# HFMU-006｜有限性與 Composition-First 拆解實驗

## 問題

HFMU-005 得到：

$$
\text{finite}
+
\text{composition}
+
\text{noninvertibility}
$$

很容易產生 idempotent。

但這仍混在一起三件事：

1. 有限性；
2. composition-first；
3. 不可逆壓縮。

HFMU-006 將它們拆開。

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-07（整理日期；原稿未標註日期）  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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# U-IA｜無限仿射組合宇宙

狀態空間：

$$
\mathbb Z.
$$

operator：

$$
f(x)=ax+b,
\qquad
a\ge1,
\quad
b\ge0.
$$

primitive：

$$
x,
\quad
x+1,
\quad
2x,
\quad
3x.
$$

closure 為無限 semigroup。

第一個 60-state pulse：

- idempotent：1；
- 非平凡 idempotent：0。

擴展 BFS sample：

$$
500
$$

個不同 affine maps 中：

- idempotent：1；
- 非平凡 idempotent：0。

這裡只有 identity。

因為：

$$
f\circ f=f
$$

對：

$$
f(x)=ax+b
$$

要求：

$$
a^2=a,
\qquad
ab=0.
$$

在：

$$
a\ge1
$$

條件下只剩：

$$
a=1,
\quad
b=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{無限 + 非滿射 + composition}
\not\Rightarrow
\text{非平凡冪等}.
}
$$

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# U-BC｜無限分裂收縮宇宙

使用 bicyclic monoid：

$$
\langle P,Q\mid QP=1\rangle.
$$

normal form：

$$
P^iQ^j.
$$

這個 universe 也是無限。

第一個 60-state pulse：

- idempotent：6；
- 非平凡 idempotent：5。

而精確地：

$$
(P^iQ^j)^2=P^iQ^j
$$

當且僅當：

$$
i=j.
$$

所以：

$$
P^nQ^n
$$

對所有：

$$
n\ge0
$$

都是 idempotent。

也就是：

$$
\boxed{
\text{有限性不是冪等出現的必要條件。}
}
$$

真正關鍵在：

$$
QP=1.
$$

這是一個 split-retraction 型結構。

由：

$$
QP=1
$$

自然得到：

$$
PQ
$$

為 nontrivial idempotent：

$$
(PQ)^2
=
P(QP)Q
=
PQ.
$$

這與 HFMU-003 的 split retraction 結果同型，但現在發生在無限 semigroup。

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# U-RW｜無限詞重寫宇宙

這次完全拿掉 composition-first。

狀態不是函數，而是任意長度 word：

$$
w\in\{A,B,C\}^*.
$$

local rewrite：

- $AB,BA\to C$ ；
- $BC,CB\to A$ ；
- $CA,AC\to B$。

每一步都使 word length：

$$
|w|
$$

下降 $1$。

因此不是靠：

$$
f\circ f
$$

穩定，

而是靠：

$$
\boxed{
|w_{t+1}|<|w_t|.
}
$$

第一個 60-state corpus：

- unique normal form：45；
- multiple terminal normal forms：15；
- 至少發生一次壓縮：50；
- 可壓到單一 atom：42。

擴展到所有：

$$
|w|\le7
$$

的：

$$
3279
$$

個 word：

- unique normal form：957；
- multiple normal forms：2322；
- irreducible：21；
- compressing：3258；
- 至少一條路徑壓到單一 atom：2451。

所以：

$$
\boxed{
\text{composition-first 也不是 stabilization 的必要條件。}
}
$$

well-founded descent 本身就能產生 terminal region。

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# 三個機制現在分開了

HFMU-005 與 HFMU-006 合起來，至少看到三種不同穩定來源。

## 1. Finite-semigroup recurrence

有限 semigroup 中，powers 最終週期化，因此自然產生 idempotent。

## 2. Split retraction / projection

$$
r\circ i=1
$$

導致：

$$
(ir)^2=ir.
$$

不需要有限性。

## 3. Well-founded descent

存在 complexity：

$$
C(x)
$$

使：

$$
C(x_{t+1})<C(x_t),
$$

即可形成 terminal normal-form region。

不需要 composition-first。

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# 候選底層再往下移

最初我們盯著：

$$
P^2=P.
$$

HFMU-005 告訴我們：

> 冪等跟不可逆 calculus 有強關係。

HFMU-006 又告訴我們：

> 不可逆穩定不只一種來源。

現在更一般的共同結構看起來像：

$$
\boxed{
\text{effective degrees of freedom decrease}
}
$$

或者：

$$
\boxed{
\text{state space is mapped toward a lower-complexity / lower-distinguishability region}.
}
$$

它可以表現成：

- quotient；
- projection；
- retraction；
- normalization；
- rewrite descent；
- information loss；
- absorbing region；
- closure。

idempotence 只是其中一種常見終局語法。

因此候選鏈變成：

$$
\boxed{
\text{idempotence}
\leftarrow
\text{stabilization}
\leftarrow
\text{degree-of-freedom loss / order descent}.
}
$$

下一步 HFMU-007 應該不再專門掃 idempotence。

而是直接定義一個跨 calculus 的 **自由度／可區分度變化量**，測：

- 可區分狀態數是否下降；
- image rank 是否下降；
- quotient class 是否減少；
- description complexity 是否下降；
- reachable future 是否縮小；
- 是否形成 absorbing / invariant subspace。

如果這個量在關係、函數、rewrite、觀測、商化、重建等完全不同世界都能統一描述，

那才更接近 SREG 一開始想找的數學底空間候選。