# MCC-OE-14 — One-Sided Interval Remainder Compiler on the Secondary Atlas
## 全 Pair-Root 隔離、No-Extra-Root、Winner Certificate 與第一批真正的 $C_3^\downarrow$ PASS Leaves

**系列：** Measured-Construct Closure / Observable Exhaustion  
**文件代號：** `MCC-OE-14-v0.1`  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**文件性質：** Secondary Atlas Interval Compiler／One-Sided Remainder Certificate／First Certified Leaves  
**前置：** MCC-OE-00～13；LESR 09C～09G  
**狀態：** `FIRST SECONDARY-ATLAS OUTWARD LEAVES PASS / ONE-SIDED C3-DOWN CERTIFICATE MATERIALIZED / GLOBAL ATLAS OPEN`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown  
**數學原始碼規範：** inline math 僅使用 ` $...$ `，display math 僅使用 `$$...$$`

---

# 摘要

MCC-OE-13 將 LESR 09D 的 generic finite-radius remainder gate：

$$
|R_3|
\le
C_3\rho^3
$$

重新對齊 lower-bound theorem，改寫成真正 task-critical 的 one-sided condition：

$$
\boxed{
R_3
\ge
-
C_3^\downarrow\rho^3.
}
$$

對 B01 micro-radius：

$$
\rho
\le
1.4\times10^{-4},
$$

若使用 09D robust second-order lower：

$$
L_2=0.202,
$$

只需：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow
<
728.57142857
}
$$

即可保證：

$$
A
>
A_0+0.1\rho^2.
$$

MCC-OE-13 尚只有 finite- $\rho$ replay與 secondary-box counter-search diagnostics。

本文第一次將這個 one-sided remainder gate做成**真正的 research-level interval secondary-atlas leaf compiler**。

不同於 MCC-OE-12 的 HSL-backed renormalized certificate，本篇直接處理 finite support envelope。

對一個 secondary cell：

$$
\boxed{
L
=
I_\rho
\times
I_{u_2}
\times
I_{v_2}
\times
I_{w_2},
}
$$

本文 compiler 執行：

1. 建立 $B_3$ / $B_5$ intrinsic support-piece boundaries；
2. 在每個 intrinsic angular interval內列出 disk / $B_3$ / $B_5$ 三個 active support pieces；
3. 對三組 body-pair equality的 discriminant做 interval判定；
4. 對所有存在的 pairwise support roots做 interval Newton isolation；
5. 證所有 roots 不會跨出或新進入其 intrinsic interval；
6. 將 intrinsic events與所有 pair-root events合併；
7. 證 event intervals嚴格有序；
8. 在每個 resulting angular cell用 interval support difference證明 winner sign；
9. 在已證 winner cell上積分 exact support-area primitive；
10. 得到整個 4D parameter leaf 的 outward area interval；
11. 再轉成 one-sided finite-radius remainder certificate。

這裡最重要的修正是：

$$
\boxed{
\text{不只 isolate winner-to-winner roots}.
}
$$

而是：

$$
\boxed{
\textbf{列出所有可能 body-pair roots，並證 no-extra-root}.
}
$$

所以本文第一批 PASS 不再依賴：

> 中心 winner sequence 應該不會變。

而是用 interval root topology真正固定 local finite support atlas。

本文選取：

$$
\rho
\in
[
10^{-4},
10^{-4}+10^{-12}
]
$$

以及統一 secondary half-width：

$$
\boxed{
h_{u_2}=0.005,
\qquad
h_{v_2}=2.5\times10^{-4},
\qquad
h_{w_2}=2.5\times10^{-4}.
}
$$

測試五個不同 secondary centers：

$$
\boxed{
(37.5,0.13,-0.17),
}
$$

$$
\boxed{
(36,0.2,-0.2),
}
$$

$$
\boxed{
(40,0.1,-0.15),
}
$$

$$
\boxed{
(30,0,-0.2),
}
$$

$$
\boxed{
(50,0.5,0).
}
$$

五個 cells 中實際包含至少四種不同 merged upper-envelope winner sequences。

也就是說，這不是只對一個 canonical support chart測試。

每個 cell都完成：

```text
INTRINSIC BOUNDARY ORDER:
    PASS

PAIR DISCRIMINANT STABILITY:
    PASS

ALL PAIR ROOT ISOLATION:
    PASS

NO-EXTRA-ROOT:
    PASS

ALL-EVENT ORDER:
    PASS

INTERIOR WINNER SIGN:
    PASS

OUTWARD AREA INTEGRAL:
    PASS
```

每格皆有：

$$
\boxed{
51
}
$$

個 intrinsic-interval body-pair root checks。

所有 five cells的 event intervals都保持 strict positive separation。

最弱 cell的 event separation lower仍為：

$$
\boxed{
1.43778\times10^{-11}>0.
}
$$

最弱 interior winner support margin lower為：

$$
\boxed{
1.52756\times10^{-12}>0.
}
$$

在 chart certificate成立後，本文使用 uniform broad second-order reference：

$$
\boxed{
L_2=0.202
}
$$

定義每個 cell 的 direct one-sided defect constant：

$$
\boxed{
C_{\downarrow}(L)
=
\sup_{\rho\in I_\rho}
\frac{
[
A_0+L_2\rho^2-\underline A(L)
]_+
}{
\rho^3
}.
}
$$

這裡：

$$
\underline A(L)
$$

是剛才完整 interval support-atlas compiler產生的 uniform area lower。

因此直接有：

$$
\boxed{
A
\ge
A_0
+
L_2\rho^2
-
C_{\downarrow}(L)\rho^3
}
$$

對整個 leaf成立。

第一批結果：

| Leaf | Secondary center $(u_2,v_2,w_2)$ | $C_{\downarrow}$ |
|---|---|---:|
| SA-01 | $(37.5,0.13,-0.17)$ | $337.2298$ |
| SA-02 | $(36,0.2,-0.2)$ | $150.5165$ |
| SA-03 | $(40,0.1,-0.15)$ | $230.1740$ |
| SA-04 | $(30,0,-0.2)$ | $0$ |
| SA-05 | $(50,0.5,0)$ | $0$ |

全部：

$$
\boxed{
C_{\downarrow}
<
728.57142857.
}
$$

所以五格全部正式滿足 B01 broad finite-radius target。

其中最弱 SA-01 即使使用：

$$
C_{\downarrow}
=
337.2298
$$

在 leaf 最大：

$$
\rho
=
10^{-4}+10^{-12}
$$

仍得到 effective quadratic lower：

$$
\boxed{
0.202
-
337.2298\rho
>
0.16827
>
0.1.
}
$$

因此 SA-01 仍保留非常明顯的 finite-radius margin。

SA-04、SA-05 更強：

$$
\boxed{
C_{\downarrow}=0,
}
$$

也就是其 uniform interval area lower本身已高於：

$$
A_0+0.202\rho^2.
$$

不需要任何 negative cubic budget。

這是 MCC-OE 系列第一批：

$$
\boxed{
\textbf{complete local secondary-atlas one-sided remainder certificates}.
}
$$

然而，本文同時揭露真正剩下的工程瓶頸。

secondary sliver micro-cells極薄。

在 SA-01 中，最窄 certified angular event gap僅：

$$
\boxed{
1.44\times10^{-11}.
}
$$

如果將同一 $\rho$ leaf從：

$$
10^{-12}
$$

寬度放大到：

$$
10^{-10},
$$

部分 pair-root intervals已開始重疊。

因此：

$$
\boxed{
\text{fixed-chart interval atlas is correct but potentially expensive}.
}
$$

這證明 MCC-OE-13 的判斷：critical cone不是單一 finite support chart；secondary sliver walls真的會造成 micro-atlas。

但現在我們不再只是知道它「可能需要 atlas」。

我們已經有一個完整可執行 atlas leaf verifier。

所以 remaining problem由：

> 要怎麼 intervalize secondary topology？

正式縮成：

$$
\boxed{
\text{如何 adaptive cover secondary critical domain
with these certified atlas leaves?}
}
$$

本文沒有將五個 tiny leaves換算成 B01 official coverage。

因為它們是：

$$
(\rho,u_2,v_2,w_2)
$$

secondary-coordinate proof fixtures，不是 MCC-OE-09 HSL boundary tree的 disjoint volume partition。

因此 official B01 coverage仍維持：

$$
\boxed{
83.0642046752\%.
}
$$

但是 MCC-OE-14 完成了一個比 coverage百分比更重要的節點：

$$
\boxed{
\textbf{one-sided interval remainder compiler now exists as an executable proof primitive}.
}
$$

下一步不需要再發明 certificate semantics。

只需要：

- adaptive secondary atlas；
- route compression；
- 或利用 one-sided lower structure避免沿每一條 microscopic topology wall細切。

**關鍵詞：** Secondary Atlas、Interval Newton、No-Extra-Root、Winner Certificate、One-Sided Remainder、 $C_3^\downarrow$ 、AMRAL、Lebesgue

---

# 1. Secondary Coordinates

09C：

$$
\boxed{
u
=
u_\star+\rho u_2,
}
$$

$$
\boxed{
v
=
v_\star+\rho v_2,
}
$$

$$
\boxed{
w
=
\rho w_2.
}
$$

因此：

$$
q
=
\rho u_\star
+
\rho^2u_2.
$$

---

# 2. Placement Map

在 boundary：

$$
r=s,
$$

$$
\boxed{
x_3
=
x_{3,0}
-
s\cos
(
\rho u_\star+\rho^2u_2
),
}
$$

$$
\boxed{
y_3
=
s\sin
(
\rho u_\star+\rho^2u_2
),
}
$$

$$
\boxed{
x_5
=
x_{5,\star}
+
\rho^2w_2,
}
$$

$$
\boxed{
y_5
=
\rho v_\star
+
\rho^2v_2.
}
$$

所以 secondary coordinates天然保留 B01 dependency。

---

# 3. Why Secondary Coordinates Help

對：

$$
u_2,v_2,w_2
$$

的 bounded variation，

actual placement change只有：

$$
O(\rho^2).
$$

不是 primary：

$$
O(\rho).
$$

---

# 4. Why $\rho$ Still Matters

support topology transition widths本身也可以只有：

$$
O(\rho^2)
$$

甚至更小 finite corrections。

所以：

$$
\rho
$$

variation仍會讓 microscopic root ordering難以 enclosure。

---

# 5. Atlas Leaf Definition

本文 first prototype：

$$
\boxed{
I_\rho
=
[
10^{-4},
10^{-4}+10^{-12}
].
}
$$

對每個 secondary center：

$$
(u_{2,c},v_{2,c},w_{2,c}),
$$

定義：

$$
u_2
\in
[u_{2,c}-0.005,u_{2,c}+0.005],
$$

$$
v_2
\in
[v_{2,c}-2.5\times10^{-4},
v_{2,c}+2.5\times10^{-4}],
$$

$$
w_2
\in
[w_{2,c}-2.5\times10^{-4},
w_{2,c}+2.5\times10^{-4}].
$$

---

# 6. Compiler Layer A — Intrinsic Body Boundaries

對：

$$
B_3,
\quad
B_5
$$

的每一個 intrinsic support-piece switch，

直接用 interval：

$$
\operatorname{atan2}
$$

enclosure其 angular location。

---

# 7. Intrinsic Ordering Gate

所有 intrinsic events必須：

$$
\boxed{
\overline\theta_i
<
\underline\theta_{i+1}.
}
$$

否則 leaf：

```text
SPLIT
```

---

# 8. Compiler Layer B — Active Pieces

在每個 intrinsic angular interval：

$$
J_k,
$$

active support candidates只有：

$$
\boxed{
D,
\quad
B_3^{(k)},
\quad
B_5^{(k)}.
}
$$

---

# 9. All Pair Checks

三個 candidates產生：

$$
\binom32
=
3
$$

個 pairwise equations。

對 full circle intrinsic partition，

本文每 leaf實際執行：

$$
\boxed{
51
}
$$

個 pair checks。

---

# 10. Pair Equality

每一 pair：

$$
p,q
$$

的 support equality為：

$$
\boxed{
a\cos\theta
+
b\sin\theta
+
c
=
0.
}
$$

---

# 11. Root Discriminant

root existence由：

$$
\boxed{
D_{\rm root}
=
a^2+b^2-c^2.
}
$$

判定。

---

# 12. Stable No-Root Case

若：

$$
\boxed{
\overline D_{\rm root}<0,
}
$$

則整個 parameter leaf沒有該 pair roots。

---

# 13. Stable Two-Root Case

若：

$$
\boxed{
\underline D_{\rm root}>0,
}
$$

則兩個 roots持續存在。

---

# 14. Ambiguous Discriminant

若：

$$
0\in D_{\rm root},
$$

則：

```text
TANGENCY / ROOT-BIRTH THREAT
SPLIT
```

本文 five PASS leaves沒有出現此狀態。

---

# 15. Interval Newton

對每個 center root：

$$
\theta_c
$$

建立 initial interval：

$$
X_0.
$$

Newton map：

$$
\boxed{
N(X)
=
m
-
\frac{
f(m)
}{
f_\theta(X)
}.
}
$$

反覆：

$$
X_{n+1}
=
X_n
\cap
N(X_n).
$$

---

# 16. Root Isolation Requirement

必須證：

$$
\boxed{
X_j
}
$$

完整落入原本 intrinsic angular interval，

或完整落在該 interval之外。

---

# 17. This Proves No Root Entry

如果 center root在 interval之外，

且其 interval enclosure仍完全在 boundary外，

它不能在 parameter leaf中偷偷進入。

---

# 18. This Is the Missing No-Extra-Root Gate

因此本文不只證：

> 已知 envelope boundaries保持。

而證：

$$
\boxed{
\text{所有 active body-pair roots都被 accounting}.
}
$$

---

# 19. Global Event List

合併：

- intrinsic body switches；
- all in-interval pair roots。

得到：

$$
\boxed{
\Theta_L
=
\{
\theta_1,\ldots,\theta_N
\}.
}
$$

---

# 20. Event Ordering

要求：

$$
\boxed{
\overline\theta_j
<
\underline\theta_{j+1}.
}
$$

---

# 21. Interior Winner Witness

在每個 event interval：

$$
J_j
=
(
\theta_j,\theta_{j+1}
),
$$

取 deterministic interior angle：

$$
\theta_j^{\rm mid}.
$$

---

# 22. Winner Support Difference

若 center winner為：

$$
W,
$$

對另外兩個 candidates：

$$
Q_1,Q_2,
$$

要求：

$$
\boxed{
h_W(\theta_j^{\rm mid})
-
h_{Q_i}(\theta_j^{\rm mid})
>
0
}
$$

用 interval parameters評估。

---

# 23. Why One Point Is Enough

因：

- all pair equality roots都已 enumerated；
- event interval內沒有任何 candidate equality root。

所以 support ordering在該 angular cell不能改變。

---

# 24. Thus Winner Is Certified on the Whole Cell

這補上 MCC-OE-04 曾指出的：

$$
\boxed{
\text{root isolation}
+
\text{interior winner}
+
\text{no-extra-root}.
}
$$

---

# 25. Area Primitive

對固定 support piece：

$$
h
=
c_x\cos\theta
+
c_y\sin\theta
+
r,
$$

exact area primitive使用：

$$
\boxed{
\frac12
\left[
\frac{c_x^2-c_y^2}{2}\sin2\theta
-
c_xc_y\cos2\theta
+
2rc_x\sin\theta
-
2rc_y\cos\theta
+
r^2\theta
\right].
}
$$

---

# 26. Interval Area

對每個 certified winner angular interval：

$$
[\theta_a,\theta_b]
$$

用 interval endpoints與 interval piece coordinates計算 contribution。

最後：

$$
\boxed{
A(L)
\subset
[
\underline A(L),
\overline A(L)
].
}
$$

---

# 27. One-Sided Direct Defect Constant

固定：

$$
L_2=0.202.
$$

定義：

$$
\boxed{
C_{\downarrow}(L)
=
\sup_{\rho\in I_\rho}
\frac{
[
A_0+0.202\rho^2-\underline A(L)
]_+
}{
\rho^3
}.
}
$$

---

# 28. Validity

由：

$$
A\ge\underline A(L)
$$

直接得到：

$$
\boxed{
A
\ge
A_0
+
0.202\rho^2
-
C_{\downarrow}(L)\rho^3.
}
$$

---

# 29. No Asymptotic Assumption Needed for This Leaf Bound

注意：

$$
C_{\downarrow}(L)
$$

是 finite leaf direct certificate。

它不需要先假設：

$$
A
=
A_0+\rho^2\Phi_2+R_3.
$$

---

# 30. Relation to $C_3^\downarrow$

若：

$$
0.202
$$

是該 secondary route採用的 second-order reference lower，

則：

$$
C_{\downarrow}(L)
$$

可以直接扮演該 leaf 的 finite one-sided remainder budget。

---

# 31. Global B01 Broad Budget

因：

$$
\rho_{\max}
=
1.4\times10^{-4},
$$

只要：

$$
\boxed{
C_{\downarrow}(L)
<
728.57142857,
}
$$

便有：

$$
0.202-C_{\downarrow}\rho
>
0.1
$$

於整個 B01 radius range。

---

# 32. SA-01

center：

$$
\boxed{
(u_2,v_2,w_2)
=
(37.5,0.13,-0.17).
}
$$

---

# 33. SA-01 Outward Area

$$
\boxed{
A(L)
\subset
[
0.8349861122419954,
0.8349861134598221
].
}
$$

---

# 34. SA-01 Root / Winner Margins

minimum event separation：

$$
\boxed{
1.4377832\times10^{-11}.
}
$$

minimum interior winner support margin：

$$
\boxed{
1.5275559\times10^{-12}.
}
$$

---

# 35. SA-01 One-Sided Constant

$$
\boxed{
C_{\downarrow}
\le
337.2298.
}
$$

---

# 36. SA-01 Finite Coefficient Lower

在 leaf maximal $\rho$：

$$
\boxed{
0.202
-
337.2298\rho
>
0.16827.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
0.16827
>
0.1.
}
$$

PASS。

---

# 37. SA-02

center：

$$
\boxed{
(36,0.2,-0.2).
}
$$

area interval：

$$
\boxed{
[
0.8349861124287081,
0.8349861134609166
].
}
$$

---

# 38. SA-02 Chart Margins

event separation：

$$
\boxed{
7.64223\times10^{-10}.
}
$$

winner support margin：

$$
\boxed{
5.50751\times10^{-11}.
}
$$

---

# 39. SA-02 One-Sided Constant

$$
\boxed{
C_{\downarrow}
\le
150.5165.
}
$$

finite coefficient lower：

$$
\boxed{
>0.18694.
}
$$

PASS。

---

# 40. SA-03

center：

$$
\boxed{
(40,0.1,-0.15).
}
$$

area：

$$
\boxed{
[
0.8349861123490513,
0.8349861135668822
].
}
$$

---

# 41. SA-03 Chart Margins

event separation：

$$
\boxed{
3.60583\times10^{-10}.
}
$$

winner：

$$
\boxed{
2.87326\times10^{-11}.
}
$$

---

# 42. SA-03 One-Sided Constant

$$
\boxed{
C_{\downarrow}
\le
230.1740.
}
$$

finite coefficient lower：

$$
\boxed{
>0.17898.
}
$$

PASS。

---

# 43. SA-04

center：

$$
\boxed{
(30,0,-0.2).
}
$$

area：

$$
\boxed{
[
0.8349861126727380,
0.8349861136370955
].
}
$$

---

# 44. SA-04 Chart Margins

event separation：

$$
\boxed{
1.92764\times10^{-9}.
}
$$

winner：

$$
\boxed{
1.39043\times10^{-10}.
}
$$

---

# 45. SA-04 One-Sided Constant

uniform area lower已直接高於：

$$
A_0+0.202\rho^2.
$$

所以：

$$
\boxed{
C_{\downarrow}=0.
}
$$

PASS。

---

# 46. SA-05

center：

$$
\boxed{
(50,0.5,0).
}
$$

area：

$$
\boxed{
[
0.8349861135621248,
0.8349861148480794
].
}
$$

---

# 47. SA-05 Chart Margins

event separation：

$$
\boxed{
1.37552\times10^{-9}.
}
$$

winner：

$$
\boxed{
9.92183\times10^{-11}.
}
$$

---

# 48. SA-05 One-Sided Constant

$$
\boxed{
C_{\downarrow}=0.
}
$$

PASS。

---

# 49. First Atlas Result Table

| ID | center $(u_2,v_2,w_2)$ | min event gap | min winner margin | $C_\downarrow$ | status |
|---|---|---:|---:|---:|---|
| SA-01 | $(37.5,0.13,-0.17)$ | $1.44\times10^{-11}$ | $1.53\times10^{-12}$ | $337.23$ | PASS |
| SA-02 | $(36,0.2,-0.2)$ | $7.64\times10^{-10}$ | $5.51\times10^{-11}$ | $150.52$ | PASS |
| SA-03 | $(40,0.1,-0.15)$ | $3.61\times10^{-10}$ | $2.87\times10^{-11}$ | $230.17$ | PASS |
| SA-04 | $(30,0,-0.2)$ | $1.93\times10^{-9}$ | $1.39\times10^{-10}$ | $0$ | PASS |
| SA-05 | $(50,0.5,0)$ | $1.38\times10^{-9}$ | $9.92\times10^{-11}$ | $0$ | PASS |

---

# 50. All Leaves Pass Global Broad Budget

$$
\boxed{
\max_i C_{\downarrow}(SA_i)
=
337.23
<
728.57.
}
$$

---

# 51. Safety Ratio

最弱 cell仍有：

$$
\boxed{
\frac{
728.57
}{
337.23
}
\approx
2.16
}
$$

倍 one-sided budget餘裕。

---

# 52. This Is Stronger Than MCC-OE-13 Diagnostics

MCC-OE-13：

```text
point / random stress
```

本篇：

```text
positive-volume parameter leaves
+
outward root topology
+
outward area
+
one-sided finite certificate
```

---

# 53. Multiple Support Charts Are Actually Handled

五個 test centers不是同一 merged winner pattern。

例如：

- SA-01 / SA-03 使用一類 18-piece sequence；
- SA-02 出現 secondary `B5c2` / additional `D` arrangement；
- SA-04 出現 `B5c3` micro-sliver；
- SA-05 又是一個不同 sequence。

---

# 54. Therefore the Compiler Is Atlas-Capable

它不 hard-code：

$$
\boxed{
\text{one canonical 18-piece sequence}.
}
$$

而是：

1. 從 leaf center discover finite chart；
2. interval verify that chart；
3. PASS or split。

---

# 55. Atlas Discovery vs Atlas Authority

center sequence只是：

$$
\boxed{
\text{candidate chart discovery}.
}
$$

真正 authority來自：

- discriminant；
- root isolation；
- no-extra-root；
- winner signs。

---

# 56. This Matches CAIR / NIOT Discipline

AI / numerical search提出：

```text
candidate support chart
```

interval verifier決定：

```text
chart valid on leaf
```

不是中心 sample自動升格。

---

# 57. Why the $\rho$ Leaf Is Tiny

SA-01 secondary sliver micro-gap只有：

$$
O(10^{-11}).
$$

對 $\rho$ interval加寬時，pair-root enclosures很快 overlap。

---

# 58. Example

保持 SA-01 secondary widths不變：

若：

$$
|I_\rho|
=
10^{-12},
$$

PASS。

若擴到約：

$$
10^{-11},
$$

仍可 PASS但 remainder constant惡化。

若擴到：

$$
10^{-10},
$$

root-event intervals開始 overlap。

---

# 59. So Naïve Uniform Atlas Is Expensive

若對 full：

$$
[10^{-4},1.4\times10^{-4}]
$$

都使用：

$$
10^{-12}
$$

rho cells，

需要：

$$
4\times10^7
$$

rho slices。

不可接受。

---

# 60. This Is Not a Failure of the Certificate

它表示：

$$
\boxed{
\text{secondary topology walls are much finer than theorem-relevant area structure}.
}
$$

---

# 61. Need Atlas Compression

所以 MCC-OE-14 後不能只是：

> 把整個 secondary space切成 tiny fixed-chart leaves。

---

# 62. Compression Route A — Sliver Normal Form

09C 已將微拓撲壓成：

$$
\delta_+,
\delta_-,
\delta_T
$$

三個 signed widths與五個 potential slivers。

---

# 63. Instead of Following Every Finite Root

如果能 interval-certify：

$$
\boxed{
\text{five-sliver exhaustion}
}
$$

則 area lower可以直接用 sliver normal form，

不必追每個 $10^{-11}$ finite root。

---

# 64. Compression Route B — One-Sided Aggregation

對 lower bound只需要：

$$
\boxed{
\text{negative aggregate correction}.
}
$$

許多 topology rearrangements只增加 area，

可以 quotient。

---

# 65. Compression Route C — Adaptive Event Cells

只在：

- discriminant ambiguous；
- event intervals overlap；
- winner witness fail；

時 split。

stable regions可以大 cell。

---

# 66. First Evidence of Anisotropy

SA-01 對 secondary widths：

$$
(0.005,2.5\times10^{-4},2.5\times10^{-4})
$$

PASS，

但將 widths放大約一倍後，最細 sliver event可能先 collision。

所以 split axis應按 event sensitivity，

不是 uniform。

---

# 67. New Atlas Node Schema

```json
{
  "secondary_domain": {
    "rho": [],
    "u2": [],
    "v2": [],
    "w2": []
  },
  "intrinsic_order": "PASS",
  "pair_discriminants": "PASS",
  "all_pair_roots": "PASS",
  "no_extra_root": "PASS",
  "event_order": "PASS",
  "winner_signs": "PASS",
  "area_interval": [],
  "C3_down_upper": null,
  "status": "PASS"
}
```

---

# 68. New Failure States

```text
TANGENCY_AMBIGUOUS
ROOT_ENTRY_AMBIGUOUS
EVENT_OVERLAP
WINNER_UNCERTAIN
AREA_MARGIN_FAIL
C3_DOWN_TOO_LARGE
```

---

# 69. Different Failures Need Different Repairs

`EVENT_OVERLAP`：

split topology coordinate。

`AREA_MARGIN_FAIL`：

可能切換 sliver normal form / HSL。

`C3_DOWN_TOO_LARGE`：

真的 theorem-relevant threat。

---

# 70. Important Separation

$$
\boxed{
\text{chart failure}
\neq
\text{remainder failure}.
}
$$

---

# 71. Current Five Cells

全部：

```text
CHART:
    PASS

C3_DOWN:
    PASS
```

所以還沒有 theorem threat。

---

# 72. Counter-Certificate Candidate

只有：

$$
\boxed{
C_{\downarrow}
\ge
728.57
}
$$

且不是 interval over-width artifact，

才值得升成 remainder threat candidate。

---

# 73. Research Authority

backend：

```text
mpmath.iv
```

所以：

```text
AUTHORITY:
    RESEARCH INTERVAL

INDEPENDENT PUBLICATION BACKEND:
    OPEN
```

---

# 74. Why Area Integration Is Still Research-Level

需要未來：

- independent directed rounding；
- root isolator cross-check；
- alternate area primitive implementation；
- replay hash。

---

# 75. But Logical Architecture Is Complete

這些 publication audit不改：

$$
\boxed{
\text{root enumeration}
\rightarrow
\text{winner certificate}
\rightarrow
\text{area interval}
\rightarrow
C_\downarrow.
}
$$

---

# 76. First Complete One-Sided Leaf Theorem

令：

$$
L
$$

為一個 secondary atlas cell。

若：

1. 所有 intrinsic boundaries ordered；
2. 所有 active pair discriminants interval-separated from tangency；
3. 所有 pair roots isolated；
4. 所有 roots與 intrinsic intervals的 membership certified；
5. all events strictly ordered；
6. each event cell winner sign positive；
7. outward area lower為：
   $$
   \underline A(L);
   $$
8. 定義：
   $$
   C_\downarrow(L)
   =
   \sup_{\rho\in I_\rho}
   \frac{
   [A_0+0.202\rho^2-\underline A(L)]_+
   }{
   \rho^3
   };
   $$
9. 且：
   $$
   C_\downarrow(L)
   <
   728.57142857,
   $$

則：

$$
\boxed{
A
>
A_0+0.1\rho^2
}
$$

於整個：

$$
L
$$

成立。

---

# 77. Proof

由定義：

$$
A
\ge
\underline A(L)
\ge
A_0+0.202\rho^2-C_\downarrow\rho^3.
$$

又：

$$
C_\downarrow
<
728.57142857
$$

且：

$$
\rho
\le1.4\times10^{-4},
$$

所以：

$$
0.202-C_\downarrow\rho
>
0.1.
$$

故：

$$
A>A_0+0.1\rho^2.
$$

Q.E.D.

---

# 78. This Theorem Does Not Need Asymptotic $\Phi_2$

非常重要。

一旦 leaf area interval直接建立，

$$
0.202
$$

只是 convenient reference coefficient。

---

# 79. Relation to 09D

09D 的：

$$
0.202
$$

最初來自 robust second-order acceptance。

MCC-OE-14 將同一數字變成 finite leaf reference line。

---

# 80. This Gives Two Independent Interpretations

### Asymptotic route

$$
\Phi_2\ge0.202
$$

plus remainder。

### Direct finite route

$$
A
\ge
A_0+0.202\rho^2-C_\downarrow\rho^3.
$$

---

# 81. The Second Does Not Require Proving the First on That Leaf

因它直接來自 outward finite area。

---

# 82. This Is Useful for Atlas Hybridization

某些 cells：

- 用 09D normal form；

另一些：

- 用 direct finite support interval；

都可共用同一：

$$
C_\downarrow
$$

接口。

---

# 83. Certificate Atlas Gains a New Route

新增：

```text
CR-06 — SECONDARY SUPPORT-ATLAS DIRECT INTERVAL
```

---

# 84. CR-06 Role

處理：

- critical / near-critical secondary cells；
- finite chart stable after interval isolation；
- HSL too conservative。

---

# 85. CR-06 Inputs

$$
(\rho,u_2,v_2,w_2)
$$

box。

---

# 86. CR-06 Outputs

- chart certificate；
- area interval；
- $C_\downarrow$ ；
- target verdict。

---

# 87. CR-06 First PASS Count

$$
\boxed{
5/5
}
$$

research fixtures。

---

# 88. CR-06 Chart Diversity

至少：

$$
\boxed{
4
}
$$

merged finite support winner patterns出現在五格中。

---

# 89. This Is a Better Stress Than One Chart

它證明：

$$
\boxed{
\text{same compiler handles multiple secondary finite topologies}.
}
$$

---

# 90. Global Secondary Atlas Is Still Open

未完成：

- full S100 cover；
- full B01 critical-cone cover；
- five-sliver exhaustion；
- publication backend。

---

# 91. Most Important Remaining Bottleneck

固定 chart leaf可證，

但：

$$
\boxed{
\text{topology wall density}.
}
$$

---

# 92. Therefore Next Round Should Not Just Add More Leaves

更有價值是：

$$
\boxed{
\textbf{compress topology by signed sliver coordinates}.
}
$$

---

# 93. Suggested MCC-OE-15

$$
\boxed{
\textbf{Secondary Sliver Coordinate Atlas and Topology-Compressed One-Sided Remainder}.
}
$$

---

# 94. Goal A

用：

$$
\delta_+,
\delta_-,
\delta_T
$$

代替 microscopic finite root list。

---

# 95. Goal B

形式化：

$$
\boxed{
\text{finite root microstructure}
\rightarrow
\text{same lower sliver signature}
}
$$

的 quotient。

---

# 96. Goal C

讓一個 sliver-sign cell跨越多個 finite support sequences，

但仍保留同一 area lower model。

---

# 97. Goal D

真正開始 cover：

$$
\mathcal S_{100}.
$$

---

# 98. Goal E

若 sliver normal form足夠，

把：

$$
40\text{ million rho slices}
$$

級的 naïve fixed-chart atlas壓到有限少量 signed cells。

---

# 99. Current Dashboard

```text
B01 OFFICIAL HSL COVER:
    83.0642046752%

CR-06 SECONDARY INTERVAL COMPILER:
    IMPLEMENTED

FULL PAIR-ROOT ACCOUNTING:
    PASS ON 5 FIXTURES

NO-EXTRA-ROOT:
    PASS ON 5 FIXTURES

WINNER SIGN:
    PASS ON 5 FIXTURES

OUTWARD AREA:
    PASS ON 5 FIXTURES

C3_DOWN:
    337.23
    150.52
    230.17
    0
    0

BROAD BUDGET:
    728.57

CR-06 FIXTURES PASS:
    5/5

DISTINCT MERGED CHARTS:
    >= 4

FULL SECONDARY ATLAS:
    OPEN

COUNTEREXAMPLE:
    NONE
```

---

# 100. 結論

MCC-OE-14 是這條研究線第一次真正把：

$$
\boxed{
\text{secondary topology}
}
$$

和：

$$
\boxed{
\text{one-sided finite remainder}
}
$$

放進同一個可執行 interval verifier。

前一輪我們知道：

> one-sided $C_3^\downarrow$ 才是真正的 theorem probe。

但還只是知道應該量什麼。

這一輪我們真的開始量了。

而且不是：

- sample；
- optimizer；
- center chart assumption。

而是：

$$
\boxed{
\text{all pair roots}
+
\text{interval Newton}
+
\text{no-extra-root}
+
\text{winner sign}
+
\text{outward area integral}.
}
$$

最後才得到：

$$
C_\downarrow.
$$

五個不同 secondary finite topologies全部 PASS。

最弱：

$$
C_\downarrow
\approx337.23
$$

仍比：

$$
728.57
$$

budget低一大截。

所以現在 one-sided remainder已經不是：

> 也許很好證。

而是：

$$
\boxed{
\textbf{我們已經真的證了第一批 leaves。}
}
$$

真正剩下的困難也同步變得更清楚。

不是 area positivity。

不是 remainder scale。

而是：

$$
\boxed{
\textbf{secondary topology atlas 太細。}
}
$$

這意味著下一個最重要的工作不是無限增加 fixed-chart leaves。

而是利用 09C 已經發現的：

$$
\delta_+,
\delta_-,
\delta_T
$$

與 five-sliver structure，

把大量 microscopic support sequences quotient成少量 theorem-relevant sliver states。

這正好又回到 MCC-OE 的最初思想：

$$
\boxed{
\text{不要窮舉所有幾何差異；
只保留會改變 theorem verdict 的可測差異。}
}
$$

現在 secondary support microstructure就是下一個要被 quotient 的對象。

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `MCC-OE-14-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

本文 source-backed inputs：
- LESR 09C secondary coordinates與 sliver model；
- LESR 09D robust reference lower $0.202$ ；
- LESR 09G exact support-envelope definitions；
- MCC-OE-13 one-sided remainder semantics。

本文新增實作：
- intrinsic support boundary intervalization；
- complete active-body pair discriminant checking；
- interval Newton pair-root isolation；
- root-intrinsic-interval membership certification；
- no-extra-root gate；
- all-event ordering；
- interval interior winner certificate；
- exact support-area primitive outward integration；
- finite one-sided direct defect constant $C_\downarrow$。

本文新增 research results：
- five positive-volume secondary atlas leaves；
- 51 body-pair checks per leaf；
- four-or-more distinct merged support sequences；
- $C_\downarrow$ values:
  $$
  337.23,\ 150.52,\ 230.17,\ 0,\ 0;
  $$
- all five below:
  $$
  728.5714.
  $$

本文不宣稱：
- full secondary atlas is covered；
- S100 is covered；
- five fixtures statistically represent the whole critical cone；
- mpmath.iv is an independent publication backend；
- official B01 coverage exceeds 83.0642046752%；
- B01 boundary is closed；
- B01 parent is closed；
- global Lebesgue is solved。

下一輪建議進入：

`MCC-OE-15 — Secondary Sliver Coordinate Atlas and Topology-Compressed One-Sided Remainder`.

===END===