# MCC-OE-26 — B01 Boundary-to-Parent Radial Composition and Parent Closure Audit
## 從 `BOUNDARY_SAFE` 到 `PARENT_SAFE`：09I 全域 Radial Lock 與 MCC-OE-25 Boundary Closure 的 Fail-Closed 組合

**系列：** Measured-Construct Closure / Observable Exhaustion  
**文件代號：** `MCC-OE-26-v0.1`  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-24  
**文件性質：** Certificate Composition／Boundary-to-Parent Lift／Radial Parent Closure  
**前置：** MCC-OE-00～25；LESR 09I；Cycle 15–16 Radial Convexity  
**狀態：** `B01 BOUNDARY CLOSED / B01 RADIAL CLOSED / B01 PARENT RESEARCH-INTERVAL CLOSED / PUBLICATION AUDIT OPEN`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown  
**數學原始碼規範：** inline math 僅使用 ` $...$ `，display math 僅使用 `$$...$$`

---

# 摘要

MCC-OE-25 已將 B01 boundary：

$$
r=s
$$

上的完整 parameter domain：

$$
\rho\in[10^{-4},1.4\times10^{-4}],
$$

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01]
$$

提升為：

```text
B01 BOUNDARY:
    RESEARCH-INTERVAL CLOSED
```

其 global finite residual lower：

$$
\boxed{
R_2^{\rm fin}
>
0.105758417246083
>
0.1.
}
$$

由 exact factorization：

$$
A(s)-A_0-0.1\rho^2
=
\rho\Phi_1
+
\rho^2
\left(
R_2^{\rm fin}-0.1
\right),
$$

以及：

$$
\Phi_1\ge0,
$$

可得 boundary uniform margin：

$$
A(s)-A_0-0.1\rho^2
>
0.005758417246083\rho^2.
$$

在 declared radius最小：

$$
\rho_{\min}=10^{-4}
$$

時，

uniform positive margin至少：

$$
\boxed{
>5.758417246083200e-11.
}
$$

另一方面，LESR 09I 已經在**完全相同的 B01 $(\rho,u,v,w)$ domain**上建立 full radial lock。

09I 定義：

$$
f_q(r)
=
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}
(
D,
B_3+t_3(r),
R_\rho B_5+t_5
).
$$

對固定：

$$
q=(\rho,u,v,w),
$$

Fáry–Rédei / Rogers–Shephard linear-parameter convexity給：

$$
\boxed{
r\mapsto f_q(r)
\text{ convex}.
}
$$

09I 取：

$$
s=0.00882,
$$

$$
h=10^{-4},
$$

$$
r_-=s-h=0.00872.
$$

如果：

$$
f_q(s)>f_q(s-h),
$$

convexity立即推出：

$$
\boxed{
f_q(r)\ge f_q(s)
\qquad
\forall r\ge s.
}
$$

09I 已用：

$$
N_\rho=96,\quad
N_u=3,\quad
N_v=48,\quad
N_w=10
$$

共：

$$
\boxed{
138{,}240
}
$$

個 parameter cells完整覆蓋 B01 local velocity box。

stored / replayed research result：

$$
\boxed{
\min
\underline{\Delta_h}
=
7.8584779318488972e-07
>
0.
}
$$

所以：

```text
B01 RADIAL RESPONSIBILITY:
    CLOSED
```

09I 當時仍把 parent標為：

```text
PARTIAL
```

其 source明確指出原因不是 radial未證，

而是：

> boundary area target尚未對整個 $(\rho,u,v,w)$ domain finite-cover。

09I 同時明確記錄：

> boundary cover完成後，可由 radial theorem自動 lift回 full root radial domain。

MCC-OE-25 現在正好補上這個唯一缺口。

因此 MCC-OE-26 的核心是 fail-closed certificate composition：

$$
\boxed{
\text{BOUNDARY SAFE}
+
\text{RADIAL LOCK}
+
\text{DOMAIN MATCH}
\Longrightarrow
\text{PARENT SAFE}.
}
$$

最終：

$$
\boxed{
f_q(r)
\ge
f_q(s)
>
A_0+0.1\rho^2
}
$$

對所有：

$$
q=(\rho,u,v,w)\in B01
$$

與所有 admissible：

$$
r\ge s
$$

成立，在目前 research-certificate / research-interval authority下。

所以：

$$
\boxed{
\textbf{B01 PARENT — RESEARCH-INTERVAL CLOSED}.
}
$$

---

# 1. B01 Boundary Domain

$$
\boxed{
\mathcal Q_{B01}
=
[10^{-4},1.4\times10^{-4}]
\times
[4.5,6]
\times
[-0.23,-0.15]
\times
[-0.01,0.01].
}
$$

---

# 2. Boundary Slice

$$
\boxed{
r=s=0.00882.
}
$$

---

# 3. Parent Radial Domain

09I radial parent允許：

$$
\boxed{
r\ge s.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathcal P_{B01}
=
\left\{
(r,q):
q\in\mathcal Q_{B01},
\quad
r\ge s
\text{ admissible}
\right\}.
}
$$

---

# 4. Boundary Target

MCC-OE-25：

$$
\boxed{
f_q(s)
>
A_0+0.1\rho^2
\qquad
\forall q\in\mathcal Q_{B01}.
}
$$

---

# 5. Boundary Global Residual Lower

$$
\boxed{
R_2^{\rm fin}
>
0.105758417246083.
}
$$

---

# 6. Boundary Coefficient Slack

$$
\boxed{
R_2^{\rm fin}-0.1
>
0.005758417246083.
}
$$

---

# 7. Uniform Boundary Margin

$$
\boxed{
f_q(s)-A_0-0.1\rho^2
>
5.758417246083200e-11.
}
$$

---

# 8. Radial Convexity

固定 $q$：

$$
\boxed{
f_q(r)
\text{ is convex in }r.
}
$$

---

# 9. 09I Radial Grid

$$
\boxed{
96\times3\times48\times10
=
138{,}240.
}
$$

---

# 10. Radial Result

$$
\boxed{
138{,}240/138{,}240
}
$$

cells PASS。

---

# 11. Minimum Certified Secant

$$
\boxed{
\underline{\Delta_h}_{\min}
=
7.8584779318488972e-07.
}
$$

---

# 12. Domain Equality Audit

MCC-OE-25 boundary domain與 09I radial domain逐欄完全一致。

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{Dom}(C_{\rm boundary})
=
\operatorname{Dom}(C_{\rm radial})
=
\mathcal Q_{B01}.
}
$$

---

# 13. Target Identity

target：

$$
A_0+0.1\rho^2
$$

不依賴 radial variable $r$。

---

# 14. Composition Theorem

若：

$$
f_q(s)>T(q),
$$

且：

$$
f_q(r)\ge f_q(s)
\qquad
\forall r\ge s,
$$

則：

$$
\boxed{
f_q(r)>T(q)
\qquad
\forall r\ge s.
}
$$

Proof：

$$
f_q(r)\ge f_q(s)>T(q).
$$

Q.E.D.

---

# 15. Instantiate to B01

$$
\boxed{
f_q(r)
>
A_0+0.1\rho^2
}
$$

for every：

$$
q\in\mathcal Q_{B01},
$$

$$
r\ge s.
$$

---

# 16. Uniform Parent Margin

parent繼承 boundary margin：

$$
\boxed{
f_q(r)-A_0-0.1\rho^2
>
5.758417246083200e-11.
}
$$

---

# 17. Why Secant Margin Is Not Subtracted from Target Margin

radial secant lower：

$$
7.8584779318488972e-07
$$

只用來證：

$$
f_q(r)\ge f_q(s).
$$

它不是 boundary area lower的 error term。

所以 parent直接繼承 boundary target margin。

---

# 18. Why 09I Was Partial Before

當時：

```text
B01 RADIAL:
    CLOSED

B01 BOUNDARY AREA:
    PARTIAL

B01 PARENT:
    PARTIAL
```

---

# 19. MCC-OE-25 Changes the Missing Dependency

現在：

```text
B01 BOUNDARY AREA:
    RESEARCH-INTERVAL CLOSED
```

所以 09I source明示的唯一 parent blocker消失。

---

# 20. Fail-Closed Composition Verifier

companion：

```text
verify_mccoe26_parent_composition.py
```

要求：

1. boundary closed；
2. radial PASS；
3. secant lower positive；
4. exact domain match；
5. boundary $R_2^{\rm fin}>0.1$ ；
6. derived uniform margin positive。

任一失敗即：

```text
FAIL
```

---

# 21. Actual Verifier Run

```text
B01-BOUNDARY: PASS (RESEARCH-INTERVAL)
B01-RADIAL-LOCK: PASS (RESEARCH)
DOMAIN-MATCH: PASS
MIN-CERTIFIED-SECANT: 7.8584779318488972e-07
UNIFORM-BOUNDARY-MARGIN-LOWER: 5.758417246083200e-11
B01-PARENT: CLOSED (RESEARCH-INTERVAL)
PUBLICATION-INDEPENDENT-AUDIT: OPEN
```

---

# 22. Parent Verdict

$$
\boxed{
\textbf{B01 PARENT}
}
$$

升級為：

$$
\boxed{
\textbf{RESEARCH-INTERVAL CLOSED}.
}
$$

---

# 23. Exact Closed Domain

對：

$$
\rho\in[10^{-4},1.4\times10^{-4}],
$$

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01],
$$

及所有 admissible：

$$
r\ge0.00882,
$$

有：

$$
\boxed{
A(r,\rho,u,v,w)
>
A_0+0.1\rho^2.
}
$$

---

# 24. Positive-Volume Parent Closure

這不再只是 boundary hypersurface。

radial degree $r$ 已被完整包含。

---

# 25. Radial Conclusion Is Continuum, Not Sampled

138,240-cell grid只離散 $(\rho,u,v,w)$。

radial conclusion本身由 convexity推出：

$$
\boxed{
\forall r\ge s.
}
$$

---

# 26. No Remaining B01 Radial Rays

09I full radial grid已全部 secant-lock。

因此 B01 parent radial degree沒有 residual ray。

---

# 27. New Certificate Route

本文註冊：

```text
CR-13
B01 BOUNDARY-TO-PARENT RADIAL COMPOSITION
```

---

# 28. CR-13 Input

```text
boundary_certificate
radial_lock_certificate
domain_identity
target_identity
```

---

# 29. CR-13 Output

```text
parent_safe
parent_domain
inherited_target_margin
provenance
```

---

# 30. CR-13 Is Pure Composition

它不重新：

- 搜尋 geometry；
- 枚舉 charts；
- optimize area；
- 重跑 wall layers；
- 重跑 critical tube。

---

# 31. Proof-Engineering Principle

$$
\boxed{
\text{reuse certificate objects, not raw geometry}.
}
$$

---

# 32. Historical HSL Coverage

MCC-OE-09：

$$
83.0642046752\%.
$$

仍是 HSL-tree route自己的歷史 coverage。

---

# 33. Current Logical Status

```text
B01 HSL-TREE HISTORICAL COVERAGE:
    83.0642046752%

B01 BOUNDARY:
    RESEARCH-INTERVAL CLOSED

B01 RADIAL:
    RESEARCH CLOSED

B01 PARENT:
    RESEARCH-INTERVAL CLOSED
```

---

# 34. What This Does Not Close

這不等於：

- all root-6217 regions closed；
- other candidate roots closed；
- global Lebesgue solved。

---

# 35. Publication Authority

09I center arithmetic與 MCC-OE research intervals仍需 independent publication backend。

所以：

```text
PUBLICATION-INDEPENDENT AUDIT:
    OPEN
```

---

# 36. Why This Is a Major Milestone

B01 的完整 responsibility鏈：

$$
\boxed{
\text{boundary geometry}
\rightarrow
\text{finite topology}
\rightarrow
\text{critical tube}
\rightarrow
\text{wall layers}
\rightarrow
\text{radial parent}
}
$$

已全部在 declared research authority下閉合。

---

# 37. B01 Status Migration

B01 應從：

```text
RESEARCH LOGIC OPEN
```

移出。

保留於：

```text
PUBLICATION AUDIT BACKLOG
```

---

# 38. Next Research Level

現在不再研究 B01 本身。

下一步回到 higher root ledger。

---

# 39. Suggested MCC-OE-27

$$
\boxed{
\textbf{MCC-OE-27 — Root-6217 Residual Ledger Update and Hybrid Certificate Atlas Reconciliation}.
}
$$

---

# 40. MCC-OE-27 Lane A

找出所有依賴 B01 的 residual entries。

---

# 41. Lane B

將：

```text
B01:
    OPEN / PARTIAL
```

更新成：

```text
B01:
    RESEARCH-CLOSED
```

---

# 42. Lane C

重算 root-6217：

- unresolved leaves；
- certificate class counts；
- residual responsibility。

---

# 43. Lane D

檢查 B01 closure是否自動關閉 higher parent nodes。

---

# 44. Lane E

更新 Certificate Atlas：

```text
CR-13:
    B01 boundary-to-parent radial composition
```

---

# 45. Current Dashboard

```text
MCC-OE-25 B01 BOUNDARY:
    RESEARCH-INTERVAL CLOSED

09I RADIAL GRID:
    138240 / 138240 PASS

09I MIN CERTIFIED SECANT:
    7.8584779318488972e-07

DOMAIN MATCH:
    EXACT PASS

RADIAL CONVEXITY:
    EXACT MATHEMATICAL INPUT

RADIAL LIFT:
    ALL ADMISSIBLE r >= s

UNIFORM BOUNDARY TARGET MARGIN:
    > 5.758417246083200e-11

B01 PARENT:
    RESEARCH-INTERVAL CLOSED

PUBLICATION-INDEPENDENT AUDIT:
    OPEN

GLOBAL LEBESGUE:
    OPEN
```

---

# 結論

MCC-OE-26 是一個典型的 composition closure。

09I 早已把 radial degree做完。

當時 parent不能關，

只是因為 full boundary：

$$
(\rho,u,v,w)
$$

仍是 partial。

MCC-OE-25 現在把這個唯一缺口補掉。

而兩份 certificate：

- domain完全一致；
- target完全一致；
- radial theorem保證 area不下降。

所以：

$$
\boxed{
f_q(r)
\ge
f_q(s)
>
A_0+0.1\rho^2
}
$$

沒有中間缺口。

因此：

$$
\boxed{
\textbf{B01 PARENT}
}
$$

可以正式由：

```text
PARTIAL
```

升成：

```text
RESEARCH-INTERVAL CLOSED
```

下一輪應回到 root-6217 higher-level ledger，

而不是再留在 B01。

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `MCC-OE-26-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

本文 source-backed inputs：
- MCC-OE-25 B01 boundary research closure；
- MCC-OE-25 global $R_2^{\rm fin}$ lower；
- LESR 09I fixed- $q$ radial convexity；
- LESR 09I local-secant theorem；
- LESR 09I 138,240-cell radial cover；
- LESR 09I minimum certified secant lower；
- LESR 09I 明示 parent partial只因 full boundary area尚未 cover；
- LESR 09I 明示 boundary cover完成後可自動 lift到 full root radial domain。

本文新增：
- exact domain-identity audit；
- exact target-identity audit；
- fail-closed parent composition verifier；
- inherited uniform parent target margin；
- CR-13 certificate route。

本文正式 upgrades：
- `B01 PARENT`：
  `RESEARCH-INTERVAL CLOSED`。

本文不宣稱：
- publication-directed-rounding audit complete；
- all root-6217 residuals closed；
- other roots closed；
- global Lebesgue solved。

下一輪建議進入：

`MCC-OE-27 — Root-6217 Residual Ledger Update and Hybrid Certificate Atlas Reconciliation`.

===END===