# HFMU-017｜Dynamic Epistemic Geometry

## 0. Obligation 現在會出生，也會死亡

前一輪只有 obligation birth。

本輪讓 active obligation 暫時過期，並區分：

$$
\boxed{
C_t=\text{required geometry}
}
$$

與：

$$
\boxed{
G_t=\text{maintained geometry}.
}
$$

要求：

$$
G_t\supseteq C_t.
$$

所以當下任務變簡單時，agent 不一定立刻把內部世界一起壓到最粗。

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-07（整理日期；原稿未標註日期）  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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# 1. 最乾淨的 gap experiment

初始 full geometry：

$$
r=5,\qquad32\text{ states}.
$$

 $q_1$ 暫時過期，只剩 $q_4$：

$$
r=2,\qquad4\text{ states}.
$$

經過 $g$ 步後 full requirement 回來。

本輪：

$$
\lambda=0.01,\qquad\kappa=1,
$$

且 forgetting cost = 0。

結果：

| Gap | 最優 maintained rank | Maintained states |
|---:|---:|---:|
| 5 | 5 | 32 |
| 10 | 4 | 16 |
| 20 | 3 | 8 |
| 30 | 2 | 4 |

所以不是簡單的「記得／忘記」，而是：

$$
\boxed{
32\to16\to8\to4.
}
$$

---

# 2. Exact phase boundaries

令：

$$
x=\frac{\lambda g}{\kappa}.
$$

則：

$$
5\to4:\quad x=\frac1{16},
$$

$$
4\to3:\quad x=\frac18,
$$

$$
3\to2:\quad x=\frac14.
$$

這就是：

$$
\boxed{
\text{Epistemic Hysteresis Staircase}.
}
$$

---

# 3. 為什麼 obligation 已死，distinction 還留著？

因為若立刻：

$$
32\to4,
$$

未來 full obligation 回來時，要重新學 3 個 predictive bits。

如果只降：

$$
32\to16,
$$

則只需重學 1 bit。

所以：

$$
\boxed{
\text{pay memory now}
\quad\text{vs}\quad
\text{pay relearning later}.
}
$$

即使忘記本身免費，retention 仍可能最優。

---

# 4. Representation cost 會改變 forgetting geometry

用：

$$
M(G)=2^{r(G)}
$$

時，會出現清楚的多層 phase。

若改成：

$$
M(G)=r(G),
$$

每多保留一 predictive bit 的 holding cost相同，中間層不再有相同的 phase 結構。

因此：

$$
\boxed{
\text{epistemic forgetting is representation-relative}.
}
$$

---

# 5. 60-step lifecycle

本輪另外跑一條 60-step obligation lifecycle，混合：

- full；
- 5-step q4-only；
- full；
- 10-step q4-only；
- full；
- 20-step q4-only；
- full；
- 8-step no-obligation；
- full；
- 6-step q4-only。

offline optimal maintained geometry 總成本：

$$
\boxed{
13.8400
}
$$

若每一步都立刻降到 required geometry，eager forgetting：

$$
\boxed{
19.2400
}
$$

optimal 節省：

$$
\boxed{
5.4000
}
$$

約：

$$
\boxed{
28.07\%
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{obligation expiry}
\not\Rightarrow
\text{immediate optimal forgetting}.
}
$$

---

# 6. History-relative maintained ontology

兩個 agent 當下 active obligations 完全一樣，仍可能因過去與預期未來不同而維持不同 $G_t$。

因此：

$$
\boxed{
\text{obligation-relative ontology}
}
$$

還要再加一層：

$$
\boxed{
\text{history-relative maintained ontology}.
}
$$

現在 effective world 應寫成：

$$
X_{G_t},
$$

而不是只寫：

$$
X_{\mathcal O_t}.
$$

---

# 7. Dynamic Epistemic Geometry

完整控制式：

$$
\boxed{
\min_{G_t\supseteq C_t}
\sum_t
\left[
\lambda M(G_t)
+
\kappa\Delta^+(G_{t-1}\to G_t)
\right].
}
$$

因此 agent 同時平衡：

- 當下 accuracy；
- memory；
- 未來 relearning。

忘記不是單純 loss。

它可以是最優 compression policy。

不忘也不是單純更聰明。

它可能只是昂貴 cache。

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# 8. 下一步

本輪知道 obligation 何時回來。

下一輪應把 return time 變成隨機量：

$$
T_{\mathrm{return}}.
$$

agent 只能估計 hazard / return probability。

那時候才會得到真正的：

$$
\boxed{
\text{Epistemic Cache / Forgetting under Uncertainty}.
}
$$

並可推導 memory price、relearning price、return hazard 與 optimal retained rank 的關係。