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title: "Monty Hall 的語義手術：三門問題的模型族、完備條件與概率分岔"
english_title: "Semantic Surgery of the Monty Hall Problem: Model Families, Completeness Conditions, and Probability Bifurcations"
series: "SRBC：符號表徵邊界與語義完備性理論"
series_english: "SRBC: Symbolic Representation Bounds and Semantic Completion"
series_number: "SRBC-06/07"
author: "Neo.K with Aletheia (GPT-5.6 Sol)"
institution: "EveMissLab / 一言諾科技有限公司"
version: "v0.1"
date: "2026-09-23"
language: "zh-TW"
document_type: "理論論文 / 案例研究 / Formal Semantic Surgery Benchmark"
status: "初版完成"
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# Monty Hall 的語義手術

## 三門問題的模型族、完備條件與概率分岔

**English Title:** Semantic Surgery of the Monty Hall Problem: Model Families, Completeness Conditions, and Probability Bifurcations  
**系列：**《SRBC：符號表徵邊界與語義完備性理論》SRBC-06/07  
**作者：** Neo.K with Aletheia (GPT-5.6 Sol)  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23

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## Canonical Source Note

本文件以 UTF-8 Markdown 保存正式原稿。數學 source 僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$` 作為 canonical delimiter。本文區分原始自然語言、語義承諾集、completion branch、host protocol、probability model 與 query。任何 $2/3$ 、 $1/2$ 或其他數值都必須綁定到明確模型與查詢，不得從渲染畫面或某一 branch 的結果反投影成原始文字的唯一語義。若未來進入 proof assistant、typed IR、NCM、EveGlyph、SREG runtime、概率程式或模型檢查器，應保存 source version、query version、protocol parameters、priors、bridge certificates、countermodels、GAP profile 與 provenance。

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# 摘要

三門問題的核心數學並不困難；真正困難的是自然語言、遊戲 protocol、條件概率與決策查詢之間的接口。本文使用 SRBC 前五篇建立的符號表徵邊界、語義完成空間、查詢相對完備性、非法升格審計與 GAP 測度，對經典 Monty Hall 問題執行第一個完整的 **Formal Semantic Surgery**。

本文首先明確保留經典結果：在標準 protocol 中，若三扇門的先驗概率相等，主持人知道獎品位置，且每一回合必定從參賽者未選的門中打開一扇羊門並提供切換到唯一剩餘未開門的機會，則「事前採永遠換門策略」的獲勝概率為：

$$
\frac23.
$$

這個結論不依賴主持人在兩扇羊門皆可開時採何種 tie-breaking rule。本文不反駁此結果。

然而，原始自然語言問題還可以提出另一個更細的查詢：在參賽者先選一號門、主持人實際打開三號羊門、並提供切換到二號門之後，車在二號門的條件概率是多少？這個 **特定觀察後驗查詢** 與「事前永遠換門策略的長期成功率」不是同一個問題。對前者，主持人如何在可開門之間選擇、是否依獎品位置改變行為、是否只有某些情況才提供切換，都可能影響條件概率。

令：

$$
p_i
=
P(C=d_i)
$$

為車位置先驗，令觀察事件：

$$
E
=
\{
H=d_3,\;
d_3\text{ 為羊},\;
\text{主持人提供切換至 }d_2
\},
$$

並令：

$$
\ell_i
=
P(E\mid C=d_i,P=d_1).
$$

因為事件 $E$ 已包含「三號門是羊」，故：

$$
\ell_3=0.
$$

只要：

$$
p_1\ell_1+p_2\ell_2>0,
$$

則：

$$
P(C=d_2\mid E)
=
\frac{
p_2\ell_2
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
}.
$$

這是本文的核心一般式。標準對稱 protocol 取：

$$
p_1=p_2=p_3=\frac13,
$$

$$
\ell_1=\frac12,
$$

$$
\ell_2=1,
$$

因此：

$$
P(C=d_2\mid E)=\frac23.
$$

但若主持人雖知道門後內容，卻在未選兩門中隨機開一門，而這一次恰好開到三號羊門，則：

$$
\ell_1=\ell_2=\frac12,
$$

所以：

$$
P(C=d_2\mid E)=\frac12.
$$

更一般地，只要原文字沒有唯一固定有效 likelihood pair $(\ell_1,\ell_2)$，條件答案就不由「主持人知道」這一事實單獨決定。若允許廣泛的 knowledge-compatible host policies，則同一觀察事件的切換後驗可以形成一個模型族，而不是單一先驗數值。

本文進一步區分三個層次：

1. **Text-only frame**：只採原表述明示承諾；
2. **Standard protocol frame**：加入主持人必開未選羊門且必提供切換；
3. **Standard symmetric frame**：再加入等先驗與兩羊情況下的對稱 tie-breaking。

在 standard protocol frame 中，事前永遠換門的成功率可已經閉合為 $2/3$ ；但對「已看到特定三號門被開」的細粒度後驗查詢，若 tie-breaking 未指定，答案仍可分岔。這第一次給出 SRBC-03 的具體案例：

$$
\boxed{
\text{粗查詢可以完備，而細查詢仍不完備。}
}
$$

本文同時修正早期三門問題研究中的三個過強表述。第一，若遊戲規則在數學問題中被明示作為公理，不需要再引入「參賽者是否相信規則」的額外 trust 參數，除非研究問題本身就是 deception 或主觀信念。第二，靜態概率化不是自動的本體論錯誤；只要投影對指定 query 保資訊，就是合法的 query-preserving reduction。第三，電腦模擬本身不是類型錯誤；模擬可以嚴格驗證指定模型，只是不能單靠模擬證明原自然語言唯一指定該模型。

因此，本文的結論不是「 $2/3$ 錯了」，而是：

$$
\boxed{
\text{數值正確性}
\neq
\text{文本唯一性}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{標準 protocol 下 } \frac23 \text{ 成立}
}
$$

可以與：

$$
\boxed{
\text{原始自然語言對某些細粒度 query 仍可能欠決定}
}
$$

同時成立。

**關鍵詞：** Monty Hall、三門問題、SRBC、語義手術、條件概率、host protocol、query-relative completeness、語義欠決定、模型族、semantic GAP、countermodel、SREG

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# 0. 研究邊界：本文不再爭「 $2/3$ 對不對」

這篇論文若被讀成：

> 作者認為 Monty Hall 的 $2/3$ 是錯的。

就讀錯了。

本文首先固定：

$$
\boxed{
\text{在標準 Monty Hall protocol 下，永遠換門策略的成功率是 } \frac23.
}
$$

這是本文的前提之一。

真正研究的是另一個問題：

$$
\boxed{
\text{原始自然語言到底明示了多少 protocol 結構？}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{不同 query 到底需要哪些 protocol commitment 才能唯一回答？}
}
$$

這是語義問題，不是反概率論問題。

---

# 1. 文獻定位：host protocol 重要並不是本文首次發現

本文不主張「主持人 protocol 會影響答案」是新的發現。

Morgan、Chaganty、Dahiya 與 Doviak 在 1991 年已對 Parade 版本進行條件概率分析，並明確指出 Marilyn vos Savant 的回答在特定假設下成立。後續 Mueser 與 Granberg 更直接把 host protocol 視為問題定義的一部分，展示不同 protocol 可以導致不同答案。Gill 則把 Monty Hall 描述為 mathematical modelling challenge；Schuller 也研究 hostile / malicious host 下的 minimax 問題。

因此 SRBC-06 的新增工作不是：

$$
\boxed{
\text{host protocol matters}.
}
$$

而是把這個早已存在的洞察嵌入一套較完整的形式鏈：

$$
\boxed{
\text{symbolic bounds}
\rightarrow
\text{completion space}
\rightarrow
\text{query quotient}
\rightarrow
\text{illegal-lift audit}
\rightarrow
\text{GAP measurement}
\rightarrow
\text{minimal closure}.
}
$$

換句話說，本文要做的不是重新發現 Monty Hall 的文獻爭點，而是把它轉成一個可重放的語義審計 benchmark。

---

# 2. 固定研究文本

本文採經典 Parade / Ask Marilyn 型表述作為 source frame，其核心資訊是：

1. 有三扇門；
2. 一扇門後有車，另外兩扇為羊；
3. 參賽者先選一號門；
4. 主持人知道門後內容；
5. 主持人在該次事件中打開三號門；
6. 三號門後是羊；
7. 主持人接著提供切換到二號門的機會；
8. 問切換是否有利。

原表述中最著名的片語之一是：

> “the host, who knows what's behind the doors”

本文只把它解讀為：

$$
K_H(C)=1,
$$

也就是：

> 主持人知道車在哪一扇門。

它本身不直接等於：

$$
\pi_H=\pi_{\mathrm{std}}.
$$

---

# 3. Text-level commitment set

令：

$$
D
=
\{
d_1,d_2,d_3
\}.
$$

車位置：

$$
C\in D.
$$

參賽者初選：

$$
P=d_1.
$$

主持人打開的門：

$$
H=d_3.
$$

觀察到：

$$
G(d_3)=1,
$$

其中 $G(d)$ 表示門 $d$ 後是羊。

主持人知道：

$$
K_H(C)=1.
$$

並在此事件中提供：

$$
S=d_2
$$

作為切換選項。

因此第一代 text commitment set 可寫：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}}
=
\{
|D|=3,
\operatorname{CarCount}=1,
\operatorname{GoatCount}=2,
P=d_1,
K_H(C)=1,
H=d_3,
G(d_3)=1,
S=d_2
\}.
$$

---

# 4. 原文字沒有直接寫出的欄位

僅由：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}}
$$

不自動得到以下所有內容。

## 4.1 車位置先驗

原文字描述一車兩羊，但未在純字面層直接給：

$$
P(C=d_i)=\frac13.
$$

概率謎題慣例通常採等先驗，但這仍是需要被標記的模型 commitment。

---

## 4.2 主持人是否每回合都開門

未直接給：

$$
\forall t:
\operatorname{Open}(H_t).
$$

---

## 4.3 是否永遠只開羊門

未直接給：

$$
\forall t:
G(H_t)=1.
$$

---

## 4.4 是否永遠避開參賽者初選

單次：

$$
H=d_3\neq P
$$

不自動推出：

$$
\forall t:
H_t\neq P_t.
$$

---

## 4.5 是否永遠提供切換

單次：

$$
S=d_2
$$

不自動推出：

$$
\forall t:
\operatorname{OfferSwitch}_t.
$$

---

## 4.6 兩扇羊皆可開時如何選

若：

$$
C=P=d_1,
$$

則 $d_2,d_3$ 都是羊。

原字串沒有顯式給：

$$
P(H=d_2\mid C=d_1)
=
P(H=d_3\mid C=d_1)
=
\frac12.
$$

---

## 4.7 主持人的規則是否跨時間固定

未直接給：

$$
\pi_{H,t}
=
\pi_H
\quad
\forall t.
$$

---

## 4.8 參賽者是否知道完整 protocol

外部解題者被告知主持人知道門後內容，不等於所有 host-policy 細節都是 participant common knowledge。

---

# 5. Semantic slots

因此可把關鍵 open slots 寫為：

$$
\Theta_{\mathrm{MH}}
=
(
\mathbf p,
\pi_H,
\pi_S,
\tau,
I_P,
T
),
$$

其中：

$$
\mathbf p
=
(p_1,p_2,p_3)
$$

為車位置先驗；

$$
\pi_H
$$

為主持人開門 policy；

$$
\pi_S
$$

為是否提供 switch 的 policy；

$$
\tau
$$

為 tie-breaking；

$$
I_P
$$

為參賽者可用資訊；

$$
T
$$

為 protocol 的時間穩定性。

---

# 6. 三個主要 frame

本文不把所有語境混成一個。

## 6.1 Text-only frame

$$
F_{\mathrm{text}}
$$

只採：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}}.
$$

其目的是問：

> 原字串本身最低限度承諾了什麼？

---

## 6.2 Standard protocol frame

$$
F_{\mathrm{std}}
$$

加入：

$$
\lambda_{\mathrm{prior}},
$$

$$
\lambda_{\mathrm{goat}},
$$

$$
\lambda_{\mathrm{offer}},
$$

其中：

$$
\lambda_{\mathrm{prior}}
:
p_1=p_2=p_3=\frac13,
$$

$$
\lambda_{\mathrm{goat}}
:
\text{主持人每回合必定打開一扇未選羊門},
$$

$$
\lambda_{\mathrm{offer}}
:
\text{主持人每回合都提供切換到唯一剩餘未開門}.
$$

此 frame 不一定固定兩羊時的 tie-breaking。

---

## 6.3 Standard symmetric frame

$$
F_{\mathrm{sym}}
$$

在：

$$
F_{\mathrm{std}}
$$

上再加：

$$
\lambda_{\mathrm{tie}}
:
P(H=d_2\mid C=d_1,P=d_1)
=
P(H=d_3\mid C=d_1,P=d_1)
=
\frac12.
$$

---

# 7. 第一個 query：事前永遠換門策略

定義：

$$
Q_{\mathrm{ex}}
=
P(
\text{win}
\mid
\text{always switch},
F_{\mathrm{std}}
).
$$

這個 query 是在標準 protocol 已固定後，問策略的事前成功率。

---

# 8. 標準策略定理

## 定理 8.1

若：

1. 參賽者初選一扇門；
2. 主持人知道車位置；
3. 主持人必定打開一扇未選羊門；
4. 主持人必定提供切換到唯一剩餘未開門；
5. 車位置先驗為：

$$
p_1,p_2,p_3,
$$

則在初選：

$$
P=d_1
$$

下，永遠換門成功率為：

$$
Q_{\mathrm{ex}}
=
1-p_1.
$$

### 證明

若：

$$
C=d_1,
$$

初選已正確，換門必輸。

若：

$$
C\neq d_1,
$$

主持人必須打開另一扇羊門，唯一剩餘未開且未選的門就是車門，換門必勝。

因此：

$$
P(\text{switch wins})
=
P(C\neq d_1)
=
1-p_1.
$$

得證。

---

# 9. 經典 $2/3$

若：

$$
p_1=p_2=p_3=\frac13,
$$

則：

$$
Q_{\mathrm{ex}}
=
1-\frac13
=
\frac23.
$$

所以：

$$
\boxed{
F_{\mathrm{std}}
\Rightarrow
Q_{\mathrm{ex}}=\frac23.
}
$$

---

# 10. 這個 $2/3$ 不需要對稱 tie-breaking

當：

$$
C=d_1,
$$

主持人可以：

- 總是開 $d_2$ ；
- 總是開 $d_3$ ；
- 隨機開；
- 依某 deterministic rule 開。

只要：

$$
\lambda_{\mathrm{goat}}
$$

成立，永遠換門在這個 branch 都輸。

而當：

$$
C\neq d_1,
$$

主持人只有一扇未選羊門可合法打開，換門都勝。

因此：

$$
Q_{\mathrm{ex}}=\frac23
$$

不依賴：

$$
\tau.
$$

這是第一個重要 query-relative 結果。

---

# 11. 第二個 query：觀察特定三號門後的後驗

現在改問：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
P(
C=d_2
\mid
E
),
$$

其中觀察事件：

$$
E
=
\{
P=d_1,
H=d_3,
G(d_3)=1,
S=d_2
\}.
$$

這和：

$$
Q_{\mathrm{ex}}
$$

不是同一個 query。

---

# 12. Effective likelihood

定義：

$$
\ell_i
=
P(E\mid C=d_i,P=d_1).
$$

由於：

$$
E
$$

包含：

$$
G(d_3)=1,
$$

若：

$$
C=d_3,
$$

則事件不可能。

因此：

$$
\ell_3=0.
$$

---

# 13. 一般後驗定理

## 定理 13.1

若：

$$
p_1\ell_1+p_2\ell_2>0,
$$

則：

$$
P(C=d_2\mid E)
=
\frac{
p_2\ell_2
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
}.
$$

### 證明

由 Bayes：

$$
P(C=d_2\mid E)
=
\frac{
P(E\mid C=d_2)P(C=d_2)
}{
\sum_{i=1}^{3}
P(E\mid C=d_i)P(C=d_i)
}.
$$

因：

$$
\ell_3=0,
$$

分母化為：

$$
p_1\ell_1+p_2\ell_2.
$$

故：

$$
P(C=d_2\mid E)
=
\frac{
p_2\ell_2
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
}.
$$

得證。

---

# 14. 留在一號門的後驗

同理：

$$
P(C=d_1\mid E)
=
\frac{
p_1\ell_1
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
}.
$$

因此：

$$
Q_{\mathrm{stay}}
=
1-Q_{\mathrm{obs}}.
$$

---

# 15. 何時切換有利？

切換有利當且僅當：

$$
P(C=d_2\mid E)
>
P(C=d_1\mid E).
$$

由一般式：

$$
\boxed{
\text{switch advantageous}
\iff
p_2\ell_2
>
p_1\ell_1.
}
$$

若相等：

$$
p_2\ell_2
=
p_1\ell_1,
$$

則兩者無差。

若：

$$
p_2\ell_2
<
p_1\ell_1,
$$

則留門較有利。

---

# 16. 標準對稱 completion

在：

$$
F_{\mathrm{sym}},
$$

有：

$$
p_1=p_2=\frac13.
$$

若車在一號門：

$$
C=d_1,
$$

兩扇未選門都是羊。

對稱 tie-breaking 給：

$$
\ell_1=\frac12.
$$

若車在二號門：

$$
C=d_2,
$$

主持人必須開三號羊門，故：

$$
\ell_2=1.
$$

因此：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac{
\frac13
}{
\frac13\cdot\frac12+\frac13
}
=
\frac23.
$$

所以：

$$
\boxed{
F_{\mathrm{sym}}
\Rightarrow
Q_{\mathrm{obs}}=\frac23.
}
$$

---

# 17. Random-unchosen host completion

考慮另一個 completion：

主持人知道車位置，但開門行為不使用該知識作為「必避開車門」的約束。

在參賽者已選一號門後，主持人在二、三號門中各以：

$$
\frac12
$$

機率選一門打開。

若這一次實際開三號門，且我們又觀察到三號是羊，則：

若：

$$
C=d_1,
$$

有：

$$
\ell_1=\frac12.
$$

若：

$$
C=d_2,
$$

仍有：

$$
\ell_2=\frac12.
$$

採等先驗時：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac{
\frac13\cdot\frac12
}{
\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot\frac12
}
=
\frac12.
$$

所以：

$$
\boxed{
Q_{\mathrm{obs}}(M_{\mathrm{std}})
=
\frac23,
}
$$

但：

$$
\boxed{
Q_{\mathrm{obs}}(M_{\mathrm{rand}})
=
\frac12.
}
$$

---

# 18. 為何 random-host model 不與「主持人知道」矛盾？

因為：

$$
K_H(C)=1
$$

只表示：

> 主持人具有該資訊。

它不等於：

$$
\pi_H
=
f(C).
$$

更不等於：

$$
\pi_H
=
\pi_{\mathrm{goat}}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{knowledge}
\neq
\text{policy}.
}
$$

這正是 SRBC-04 的 knowledge-to-policy lift。

---

# 19. 這個 completion 是否「自然」與是否「合法」要分開

有人可能認為：

> 一個真正的遊戲節目主持人當然不會隨便打開車門。

這可能是一個非常合理的 pragmatic default。

但：

$$
\operatorname{PragmaticPreference}(M_{\mathrm{std}})
$$

不等於：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}}
\models
M_{\mathrm{std}}.
$$

因此應區分：

$$
\boxed{
\text{most natural completion}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{only admissible completion}.
}
$$

---

# 20. 一般 host-policy family

令：

$$
\ell_1,\ell_2
\in
[0,1]
$$

表示在不同車位置下產生觀察事件 $E$ 的 effective likelihood。

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac{
p_2\ell_2
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
}.
$$

這個表示把：

- 開門 policy；
- 是否提供 switch；
- 其他 protocol gating；

壓縮進：

$$
\ell_i.
$$

---

# 21. Equal-prior policy family

若固定：

$$
p_1=p_2=\frac13,
$$

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac{
\ell_2
}{
\ell_1+\ell_2
}.
$$

只要：

$$
\ell_1+\ell_2>0.
$$

---

# 22. 廣義概率分岔

若：

$$
\ell_1,\ell_2
$$

可以在合法 completion 中自由變化，

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
$$

可以在：

$$
[0,1]
$$

中變化。

例如：

若：

$$
\ell_1>0,
\quad
\ell_2=0,
$$

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}=0.
$$

若：

$$
\ell_1=0,
\quad
\ell_2>0,
$$

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}=1.
$$

所以在足夠寬的 text-compatible protocol family 中：

$$
\boxed{
\mathcal A_{Q_{\mathrm{obs}}}
=
[0,1]
}
$$

是一個可達的第一代模型結果。

---

# 23. 這個 $[0,1]$ 主張的適用範圍

它不是說：

> 真實 Monty Hall 世界中概率可以隨便。

而是：

> 若只固定等先驗與觀察事件，卻不再限制 host policy 如何依車位置生成該事件，則有效 likelihood ratio 可以把後驗推到整個區間。

所以此結果依賴的是：

$$
F_{\mathrm{text}}
+
\lambda_{\mathrm{equal\ prior}}
+
\text{broad policy admissibility}.
$$

如果 admissibility 加強，區間會縮小。

---

# 24. Standard goat-opening family

現在加入：

$$
\lambda_{\mathrm{goat}}.
$$

若：

$$
C=d_2,
$$

主持人不能開二號車門，也不能開一號已選門，因此要產生：

$$
E
$$

只能開三號門。

所以：

$$
\ell_2=1
$$

若 offer 也必定發生。

當：

$$
C=d_1,
$$

二、三號都是羊。

令：

$$
\alpha
=
P(H=d_3\mid C=d_1,P=d_1).
$$

則：

$$
\ell_1=\alpha.
$$

因此：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac{
p_2
}{
p_1\alpha+p_2
}.
$$

---

# 25. Equal prior 下的 standard family

若：

$$
p_1=p_2=\frac13,
$$

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac{1}{1+\alpha}.
$$

其中：

$$
\alpha\in[0,1].
$$

所以：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
\in
\left[
\frac12,
1
\right].
$$

---

# 26. 這是一個關鍵結果

在：

$$
F_{\mathrm{std}}
$$

中：

$$
Q_{\mathrm{ex}}=\frac23
$$

已固定。

但：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
$$

若未固定 tie-breaking：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
\in
\left[
\frac12,
1
\right].
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{QRC}(F_{\mathrm{std}};Q_{\mathrm{ex}})
}
$$

可以成立，

同時：

$$
\boxed{
\operatorname{QRU}(F_{\mathrm{std}};Q_{\mathrm{obs}})
}
$$

也成立。

---

# 27. 粗查詢完備，細查詢不完備

這正是 SRBC-03 的具體化。

若粗 query：

$$
Q_1
=
\text{永遠換門的事前勝率},
$$

答案：

$$
\frac23.
$$

若細 query：

$$
Q_2
=
P(C=d_2\mid H=d_3,G(d_3)=1,S=d_2),
$$

則 tie-breaking 可進入答案。

所以：

$$
\boxed{
\text{coarse query completeness}
\not\Rightarrow
\text{fine query completeness}.
}
$$

---

# 28. 為什麼常見教學仍然得到 $2/3$？

因為多數教學實際上採的是：

$$
F_{\mathrm{sym}}
$$

或把門標號視為無關，直接問策略的事前長期成功率：

$$
Q_{\mathrm{ex}}.
$$

在這些 frame 下：

$$
\frac23
$$

完全正確。

問題只在於：

> 是否把這個 frame 與 query 清楚說出來？

---

# 29. $2/3$ 的一般識別條件

由：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac{
p_2\ell_2
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
},
$$

要求：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac23.
$$

則：

$$
3p_2\ell_2
=
2p_1\ell_1
+
2p_2\ell_2.
$$

所以：

$$
\boxed{
p_2\ell_2
=
2p_1\ell_1.
}
$$

這是觀察型 query 得到 $2/3$ 的一般條件。

---

# 30. $2/3$ 不唯一識別 standard protocol

有無數組：

$$
(p_1,p_2,\ell_1,\ell_2)
$$

可滿足：

$$
p_2\ell_2
=
2p_1\ell_1.
$$

所以即使觀察到：

$$
Q_{\mathrm{obs}}=\frac23,
$$

也不能反推出：

$$
\pi_H=\pi_{\mathrm{std}}.
$$

這是：

$$
\boxed{
\text{answer identifiability}
\neq
\text{model identifiability}.
}
$$

---

# 31. 後驗 odds 形式

令：

$$
O_{\mathrm{prior}}
=
\frac{p_2}{p_1},
$$

likelihood ratio：

$$
\Lambda_E
=
\frac{\ell_2}{\ell_1}.
$$

則 posterior odds：

$$
O_{\mathrm{post}}
=
O_{\mathrm{prior}}
\Lambda_E.
$$

所以：

$$
\frac{
P(C=d_2\mid E)
}{
P(C=d_1\mid E)
}
=
\frac{p_2}{p_1}
\cdot
\frac{\ell_2}{\ell_1}.
$$

這使三門問題的核心變得透明：

$$
\boxed{
\text{主持人行為提供多少資訊}
}
$$

完全由：

$$
\frac{\ell_2}{\ell_1}
$$

決定。

---

# 32. 「主持人知道」沒有固定 likelihood ratio

單純：

$$
K_H(C)=1
$$

不能推出：

$$
\frac{\ell_2}{\ell_1}=2,
$$

也不能推出任何唯一比值。

所以：

$$
\boxed{
K_H(C)=1
\not\Rightarrow
Q_{\mathrm{obs}}=\frac23.
}
$$

除非另有 bridge。

---

# 33. Switch Advantage Condition

切換優於留下：

$$
Q_{\mathrm{obs}}>\frac12.
$$

等價於：

$$
p_2\ell_2
>
p_1\ell_1.
$$

因此如果：

$$
p_1=p_2,
$$

則：

$$
\boxed{
\text{switch advantageous}
\iff
\ell_2>\ell_1.
}
$$

---

# 34. Standard symmetric

$$
\ell_2=1,
$$

$$
\ell_1=\frac12,
$$

所以：

$$
\ell_2>\ell_1.
$$

切換有利。

---

# 35. Random unchosen

$$
\ell_2=\ell_1=\frac12.
$$

所以：

$$
Q_{\mathrm{obs}}=\frac12.
$$

無差。

---

# 36. Host policy 可以使留下更有利

若：

$$
\ell_2<\ell_1
$$

且等先驗，

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}<\frac12.
$$

這不代表標準 Monty Hall 中應留下。

只代表不同 host protocol 可以反轉同一觀察事件的 evidential meaning。

---

# 37. 文本 completion space

因此：

$$
\mathfrak I_{\mathrm{MH}}
$$

至少要包含不同維度：

$$
M
=
(
\mathbf p,
\pi_H,
\pi_S,
\tau,
I_P,T
).
$$

只計算一個：

$$
M_{\mathrm{std}}
$$

無法證明：

$$
\mathfrak I_{\mathrm{MH}}
=
\{
M_{\mathrm{std}}
\}.
$$

---

# 38. 第一個 countermodel certificate

選：

$$
M_A
=
M_{\mathrm{sym}},
$$

其中：

$$
p_i=\frac13,
$$

$$
\ell_1=\frac12,
$$

$$
\ell_2=1.
$$

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}(M_A)
=
\frac23.
$$

選：

$$
M_B
=
M_{\mathrm{rand}},
$$

其中：

$$
p_i=\frac13,
$$

$$
\ell_1=\ell_2=\frac12.
$$

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}(M_B)
=
\frac12.
$$

所以：

$$
Q_{\mathrm{obs}}(M_A)
\neq
Q_{\mathrm{obs}}(M_B).
$$

---

# 39. Countermodel 的真正負擔

要用：

$$
(M_A,M_B)
$$

證明原文欠決定，不能只算出兩個數。

還必須證：

$$
M_A,M_B
\in
\mathfrak I(u,C).
$$

也就是：

- 都符合一車兩羊；
- 都符合初選一號門；
- 都符合主持人知道門後內容；
- 都能產生本次三號羊門被打開；
- 都能產生主持人提供二號門切換。

這才是 SRBC-02 admissibility requirement。

---

# 40. Pragmatic objection

如果研究 frame 把：

> 遊戲節目主持人知道內容

加上 pragmatic relevance 推成：

> 主持人之所以知道，就是為了保證開羊門，

則：

$$
M_B
$$

可能被該 context 排除。

SRBC 不否認這種 context。

而是要求把它寫成：

$$
C_{\mathrm{pragmatic}}
$$

或：

$$
\lambda_{\mathrm{default}}.
$$

不能讓它隱身。

---

# 41. 因此欠決定命題必須帶 frame

正確寫法不是：

$$
\boxed{
\text{Monty Hall 永遠不完備}.
}
$$

而是：

$$
\boxed{
\operatorname{QRU}
(
u_{\mathrm{original}},
C_{\mathrm{text}};
Q_{\mathrm{obs}}
).
}
$$

若換：

$$
C_{\mathrm{sym}},
$$

則可以：

$$
\boxed{
\operatorname{QRC}
(
u_{\mathrm{standard}},
C_{\mathrm{sym}};
Q_{\mathrm{obs}}
).
}
$$

---

# 42. Query-relative GAP：第一個下界

僅由兩個模型：

$$
\frac23
$$

與：

$$
\frac12,
$$

就得到：

$$
\Delta_{Q_{\mathrm{obs}}}
\ge
\left|
\frac23-\frac12
\right|
=
\frac16.
$$

所以這是一個可證的 GAP lower bound。

---

# 43. Broad policy frame 的 GAP

若在等先驗下允許：

$$
\ell_1,\ell_2\in[0,1],
$$

且不全為零，

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac{\ell_2}{\ell_1+\ell_2}
$$

可達：

$$
[0,1].
$$

因此：

$$
\boxed{
\Delta_{Q_{\mathrm{obs}}}=1
}
$$

在該 broad-policy frame 中。

---

# 44. Standard goat family 的 GAP

在：

$$
\ell_2=1,
$$

$$
\ell_1=\alpha\in[0,1],
$$

下：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac{1}{1+\alpha}
\in
\left[
\frac12,
1
\right].
$$

所以：

$$
\boxed{
\Delta_{Q_{\mathrm{obs}}}
=
\frac12.
}
$$

若 tie-breaking 完全未指定。

---

# 45. Symmetric completion 的 GAP

若再加入：

$$
\alpha=\frac12,
$$

則：

$$
\mathcal A_{Q_{\mathrm{obs}}}
=
\left\{
\frac23
\right\},
$$

所以：

$$
\Delta_{Q_{\mathrm{obs}}}=0.
$$

---

# 46. Semantic closure curve

因此可以看到一條具體 closure curve：

$$
F_{\mathrm{text}}
\rightarrow
F_{\mathrm{broad}}
\rightarrow
F_{\mathrm{std}}
\rightarrow
F_{\mathrm{sym}}.
$$

對：

$$
Q_{\mathrm{obs}},
$$

答案直徑可依約束逐步收縮：

$$
1
\rightarrow
\frac12
\rightarrow
0
$$

在本文選定的 frame parameterization 中。

---

# 47. 這就是 SRBC-05 的第一個實例

我們不只說：

> 加規則後比較清楚。

而是量：

$$
\Delta_Q.
$$

這使 semantic closure 可被直接觀察。

---

# 48. Hidden lift audit：equal prior

從：

$$
\text{一車兩羊}
$$

直接寫：

$$
p_i=\frac13
$$

是一個常見 lift。

它通常合理。

但在 text-only frame 中應標：

$$
\lambda_{\mathrm{prior}}.
$$

如果題目明說：

> 車隨機等機率放在三扇門之一，

則不再是 hidden。

---

# 49. Hidden lift audit：knowledge to policy

從：

$$
K_H(C)=1
$$

直接升格：

$$
\pi_H=\pi_{\mathrm{goat}}
$$

是：

$$
L_{\mathrm{Epi}\rightarrow\mathrm{Pol}}.
$$

若無 bridge：

$$
\operatorname{SIL}.
$$

---

# 50. Hidden lift audit：event to protocol

從：

$$
H=d_3,
$$

$$
G(d_3)=1
$$

升格：

$$
\forall t:
G(H_t)=1
$$

是：

$$
L_{\mathrm{Event}\rightarrow\mathrm{Protocol}}.
$$

---

# 51. Hidden lift audit：single offer to always offer

從本次：

$$
S=d_2
$$

升格：

$$
\forall t:
\operatorname{OfferSwitch}_t
$$

也需要 bridge。

---

# 52. Hidden lift audit：specific event to stationarity

由一回合行為推：

$$
\pi_{H,t}
=
\pi_H
\quad
\forall t
$$

是 time lift。

對「長期策略勝率」尤其關鍵。

---

# 53. Hidden lift audit：simulation protocol

若模擬器寫：

```text
car ~ Uniform({1,2,3})
player = 1
host always opens an unchosen goat
host always offers switch
if two goat doors are available:
    choose uniformly
```

則其真正模擬的是：

$$
M_{\mathrm{sym}}.
$$

如果跑一百萬次得到約：

$$
\frac23,
$$

它驗證：

$$
Q(M_{\mathrm{sym}})\approx\frac23.
$$

這完全正常。

---

# 54. 模擬不能證什麼？

它不能靠重複次數證：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}}
\models
\Gamma_{\mathrm{sym}}.
$$

因為：

$$
\text{number of simulation runs}
$$

和：

$$
\text{text-to-model entailment}
$$

是兩個不同問題。

所以：

$$
\boxed{
\text{simulation validates model dynamics, not model uniqueness from prose}.
}
$$

---

# 55. 修正舊論文：模擬不是「類型錯誤」本身

早期稿曾把模擬論證描述得過強。

新版修正為：

$$
\boxed{
\text{simulation}
\neq
\text{semantic error}.
}
$$

真正的錯誤只在：

$$
\boxed{
\text{simulation result}
\rightarrow
\text{unique textual semantics}
}
$$

這支無證書箭頭。

---

# 56. 修正舊論文：靜態概率不是自動的本體論壓平錯誤

若：

$$
\Pi(M)
$$

保留 query 所需資訊，

且：

$$
Q(M)
=
\widetilde Q(\Pi(M)),
$$

則：

$$
\Pi
$$

是 query-preserving projection。

這種靜態化完全合法。

---

# 57. 只有 query-destructive flattening 才有問題

如果存在：

$$
M_1,M_2
$$

使：

$$
\Pi(M_1)=\Pi(M_2),
$$

但：

$$
Q(M_1)\neq Q(M_2),
$$

才是：

$$
\operatorname{QDP}(\Pi,Q).
$$

所以新版不再把所有時序壓縮都視為 categorical error。

---

# 58. 修正舊論文：不必強迫加入「信任度」參數

若題目明示：

> 規則如下。

在數學 puzzle frame 中，這些規則可以直接作為 axioms。

不必再加入：

$$
\beta
=
P(\text{規則是真的}).
$$

只有當研究：

- 欺騙；
- 不可靠主持人；
- participant belief；
- real-world institutional trust；

時， $\beta$ 才是 query-relevant。

---

# 59. 這個修正很重要

否則會出現另一種過度懷疑：

> 任何數學題都要先問使用者是否相信題目。

這不是 SRBC 的目的。

SRBC 要求的是：

$$
\boxed{
\text{把題目明說的規則當題目規則，}
}
$$

同時：

$$
\boxed{
\text{不要把沒明說又未被語境合法補足的規則假裝成已明說。}
}
$$

---

# 60. Query 1 的最小閉合條件

對：

$$
Q_{\mathrm{ex}}
=
P(\text{win}\mid\text{always switch}),
$$

要得到：

$$
\frac23,
$$

一個自然的 sufficient set 是：

$$
\lambda_{\mathrm{prior}}
+
\lambda_{\mathrm{goat}}
+
\lambda_{\mathrm{offer}}.
$$

tie-breaking 不必固定。

---

# 61. Query 2 的最小數值條件

對：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
=
\frac23,
$$

一般必要充分關係是：

$$
\boxed{
p_2\ell_2
=
2p_1\ell_1.
}
$$

這比「一定要 standard symmetric protocol」更弱。

所以：

$$
F_{\mathrm{sym}}
$$

是 sufficient completion，

不是唯一能產生：

$$
\frac23
$$

的 completion。

---

# 62. Query 2 的 standard sufficient set

如果希望用最傳統語義閉合，則可加入：

$$
p_i=\frac13,
$$

$$
\lambda_{\mathrm{goat}},
$$

$$
\lambda_{\mathrm{offer}},
$$

$$
\alpha=\frac12.
$$

此時：

$$
Q_{\mathrm{obs}}=\frac23.
$$

---

# 63. 最小閉合與最自然閉合不同

可能存在一條很抽象的條件：

$$
p_2\ell_2
=
2p_1\ell_1
$$

就足以固定：

$$
Q_{\mathrm{obs}}=\frac23.
$$

但它未必是最自然的遊戲規則描述。

所以要區分：

$$
\boxed{
\text{minimal mathematical closure}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{minimal natural-language protocol closure}.
}
$$

---

# 64. 自然語言修正版 A：策略查詢版

若目的是教：

> 永遠換門的成功率。

可明確寫：

> 車以相同機率隨機放在三扇門之一。你先選一扇門。主持人知道車的位置，並且每一回合都會在你未選的門中打開一扇羊門，之後一定讓你選擇保留原門或切換到唯一剩餘未開門。若你採取「每次都換門」策略，長期獲得汽車的機率是多少？

此版本不需要指定兩羊時主持人開哪一扇。

答案：

$$
\frac23.
$$

---

# 65. 自然語言修正版 B：特定觀察後驗版

若目的是問：

$$
P(C=d_2\mid H=d_3),
$$

則應進一步寫：

> 若你一開始選中車門，主持人在另外兩扇羊門中以相同機率選一扇打開。

如此：

$$
\alpha=\frac12,
$$

後驗：

$$
\frac23.
$$

---

# 66. 自然語言修正版 C：一般 host protocol 版

若目的是教真正的條件概率與建模，可以直接給：

$$
\ell_1,
\ell_2.
$$

問：

$$
P(C=d_2\mid E)
=
?
$$

答案：

$$
\frac{
p_2\ell_2
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
}.
$$

這其實比傳統 puzzle 更有教育價值。

---

# 67. 三門問題其實是 likelihood-ratio 問題

在細粒度 observation query 下，核心不是：

> 還剩兩扇門。

而是：

$$
\boxed{
\text{觀察到主持人這個行為，在不同車位置下有多可能？}
}
$$

這就是：

$$
\ell_2/\ell_1.
$$

---

# 68. 「主持人提供資訊」的精確化

主持人開三號門這個觀察有多大 evidential force，取決於：

$$
\Lambda_E
=
\frac{
P(E\mid C=d_2)
}{
P(E\mid C=d_1)
}.
$$

若：

$$
\Lambda_E=1,
$$

事件對 $d_1,d_2$ 不提供相對資訊。

若：

$$
\Lambda_E>1,
$$

偏向 $d_2$。

若：

$$
\Lambda_E<1,
$$

偏向 $d_1$。

---

# 69. Standard symmetric 的 likelihood ratio

$$
\Lambda_E
=
\frac{1}{1/2}
=
2.
$$

等先驗 odds 為：

$$
1.
$$

後驗 odds：

$$
2.
$$

因此：

$$
P(C=d_2\mid E)
=
\frac{2}{1+2}
=
\frac23.
$$

---

# 70. Random unchosen 的 likelihood ratio

$$
\Lambda_E
=
\frac{1/2}{1/2}
=
1.
$$

所以觀察本身不改變 $d_1$ 與 $d_2$ 的 relative odds。

等先驗下：

$$
\frac12.
$$

---

# 71. 這就是「同一事件，不同 protocol，不同資訊量」

觀察：

$$
H=d_3
$$

不是自帶固定資訊量。

它的資訊量相對於 model：

$$
M
$$

定義。

所以：

$$
\boxed{
\text{event meaning is model-relative}.
}
$$

---

# 72. Participant knowledge 何時重要？

若 query 是：

$$
Q_{\mathrm{objective}}
=
P_M(C=d_2\mid E),
$$

外部分析者知道 protocol 即可。

若 query 是：

$$
Q_{\mathrm{decision}}
=
\arg\max_{\pi}
\mathbb E[
U
\mid
I_P
],
$$

則 participant information：

$$
I_P
$$

會進入模型。

所以舊「視角混淆」問題不是假的，只是必須 query-indexed。

---

# 73. 外部答案與內部決策答案

外部分析者可能知道：

$$
\pi_H,
$$

但參賽者不知道。

此時：

$$
P_{\mathrm{analyst}}(C=d_2\mid E)
$$

與：

$$
P_{\mathrm{player}}(C=d_2\mid E)
$$

可能不同。

所以應寫：

$$
Q^{V}_{\mathrm{obs}},
$$

其中：

$$
V
$$

表示 information perspective。

---

# 74. 這次不再用「視角混淆」當萬用批評

如果題目是在對外部解題者問：

> 根據已給定完整規則算概率，

那就用 analyst frame。

如果題目真的要求：

> 你作為不知道 protocol 的參賽者該怎麼辦，

才需要 player belief model。

這樣可以避免舊稿把所有 narrator / participant 差異都升格成致命缺陷。

---

# 75. Decision Query

一般決策 query：

$$
Q_{\mathrm{dec}}(M,I_P)
=
\arg\max_{a\in\{\text{stay},\text{switch}\}}
\mathbb E[
U
\mid
M,I_P,a
].
$$

若：

$$
I_P
$$

不包含 host protocol，

則需要 participant belief：

$$
\mu_P(\pi_H).
$$

---

# 76. 這是另一層問題

此時：

$$
P(C=d_2\mid E)
$$

本身還要對：

$$
\pi_H
$$

邊際化：

$$
P(C=d_2\mid E,I_P)
=
\int
P(C=d_2\mid E,\pi_H)
\,d\mu_P(\pi_H).
$$

這不是標準 puzzle 必須處理的層次。

但它是現實遊戲決策的合理 extension。

---

# 77. Standard puzzle 不需要無限擴張

SRBC 的目的是精確，而不是把簡單題目搞到不可回答。

所以：

$$
\boxed{
\text{只解析 query-sensitive slots}.
}
$$

對：

$$
Q_{\mathrm{ex}}
$$

不需要完整 participant psychology。

對：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
$$

需要 host likelihood。

對：

$$
Q_{\mathrm{dec}}
$$

才可能需要 participant belief。

---

# 78. Query-specific semantic core

因此：

$$
\Gamma_{Q_{\mathrm{ex}}}^{*}
$$

與：

$$
\Gamma_{Q_{\mathrm{obs}}}^{*}
$$

不同。

這是 SRBC-05 minimal query-stable core 的實例。

---

# 79. 第一代 GAP profile：text-only / broad-policy frame

若固定等先驗但允許 broad host policy：

$$
N_Q
$$

可以無限；

$$
\Delta_Q=1.
$$

若沒有 prior over policies：

$$
H_Q
$$

不定義。

最小自然語言 closure cost：

$$
\kappa_Q
$$

取決於我們選的 repair grammar。

---

# 80. Standard goat family profile

對：

$$
Q_{\mathrm{obs}},
$$

若 tie-breaking 未定：

$$
\Delta_Q=\frac12.
$$

而：

$$
Q_{\mathrm{ex}}
$$

則：

$$
\Delta_{Q_{\mathrm{ex}}}=0.
$$

這再次展示 query-indexing。

---

# 81. Symmetric standard profile

對兩個 query：

$$
\Delta_{Q_{\mathrm{ex}}}=0,
$$

$$
\Delta_{Q_{\mathrm{obs}}}=0.
$$

但仍不能推出：

$$
|\mathfrak I|=1.
$$

因為仍可能有其他 query-neutral model differences。

---

# 82. Countermodel lower bound

即使不接受 broad policy family，

只接受：

$$
M_{\mathrm{sym}}
$$

和：

$$
M_{\mathrm{rand}},
$$

也至少有：

$$
\Delta_Q
\ge
\frac16.
$$

所以 underdetermination 的反例不依賴完整枚舉。

---

# 83. Minimal Harmful Lift Set

對：

$$
F_{\mathrm{text}}
$$

若直接加入：

$$
\lambda_{\mathrm{goat}}
+
\lambda_{\mathrm{prior}}
+
\lambda_{\mathrm{tie}},
$$

即可把：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
$$

壓到：

$$
\frac23.
$$

但最小 harmful / closure set 需要依 chosen grammar 求解。

本文不把三條件組合宣稱為唯一最小解。

---

# 84. Lift sensitivity

對 equal-prior standard-goat family：

$$
Q(\alpha)
=
\frac{1}{1+\alpha}.
$$

因此：

$$
\frac{dQ}{d\alpha}
=
-\frac{1}{(1+\alpha)^2}.
$$

在：

$$
\alpha=\frac12
$$

時：

$$
\left|
\frac{dQ}{d\alpha}
\right|
=
\frac{4}{9}.
$$

所以 specific-door posterior 對 tie-breaking 並非零敏感。

---

# 85. 但 ex ante query 對 tie-breaking 零敏感

對：

$$
Q_{\mathrm{ex}},
$$

只要 standard goat-opening rule 保持：

$$
\frac{dQ_{\mathrm{ex}}}{d\alpha}
=
0.
$$

這是兩個 query 的 sensitivity 差異。

---

# 86. Semantic coupling table

可簡化為：

| Semantic slot | $Q_{\mathrm{ex}}$ | $Q_{\mathrm{obs}}$ |
|---|---:|---:|
| Equal prior | 高 | 高 |
| Always-open-goat | 高 | 高 |
| Always-offer-switch | 高 | 高 |
| Tie-breaking $\alpha$ | 低／零 | 高 |
| Participant trust | 通常零 | 通常零 |
| Host stationarity | 若談長期策略則高 | 單次後驗可低 |

這個表格不是 universality claim，而是本文設定下的 query dependence。

---

# 87. 原始問題中的「advantage」是哪一個 query？

自然語言：

> Is it to your advantage to switch?

至少可以被 formalize 成：

## 87.1 事前策略優勢

$$
Q_A
=
P(\text{win}\mid\text{always switch})
-
P(\text{win}\mid\text{always stay}).
$$

---

## 87.2 當前觀察後優勢

$$
Q_B
=
P(C=d_2\mid E)
-
P(C=d_1\mid E).
$$

---

## 87.3 主觀決策優勢

$$
Q_C
=
EU_P(\text{switch}\mid I_P,E)
-
EU_P(\text{stay}\mid I_P,E).
$$

這三者在標準對稱 frame 可同方向。

但概念上不同。

---

# 88. 標準 frame 下它們為何常合流？

因為：

- 等先驗；
- host protocol 固定；
- participant 被視為知道規則；
- utility 只看是否贏車；

此時：

$$
Q_A>0,
$$

$$
Q_B>0,
$$

$$
Q_C>0.
$$

自然語言因此容易把三個 query 壓成一句。

---

# 89. 一旦 frame 放寬，三者分離

例如 random host：

$$
Q_B=0
$$

可能成立。

若 participant 不知道 host protocol，則：

$$
Q_C
$$

還要看 belief。

因此「advantage」本身就是一個 query formalization slot。

---

# 90. 這不是語言缺陷的無限擴張

SRBC 不要求把每個普通詞都拆成無限 ontology。

只要某詞的不同合法 formalization：

$$
Q_i
$$

會導致不同結論，

才需要提升為 query-relevant slot。

---

# 91. Formal Semantic Surgery：切口一

第一刀不是改概率公式。

而是：

$$
\boxed{
\text{把原始文字承諾與標準 protocol 承諾分開。}
}
$$

---

# 92. 切口二

把：

$$
\boxed{
\text{host knowledge}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{host action policy}
}
$$

分開。

---

# 93. 切口三

把：

$$
\boxed{
\text{observed episode}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{cross-episode protocol}
}
$$

分開。

---

# 94. 切口四

把：

$$
\boxed{
\text{ex ante strategy value}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{event-conditioned posterior}
}
$$

分開。

---

# 95. 切口五

把：

$$
\boxed{
\text{model result}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{textual entailment}
}
$$

分開。

---

# 96. 切口六

把：

$$
\boxed{
\text{pragmatically natural}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{logically forced}
}
$$

分開。

---

# 97. 切口七

把：

$$
\boxed{
\text{simulation correctness}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{formalization uniqueness}
}
$$

分開。

---

# 98. 切口八

把：

$$
\boxed{
\text{query-preserving compression}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{query-destructive flattening}
}
$$

分開。

---

# 99. 第一代 Semantic Surgery Certificate

```yaml
srbc_monty_hall_surgery:
  source:
    version: parade_style
    initial_pick: door_1
    observed_open: door_3
    observed_content: goat
    offered_switch: door_2
    host_knows_contents: true

  text_commitments:
    - one_car_two_goats
    - initial_pick_d1
    - host_knows
    - observed_h3
    - observed_goat_d3
    - offered_d2

  open_slots:
    - prize_prior
    - host_opening_policy
    - switch_offer_policy
    - tie_breaking
    - protocol_stationarity
    - player_information

  queries:
    ex_ante_switch_rate:
      standard_protocol: 2/3
      qrc: true

    observed_specific_posterior:
      general_formula: p2*l2/(p1*l1+p2*l2)
      standard_symmetric: 2/3
      random_unchosen: 1/2
      text_only_qrc: false

  countermodel_pair:
    model_a: standard_symmetric
    model_b: random_unchosen

  lower_bound:
    observed_query_gap: 1/6

  repairs:
    - declare_equal_priors
    - declare_host_goat_opening_rule
    - declare_switch_offer_rule
    - declare_tie_break_if_specific-door posterior is queried
```

---

# 100. 這張證書比「有歧義」強在哪？

它可以被逐項攻擊。

別人可以說：

> $M_B$ 不 admissible。

那麼就必須指出：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}}
\models
\neg M_B
$$

的哪一條。

也可以說：

> tie-breaking 對我問的 query 不重要。

那麼直接換成：

$$
Q_{\mathrm{ex}}.
$$

如果：

$$
\Delta_Q=0,
$$

就承認該 query 已完備。

所以爭議從：

> 我覺得你理解錯。

變成：

$$
\boxed{
\text{請指出 model、query、bridge 或 admissibility 哪一個環節失敗。}
}
$$

---

# 101. 這是可證偽的

本文最重要的主張之一可以被直接反駁。

若有人證明：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}}
\models
\pi_H=\pi_{\mathrm{std}},
$$

則 random-host countermodel 不 admissible。

若再證：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}}
\models
p_i=\frac13,
$$

並固定所有 $Q_{\mathrm{obs}}$ 所需 likelihood，

則：

$$
\operatorname{QRC}
$$

成立。

本文就應修正。

---

# 102. 另一種反駁方式

如果自然語言語用理論能證明：

$$
\text{“host, who knows...”}
$$

在該特定 genre / context 中 conventionally encodes：

$$
\pi_H=\pi_{\mathrm{goat}}
$$

而不是 mere implicature，

則 completion space 應縮小。

這也是合法反駁。

---

# 103. 因此本文不是純粹字面主義

SRBC 不主張只有 dictionary semantics 才合法。

Context、genre、common ground、institutional rule 都可以進：

$$
\Gamma.
$$

要求只是：

$$
\boxed{
\text{把它們標出來。}
}
$$

---

# 104. 「標準版」與「原版」應分開命名

本文建議教育與研究中明確區分：

$$
\text{Monty Hall Original Prompt}
$$

與：

$$
\text{Monty Hall Standard Protocol}.
$$

前者是自然語言歷史文本。

後者是完成後的數學模型族。

---

# 105. 標準 protocol 並不是假的

它是：

$$
\boxed{
\text{一個非常合理、非常有用、而且數學結果清楚的 completion。}
}
$$

問題只在於：

$$
\boxed{
\text{completion}
\neq
\text{source string itself}.
}
$$

---

# 106. 教學上的最佳做法

如果目標只是教 $2/3$，最簡單就是把 protocol 寫清楚。

不需要把學生丟進語義爭議。

如果目標是教 conditional probability / model specification，反而可以保留原版，要求學生：

1. 找缺的 assumptions；
2. 建 model family；
3. 算不同 protocol；
4. 比較 likelihood ratio。

---

# 107. AI benchmark

對 AI，可以設四個層次。

## Level 1

能算標準版：

$$
\frac23.
$$

## Level 2

能指出答案依賴 host protocol。

## Level 3

能構造：

$$
M_A,M_B
$$

並算：

$$
\frac23,\frac12.
$$

## Level 4

能建立一般式：

$$
\frac{
p_2\ell_2
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
}
$$

並找 minimal closure、query distinction 與 GAP profile。

---

# 108. 真正困難的是 Level 4

Level 1 是概率教材。

Level 4 才開始接：

$$
\boxed{
\text{formal semantic surgery}.
}
$$

---

# 109. 這個 benchmark 可以測 AI 是否偷偷補 assumptions

給同一原 prompt，

觀察模型是否直接輸出：

$$
\frac23
$$

而不說：

> 在標準 host protocol 下。

如果是，就可能有：

$$
\operatorname{HiddenCompletion}.
$$

---

# 110. 但不能要求 AI 每次都長篇警告

如果使用者明確說：

> 標準 Monty Hall 問題。

則 context 已經可能指定：

$$
F_{\mathrm{std}}
$$

甚至：

$$
F_{\mathrm{sym}}.
$$

這時直接答：

$$
\frac23
$$

完全合理。

SRBC 不主張機械式過度澄清。

---

# 111. Query-directed answer policy

若：

$$
\operatorname{QRC},
$$

直接回答。

若：

$$
\operatorname{QRU},
$$

則：

- 條件化回答；
- 列主要 branch；
- 或詢問最有資訊量的 clarification。

這才是 SRBC 的 AI 行為目標。

---

# 112. 舊版三門問題研究中可保留的核心

仍然值得保留：

1. 問題敘述與形式模型之間存在接口；
2. host knowledge 與 participant information 要區分；
3. 模擬內含 protocol；
4. 一次事件與跨次規則不同；
5. $2/3$ 必須綁定到模型；
6. AI 不應把條件性答案說成宇宙無條件真理。

---

# 113. 舊版需要降級的主張

以下不再作強主張：

1. 所有標準概率處理都是本體論範疇錯誤；
2. 模擬本身是類型錯誤；
3. 明示規則仍必須加入 trust parameter 才能數學化；
4. 只要自然語言有多解，就代表答案必定不唯一；
5. $2/3$ 與 $1/2$ 是同一 query 的唯一兩個可能值。

這些都應由 SRBC 新框架取代。

---

# 114. 新版最小核心

本文最核心的六行可以壓成：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}}
\not\Rightarrow
\pi_H=\pi_{\mathrm{std}}
$$

若沒有 bridge。

$$
Q_{\mathrm{ex}}(F_{\mathrm{std}})
=
\frac23.
$$

$$
Q_{\mathrm{obs}}(M)
=
\frac{
p_2\ell_2
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
}.
$$

$$
Q_{\mathrm{obs}}(M_{\mathrm{sym}})
=
\frac23.
$$

$$
Q_{\mathrm{obs}}(M_{\mathrm{rand}})
=
\frac12.
$$

因此在允許兩模型的 frame 中：

$$
\operatorname{QRU}.
$$

---

# 115. Query completeness matrix

| Frame | $Q_{\mathrm{ex}}$ | $Q_{\mathrm{obs}}$ |
|---|---|---|
| Text-only | 未必定義／未閉合 | 未閉合 |
| Equal-prior broad policy | 未閉合 | $[0,1]$ |
| Standard goat-opening + equal prior | $2/3$ | $[1/2,1]$ 若 tie-break 未定 |
| Standard symmetric | $2/3$ | $2/3$ |

這張表是本文最重要的視覺摘要之一。

---

# 116. 為什麼 text-only 下 $Q_{\mathrm{ex}}$ 甚至可能未定義？

因為「永遠換門」是跨回合策略。

如果原表述只描述：

$$
\text{this episode},
$$

而沒有：

$$
\text{repeated protocol},
$$

則：

$$
Q_{\mathrm{ex}}
$$

需要額外 stationarity / protocol semantics。

這是：

$$
\operatorname{QDU}
$$

而不只是另一個數字。

---

# 117. 這再次證明 undefined 不能當第三個答案

在 SRBC-03 中：

$$
\operatorname{QDU}
$$

與：

$$
\operatorname{QRU}
$$

不同。

Monty Hall 給了第一個實例。

---

# 118. Protocol stationarity 的角色

如果只問單次後驗：

$$
Q_{\mathrm{obs}},
$$

不一定需要整個長期 stationary protocol。

只需知道：

$$
P(E\mid C=d_i)
$$

的 relevant likelihood。

所以：

$$
\boxed{
\text{單次 query 所需語義可以少於完整 repeated-game model}.
}
$$

---

# 119. 這也是 semantic compression

我們不必完整描述主持人整個人格。

只需：

$$
\ell_1,\ell_2.
$$

對：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
$$

而言，它們就是 query-sufficient reduction。

---

# 120. Query-sufficient statistic

把完整 host model：

$$
M_H
$$

壓成：

$$
T_Q(M_H)
=
(\ell_1,\ell_2).
$$

則：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
$$

只依：

$$
T_Q.
$$

所以：

$$
T_Q
$$

是該 query 的 sufficient representation。

---

# 121. 這修復了「必須描述所有 protocol」的過度要求

SRBC 不是要把整個世界寫完。

而是找：

$$
\Gamma_{Q,\min}^{*}.
$$

Monty Hall 中，對某些 query，只需要 likelihood ratio。

---

# 122. Minimal Distinguishing Query

若要區分：

$$
M_{\mathrm{sym}}
$$

與：

$$
M_{\mathrm{rand}},
$$

問：

$$
Q_{\mathrm{obs}}
$$

即可。

但問：

$$
Q_{\mathrm{ex}}
$$

可能不是好區分器，因為 $M_{\mathrm{rand}}$ 的 repeated-game semantics 需要額外定義。

---

# 123. Minimal experiment

若真的可觀察主持人多次行動，可記錄：

$$
P(H=d_3\mid C=d_1)
$$

與：

$$
P(H=d_3\mid C=d_2).
$$

這直接估：

$$
\ell_1,\ell_2.
$$

所以 Monty Hall 也可以從腦筋急轉彎轉成 protocol identification experiment。

---

# 124. 但真實 TV show 不是本文必要前提

本文不需要知道真實 Monty Hall 節目歷史上主持人到底怎麼做。

我們研究的是：

$$
\boxed{
\text{文字—模型—查詢關係}.
}
$$

這是形式問題。

---

# 125. 作者意圖與數學版本

即使歷史作者 intended：

$$
F_{\mathrm{std}},
$$

也只會得到：

$$
\operatorname{IntendedFrame}
=
F_{\mathrm{std}}.
$$

它可以回答：

> 作者想問什麼？

但「原字串是否邏輯排除其他 completion」仍是另一題。

---

# 126. 文獻其實已支持 protocol-sensitive 分析

Morgan et al.、Mueser and Granberg、Gill 與 Schuller 等工作都顯示：

$$
\boxed{
\text{Monty Hall 的建模假設本身就是研究對象}.
}
$$

所以 SRBC 的方向並不是逆著概率學。

反而是把這條舊文獻線推進到：

$$
\text{formal semantic provenance}.
$$

---

# 127. SRBC 的真正新增物

本文相對於既有 host-protocol 分析的新增整合包括：

1. text commitment / completion commitment 分層；
2. admissible completion family；
3. query-relative completeness；
4. QDU / QRU / QRC 三分；
5. illegal-lift audit；
6. countermodel certificate；
7. GAP lower bound / diameter；
8. minimal closure；
9. query-stable semantic core；
10. SREG runtime 接口。

本文不宣稱上述每一概念在所有相關文獻中均無先例；主張的是此系列中的統一框架與組合。

---

# 128. 第一代 Monty Hall GAP profile

對：

$$
Q_{\mathrm{obs}},
$$

可暫記：

## Text-compatible broad policy with equal prior

$$
N_Q:
\text{continuum},
$$

$$
\Delta_Q=1.
$$

## Standard goat family

$$
N_Q:
\text{continuum if }\alpha\text{ continuous},
$$

$$
\Delta_Q=\frac12.
$$

## Standard symmetric

$$
N_Q=1,
$$

$$
\Delta_Q=0.
$$

---

# 129. Query-specific injection debt

若一個教科書只寫原始自然語言，但解答直接使用：

$$
p_i=\frac13,
$$

$$
\ell_1=\frac12,
$$

$$
\ell_2=1,
$$

則應把這些來源標記。

如果題目上下文已明示「標準 Monty Hall」，則 debt 可大幅下降。

如果完全沒有，則至少存在 provenance debt。

---

# 130. 因此不同教材可以有不同審計結果

不是所有「三門問題」版本都一樣。

某教材可能完整寫出 protocol。

另一個只寫 Parade 原句。

不能把它們當同一 source。

---

# 131. Source Versioning

正式研究應保存：

$$
\operatorname{SourceID}.
$$

例如：

```yaml
source_id: MH-PARADE-STYLE-v1
```

或：

```yaml
source_id: MH-STANDARD-EXPLICIT-v1
```

否則不同版本的爭論會混在一起。

---

# 132. Query Versioning

同理：

```yaml
query_id: Q-EX-ALWAYS-SWITCH
```

與：

```yaml
query_id: Q-OBS-DOOR3-POSTERIOR
```

必須分開。

---

# 133. Protocol Versioning

例如：

```yaml
protocol_id: HOST-GOAT-SYMMETRIC-v1
```

與：

```yaml
protocol_id: HOST-RANDOM-UNCHOSEN-v1
```

如此：

$$
\frac23
$$

不再是一個漂浮數字。

---

# 134. 正確的回答格式

對原始型 prompt，最穩健的短回答可以是：

> 在標準 Monty Hall 規則下，換門的成功率是 $2/3$。若原題只描述主持人這一次知道並打開一扇羊門，但沒有指定他一般如何選門，則精確條件概率取決於主持人的 protocol。

這句已足以避免大部分語義倒灌。

---

# 135. 不需要每次都輸出整篇 SRBC

SRBC 的價值是讓 AI 在內部知道：

$$
\boxed{
\text{為什麼要加「在標準規則下」這六個字。}
}
$$

不是強迫所有使用者讀模型論。

---

# 136. Formal Semantic Surgery Pipeline

Monty Hall 完整流程：

## Step 1

固定 source。

## Step 2

抽：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}}.
$$

## Step 3

找：

$$
\Theta_Q^{+}.
$$

## Step 4

建：

$$
\mathfrak I.
$$

## Step 5

canonicalize：

$$
Q.
$$

## Step 6

找：

$$
M_i,M_j.
$$

## Step 7

計：

$$
Q(M_i),Q(M_j).
$$

## Step 8

量：

$$
\Delta_Q.
$$

## Step 9

找：

$$
\kappa_Q.
$$

## Step 10

產生 conditional / complete answer。

---

# 137. 本文的三個主要證書

## 137.1 Standard-result certificate

證：

$$
F_{\mathrm{std}}
\Rightarrow
Q_{\mathrm{ex}}=\frac23.
$$

---

## 137.2 Countermodel certificate

證：

$$
M_A,M_B\in\mathfrak I
$$

且：

$$
Q_{\mathrm{obs}}(M_A)
\neq
Q_{\mathrm{obs}}(M_B).
$$

---

## 137.3 Closure certificate

在：

$$
F_{\mathrm{sym}}
$$

下證：

$$
Q_{\mathrm{obs}}=\frac23.
$$

---

# 138. 可證偽性

本文應在以下情況被削弱或修正：

1. 若 random-unchosen completion 在指定 text-only frame 中不能被語義學上視為 admissible；
2. 若原始 source version 實際包含本文漏掉的 standard host rules；
3. 若本文把 pragmatic convention 錯誤降級成 mere analyst assumption；
4. 若一般式對 observed event 的定義漏掉 query-relevant selection mechanism；
5. 若 $Q_{\mathrm{ex}}$ 與 $Q_{\mathrm{obs}}$ 的區分在所採 source 中沒有實際語義效應；
6. 若 standard goat family 的 tie-breaking 分析錯誤；
7. 若 broad-policy completion space 的 admissibility 被更強語境合理縮小；
8. 若後續形式驗證找出本文 countermodel 或 Bayes 推導錯誤。

---

# 139. 研究限制

本文尚未完成：

- 對原始英語 prompt 的完整形式語用學 parse；
- Gricean implicature 與 conventional meaning 的形式分離；
- historical reader population 的語境重建；
- Parade 編輯語境的完整 common ground；
- 作者 intended model 的歷史證據審計；
- host policy 的完整 extensive-form game 表示；
- real TV-show policy 的實證研究；
- participant belief distribution；
- 所有 Monty Hall variants 的模型庫；
- proof assistant 級 formalization。

所以本文不是三門問題的「終極定論」。

它是 SRBC 的第一個完整 semantic-surgery benchmark。

---

# 140. 最終結論

Monty Hall 問題真正值得留下的，不只是：

$$
\frac23.
$$

而是它讓我們非常清楚地看見：

$$
\boxed{
\text{文字}
\neq
\text{模型}
\neq
\text{查詢}
\neq
\text{答案}.
}
$$

標準數學模型可以完全正確。

原始自然語言仍可能沒有唯一指定該模型。

這兩件事沒有衝突。

對標準 protocol：

$$
\boxed{
P(\text{always-switch wins})=\frac23.
}
$$

對特定觀察後驗：

$$
\boxed{
P(C=d_2\mid E)
=
\frac{
p_2\ell_2
}{
p_1\ell_1+p_2\ell_2
}.
}
$$

標準對稱 model：

$$
\boxed{
\frac23.
}
$$

random-unchosen completion：

$$
\boxed{
\frac12.
}
$$

所以真正的 semantic-surgery 問題不是：

> $2/3$ 還是 $1/2$ 誰是真理？

而是：

$$
\boxed{
\text{你現在到底在問哪一個 query，並且你的 host protocol 是什麼？}
}
$$

一旦這兩件事固定，概率計算並不神秘。

真正容易出錯的是在它們還沒固定之前，就把某一個熟悉模型的答案寫成：

$$
\boxed{
\text{原自然語言本身的無條件唯一答案}.
}
$$

SRBC-06 因此得到一個比舊版更弱、也更強的結論。

它更弱，因為本文不再宣稱標準解法本身有錯，也不再把所有模擬、靜態概率與形式化壓縮視為類型錯誤。

它更強，因為現在可以精確指出：

$$
\Gamma_{\mathrm{text}},
$$

$$
\Theta_Q^{+},
$$

$$
\mathfrak I,
$$

$$
Q,
$$

$$
\ell_1,\ell_2,
$$

$$
\Delta_Q,
$$

以及：

$$
\kappa_Q.
$$

也就是說，以前的批評是：

> 這句自然語言可能有 GAP。

現在的版本變成：

$$
\boxed{
\text{給定 source、frame 與 query，我可以構造 completion、算出分岔、給 GAP 下界，並指出最小閉合位置。}
}
$$

這才是本文真正完成的論證升級。

---

# 參考與前置文件

## SRBC / SREG 內部前置

1. Neo.K with Aletheia. 《SRBC-01｜符號表徵邊界：符號、符號域與概念承載上下限》. EveMissLab, 2026.
2. Neo.K with Aletheia. 《SRBC-02｜語義完成空間：從單一表述到形式模型族》. EveMissLab, 2026.
3. Neo.K with Aletheia. 《SRBC-03｜查詢相對完備性：自然語言歧義的形式判準》. EveMissLab, 2026.
4. Neo.K with Aletheia. 《SRBC-04｜語義越界與隱含結構注入：量詞、策略、時序與因果的非法升格》. EveMissLab, 2026.
5. Neo.K with Aletheia. 《SRBC-05｜語義缺口的測度：歧義寬度、完備距離與閉合代價》. EveMissLab, 2026.
6. Neo.K. 《三門問題的敘述歧義分析：視角混淆與信息結構缺陷的系統性研究》. EveMissLab, 2026.
7. Neo.K. 《三門問題的概率定義缺陷：補充研究》. EveMissLab, 2026.
8. Neo.K. 《三門問題的本體論層缺陷：補充研究》. EveMissLab, 2026.
9. Neo.K with GPT-5.5 Thinking. 《三門問題作為箭頭幻覺案例：從視角混淆、概率類型錯誤到時序本體壓平的推理路徑審計》. EveMissLab, 2026.

## 外部 Monty Hall 文獻

10. Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. "Let's Make a Deal: The Player's Dilemma." *The American Statistician*, 45(4), 284-287, 1991. DOI: 10.1080/00031305.1991.10475821.
11. Mueser, P. R., & Granberg, D. *The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making*. University of Missouri Working Paper 99-06, 1999.
12. Gill, R. D. "The Monty Hall Problem is not a Probability Puzzle (it's a challenge in mathematical modelling)." arXiv:1002.0651, 2010.
13. Schuller, J. C. "The malicious host: a minimax solution of the Monty Hall problem." *Journal of Applied Statistics*, 39(1), 215-221, 2012. DOI: 10.1080/02664763.2011.580337.
14. Rosenhouse, J. *The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math's Most Contentious Brain Teaser*. Oxford University Press, 2009.

## 語義與概率背景

15. Tarski, A. *Logic, Semantics, Metamathematics*. Oxford University Press, 1956.
16. Grice, H. P. "Logic and Conversation." In *Syntax and Semantics*, Vol. 3, 1975.
17. Kamp, H., & Reyle, U. *From Discourse to Logic*. Kluwer Academic Publishers, 1993.
18. Reyle, U. "Dealing with Ambiguities by Underspecification: Construction, Representation and Deduction." *Journal of Semantics*, 10(2), 123-179, 1993.
19. Pearl, J. *Causality: Models, Reasoning, and Inference*. 2nd ed., Cambridge University Press, 2009.

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# 版本註記

**v0.1 / 2026-09-23**

- 完成 SRBC 第一個完整 Formal Semantic Surgery 案例；
- 明確保留標準 protocol 下永遠換門勝率 $2/3$ ；
- 固定 text-level commitment set $\Gamma_{\mathrm{text}}$ ；
- 建立 Monty Hall semantic slots $\Theta_{\mathrm{MH}}$ ；
- 區分 text-only、standard protocol、standard symmetric 三種 frame；
- 證明 standard protocol 下事前換門成功率為 $1-p_1$ ；
- 在等先驗下得到 $2/3$，且證明該 ex ante query 不依賴 tie-breaking；
- 定義 observed event $E$ 與 effective likelihood $\ell_i$ ；
- 證明一般後驗公式：
  $P(C=d_2\mid E)=p_2\ell_2/(p_1\ell_1+p_2\ell_2)$ ；
- 建立 switch-advantage condition $p_2\ell_2>p_1\ell_1$ ；
- 建立 standard symmetric model 的 $2/3$ ；
- 建立 random-unchosen host countermodel 的 $1/2$ ；
- 建立 broad-policy family，顯示 observed query 在寬 frame 中可形成 $[0,1]$ ；
- 建立 standard goat-opening family：
  $Q_{\mathrm{obs}}=1/(1+\alpha)$ ；
- 證明 standard goat family 在未定 tie-break 下可形成 $[1/2,1]$ ；
- 建立 coarse-query-complete / fine-query-underdetermined 的具體案例；
- 建立 $2/3$ 的一般識別條件 $p_2\ell_2=2p_1\ell_1$ ；
- 建立 posterior odds / likelihood-ratio 表示；
- 建立 countermodel certificate 與 GAP lower bound $1/6$ ；
- 建立 broad-policy GAP diameter $1$ 與 standard-goat-family diameter $1/2$ ；
- 建立 Monty Hall semantic closure curve；
- 審計 equal-prior、knowledge-to-policy、event-to-protocol、single-offer-to-always-offer、stationarity 等 lifts；
- 修正舊稿：模擬本身不是類型錯誤；
- 修正舊稿：靜態概率壓縮只在 query-destructive 時構成問題；
- 修正舊稿：明示數學規則不必額外加入 trust 參數；
- 建立 natural-language protocol repair A/B/C；
- 建立 participant / analyst perspective 的 query-indexed 使用條件；
- 建立 Query Completeness Matrix；
- 建立 Source / Query / Protocol versioning；
- 為 SRBC-07 的 SREG-SRBC Formal Semantic Surgery Runtime 建立完整案例接口。