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title: "SRBC Theory Validation Program — Round 01：形式核心壓測與第一輪反例"
author: "Neo.K with Aletheia (GPT-5.6 Sol)"
institution: "EveMissLab / 一言諾科技有限公司"
version: "v0.1"
date: "2026-09-23"
language: "zh-TW"
document_type: "Theory Validation Report / Formal Stress Test"
status: "Round 01 completed"
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# SRBC Theory Validation Program — Round 01

## 形式核心壓測、定義型別檢查與 Monty Hall 計算 sanity test

**作者：** Neo.K with Aletheia (GPT-5.6 Sol)  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-09-23  
**版本：** v0.1  

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## Canonical Source Note

本報告以 UTF-8 Markdown 保存。數學 source 僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`。所有計算可由同包內 `srbc_validation_round01.py` 使用固定 seed `7777` 重放；原始機器結果保存在 `results_round01.json`。

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# 0. 本輪目的

本輪不是再用 SRBC 寫一篇應用論文，而是直接攻擊 SRBC 自己。

測試分三層：

1. **有限形式空間窮舉**：檢查 SRBC-03 / SRBC-05 的核心命題是否在小型離散模型中出現反例；
2. **邊界與型別測試**：專門找 partial query、空 completion、近似等價等定義漏洞；
3. **Monty Hall 計算 sanity test**：檢查 SRBC-06 的一般式、區間與 tie-breaking 敏感性是否經直接計算與模擬支持。

本輪原則：

$$
\boxed{
\text{找到反例就改理論，不替理論護航。}
}
$$

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# 1. 執行摘要

## 1.1 通過壓測的核心

有限 total-query 空間共檢查：

$$
3,279
$$

個 query assignments，以及：

$$
332,643
$$

個非空 constraint-strengthened 子空間。

找到核心反例：

$$
\boxed{0}.
$$

未被打穿的命題包括：

$$
\operatorname{QRC}
\iff
\Delta_Q=0
$$

在 **completion space 非空、 $Q$ total、 $d_Q$ 為 metric** 的條件下；

$$
M_i,M_j\in\mathfrak I,
\quad
Q(M_i)\neq Q(M_j)
\Rightarrow
\neg\operatorname{QRC};
$$

以及固定 query / metric 下：

$$
\mathfrak I'
\subseteq
\mathfrak I
\Rightarrow
\Delta_Q(\mathfrak I')
\le
\Delta_Q(\mathfrak I).
$$

Query hierarchy 另檢查：

$$
8,736
$$

組合成映射，也未找到：

$$
Q_2\text{ 完備}
\land
Q_1=f\circ Q_2
\land
Q_1\text{ 不完備}
$$

的反例。

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## 1.2 第一輪直接找到的形式問題

本輪找到三個必須修補的核心問題，外加一個 theorem boundary。

### Bug A：QDU 與 QRU 不是互斥

對三個 completion 的 partial query：

$$
Q(M_1)=\bot,
\quad
Q(M_2)=0,
\quad
Q(M_3)=1,
$$

同時有：

$$
\operatorname{QDU}=1
$$

與：

$$
\operatorname{QRU}=1.
$$

枚舉全部：

$$
3^3=27
$$

個 `{undefined,0,1}` 配置後，有：

$$
\boxed{6}
$$

種同時為 QDU 與 QRU。

所以：

$$
\operatorname{QRC},
\operatorname{QRU},
\operatorname{QDU}
$$

不能被設計成單一互斥 enum。

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### Bug B：partial query 下 quotient 與 diameter 型別不完整

若：

$$
Q:
\mathfrak I
\rightharpoonup
\mathcal A_Q
$$

是部分函數，而：

$$
\sim_Q
$$

只在：

$$
\operatorname{Dom}(Q)
$$

上有定義，則應先定義：

$$
\boxed{
\mathfrak I_Q^{\mathrm{def}}
=
\mathfrak I
\cap
\operatorname{Dom}(Q).
}
$$

再定義：

$$
\boxed{
\mathfrak G_Q^{\mathrm{def}}
=
\mathfrak I_Q^{\mathrm{def}}/{\sim_Q}.
}
$$

同理，歧義直徑應改為：

$$
\boxed{
\Delta_Q^{\mathrm{def}}
=
\operatorname{diam}
Q[
\mathfrak I_Q^{\mathrm{def}}
].
}
$$

如果：

$$
\mathfrak I_Q^{\mathrm{def}}
=
\varnothing,
$$

則 $\Delta_Q^{\mathrm{def}}$ 應標 `undefined` / `not-applicable`，而不是默認成 $0$。

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### Bug C： $\varepsilon$ -proximity 不是一般等價關係

若定義：

$$
M_i\approx_{Q,\varepsilon}M_j
\iff
d_Q(Q(M_i),Q(M_j))
\le
\varepsilon,
$$

它一般不具遞移性。

最小反例之一：

$$
a=0,
\quad
b=0.6,
\quad
c=1.2,
\quad
\varepsilon=0.7.
$$

有：

$$
a\approx b,
$$

$$
b\approx c,
$$

但：

$$
a\not\approx c.
$$

所以它只能叫 **proximity relation**，不能直接拿來做 quotient。

容差完備應保留：

$$
\boxed{
\operatorname{QRC}_{\varepsilon}
\iff
\Delta_Q^{\mathrm{def}}
\le
\varepsilon.
}
$$

---

### Boundary D：QRC 與零直徑等價需要非空 completion

若：

$$
\mathfrak I=\varnothing,
$$

則答案像也是空集合，QRC 依原定義不成立；但空集合直徑依數學 convention 可能被設為 $0$ 、 $-\infty$ 或未定義。

因此 theorem 必須明示：

$$
\boxed{
\mathfrak I\neq\varnothing.
}
$$

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# 2. 建議的新 resolution 結構

不要再用：

```text
QRC | QRU | QDU | UNRESOLVED
```

作為單一 enum。

改成三軸：

## 2.1 Definability

$$
D_Q
\in
\{
\operatorname{TOTAL},
\operatorname{PARTIAL},
\operatorname{NONE}
\}.
$$

## 2.2 Answer variation

$$
V_Q
\in
\{
\operatorname{NONE},
\operatorname{SINGLE},
\operatorname{MULTIPLE}
\}.
$$

## 2.3 Evidence state

$$
E_Q
\in
\{
\operatorname{PROVED},
\operatorname{REFUTED},
\operatorname{UNKNOWN}
\}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathbf R_Q
=
(D_Q,V_Q,E_Q).
}
$$

並定義：

$$
\operatorname{QRC}
\iff
D_Q=\operatorname{TOTAL}
\land
V_Q=\operatorname{SINGLE}.
$$

$$
\operatorname{QRU}
\iff
V_Q=\operatorname{MULTIPLE}.
$$

$$
\operatorname{QDU}
\iff
D_Q\neq\operatorname{TOTAL}.
$$

因此：

$$
\operatorname{QRU}\land\operatorname{QDU}
$$

是合法狀態。

而 `UNRESOLVED` 應屬於 $E_Q$，不是與 QRC / QRU / QDU 同層的世界語義類別。

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# 3. Constraint-strengthening 壓測

對：

$$
n=1,\ldots,7
$$

與答案字母表：

$$
\{0,1,2\},
$$

窮舉所有 total query assignment，再窮舉每個 completion space 的所有非空子集。

總檢查：

- query assignments：**3,279**
- nonempty subsets：**332,643**
- failures：**0**

因此計算壓測支持固定 $Q$ 、固定 metric、單純縮小 completion space 時：

$$
\boxed{
\Delta_Q'
\le
\Delta_Q.
}
$$

這不是以有限枚舉取代一般證明；一般證明仍然只是「子集的直徑不大於母集合直徑」。本輪作用是檢查定義與實作沒有藏住小型反例。

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# 4. Query hierarchy 壓測

若：

$$
Q_1=f\circ Q_2,
$$

則 $Q_2$ 是更細的 query。

本輪窮舉：

$$
8,736
$$

組 finite query / coarse-map，結果：

$$
\boxed{
\operatorname{QRC}(Q_2)
\Rightarrow
\operatorname{QRC}(Q_1)
}
$$

沒有反例。

反向不成立。

最小例：

$$
Q_2(M_1)=0,
\quad
Q_2(M_2)=1,
$$

但取常數 coarse map：

$$
f(0)=f(1)=0,
$$

就有：

$$
Q_1(M_1)=Q_1(M_2)=0.
$$

因此 coarse query 可完備，而 fine query 不完備。

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# 5. 「沒找到反例」的抽樣風險

設 completion population 有 $1000$ 個模型，其中只有 $1\%$ 是 divergent branch。

隨機不放回抽樣完全 miss divergent branch 的概率：

| sample size | miss probability |
|---:|---:|
| 5 | 95.089% |
| 10 | 90.397% |
| 25 | 77.543% |
| 50 | 59.731% |
| 100 | 34.693% |
| 200 | 10.616% |

也就是即使抽 $100$ 個 completion，仍有約：

$$
34.69\%
$$

機率完全沒看到那 $1\%$ 的反例族。

如果反例族只有 $0.1\%$，抽 $100$ 個仍有：

$$
90.00\%
$$

機率 miss。

因此計算直接支持：

$$
\boxed{
\text{sampling agreement}
\not\Rightarrow
\text{QRC proof}.
}
$$

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# 6. Monty Hall 直接計算 sanity test

## 6.1 一般後驗式

測試：

$$
P(C=d_2\mid E)
=
\frac{
p_2\ell_2
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
}.
$$

隨機生成 $10,000$ 組：

$$
(p_1,p_2,p_3,\ell_1,\ell_2)
$$

並用直接事件權重重建 Bayes 後驗。

最大差：

$$
\boxed{
0.0
}.
$$

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## 6.2 Standard symmetric

$$
p_1=p_2=p_3=\frac13,
$$

$$
\ell_1=\frac12,
\quad
\ell_2=1.
$$

得到：

$$
\boxed{
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac23.
}
$$

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## 6.3 Random-unchosen completion

$$
\ell_1=\ell_2=\frac12
$$

得到：

$$
\boxed{
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac12.
}
$$

---

## 6.4 Standard goat family

掃描：

$$
\alpha\in[0,1]
$$

共 $1001$ 點，得到：

$$
\boxed{
Q_{\mathrm{obs}}
\in
\left[
\frac12,1
\right].
}
$$

機器值：

`[0.5, 1.0]`

---

## 6.5 Broad policy family

對：

$$
\ell_1,\ell_2
\in
\{0,0.01,\ldots,1\}
$$

掃描 $101\times101$ 網格，排除 $(0,0)$，得到：

$$
\boxed{
Q_{\mathrm{obs}}
\in
[0,1].
}
$$

機器值：

`[0.0, 1.0]`

---

# 7. Tie-breaking 對 ex ante query 的模擬

在 standard goat-opening protocol 中改變：

$$
\alpha
=
P(H=d_3\mid C=d_1).
$$

每一個 $\alpha$ 各跑 $200,000$ 次：

| alpha | always-switch win rate | door3 open rate |
|---:|---:|---:|
| 0.0 | 0.667090 | 0.334455 |
| 0.1 | 0.668405 | 0.368085 |
| 0.5 | 0.667270 | 0.498405 |
| 0.9 | 0.667745 | 0.633090 |
| 1.0 | 0.666520 | 0.666335 |

always-switch win rate 都穩定在：

$$
\frac23
$$

附近，而 `door3_open_rate` 隨 $\alpha$ 明顯變化。

這直接支持 SRBC-06 的 query 分離：

$$
\boxed{
Q_{\mathrm{ex}}
\text{ 對 tie-breaking 不敏感}
}
$$

但：

$$
\boxed{
Q_{\mathrm{obs}}
\text{ 對 tie-breaking 敏感}.
}
$$

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# 8. Monte Carlo 後驗 sanity check

四組不同 $(p,\ell_1,\ell_2)$ 各跑 $200,000$ 次。

| p | l1 | l2 | analytic | simulation | abs error |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| `(0.3333, 0.3333, 0.3333)` | 0.500 | 1.000 | 0.666667 | 0.666753 | 0.000087 |
| `(0.3333, 0.3333, 0.3333)` | 0.500 | 0.500 | 0.500000 | 0.500218 | 0.000218 |
| `(0.5, 0.3, 0.2)` | 0.200 | 0.900 | 0.729730 | 0.728298 | 0.001432 |
| `(0.2, 0.7, 0.1)` | 0.800 | 0.100 | 0.304348 | 0.305201 | 0.000853 |

最大模擬誤差小於 $0.0015$。

此處 simulation 只驗證：

$$
Q(M)
$$

的計算，不拿來證：

$$
u\mapsto M
$$

的唯一性。

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# 9. Round 01 正式修補提案

## Patch 01 — Partial Query Core

新增：

$$
\mathfrak I_Q^{\mathrm{def}}
=
\mathfrak I\cap\operatorname{Dom}(Q).
$$

所有 exact answer quotient 建在：

$$
\mathfrak I_Q^{\mathrm{def}}
$$

上。

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## Patch 02 — Orthogonal Resolution State

將 runtime 狀態從單一 enum 改成：

$$
\mathbf R_Q=(D_Q,V_Q,E_Q).
$$

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## Patch 03 — Defined-Answer Diameter

改：

$$
\Delta_Q^{\mathrm{def}}
=
\operatorname{diam}
Q[
\mathfrak I_Q^{\mathrm{def}}
].
$$

若沒有 defined completion，值標 `N/A`。

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## Patch 04 — Exact QRC Boundary

使用：

$$
\operatorname{QRC}
\iff
\Delta_Q=0
$$

前必須明示：

$$
\mathfrak I\neq\varnothing,
$$

$$
\operatorname{Dom}(Q)=\mathfrak I,
$$

以及 $d_Q$ 是 metric。

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## Patch 05 — Epsilon Proximity

把：

$$
\sim_{Q,\varepsilon}
$$

改為：

$$
\approx_{Q,\varepsilon}
$$

並明示其只是 proximity。

不建立 quotient。

容差 closure 用：

$$
\Delta_Q^{\mathrm{def}}
\le
\varepsilon.
$$

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## Patch 06 — QRSRC Schema

建議：

```yaml
resolution:
  definability: total | partial | none
  answer_variation: single | multiple | none
  proof_status: proved | refuted | unknown

  qrc: true | false | unknown
  qru: true | false | unknown
  qdu: true | false | unknown
```

其中：

```yaml
qru: true
qdu: true
```

是合法組合。

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# 10. 本輪總判定

## 暫時得到支持

在本輪範圍內未被打穿：

- total-query 下 QRC 與零直徑等價；
- countermodel theorem；
- fixed-query constraint-strengthening 單調性；
- QRC 對非空子空間保持；
- fine-query complete $\Rightarrow$ coarse-query complete；
- SRBC-06 Monty Hall 的核心後驗公式；
- standard goat family 的 $[1/2,1]$ ；
- broad policy family 的 $[0,1]$ ；
- ex ante $2/3$ 對 tie-breaking 的不敏感性。

## 必須修正

已找到：

$$
\boxed{3}
$$

個核心形式問題：

1. QDU / QRU overlap；
2. partial-query quotient / diameter domain typing；
3. $\varepsilon$ -proximity non-transitivity。

以及一個 theorem boundary：

4. QRC-- $\Delta_Q=0$ 需明示 nonempty completion。

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# 11. 研究意義

第一輪最重要的結果不是「大部分過了」。

而是：

$$
\boxed{
\text{SRBC 已經開始承受真正的反例壓力。}
}
$$

而且第一次就找到了**定義層 bug**，不是文風問題。

所以接下來的正確節奏應保持：

$$
\boxed{
\text{命題}
\rightarrow
\text{計算／窮舉／形式驗證}
\rightarrow
\text{反例}
\rightarrow
\text{canonical patch}
\rightarrow
\text{再測}.
}
$$

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# 12. 下一輪：Synthetic Semantic Worlds

Round 02 不再只測抽象集合定理。

直接生成具有已知 ground truth 的世界：

$$
W_i,
$$

再從每個世界自動產生：

- 完整描述；
- 欠規格描述；
- hidden-lift trap；
- query-neutral ambiguity；
- query-sensitive ambiguity；
- partial-query case。

因為 ground truth 已知，可以真正在資料上測：

- completion recall；
- false completion rate；
- hidden-lift detection；
- QRC false positive；
- QRU recall；
- QDU detection；
- minimal closure accuracy；
- clarification efficiency。

這會第一次測：

$$
\boxed{
\text{SRBC 是否真的能從語言恢復該恢復的語義結構。}
}
$$

而不只是測內部數學一致性。

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# 附錄 A：機器摘要

- assignments checked: `3,279`
- nonempty subsets checked: `332,643`
- core failures: `0`
- query-hierarchy cases: `8,736`
- QDU+QRU overlap: `6 / 27`
- Monty random analytic cases: `10000`
- Monty max analytic reconstruction error: `0.0`
- standard-goat range: `[0.5, 1.0]`
- broad-policy range: `[0.0, 1.0]`

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# 附錄 B：重放

同包包含：

- `srbc_validation_round01.py`
- `results_round01.json`

執行：

```bash
python srbc_validation_round01.py
```

即可重新產生機器結果。