight-separated 與 zigzag-separated 的完整 Möbius coefficients 完全相同。

這表示幾何外觀變化沒有進入此 query 的 global cooperative algebra。

---

# 11. Coupled Geometry 的 Möbius Algebra 爆開

當 minimal generators 開始重疊與交叉後，binary OR game 的 inclusion-exclusion 產生大量混合高階項。

因此 coupled model 的 nonzero Möbius spectrum 不再只是：

$$
3,6,9,12.
$$

而分布在多個 orders。

這說明：

$$
\boxed{
\text{generator overlap}
\rightarrow
\text{higher cooperative entanglement of the freedom predicate}.
}
$$

這裡的 entanglement 只是 combinatorial coupling，不是量子糾纏。

---

# 12. E4 對「幾何是不是 primitive」的回答

E4 並沒有證明幾何不重要。

它得到更細的結論：

若兩個空間 embedding 對指定 query $q$ 誘導同構的 generator hypergraph：

$$
\mathcal H_q^{(1)}
\cong
\mathcal H_q^{(2)},
$$

則 binary freedom algebra 也同構：

$$
\boxed{
V_q^{(1)}
\cong
V_q^{(2)}.
}
$$

closure distance、Möbius、Shapley 等 derived quantities 亦隨之對應。

因此對該 query：

$$
\boxed{
\text{geometry beyond the generator structure is representationally redundant}.
}
$$

但若幾何改變：

- adjacency；
- route；
- overlap；
- boundary access；
- generator composition；

使：

$$
\mathcal H_q
$$

改變，那麼 geometry 就重新變成 operationally relevant。

所以真正較準確的鏈是：

$$
\boxed{
\text{Geometry / Container}
\rightarrow
\text{Admissibility Relations}
\rightarrow
\mathcal G_q
\rightarrow
\text{Freedom Algebra}.
}
$$

---

# 13. 這與「構成元由容器決定」開始對上了

單一 constituent：

$$
x_i
$$

本身不足以決定它的 informational role。

真正需要：

$$
\boxed{
x_i
+
\mathfrak C
+
q
+
\mathcal A
}
$$

共同決定它參與哪些：

$$
G\in\mathcal G_q.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{Constituent}
\neq
\text{fixed informational atom}.
}
$$

它更像一個在 container-relative relation network 裡取得角色的 locus。

這與 SOBTA 的：

$$
\rho_\Gamma(X)\neq\mathcal S_X
$$

在結構上非常接近：

> 角色不是本體耗盡；構成元的當前資訊角色也不是構成元本身的終極定義。

---

# 14. E4 對 ACTM 的接入

現在 ACTM-style audit 可以不只追蹤：

$$
\mathbf{Occ}
$$

而是追蹤：

$$
\boxed{
\mathcal H_q(t)
\rightarrow
\mathcal H_q(t+1).
}
$$

若 operator 只改幾何 embedding，但：

$$
\mathcal H_q(t)
\cong
\mathcal H_q(t+1),
$$

則對該 freedom query 可視為：

$$
\boxed{
\text{generator-preserving transformation}.
}
$$

若：

$$
\mathcal H_q(t)
\not\cong
\mathcal H_q(t+1),
$$

則是：

$$
\boxed{
\text{generator-changing transformation}.
}
$$

這比單純問 shape 有沒有變更加底層。

---

# 15. E4 Verdict

E4 得到四個主要結果。

第一：

$$
\boxed{
d_q(A)
=
\min_{G\in\mathcal G_q}
|G\setminus A|
}
$$

可以作為 exact Latent Freedom Potential。

第二：

$$
\boxed{
\lambda_i(A)
=
d_q(A)-d_q(A\cup\{i\})
}
$$

建立了 constituent-level closure gradient。

第三，straight 與 zigzag 在幾何 perimeter 與 width 明顯不同的情況下，仍可有完全相同的：

$$
\mathcal H_q,
\quad
V_q,
\quad
d_q,
\quad
\Phi_q,
\quad
\mathcal J_q.
$$

第四，當不規則幾何真正改變 admissible generator relations 時，整個 freedom algebra 隨之改變。

因此：

$$
\boxed{\mathrm{E4\ PASS}}.
$$

---

# 16. 下一步：E5

E0–E4 之後，真正新的問題已經不是「再多換幾個圖形」。

現在可以開始問：

> generator hypergraph 本身，是否可以被視為空間資訊佔據的一個更接近 canonical 的表示？

下一輪最自然的是：

$$
\boxed{
E5:
\text{Generator Quotient}
+
\text{Cross-Representation Invariant}.
}
$$

目標是把兩個幾何 embedding：

$$
G_1,
\quad
G_2
$$

如果具有：

$$
\mathcal H_q^{(1)}
\cong
\mathcal H_q^{(2)},
$$

就 quotient 成同一個 occupancy/freedom equivalence class：

$$
\boxed{
[G]_q.
}
$$

然後正式研究：

$$
\boxed{
\text{哪些量在 geometry / lattice / encoding 改變後仍可由 }
\mathcal H_q
\text{ 重建？}
}
$$

這會第一次真正碰到最開始所說的「跨表示／跨進位制的信息不變量」問題。

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## Reproducibility

- `E4_irregular_generator_field.py`
- `E4_subset_states.csv`
- `E4_minimal_generators.csv`
- `E4_fiber_fields.csv`
- `E4_model_summary.csv`
- `E4_mobius_spectrum.csv`
- `images/`
- `manifest.json`

三個模型均窮舉全部 $4096$ release subsets，並用 grid BFS 作為原始 operational oracle。