# NIOT-02 — 資訊探針微積分：數值資訊物件的觀測、細化、組合與停止條件

## Information Probe Calculus: Observation, Refinement, Composition, and Stopping Conditions for Numerical Information Objects

**系列：** Numerical Information Object Theory（NIOT）／數值資訊物件論  
**篇次：** Paper 02  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**文件性質：** 基礎算子論／Probe Calculus 定義論文／系列第二篇  
**前置：** NIOT-00、NIOT-01  
**相關理論：** ICNS、ISQL、同一性微積分、主動索引微積分、BCODR、MNVP、CAIR、完成—投影雙向語義  
**狀態：** DRAFT / OPERATOR FOUNDATION / FORMALIZATION-READY  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown  
**數學原始碼規範：** inline math 僅使用 ` $...$ `，display math 僅使用 `$$...$$`

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# 摘要

NIOT-01 已建立數值資訊物件 $\mathfrak N$ 、投影非同一原理、同一性單元 $\mathbf 1_{\mathfrak N}$ 、value-equivalence fiber 與資訊差的基本形式。若這些定義要真正進入數學與工程計算，下一個不可避免的問題是：**系統究竟如何合法地「看」一個數值資訊物件？**

本文提出「資訊探針微積分」（Information Probe Calculus, IPC）作為 NIOT 的第一級觀測與細化算子體系。資訊探針不是單純讀取 metadata，也不是任意函數名稱。它是一個具有來源域、目標域、解析規則、身份約束、誤差模型、適用域、證書狀態與成本模型的受約束觀測算子：

$$
\boxed{
P_\lambda:
\mathfrak X
\rightharpoonup
\mathcal I_\lambda
}
$$

其中 $\rightharpoonup$ 表示探針可以是部分定義，而 $\lambda$ 表示探針類型、尺度、方向、語義深度、頻率、時間或其他觀測參數。

本文把探針的主要功能分為六類：

1. **Extractive Probe**：抽取既有可定址資訊；
2. **Derived Probe**：依規則推導新結構；
3. **Comparative Probe**：比較多個數值資訊物件；
4. **Relational Probe**：回傳關係或局部鄰域；
5. **Spectral Probe**：沿參數族產生多尺度資訊譜；
6. **Bidirectional Probe**：同時從支持與排除、生成與約束、正向與反向方向定位資訊責任。

本文進一步把 probe 視為等價類細化算子。若：

$$
\sim_{\mathcal P_t}
$$

表示在目前探針集合 $\mathcal P_t$ 下不可區分的 numerical information objects，加入新探針 $P$ 後：

$$
\boxed{
\sim_{\mathcal P_t\cup\{P\}}
\subseteq
\sim_{\mathcal P_t}.
}
$$

因此，所謂「進入微觀數字世界」可以被形式化為：持續縮小在目前觀測語言下仍不可區分的 fiber。

本文同時定義 probe composition、commutation、redundancy、independence、resolution、information gain、certificate、cost、closure 與 stopping condition。特別重要的是，probe 的增加不應是無限盲目擴張；系統必須能判斷某個新探針是否真的提供新的辨識力，並在 task-relative closure 達成時停止。這為 NIOT-03 的「無界展開有限矩陣」提供算子基礎。

本文最終主張：

$$
\boxed{
\text{數值資訊計算的核心，不是永遠增加資訊，而是有證據地增加可分辨性。}
}
$$

**關鍵詞：** 資訊探針、Probe Calculus、等價類細化、fiber、資訊增益、探針組合、光譜探針、雙向探針、task closure、數值資訊物件

---

# 1. 問題：如果數值不只是一個 scalar，我們怎麼合法地看它？

NIOT-01 已經建立：

$$
\pi_v(\mathfrak N)=x
$$

不代表：

$$
\mathfrak N=x.
$$

但一旦承認：

$$
\mathfrak N
$$

比：

$$
x
$$

更豐富，就必須立刻回答：

> 那些額外資訊到底怎麼被發現？

如果答案只是：

> 再加一些欄位。

那 NIOT 就只是 metadata engineering。

如果答案是：

> 任何模型想到什麼就往裡面塞什麼。

那 NIOT 就會失去可驗證性。

因此需要一個中間層：

$$
\boxed{
\text{資訊探針}
}
$$

它負責把：

$$
\text{latent distinction}
$$

轉成：

$$
\text{observable distinction}.
$$

---

# 2. 探針的最小形式

## 2.1 基本定義

令：

$$
\mathfrak X
$$

為數值資訊物件空間。

對探針索引：

$$
\lambda\in\Lambda,
$$

定義：

$$
\boxed{
P_\lambda:
\mathfrak X
\rightharpoonup
\mathcal I_\lambda.
}
$$

其中：

- $\mathfrak X$：source numerical-information space；
- $\mathcal I_\lambda$：probe output space；
- $\rightharpoonup$：部分函數；
- $\lambda$：probe parameter / probe identity。

---

## 2.2 為什麼使用部分函數？

不是所有 probe 都適用所有數值物件。

例如：

- phase probe 不一定適用一般實數；
- provenance probe 對純抽象數可能沒有意義；
- uncertainty probe 對某些 exact symbolic object 可以是 NOT_APPLICABLE；
- spectral probe 可能要求額外尺度結構；
- BCODR-style bidirectional probe 需要至少兩個可比較 field。

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{Dom}(P_\lambda)
\subseteq
\mathfrak X.
}
$$

---

# 3. Probe Object

## 3.1 Probe 不只是函數名稱

本文定義完整 probe object：

$$
\boxed{
\mathfrak P_\lambda
=
\left\langle
\lambda,
D_\lambda,
R_\lambda,
F_\lambda,
E_\lambda,
C_\lambda,
K_\lambda,
G_\lambda
\right\rangle.
}
$$

其中：

- $\lambda$：probe identity；
- $D_\lambda$：domain；
- $R_\lambda$：range；
- $F_\lambda$：evaluation rule；
- $E_\lambda$：error / uncertainty model；
- $C_\lambda$：certificate state；
- $K_\lambda$：cost model；
- $G_\lambda$：governance / applicability constraints。

---

## 3.2 最小合法 probe

最小 probe 至少必須聲明：

$$
\boxed{
D_\lambda,
\quad
R_\lambda,
\quad
F_\lambda.
}
$$

若缺少這三項，系統甚至無法判定：

- 它作用在哪些對象；
- 它輸出什麼；
- 它如何產生輸出。

---

# 4. 六類基本探針

## 4.1 Extractive Probe

抽取已存在於 canonical object 中的資訊。

例如：

$$
P_{\mathrm{precision}}(\mathfrak N)
=
q_{\mathrm{precision}}.
$$

形式上：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{ext}}:
\mathfrak N
\mapsto
\text{stored substructure}.
}
$$

---

## 4.2 Derived Probe

由既有資訊推導新結果：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{der}}(\mathfrak N)
=
F
\left(
P_1(\mathfrak N),
\dots,
P_k(\mathfrak N)
\right).
}
$$

Derived probe 必須保留：

- derivation rule；
- input probes；
- assumptions；
- certificate。

---

## 4.3 Comparative Probe

對兩個或多個物件比較：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{cmp}}
:
\mathfrak X^n
\rightharpoonup
\mathcal C.
}
$$

例如：

$$
P_{\mathrm{cmp}}(\mathfrak N_1,\mathfrak N_2)
=
\text{same-value-different-provenance}.
$$

---

## 4.4 Relational Probe

回傳某個局部鄰域：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{rel}}(\mathfrak N)
=
\mathcal N_k(\mathfrak N).
}
$$

其中：

$$
\mathcal N_k
$$

可以是：

- graph neighborhood；
- provenance neighborhood；
- derivation neighborhood；
- semantic neighborhood；
- bridge neighborhood。

---

## 4.5 Spectral Probe

對 probe parameter：

$$
\lambda
$$

形成：

$$
\boxed{
P_\lambda(\mathfrak N),
\qquad
\lambda\in\Lambda.
}
$$

其輸出不是單一值，而是：

$$
\boxed{
\mathcal S_{\mathfrak N}
=
\{
(\lambda,P_\lambda(\mathfrak N))
:
\lambda\in\Lambda
\}.
}
$$

---

## 4.6 Bidirectional Probe

建立兩個方向：

$$
P_+,
\qquad
P_-,
$$

並比較：

$$
\boxed{
\mathcal O
=
P_+(\mathfrak N)
\cap
P_-(\mathfrak N).
}
$$

此類 probe 對應 BCODR 型：

- outward / inward；
- support / exclusion；
- candidate / certificate；
- generation / reconstruction；
- forward / backward。

---

# 5. Probe State

每次 probe execution 都應產生狀態。

本文定義：

```text
OBSERVED
DERIVED
INFERRED
UNKNOWN
NOT_APPLICABLE
FAILED
WITHHELD
REVOKED
```

其中：

$$
\boxed{
\text{UNKNOWN}
\neq
\text{FAILED}
\neq
\text{NOT\_APPLICABLE}.
}
$$

---

# 6. Probe Result

完整 probe result 定義為：

$$
\boxed{
\mathfrak R_\lambda(\mathfrak N)
=
\left\langle
y,
s,
\varepsilon,
c,
k,
\tau
\right\rangle.
}
$$

其中：

- $y$：result；
- $s$：state；
- $\varepsilon$：error / uncertainty；
- $c$：certificate；
- $k$：execution cost；
- $\tau$：time / epoch / version。

因此：

$$
P_\lambda(\mathfrak N)=y
$$

只是簡寫。

---

# 7. Probe Refinement

## 7.1 現有可辨識關係

給定 probe set：

$$
\mathcal P_t
=
\{
P_1,\dots,P_n
\},
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathfrak N_1
\sim_{\mathcal P_t}
\mathfrak N_2
}
$$

當且僅當：

$$
P_i(\mathfrak N_1)
=
P_i(\mathfrak N_2)
$$

對所有：

$$
P_i\in\mathcal P_t
$$

成立。

---

## 7.2 加入新 probe

加入：

$$
P_{n+1}.
$$

則：

$$
\boxed{
\sim_{\mathcal P_t\cup\{P_{n+1}\}}
\subseteq
\sim_{\mathcal P_t}.
}
$$

證明直接成立，因為新 relation 增加了等價條件。

---

## 7.3 Refinement interpretation

這表示 probe 的本質可以被理解成：

$$
\boxed{
\text{equivalence-class refinement}.
}
$$

我們不是神秘地「進入數字裡面」，而是在合法觀測語言下，把原本不可區分的物件逐步分開。

---

# 8. Probe Fiber

對一個 probe：

$$
P:
\mathfrak X
\rightharpoonup
Y
$$

定義：

$$
\boxed{
F^P_y
=
P^{-1}(y)
=
\{
\mathfrak N
:
P(\mathfrak N)=y
\}.
}
$$

若：

$$
|F^P_y|>1,
$$

則 probe 對這些對象仍然不足以辨識。

因此 probe quality 可以部分由：

$$
\boxed{
\text{fiber contraction}
}
$$

衡量。

---

# 9. Probe Resolution

## 9.1 定義

給定物件集合：

$$
S\subseteq\mathfrak X,
$$

探針 $P$ 的 resolution 可以理解為它將 $S$ 切成多少可分辨 classes。

若：

$$
\mathcal Q_P(S)
$$

表示由 $P$ 誘導的 partition，則：

$$
\boxed{
\operatorname{Res}(P;S)
=
|\mathcal Q_P(S)|.
}
$$

---

## 9.2 normalized resolution

若：

$$
|S|<\infty,
$$

可以定義：

$$
\boxed{
\operatorname{NRes}(P;S)
=
\frac{
|\mathcal Q_P(S)|
}{
|S|
}.
}
$$

其中：

$$
0<
\operatorname{NRes}(P;S)
\le
1.
$$

---

# 10. Probe Redundancy

若加入 probe：

$$
P
$$

後：

$$
\sim_{\mathcal P\cup\{P\}}
=
\sim_{\mathcal P},
$$

則稱 $P$ 對目前目標集合是：

$$
\boxed{
\text{refinement-redundant}.
}
$$

注意這不表示 $P$ 永遠沒有價值。

它只表示：

$$
\boxed{
P
\text{ 在當前資料與任務中沒有增加辨識力。}
}
$$

---

# 11. Probe Independence

## 11.1 弱獨立

若：

$$
\sim_{\mathcal P\cup\{P\}}
\subsetneq
\sim_{\mathcal P},
$$

則稱 $P$ 對 $\mathcal P$：

$$
\boxed{
\text{weakly independent}.
}
$$

---

## 11.2 強獨立

若不存在函數：

$$
F
$$

使：

$$
P(\mathfrak N)
=
F
\left(
P_1(\mathfrak N),\dots,P_n(\mathfrak N)
\right)
$$

對全部合法 $\mathfrak N$ 成立，則稱：

$$
\boxed{
P
\text{ is strongly non-derivable from }
\mathcal P.
}
$$

這比 weak independence 更強。

---

# 12. Probe Composition

## 12.1 Sequential composition

若：

$$
P:
\mathfrak X
\rightharpoonup
Y
$$

且：

$$
Q:
Y
\rightharpoonup
Z,
$$

定義：

$$
\boxed{
Q\circ P:
\mathfrak X
\rightharpoonup
Z.
}
$$

---

## 12.2 Parallel composition

若：

$$
P_i:
\mathfrak X
\rightharpoonup
Y_i,
$$

則：

$$
\boxed{
P_1\oplus\cdots\oplus P_n
:
\mathfrak X
\rightharpoonup
Y_1\times\cdots\times Y_n.
}
$$

---

## 12.3 Conditional composition

若：

$$
C(\mathfrak N)
$$

為條件：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{cond}}(\mathfrak N)
=
\begin{cases}
P_1(\mathfrak N), & C(\mathfrak N)=1,\\
P_2(\mathfrak N), & C(\mathfrak N)=0.
\end{cases}
}
$$

這允許 adaptive probe routing。

---

# 13. Probe Commutation

## 13.1 定義

若：

$$
P_i\circ P_j
=
P_j\circ P_i
$$

在共同 domain 上成立，稱：

$$
\boxed{
[P_i,P_j]=0.
}
$$

其中：

$$
[P_i,P_j]
=
P_i\circ P_j
-
P_j\circ P_i
$$

為形式 probe commutator。

---

## 13.2 非交換的意義

如果：

$$
[P_i,P_j]\neq0,
$$

則可能意味：

- observation order 改變狀態；
- probe 具有 side effect；
- 先前 probe 改變後續適用域；
- index / representation 被重寫；
- information extraction 本身不是 passive。

這為後續「資訊曲率」提供入口。

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# 14. Passive Probe 與 Active Probe

## 14.1 Passive Probe

不修改 canonical object：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{passive}}
:
\mathfrak N
\mapsto
y.
}
$$

---

## 14.2 Active Probe

可能改變：

- index；
- cache；
- expansion state；
- local representation；
- routing；
- selected neighborhood。

因此：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{active}}
:
\mathfrak N_t
\mapsto
(\mathfrak N_{t+1},y).
}
$$

---

## 14.3 Identity preservation

Active probe 必須明確聲明：

$$
\boxed{
\iota(\mathfrak N_{t+1})
\overset{?}{=}
\iota(\mathfrak N_t).
}
$$

如果不保持 identity，就不是單純觀察，而是 state transition。

---

# 15. Probe Cost

對每個 probe 定義成本：

$$
\boxed{
K(P)
=
\left\langle
k_{\mathrm{time}},
k_{\mathrm{memory}},
k_{\mathrm{compute}},
k_{\mathrm{external}},
k_{\mathrm{risk}}
\right\rangle.
}
$$

因此 probe selection 不只追求最大辨識力。

真正目標是：

$$
\boxed{
\text{information gain}
\quad
\text{vs}
\quad
\text{cost}.
}
$$

---

# 16. Information Gain

## 16.1 Partition gain

若：

$$
\mathcal Q_{\mathcal P}(S)
$$

為目前 partition，

加入 $P$ 後：

$$
\mathcal Q_{\mathcal P\cup\{P\}}(S).
$$

可定義：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{part}}(P)
=
|\mathcal Q_{\mathcal P\cup\{P\}}(S)|
-
|\mathcal Q_{\mathcal P}(S)|.
}
$$

---

## 16.2 Entropic gain

若存在 probability model：

$$
p(C),
$$

可定義：

$$
\boxed{
G_H(P)
=
H(\mathcal Q_{\mathcal P})
-
H(\mathcal Q_{\mathcal P\cup\{P\}}).
}
$$

這裡只作為可選定義，不要求所有 probe system 都採 Shannon entropy。

---

# 17. Probe Utility

定義 task-relative utility：

$$
\boxed{
U(P\mid\mathcal T)
=
\alpha G(P\mid\mathcal T)
-
\beta K(P)
-
\gamma R(P),
}
$$

其中：

- $G$：information gain；
- $K$：cost；
- $R$：risk / uncertainty。

這可作為 AI probe selector 的初步目標函數。

---

# 18. Probe Certificate

每個高價值 probe 應產生 certificate：

$$
\boxed{
\mathcal C_P
=
\left\langle
\text{rule},
\text{input},
\text{version},
\text{error},
\text{status},
\text{replay}
\right\rangle.
}
$$

至少要回答：

1. 怎麼算出來？
2. 用了哪些資料？
3. 哪個版本？
4. 有什麼誤差？
5. 是 observed、derived 還是 inferred？
6. 能否 replay？

---

# 19. Missing Is Not Pass

沿用 BCODR-LUC 的治理原則：

$$
\boxed{
\text{missing result}
\neq
\text{successful probe}.
}
$$

若：

$$
P(\mathfrak N)
$$

無法執行，狀態應是：

```text
FAILED
```

若沒有資料：

```text
UNKNOWN
```

若不適用：

```text
NOT_APPLICABLE
```

不得默認：

```text
PASS
```

---

# 20. Spectral Probe Calculus

## 20.1 Probe family

令：

$$
\{P_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}
$$

為一族 probe。

定義：

$$
\boxed{
\mathcal S_{\mathfrak N}(\lambda)
=
P_\lambda(\mathfrak N).
}
$$

這就是 numerical information spectrum。

---

## 20.2 Spectral derivative

若：

$$
\lambda
$$

連續且 probe output 可微，則定義：

$$
\boxed{
\frac{d}{d\lambda}
P_\lambda(\mathfrak N).
}
$$

它描述：

> 觀測尺度改變時，資訊表示如何變化。

---

## 20.3 Spectral discontinuity

若：

$$
\lim_{\lambda\to\lambda_0^-}
P_\lambda(\mathfrak N)
\neq
\lim_{\lambda\to\lambda_0^+}
P_\lambda(\mathfrak N),
$$

則稱：

$$
\boxed{
\lambda_0
\text{ 是 probe spectral transition point}.
}
$$

這可能對應：

- representation transition；
- topology change；
- active-set change；
- resolution threshold；
- certificate boundary。

---

# 21. Probe Topology

對 probe family：

$$
\mathcal P
$$

可建立 graph：

$$
G_{\mathcal P}
=
(V,E),
$$

其中：

$$
V=\mathcal P
$$

而 edge 可以表示：

- dependency；
- composition；
- redundancy；
- conflict；
- mutual refinement；
- shared source；
- bridge relation。

因此 probe system 本身也可以成為一個可計算空間。

---

# 22. Probe Conflict

若：

$$
P_i(\mathfrak N)
$$

與：

$$
P_j(\mathfrak N)
$$

在同一語義問題上給出 incompatibility，不能直接任選其一。

應建立：

$$
\boxed{
\operatorname{Conflict}(P_i,P_j,\mathfrak N).
}
$$

再檢查：

- domain mismatch；
- representation mismatch；
- stale version；
- error interval overlap；
- semantic schema disagreement；
- actual contradiction。

---

# 23. Probe Consensus

若多個 independent probes 對同一 invariant 給出一致結果：

$$
P_1(\mathfrak N)
=
\cdots
=
P_k(\mathfrak N),
$$

可建立：

$$
\boxed{
\operatorname{Consensus}_k.
}
$$

但共識不等於真理。

它只代表：

$$
\boxed{
\text{multi-probe agreement under declared assumptions}.
}
$$

---

# 24. Probe Depth

定義 probe depth：

$$
d(P)
$$

表示從 canonical source 到 result 經過多少層 derivation。

例如：

$$
d(P_{\mathrm{raw}})=0,
$$

$$
d(P_{\mathrm{derived}})=1,
$$

更深的 composite probe：

$$
d(Q\circ P)
=
d(P)+d(Q).
$$

這有助於：

- audit；
- confidence；
- cost；
- debugging；
- explanation。

---

# 25. Probe Locality

令：

$$
U\subseteq\mathfrak N
$$

表示局部資訊域。

定義：

$$
\boxed{
P_{\lambda,U}(\mathfrak N).
}
$$

此 probe 只觀察：

$$
U.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{local probe}
}
$$

可以避免全域展開。

---

# 26. Probe Radius

對 relation graph 或 information geometry，可以引入半徑：

$$
r.
$$

定義：

$$
\boxed{
P_r(\mathfrak N)
=
\mathcal N_r(\mathfrak N).
}
$$

如果：

$$
r_1<r_2,
$$

通常有：

$$
P_{r_1}(\mathfrak N)
\subseteq
P_{r_2}(\mathfrak N).
$$

這提供一個自然的 multi-scale probe family。

---

# 27. Bidirectional Probe Calculus

## 27.1 兩個方向

定義：

$$
P^+,
\qquad
P^-.
$$

分別代表：

- forward / backward；
- support / exclusion；
- candidate / certificate；
- generation / reconstruction。

---

## 27.2 Overlap

定義：

$$
\boxed{
\mathcal O(\mathfrak N)
=
P^+(\mathfrak N)
\cap
P^-(\mathfrak N).
}
$$

---

## 27.3 Atomic overlap

若 overlap 內部具有不同 membership / provenance / responsibility，則需要切割成：

$$
\boxed{
\mathcal O
=
\bigsqcup_i
\mathcal O_i.
}
$$

其中每個：

$$
\mathcal O_i
$$

具有穩定 responsibility signature。

---

## 27.4 Structural alignment

兩個 overlap region 不應只按座標判斷相同。

需要比較：

$$
\boxed{
\text{source}
+
\text{support}
+
\text{active set}
+
\text{topology}
+
\text{certificate provenance}.
}
$$

這直接承接 BCODR-LUC 的 structural alignment 原則。

---

# 28. Probe Selection

## 28.1 Random probe 不足

在大量 probe 候選下：

$$
|\Lambda|
\gg1,
$$

不能逐一盲目執行。

因此需要：

$$
\boxed{
\operatorname{SelectProbe}
(
\mathfrak N,
\mathcal P_t,
\mathcal T
).
}
$$

---

## 28.2 Information gap

定義：

$$
\boxed{
G_t
=
\mathcal G
(
\mathfrak N,
\mathcal P_t,
\mathcal T
).
}
$$

 $G_t$ 描述：

- 哪些 invariants 未決；
- 哪些 fibers 太大；
- 哪些 conflicts 未解；
- 哪些 certificate 缺失；
- 哪些 uncertainty 超標。

---

## 28.3 下一個 probe

選擇：

$$
\boxed{
P_{t+1}
=
\arg\max_P
U(P\mid G_t,\mathcal T).
}
$$

這是最簡單的 greedy probe policy。

---

# 29. Adaptive Probe Loop

完整 loop：

$$
\boxed{
\mathfrak N
\rightarrow
\mathcal P_0
\rightarrow
G_0
\rightarrow
P_1
\rightarrow
\mathcal P_1
\rightarrow
G_1
\rightarrow
\cdots
}
$$

直到：

$$
\boxed{
\operatorname{Close}_{\mathcal T}
(
\mathfrak N,
\mathcal P_t
)
=
1.
}
$$

---

# 30. Task-relative Closure

## 30.1 定義

對任務：

$$
\mathcal T,
$$

若目前 probe set 已足以決定所有 task-required invariants，則：

$$
\boxed{
\operatorname{Close}_{\mathcal T}=1.
}
$$

---

## 30.2 Closure conditions

初版可以要求：

1. required invariants 已決；
2. uncertainty 低於門檻；
3. no unresolved critical conflict；
4. certificate obligations satisfied；
5. next-probe expected utility below threshold。

形式上：

$$
\boxed{
G_t
\le
\epsilon_{\mathcal T}.
}
$$

---

# 31. Stop Rule

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Stop}
=
\left[
\operatorname{Close}_{\mathcal T}=1
\right]
\lor
\left[
\max_P U(P)\le\tau
\right]
\lor
\left[
K_{\mathrm{used}}\ge K_{\max}
\right].
}
$$

因此無界 probe space 不代表實際無限探測。

---

# 32. Probe Minimality

對某個任務 $\mathcal T$，定義最小充分 probe set：

$$
\boxed{
\mathcal P^\star_{\mathcal T}
=
\arg\min_{\mathcal P}
|\mathcal P|
}
$$

subject to：

$$
\operatorname{Close}_{\mathcal T}
(
\mathfrak N,
\mathcal P
)
=
1.
$$

這提供了：

$$
\boxed{
\text{minimal sufficient numerical observability}.
}
$$

---

# 33. Probe Basis

如果存在 probe set：

$$
\mathcal B
=
\{P_1,\dots,P_k\}
$$

使得目標 probe family 的所有重要結果都可由：

$$
\mathcal B
$$

生成或推導，則稱：

$$
\boxed{
\mathcal B
\text{ 是 task-relative probe basis}.
}
$$

---

# 34. Dynamic Probe Basis

不同任務可能需要不同 basis：

$$
\mathcal B_{\mathcal T_1}
\neq
\mathcal B_{\mathcal T_2}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{不存在必然唯一的 universal finite probe basis}.
}
$$

這與 NIOT 的無界可擴展性一致。

---

# 35. Probe Algebra

定義 probe algebra：

$$
\boxed{
\mathfrak A_P
=
\langle
\mathcal P,
\circ,
\oplus,
[\cdot,\cdot],
\operatorname{Refine},
\operatorname{Restrict}
\rangle.
}
$$

其中：

- $\circ$：sequential composition；
- $\oplus$：parallel composition；
- commutator：order sensitivity；
- Refine：增加辨識力；
- Restrict：局部化 domain。

這使 probe 從工具列表升級為可研究的算子系統。

---

# 36. Probe Category

可以進一步建立 category：

$$
\boxed{
\mathbf{Probe}
}
$$

Objects：

$$
\mathfrak X_i
$$

Morphisms：

$$
P:
\mathfrak X_i
\rightharpoonup
\mathfrak X_j.
$$

若只考慮 total identity-preserving probes，可取其子範疇。

這一方向暫不在本文完全展開。

---

# 37. 與同一性微積分的接口

同一性微積分給：

$$
d_I(\mathfrak N)
=
\{
(\mathfrak N,i)
\}.
$$

Probe calculus 則給：

$$
P_i(\mathfrak N).
$$

兩者可以對接為：

$$
\boxed{
P_i
\leftrightarrow
\text{indexed observation along }i.
}
$$

因此 index 可以變成 probe coordinate。

---

# 38. 與主動索引微積分的接口

主動 index transition：

$$
\widehat{\mathcal E}_{i\to j}
:
(\mathfrak N,i)
\mapsto
(\mathfrak N,j)
$$

可以用來控制：

$$
\boxed{
\text{下一個 probe 從哪個資訊位置進入。}
}
$$

所以 AIC 提供 probe navigation geometry。

---

# 39. 與 ISQL 的接口

ISQL 可提供：

- probe address；
- semantic anchor；
- probe result registry；
- relation link；
- history link；
- runtime path。

因此：

$$
\boxed{
\mathrm{ISQL}
\approx
\text{Probe Calculus 的 semantic addressing substrate}.
}
$$

但本文不要求 probe 必須使用 ISQL 實作。

---

# 40. 與 CAIR 的接口

Probe execution 可能產生 candidate update：

$$
\Delta\mathfrak N.
$$

若 canonical state 受到治理，則：

$$
\boxed{
P
\rightarrow
\text{candidate observation}
\rightarrow
\text{validation}
\rightarrow
\text{canonical commit}.
}
$$

這直接接 CAIR 的 candidate-diff 模式。

---

# 41. 與 MNVP 的接口

Probe 結果：

$$
\mathfrak R_\lambda
$$

不一定直接適合人類閱讀。

MNVP 可以將：

$$
\boxed{
\mathfrak R_\lambda
\xrightarrow{\mathrm{MNVP}}
\text{perceptual view}.
}
$$

因此 probe calculus 不處理最終 UI 呈現。

---

# 42. 與 ICNS 的接口

若 probe input 或 output 是 numeral token，需要：

$$
\boxed{
\mathrm{ICNS}
}
$$

先確保其：

- domain；
- grammar；
- comparison；
- normalization；
- successor；
- resolution；

已充分定義。

因此：

$$
\boxed{
\mathrm{ICNS}
\rightarrow
\mathrm{Probe}
}
$$

是數符入口之一。

---

# 43. 第一個簡單例子

考慮：

$$
x=0.5.
$$

有兩個物件：

$$
\mathfrak N_A,
\qquad
\mathfrak N_B.
$$

scalar probe：

$$
P_v(\mathfrak N_A)
=
P_v(\mathfrak N_B)
=
0.5.
$$

因此在：

$$
\mathcal P_0
=
\{P_v\}
$$

下：

$$
\mathfrak N_A
\sim_{\mathcal P_0}
\mathfrak N_B.
$$

加入 provenance probe：

$$
P_p(\mathfrak N_A)
=
\text{exact rational},
$$

$$
P_p(\mathfrak N_B)
=
\text{sensor estimate}.
$$

則：

$$
\boxed{
\mathfrak N_A
\not\sim_{\mathcal P_1}
\mathfrak N_B.
}
$$

其中：

$$
\mathcal P_1
=
\{P_v,P_p\}.
$$

這就是最小的 probe refinement。

---

# 44. 第二個例子：光譜分辨

假設：

$$
P_\lambda
$$

表示不同 scale 下的 uncertainty probe。

若：

$$
P_{\lambda_1}(\mathfrak N)
=
0.01,
$$

$$
P_{\lambda_2}(\mathfrak N)
=
0.2,
$$

則不能只保留：

$$
\text{uncertainty}=0.01.
$$

更完整的資訊是：

$$
\boxed{
\mathcal S_{\mathfrak N}
=
\{
(\lambda_1,0.01),
(\lambda_2,0.2),
\dots
\}.
}
$$

這說明 uncertainty 本身也可能是 spectral object。

---

# 45. 第三個例子：雙向責任定位

假設：

$$
P_+
$$

回傳支持某候選狀態的 provenance region，

$$
P_-
$$

回傳排除該候選狀態的 certificate region。

若：

$$
\mathcal O
=
P_+(\mathfrak N)
\cap
P_-(\mathfrak N)
\neq
\varnothing,
$$

則不應立刻宣稱矛盾。

需要進一步問：

- 是否同一位置？
- 是否同一時間？
- 是否同一 representation？
- 是否同一 structural mechanism？
- 是否只是 container overlap？

這正是 BCODR-LUC 提供的警告。

---

# 46. Probe Error Propagation

若：

$$
Q\circ P
$$

是 composite probe，誤差不能被忽略。

若：

$$
\varepsilon_P,
\qquad
\varepsilon_Q
$$

為各自誤差模型，則需要：

$$
\boxed{
\varepsilon_{Q\circ P}
=
\mathcal E
(
\varepsilon_P,
\varepsilon_Q,
Q,P
).
}
$$

具體形式依 probe 類型而定。

---

# 47. Probe Provenance

每個 probe result 都應攜帶：

$$
\boxed{
\operatorname{Prov}
(
\mathfrak R_\lambda
).
}
$$

至少可以追溯：

- source object；
- source version；
- probe version；
- input probes；
- execution environment；
- certificate。

---

# 48. Probe Replayability

高價值 probe 應滿足：

$$
\boxed{
\operatorname{Replay}
(
\mathfrak P_\lambda,
\mathfrak N,
\text{environment}
)
\approx
\mathfrak R_\lambda.
}
$$

如果只能由黑箱模型一次性生成而無法重現，則 certificate strength 必須降低。

---

# 49. Probe Trust Levels

初版可以定義：

```text
T0 — unverified
T1 — replayable
T2 — independently reproduced
T3 — formally verified rule
T4 — formally verified + independently reproduced
```

這只是草案，可在後續 Runtime paper 再定稿。

---

# 50. Probe Governance

不是所有 probe result 都應立刻進 canonical object。

可採：

$$
\boxed{
\text{probe result}
\rightarrow
\text{candidate state}
\rightarrow
\text{review / validate}
\rightarrow
\text{commit}.
}
$$

這避免：

$$
\boxed{
\text{observation}
=
\text{truth}
}
$$

的錯誤。

---

# 51. Probe Expansion 與 Compression

當 probe 數量增加：

$$
|\mathcal P_t|
\rightarrow
\text{large},
$$

必須允許 compression。

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Compress}
(
\mathcal P_t
)
\rightarrow
\widehat{\mathcal P}_t.
}
$$

要求：

$$
\operatorname{Close}_{\mathcal T}
(
\widehat{\mathcal P}_t
)
=
\operatorname{Close}_{\mathcal T}
(
\mathcal P_t
)
$$

至少對目標任務保持等價。

---

# 52. Probe Garbage Collection

若某些 probe：

- 長期 redundant；
- certificate revoked；
- source expired；
- no longer relevant；
- replaced by stronger probe；

則可進：

$$
\boxed{
\text{probe GC}.
}
$$

但刪除前要保留 provenance。

---

# 53. Probe Versioning

探針規則本身可能更新：

$$
P^{(1)}
\rightarrow
P^{(2)}.
$$

因此 probe identity 必須包含版本：

$$
\boxed{
\lambda
=
(\text{name},\text{version}).
}
$$

不能把不同版本結果默認為同一觀測。

---

# 54. Probe Equivalence

若兩個 probe：

$$
P,
Q
$$

在指定 domain 上滿足：

$$
P(\mathfrak N)
=
Q(\mathfrak N)
$$

對所有：

$$
\mathfrak N\in D
$$

成立，則稱：

$$
\boxed{
P\equiv_D Q.
}
$$

這可以用來做 probe deduplication。

---

# 55. Probe Dominance

若：

$$
\sim_{\mathcal P\cup\{P\}}
\subseteq
\sim_{\mathcal P\cup\{Q\}}
$$

且：

$$
K(P)\le K(Q),
$$

則可以說：

$$
\boxed{
P
\text{ dominates }Q
}
$$

在當前 task / domain 下。

---

# 56. Probe Frontier

對 information gain 與 cost，可能存在 Pareto frontier：

$$
\boxed{
\mathcal F_P
=
\operatorname{Pareto}
(
G(P),K(P)
).
}
$$

AI probe selector 不一定要找單一最佳 probe，而可以在 frontier 上選擇。

---

# 57. Probe Curriculum

對複雜 numerical object，可以設計：

$$
\boxed{
P_1
\rightarrow
P_2
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
P_n
}
$$

由低成本低解析度逐步進入高成本高解析度。

這類 curriculum 可以顯著降低 probe explosion。

---

# 58. Probe Horizon

定義：

$$
H_P
$$

為一次規劃最多向前考慮多少 probe step。

局部 greedy：

$$
H_P=1.
$$

長程 planning：

$$
H_P>1.
$$

這為 AI-Native Runtime 留下規劃接口。

---

# 59. Probe Search Space

所有 probe 候選形成：

$$
\boxed{
\mathcal P_{\mathrm{all}}.
}
$$

實際可用集合：

$$
\boxed{
\mathcal P_{\mathrm{avail}}(\mathfrak N,\mathcal T)
\subseteq
\mathcal P_{\mathrm{all}}.
}
$$

由：

- domain；
- permissions；
- cost；
- data availability；
- runtime；
- safety；
- certificate；

共同限制。

---

# 60. 探針微積分的核心命題

本文將整個 Probe Calculus 壓縮成以下命題：

$$
\boxed{
\text{Probe}
=
\text{合法地把不可區分性切細。}
}
$$

更完整寫為：

$$
\boxed{
\mathfrak X
\big/
\sim_{\mathcal P_t}
\quad
\longrightarrow
\quad
\mathfrak X
\big/
\sim_{\mathcal P_{t+1}}.
}
$$

其中：

$$
\sim_{\mathcal P_{t+1}}
\subseteq
\sim_{\mathcal P_t}.
$$

---

# 61. 與傳統微積分的差異

傳統微積分關心：

$$
\frac{dx}{dt}
$$

或：

$$
\int f(x)\,dx.
$$

資訊探針微積分關心：

$$
\boxed{
\frac{
\text{可辨識資訊結構的變化}
}{
\text{probe parameter / probe set 的變化}
}.
}
$$

因此它不是替代微積分，而是另一個分析層。

---

# 62. Probe Differential

若 probe family：

$$
P_\lambda
$$

可微，定義：

$$
\boxed{
d_P\mathfrak N
=
\frac{d}{d\lambda}
P_\lambda(\mathfrak N)
\,d\lambda.
}
$$

這是一個 observation-space differential。

---

# 63. Probe Integral

若 probe outputs 可以在 $\lambda$ 上聚合，可定義：

$$
\boxed{
\int_{\Lambda}
P_\lambda(\mathfrak N)
\,d\mu(\lambda).
}
$$

但它只表示 probe-space aggregation。

不得和同一性微積分的 forgetful integration 混同。

---

# 64. 兩種「積分」必須分開

本文特別區分：

### Observation aggregation

$$
\int_\Lambda
P_\lambda(\mathfrak N)
\,d\mu(\lambda).
$$

### Identity-forgetting integration

$$
\int_{\mathrm{id}}
(\mathfrak N,i)
=
\mathfrak N.
$$

兩者不是同一算子。

---

# 65. Probe Curvature 的前導

若三個 probe：

$$
P_i,P_j,P_k
$$

沿不同順序組合後得到不同結果：

$$
P_k\circ P_j\circ P_i
\neq
P_i\circ P_j\circ P_k,
$$

可能需要定義某種：

$$
\boxed{
\text{probe-space holonomy / curvature}.
}
$$

本文只提出方向，不在本篇定義完整形式。

---

# 66. Probe Completeness

給定 task $\mathcal T$，probe set $\mathcal P$ 若滿足：

$$
\boxed{
\forall
\mathfrak N_1,\mathfrak N_2
\in
S_{\mathcal T},
}
$$

只要：

$$
\mathfrak N_1
$$

與：

$$
\mathfrak N_2
$$

在 task-relevant invariants 上不同，就存在：

$$
P\in\mathcal P
$$

使：

$$
P(\mathfrak N_1)
\neq
P(\mathfrak N_2),
$$

則稱：

$$
\boxed{
\mathcal P
\text{ 對 }\mathcal T\text{ task-complete}.
}
$$

---

# 67. Probe Incompleteness

若存在：

$$
\mathfrak N_1\neq\mathfrak N_2
$$

在 task-relevant invariant 上不同，但所有：

$$
P\in\mathcal P
$$

都無法區分，則：

$$
\boxed{
\mathcal P
\text{ task-incomplete}.
}
$$

---

# 68. Probe Discovery

不是所有有價值 probe 都事先已知。

因此可以定義 meta-process：

$$
\boxed{
\operatorname{DiscoverProbe}
(
\mathfrak N,
G_t
)
\rightarrow
P_{\mathrm{new}}.
}
$$

這與單純 SelectProbe 不同：

- SelectProbe：從已知 probe 庫選；
- DiscoverProbe：提出新的觀察方向。

---

# 69. AI 在 Probe Calculus 中的角色

AI 可以負責：

1. information gap diagnosis；
2. candidate probe selection；
3. new probe proposal；
4. probe composition；
5. conflict triage；
6. certificate checking；
7. stopping decision；
8. compression planning。

但 AI 不應：

$$
\boxed{
\text{把未驗證 inference 直接寫成 canonical fact}.
}
$$

---

# 70. 最小 Runtime Data Model

初版可使用：

```json
{
  "probe_id": "probe:provenance:v1",
  "domain": "niot:numerical-object",
  "range": "niot:provenance-node",
  "mode": "extractive",
  "state": "OBSERVED",
  "value": {},
  "error": null,
  "certificate": {},
  "cost": {},
  "dependencies": [],
  "timestamp": null
}
```

---

# 71. Probe Registry

所有 probe 可以進：

$$
\boxed{
\mathcal R_P
}
$$

registry。

每個 entry 至少記錄：

- probe ID；
- version；
- domain；
- range；
- rule；
- dependency；
- trust level；
- cost；
- compatibility；
- deprecation state。

---

# 72. Probe DAG

Derived probes 自然形成 DAG：

$$
\boxed{
G_D
=
(V_D,E_D).
}
$$

其中：

- node = probe；
- edge = dependency。

這提供：

- incremental recomputation；
- cache invalidation；
- provenance；
- debugging。

---

# 73. Probe Cache

若：

$$
P(\mathfrak N)
$$

成本高且 source state 未變，可 cache。

但 cache key 必須至少包含：

$$
\boxed{
\iota(\mathfrak N),
\text{version}(\mathfrak N),
\lambda,
\text{version}(P).
}
$$

否則可能產生 stale observation。

---

# 74. Probe Invalidation

若 source：

$$
\mathfrak N
$$

更新，應找到所有 dependent probe：

$$
\operatorname{Descendants}_{G_D}(\mathfrak N)
$$

並執行：

$$
\boxed{
\text{invalidate / recompute}.
}
$$

---

# 75. Probe Security

Active probe 或 external probe 可能帶來：

- source mutation；
- data leakage；
- untrusted output；
- side effect；
- resource exhaustion。

因此 Probe Calculus 需要：

$$
\boxed{
\text{permission-aware execution}.
}
$$

這部分留待 Runtime paper 詳化。

---

# 76. Probe Boundary

每個 probe 必須聲明：

$$
\boxed{
\text{what it can conclude}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{what it cannot conclude}.
}
$$

例如：

$$
P_{\mathrm{proximity}}
$$

只能證明距離接近，不能自動證明：

$$
\text{structural identity}.
$$

這直接承接 BCODR-LUC 的概念修正。

---

# 77. Probe Responsibility

每個結論都應能回答：

$$
\boxed{
\text{which probes are responsible for this conclusion?}
}
$$

因此 conclusion object：

$$
\mathfrak C
$$

應攜帶：

$$
\operatorname{Resp}(\mathfrak C)
=
\{P_{i_1},\dots,P_{i_k}\}.
$$

---

# 78. Probe Explanation

最小 explanation：

```text
CONCLUSION:
    X

SUPPORTED_BY:
    P1
    P4
    P7

DERIVED_THROUGH:
    F

UNCERTAINTY:
    ε

OPEN:
    P9 pending
```

這使數值資訊計算可以被審計。

---

# 79. Probe Closure Certificate

當：

$$
\operatorname{Close}_{\mathcal T}=1,
$$

系統應輸出：

$$
\boxed{
\mathcal C_{\mathrm{close}}
}
$$

至少包含：

- task；
- probe set；
- unresolved items；
- uncertainty；
- stopping reason；
- certificate hash / version。

---

# 80. 本篇的七條核心原則

## Principle 1

$$
\boxed{
\text{Probe is an operator, not a label.}
}
$$

## Principle 2

$$
\boxed{
\text{Probe must refine or justify its existence.}
}
$$

## Principle 3

$$
\boxed{
\text{More probes do not automatically mean more truth.}
}
$$

## Principle 4

$$
\boxed{
\text{Unknown is not pass.}
}
$$

## Principle 5

$$
\boxed{
\text{Projection overlap is weaker than structural alignment.}
}
$$

## Principle 6

$$
\boxed{
\text{Probe expansion must remain task-relative.}
}
$$

## Principle 7

$$
\boxed{
\text{Every high-value probe result requires provenance and certificate.}
}
$$

---

# 81. 與 NIOT-03 的直接接口

NIOT-03 將不再把 matrix 當成 arbitrary data table。

它會以：

$$
\boxed{
\mathcal P_t
}
$$

作為 row / column / coordinate 的生成來源。

因此：

$$
M_t
$$

是：

$$
\boxed{
\text{probe-activated finite information state}.
}
$$

而不是「把所有資訊塞進矩陣」。

---

# 82. NIOT-03 的前置命題

下一篇需要承接以下結果：

1. probe set 在任何 epoch 都是有限可執行集合；
2. probe family 可以理論上無界擴展；
3. probe refinement 會細化 equivalence classes；
4. redundant probe 可壓縮；
5. active probe 可以重索引；
6. spectral probe 可以增加連續參數維；
7. bidirectional probe 可以建立 responsibility overlap；
8. closure 可以是 task-relative 而非 ontology-complete。

---

# 83. 結論

本文把「資訊探針」從直覺概念提升為 NIOT 的第一級算子。

對數值資訊物件：

$$
\mathfrak N,
$$

我們不再問：

> 它還藏著多少資訊？

而改問：

$$
\boxed{
\text{在什麼 probe 下，
哪些差異可以被合法辨識？}
}
$$

探針因此不是用來憑空製造資訊，而是建立：

$$
\boxed{
\text{observable distinction}.
}
$$

當 probe set 從：

$$
\mathcal P_t
$$

擴張為：

$$
\mathcal P_{t+1},
$$

真正發生的是：

$$
\boxed{
\sim_{\mathcal P_{t+1}}
\subseteq
\sim_{\mathcal P_t}.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{原本不可區分的 numerical objects 被進一步切開。}
}
$$

這就是本文所稱的：

$$
\boxed{
\textbf{資訊探針微積分。}
}
$$

它同時提供：

- probe 定義；
- probe 類型；
- composition；
- commutation；
- redundancy；
- independence；
- fiber；
- spectral family；
- bidirectional localization；
- certificate；
- cost；
- utility；
- adaptive selection；
- closure；
- stopping condition。

因此，下一步可以自然進入：

$$
\boxed{
\textbf{NIOT-03 — 無界展開有限矩陣。}
}
$$

其核心將是：

$$
\boxed{
\text{如何讓任何實際狀態保持有限，
但讓 probe-induced information dimension 持續無界展開。}
}
$$

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `NIOT-02-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter 僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`。

本文定義：
- probe；
- probe object；
- probe result；
- refinement relation；
- probe fiber；
- redundancy；
- independence；
- composition；
- commutation；
- spectral probe；
- bidirectional probe；
- task-relative closure；
- stopping condition。

本文不宣稱：
- 所有 probe family 都可微；
- 所有 probe 可逆；
- 所有 probe result 都是真值；
- 所有 probe 都適用全部 numerical objects；
- task closure 等於 ontology completion；
- 目前全部定理已完成 Lean / Coq 驗證。

後續 NIOT-03 應以本篇 probe calculus 作為矩陣生成與動態展開的前置語義。

===END===