# HFMU-009｜資源壓力下的預測記憶態自建構實驗

## 0. 這次真正拿掉了什麼

HFMU-008 雖然不把 hidden partition 告訴 compressor，但仍明確允許：

> 尋找 behavior-preserving equivalence relation。

HFMU-009 再拿掉這一層。

synthesizer 只看：

$$
\boxed{
\text{action history}
\longmapsto
\text{one-bit observation}
}
$$

訓練資料。

它看不到：

- 32 個 external state IDs；
- transition table；
- equivalence；
- quotient；
- partition refinement；
- canonicalization；
- hidden $4\times8$ factorization。

它唯一能做的是：

> 在一個通用的匿名有限記憶程式族中，建構最小可行 predictor。

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-07（整理日期；原稿未標註日期）  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

---

# 1. 訓練資料

使用所有長度：

$$
\le 6
$$

的 action histories。

總 examples：

$$
1+3+3^2+\cdots+3^{6}
=
1093.
$$

每個 example 只有：

$$
(w,o_w),
$$

其中：

$$
w
$$

是 action sequence，

$$
o_w\in\{0,1\}
$$

是 endpoint observation。

沒有 state identity。

---

# 2. 匿名記憶程式

允許程式自己使用：

$$
m
$$

個匿名內部記憶態。

每個記憶態只有：

1. 一個輸出 bit；
2. 遇到三種 action 後，要跳到哪個內部記憶態。

即：

$$
\delta:
M\times A\to M
$$

與：

$$
\lambda:M\to\{0,1\}.
$$

但沒有任何 primitive 叫：

- merge；
- equivalence；
- quotient。

---

# 3. 最小記憶態數不是我們指定的

| Training depth | Examples | 最小 memory states |
|---:|---:|---:|
| 1 | 4 | 2 |
| 2 | 13 | 2 |
| 3 | 40 | 4 |
| 4 | 121 | 4 |
| 5 | 364 | 4 |
| 6 | 1093 | 4 |

到 depth 1–2，兩個 memory states 還足以擬合有限資料。

但從：

$$
\boxed{
\text{depth }3
}
$$

開始，

$$
m=1,2,3
$$

全部無解。

第一次存在完整可行程式：

$$
\boxed{
m=4
}.
$$

depth 4、5、6 也仍是：

$$
4.
$$

所以「4」不是直接告訴 synthesizer 的。

它是 observation constraints 把程式逼到的最小 internal memory size。

---

# 4. 資源壓力

如果直接記住全部 depth-6 history-output examples，最低也需要：

$$
1093
$$

個 output entries，尚未計入 history 本身的儲存成本。

若直接保存 HFMU-008 的 32-state transition table，需要：

$$
32\times3+32
=
128
$$

個 cells。

本輪 memory cap：

$$
64.
$$

因此兩種直接記憶方式都放不下。

但最小 4-state predictive program 只需要：

$$
4\times3+4
=
\boxed{
16
}
$$

個 cells。

它可以放進 cap。

所以在本輪設定裡：

$$
\boxed{
\text{不抽象就不能完整保存問題}
}
$$

---

# 5. 這 4 個 internal states 是否只是在 fit training set？

訓練 accuracy：

$$
\boxed{
100\%
}.
$$

但只 fit training set 還不夠。

所以 synthesis 完成後，才使用 hidden world 做 audit。

把：

$$
\text{hidden core}
\times
\text{synthesized memory}
$$

做 product graph。

從起點實際可達的 pair 只有：

$$
4.
$$

而每個 reachable pair：

$$
(k,m)
$$

都滿足：

$$
\lambda(m)
=
\operatorname{Obs}(k).
$$

而且這四個 pair 對全部三個 action 封閉。

因此得到有限 certificate：

$$
\boxed{
\forall w\in A^*:
\operatorname{Pred}(w)
=
\operatorname{Obs}(w)
}
$$

也就是對所有有限未來 histories，而不只 depth 6。

---

# 6. Audit 才發現：4 個 memory states 正好對上 4 個 predictive cores

synthesizer 本身看不到 hidden core。

事後 audit 才發現 internal memory 與 hidden predictive core 一一對應。

也就是它沒有保存 32 個 latent states。

它只保留：

$$
\boxed{
4
}
$$

個對未來 observation 真正必要的 predictive states。

這在功能上等同於 HFMU-008 的 behavioral quotient，

但這一次 synthesis input 裡甚至沒有 external-state partition 可以直接 refine。

---

# 7. 能不能說「它自己發明了 quotient」？

還不能講那麼強。

因為我們仍然給了它：

$$
\boxed{
\text{anonymous finite-memory-machine program family}
}
$$

也就是它知道自己可以創造內部記憶態。

所以本輪真正支持的是：

$$
\boxed{
\text{在有限記憶與零錯誤預測約束下，最小程式會形成 predictive-state abstraction}
}
$$

它沒有輸出：

> 我發明了 equivalence relation。

但它在操作上做到：

> 大量不同 action histories 共用同一個 internal predictive state。

因此比較準確的名字是：

$$
\boxed{
\text{functional quotient emergence}
}
$$

而不是 conceptual quotient invention。

---

# 8. Distinction Economy 得到更強支持

HFMU-008：

$$
32\to4
$$

由顯式 behavior-preserving partition search 得到。

HFMU-009：

$$
1093\text{ histories}
\to
4\text{ internal predictive states}
$$

由最小程式約束得到。

方法不同：

$$
\text{partition refinement}
$$

與：

$$
\text{program synthesis}.
$$

結果卻收斂到相同 predictive dimension：

$$
\boxed{
4
}.
$$

因此目前更合理的共同概念是：

$$
\boxed{
\text{Distinction Economy}
=
\text{retain only distinctions required for future-correct behavior}
}
$$

---

# 9. 對數學底空間問題的影響

現在不能只問：

> 哪些 object 是數學最底層？

還要問：

> 對任何有限智能，要長期維持正確形式推理，它最少必須維持什麼 predictive state？

這可能形成另一種底層：

$$
\boxed{
\text{Epistemic / Computational Substrate}
}
$$

不是「世界由什麼 object 組成」，

而是：

> 一個有限研究者要能持續研究這個世界，最少必須保持什麼狀態區分？

這和 SREG 中反覆出現的：

- equivalence；
- quotient；
- canonical form；
- fixed core；
- reconstruction；

開始真正串起來。

---

# 10. 下一步

HFMU-010 應再把：

$$
\text{finite-memory-machine architecture}
$$

拿掉。

給 agent 一個更一般的 operator-construction language，只允許：

- 建新 symbol；
- 寫條件；
- 建 transition；
- 建摘要函數；
- 組合既有 operator；

但不先告訴它要有「memory states」。

同樣給：

$$
64
$$

cells 的資源限制與零錯誤 prediction requirement。

如果它又主動創造：

- 少量摘要符號；
- history-to-summary map；
- summary transition rule；

那才更接近：

$$
\boxed{
\text{抽象化不是 architecture 預載，而是資源壓力下被重新發明}
}
$$