# HFMU-016｜Adaptive Obligation Dynamics

## 0. 從靜態 obligation 進入 feedback loop

前面一直研究：

$$
\mathcal O
\longrightarrow
X_{\mathcal O}.
$$

HFMU-016 第一次讓 obligation 自己隨研究事件改變：

$$
\boxed{
\mathcal O_t
\rightarrow
X_{\mathcal O_t}
\rightarrow
\text{query / proof attempt}
\rightarrow
\mathcal O_{t+1}.
}
$$

本輪固定 HFMU-012 的五 bit predictive world，以及六個 candidate obligations：

$$
q_1,\ldots,q_6.
$$

環境把六個 queries 以不同順序提出。

所有：

$$
6!
=
720
$$

個 arrival orders 全部窮舉。

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-07（整理日期；原稿未標註日期）  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

---

# 1. 什麼叫 failure / surprise？

目前 agent 保存 obligation representation：

$$
\mathcal O_t.
$$

若新 query：

$$
q
$$

已經滿足：

$$
q\in\operatorname{cl}(\mathcal O_t),
$$

代表目前 predictive quotient 已足以回答。

所以：

$$
\boxed{
\text{不需要把 }q\text{ 加進表示。}
}
$$

若：

$$
q\notin\operatorname{cl}(\mathcal O_t),
$$

則目前 effective state space 太粗，

發生：

$$
\boxed{
\text{surprise / proof failure}.
}
$$

這時才加入：

$$
q.
$$

所以 obligation growth 已不再由外部人工指定，

而是由：

$$
\boxed{
\text{目前 abstraction 無法完成新任務}
}
$$

內生觸發。

---

# 2. 六個 obligations 不需要六次 surprise

720 個 arrival orders 的 surprise 次數：

| Surprise 次數 | Arrival orders |
|---:|---:|
| 2 | 284 |
| 3 | 308 |
| 4 | 128 |

平均：

$$
\boxed{
2.7833
}
$$

次。

沒有任何順序需要：

$$
5
$$

或：

$$
6
$$

次 surprise。

因為一個 obligation 可以透過 future dynamics 一次增加多個 predictive directions。

---

# 3. 一次 surprise 可以增加多少 predictive bits？

所有 720 條 discovery paths 中，strict closure jumps：

| Rank jump | 次數 |
|---:|---:|
| +1 | 948 |
| +2 | 660 |
| +3 | 252 |
| +4 | 144 |

所以：

$$
\boxed{
\text{surprise}
\neq
\text{one new bit}.
}
$$

有些 theorem / observation obligation 一次會打開整個 future orbit。

這也是為什麼：

$$
6\text{ queries}
$$

最後只需要：

$$
2\sim4
$$

次真正 abstraction refinement。

---

# 4. 什麼時候已經學完整個 predictive world？

第一次到 full rank：

$$
r=5
$$

的 arrival step 分布：

| Step | Orders |
|---:|---:|
| 2 | 192 |
| 3 | 276 |
| 4 | 204 |
| 5 | 48 |

所以有：

$$
192
$$

個順序只看前兩個 queries，

agent 就已經擁有完整：

$$
32
$$

state predictive resolution。

之後四個 query 全都只是在已有 closure 裡被解出。

---

# 5. Representation 和 predictive world 是兩回事

本輪比較三種 policy。

## A. Add-only

只在 surprise 時加入 obligation，永不刪除。

final representation size 分布：

{2: 284, 3: 308, 4: 128}.

它會保留 learning history。

## B. Greedy local pruning

每次更新後，把目前可局部刪除的最新 obligation 拿掉。

結果：

- size 2：636 個 orders；
- size 3：84 個 orders。

也就是：

$$
\boxed{
84/720
}
$$

個 arrival orders 最後卡在三 obligation representation。

它們已是 inclusion-minimal：

> 每一個都不能單獨刪。

但不是 globally minimum。

## C. Global minimum generator

每一步直接找最小 cardinality generator。

結果：

$$
\boxed{
720/720
}
$$

全部以：

$$
2
$$

個 obligations 表示完整 predictive world。

---

# 6. 局部不可刪，不代表全域最小

這一輪很明確地出現：

$$
\boxed{
\text{local irredundancy}
\neq
\text{global minimal basis}.
}
$$

例如某些 discovery path 最後會留下：

$$
\{q_2,q_3,q_4\}.
$$

三個都不能直接單獨刪，

但世界其實存在二元素 basis，例如：

$$
\{q_1,q_4\},
$$

$$
\{q_1,q_6\},
$$

$$
\{q_3,q_6\},
$$

$$
\{q_4,q_6\},
$$

都足以產生相同 full predictive closure。

所以長期研究系統只做「刪掉明顯冗餘 theorem」還不夠。

它偶爾需要：

$$
\boxed{
\text{global re-basing / ontology refactor}
}
$$

才能跳出 representation local minimum。

---

# 7. Path-dependent basis，Path-independent quotient

六個 queries 的 arrival order 不同，

agent 最後可能保存不同 basis。

但是只要 compression policy 保證：

$$
\operatorname{cl}(B_t)
=
\operatorname{cl}(\mathcal O_{\le t}),
$$

effective predictive world 就完全相同。

所以現在得到：

$$
\boxed{
\text{Path-Dependent Representation}
+
\text{Path-Independent Predictive Geometry}.
}
$$

這和 HFMU-015 的 refinement path-independence 剛好接上。

Shannon 那邊要求：

> 同一 final quotient 的資訊成本不能依探索路徑而變。

HFMU-016 則顯示：

> final quotient 本身可以穩定，但用什麼 symbols / theorems 表示它，確實可以高度 path-dependent。

---

# 8. Surprise count 是一種新的動力學量

可以定義：

$$
S(\pi)
$$

為 arrival order：

$$
\pi
$$

上的 strict closure-jump 次數。

本輪：

$$
\boxed{
2\le S(\pi)\le4.
}
$$

而：

$$
E[S]
=
2.7833.
$$

這和：

$$
r(Q)=5
$$

不是同一個量。

rank 描述 final predictive dimension；

surprise count 描述：

$$
\boxed{
\text{到達該 geometry 所需的認知重構次數。}
}
$$

所以兩個研究系統可以最後懂一樣多，

但一路上經歷完全不同數量的 ontology revisions。

---

# 9. 這就是 Adaptive Obligation Dynamics 的第一版

目前 feedback loop 可以寫：

$$
\boxed{
\mathcal O_t
\xrightarrow{\text{closure}}
X_t
\xrightarrow{\text{task}}
e_t
\xrightarrow{\text{failure}}
\mathcal O_t^+
\xrightarrow{\text{compression}}
\mathcal O_{t+1}.
}
$$

其中：

$$
e_t=0
$$

表示目前 abstraction 足夠；

$$
e_t=1
$$

表示需要 refine。

所以數學研究不再只是：

$$
\text{theorem}
\rightarrow
\text{theorem}
\rightarrow
\text{theorem}.
$$

更像：

$$
\boxed{
\text{current ontology}
\rightarrow
\text{counterexample / failure}
\rightarrow
\text{refinement}
\rightarrow
\text{re-basing}
}.
$$

---

# 10. 下一步

HFMU-016 還是只有：

$$
\boxed{
\text{obligation addition}
}
$$

真正下一輪應加入：

1. obligation expiry；
2. theorem proving 使 obligation 變 redundant；
3. empirical distribution drift；
4. resource budget 改變；
5. old distinctions 被主動忘掉。

也就是允許：

$$
\mathcal O_t
$$

不只增加，

還可以：

$$
\boxed{
\text{refine}
\leftrightarrow
\text{coarsen}.
}
$$

那時：

$$
X_{\mathcal O_t}
$$

也會跟著：

$$
\text{split}
\leftrightarrow
\text{merge}.
$$

這才會變成真正的：

$$
\boxed{
\text{Dynamic Epistemic Geometry}.
}
$$