# 前沿智能拓撲論 05
# 廣域能力斷層掃描：認知距離、能力流形與智能衰減曲線

**Frontier Intelligence Topology 05**  
**Broad Capability Tomography: Cognitive Distance, Capability Manifolds, and Intelligence Decay Curves**

**作者：Neo.K（許筌崴）**  
**研究協作：GPT-5.6 Sol**  
**機構：EveMissLab／一言諾科技有限公司**  
**版本：v0.1**  
**日期：2026-09-18**  
**系列：前沿智能拓撲論（Frontier Intelligence Topology, FIT）**

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## 摘要

人工智慧能力通常被壓縮成少數 benchmark 分數、平均正確率或排行榜名次。然而，一個模型可能在熱門知識、常見題型與標準工程任務上極強，卻在冷門領域、跨域轉換、錯誤 frame、問題形成或未知 regime 中快速衰減。另一個模型則可能峰值較低，但能力隨認知距離增加時下降得更慢。

本文提出「廣域能力斷層掃描」（Broad Capability Tomography, BCT），將已完成訓練的人工智能視為黑箱：

$$
M:
Q
\rightarrow
A,
$$

並不直接推斷其訓練資料、內部表示或公司策略，而是透過系統性改變任務的認知距離與結構，反推出模型的有效能力拓撲。

本文首先定義多維認知距離向量：

$$
\mathbf d
=
(
d_P,
d_D,
d_X,
d_F,
d_N,
d_S,
d_E
),
$$

分別表示熱門度距離、領域距離、跨域距離、frame 距離、新穎度距離、scaffolding 移除距離與證據可得性距離。模型能力因此不再表示為單一分數，而是：

$$
Q_M(\mathbf d).
$$

本文進一步定義：

- 能力衰減曲線；
- 能力梯度；
- 方向性衰減；
- 斷崖點；
- 能力島；
- 跨域橋；
- Frame-Lift 斷層；
- 問題形成斷層；
- 搜尋依賴差；
- 工具撤除差；
- 廣域連通率；
- 前沿半徑。

核心命題是：

$$
\boxed{
\text{Peak Capability}
\neq
\text{Capability Volume}
\neq
\text{Capability Connectivity}.
}
$$

因此，一個模型即使在局部 benchmark 上處於最前沿，也不能僅由此推出其在整體未知世界中的能力拓撲同樣前沿。

本文特別提出「無搜尋核心掃描」（No-Search Core Tomography）：暫時禁止外部搜尋與工具，以測量模型完成訓練後自身可直接調用的知識、表示與推理拓撲；再與可搜尋、可工具增強狀態比較，以區分：

$$
\boxed{
\text{Core Capability}
\neq
\text{Augmented Capability}.
}
$$

這種方法不能反推出模型真正吃過哪些資料，卻能提供一種廣域行為測量：不是問「它知道多少」，而是問：

> **當問題逐步遠離它熟悉的知識中心時，它在哪裡開始失去能力？又是以什麼方向、什麼速度、什麼形狀失去？**

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## 關鍵詞

廣域能力斷層掃描、能力流形、認知距離、能力衰減、黑箱評估、熱門題、冷門題、跨域、Frame-Lift、問題形成、工具撤除、搜尋依賴、AGI、ASI、前沿智能拓撲論

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# 1. 單一分數會把能力形狀壓扁

假設模型：

$$
M
$$

在 benchmark：

$$
B
$$

上的分數為：

$$
S_B(M).
$$

排行榜通常比較：

$$
S_B(M_1)
>
S_B(M_2).
$$

但這只告訴我們：

$$
\boxed{
M_1
\text{ 在 }B\text{ 的採樣區域表現較好。}
}
$$

它沒有直接告訴我們：

- 離開該題型後怎樣；
- 冷門知識怎樣；
- 跨域怎樣；
- 錯 frame 怎樣；
- 問題沒整理好時怎樣；
- 沒搜尋時怎樣；
- 沒工具時怎樣；
- 沒標準答案時怎樣。

因此：

$$
\boxed{
\text{Benchmark Score}
\neq
\text{Capability Topology}.
}
$$

---

# 2. 從排行榜轉向能力地形

本文提出：

$$
\boxed{
\mathcal C_M
=
\text{Capability Manifold of Model }M.
}
$$

其中每一點代表一類任務條件，

模型在該點有能力值：

$$
Q_M(\mathbf z).
$$

 $\mathbf z$ 不只是「題目」。

而是包含：

- 領域；
- 熱門度；
- frame；
- 新穎性；
- 跨域程度；
- 工具；
- 提示結構；
- 證據狀態。

因此模型能力應被理解成：

$$
\boxed{
\text{field over task space}
}
$$

而不是單一 scalar。

---

# 3. 黑箱測試的基本立場

BCT 不要求知道：

- 模型訓練資料；
- 預訓練比例；
- RL 資料；
- 內部權重；
- 公司私有資料庫。

只觀察：

$$
\boxed{
M(x)
}
$$

對不同：

$$
x.
$$

所以：

$$
\text{Training Corpus}
$$

與：

$$
\text{Observed Capability}
$$

必須區分。

---

# 4. 能測的是「完成後的它」

若模型在冷門領域失敗，

我們不能直接推出：

> 它沒吃過相關資料。

因為失敗也可能來自：

- 表示沒學好；
- 路由錯；
- recall 差；
- 推理失敗；
- 安全策略；
- context interference；
- 能力沒有被激活。

因此：

$$
\boxed{
\text{Behavioral Tomography}
\not\Rightarrow
\text{Training-Data Reconstruction}.
}
$$

---

# 5. 但行為本身仍然重要

使用者真正互動的是：

$$
M_{\mathrm{deployed}}.
$$

不是：

$$
D_{\mathrm{train}}.
$$

所以對產品與能力研究而言：

$$
\boxed{
\mathcal C(M_{\mathrm{deployed}})
}
$$

本身就是重要研究對象。

---

# 6. 第一個軸：熱門度距離 $d_P$

定義：

$$
d_P
=
\text{distance from high-frequency / popular knowledge}.
$$

可以粗分：

1. 高熱門；
2. 常見專業；
3. 次冷門；
4. 冷門；
5. 極冷門；
6. 邊緣；
7. 幾乎無公共討論。

理想情況下：

$$
Q_M(d_P)
$$

不應在輕微變冷時立刻崩潰。

---

# 7. 熱門度不是難度

一個冷門問題可以很簡單。

一個熱門問題可以非常難。

因此：

$$
\boxed{
d_P
\neq
d_{\mathrm{difficulty}}.
}
$$

這正是測試價值所在。

否則「冷門失敗」會被誤認成「題目太難」。

---

# 8. 第二個軸：領域距離 $d_D$

令模型核心強域：

$$
D_0.
$$

其他領域：

$$
D_1,D_2,\ldots
$$

與：

$$
D_0
$$

有不同知識距離。

定義：

$$
d_D(D_i,D_0).
$$

例如：

- 同一子領域；
- 同一大領域；
- 鄰接領域；
- 遠距領域。

---

# 9. 第三個軸：跨域距離 $d_X$

很多現實問題不是單域。

令：

$$
Q
\in
D_1
\cap
D_2
\cap\cdots\cap
D_k.
$$

跨域距離可以與：

- 領域數量；
- 表示差異；
- 接口密度；
- 轉譯成本；

相關。

因此：

$$
d_X
$$

測量：

> 問題要求跨多少知識島，以及這些島有多難連接？

---

# 10. 領域多不等於跨域強

模型可以：

$$
\text{Knowledge}(D_i)\gg0
$$

對很多：

$$
D_i
$$

都成立，

但：

$$
\text{Transfer}(D_i,D_j)\approx0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{Multi-Domain Knowledge}
\neq
\text{Cross-Domain Intelligence}.
}
$$

---

# 11. 第四個軸：Frame Distance $d_F$

給定常見 frame：

$$
F_0.
$$

問題可能需要：

$$
F_1.
$$

定義：

$$
d_F(F_0,F_1).
$$

低：

$$
d_F
$$

可能只是換參數。

高：

$$
d_F
$$

可能需要：

- 換表示；
- 換尺度；
- 換變量；
- 換目標；
- 換本體論假設。

---

# 12. 第五個軸：Novelty Distance $d_N$

定義：

$$
d_N
$$

為問題距離已知模板的結構新穎度。

不是文字不同。

而是：

$$
\boxed{
\text{solution structure novelty}.
}
$$

例如：

- 標準題；
- 同構變種；
- 多步組合；
- 新 constraint；
- 新 objective；
- 新 representation；
- 無已知解族。

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# 13. 第六個軸：Scaffolding Distance $d_S$

外部 scaffold 可以包括：

- 題目定義；
- 領域提示；
- 解題步驟；
- 工具建議；
- evaluation；
- frame。

逐步拿掉 scaffold：

$$
d_S\uparrow.
$$

因此：

$$
Q_M(d_S)
$$

測：

> 模型有多少能力其實依賴外部認知支架？

---

# 14. 第七個軸：Evidence Distance $d_E$

有些題目：

- 證據完整；
- 資料乾淨；
- 文獻充分。

另一些：

- 資料不足；
- 證據衝突；
- 沒有共識；
- 需要自行提出驗證。

因此：

$$
d_E
$$

表示：

$$
\boxed{
\text{distance from evidence-rich closed problems}.
}
$$

---

# 15. 多維認知距離向量

綜合：

$$
\boxed{
\mathbf d
=
(
d_P,
d_D,
d_X,
d_F,
d_N,
d_S,
d_E
).
}
$$

模型能力寫成：

$$
\boxed{
Q_M(\mathbf d).
}
$$

這比單一：

$$
Q(d)
$$

更一般。

---

# 16. 為什麼仍保留單一 $d$？

有些分析需要簡化。

可定義：

$$
d
=
\sum_i
w_i d_i.
$$

或：

$$
d
=
\|\mathbf d\|_W.
$$

但必須記住：

$$
\boxed{
d
}
$$

只是投影。

真正能力空間仍是：

$$
\mathbf d.
$$

---

# 17. 認知距離不是歐氏距離的必要假設

知識空間可能：

- 非線性；
- 非對稱；
- 有捷徑；
- 有斷層；
- 有橋接節點。

所以：

$$
d(A,B)
$$

未必滿足：

$$
d(A,B)=d(B,A).
$$

例如：

> 從數學轉物理

和：

> 從物理轉純數學

認知成本可能不同。

---

# 18. 可使用圖上的最短路徑距離

若知識圖：

$$
\mathcal G=(V,E),
$$

可定義：

$$
d_{\mathcal G}(u,v)
=
\min_{\pi:u\rightarrow v}
\sum_{e\in\pi}w(e).
$$

其中邊權重代表：

- 轉譯成本；
- frame change；
- 所需先備；
- 概念差異。

---

# 19. 能力衰減曲線

最基本形式：

$$
\boxed{
Q_M(d).
}
$$

若能力隨距離增加下降：

$$
\frac{dQ_M}{dd}<0.
$$

但不同模型下降速度不同。

---

# 20. 能力衰減率

定義：

$$
\boxed{
\delta_M(d)
=
-\frac{dQ_M}{dd}.
}
$$

低：

$$
\delta_M
$$

表示：

> 能力離開熟悉區後下降較慢。

這可能比：

$$
Q_M(0)
$$

更能描述 generality。

---

# 21. Peak Capability

定義：

$$
\boxed{
P_M
=
\max_{\mathbf d}
Q_M(\mathbf d).
}
$$

它表示模型局部最高峰。

Benchmark 常偏向測：

$$
P_M
$$

附近。

---

# 22. Capability Volume

定義：

$$
\boxed{
V_M
=
\int_{\Omega}
Q_M(\mathbf d)
\,d\mathbf d.
}
$$

它表示某任務域：

$$
\Omega
$$

下的整體能力體積。

---

# 23. Capability Connectivity

令高能力區：

$$
\Omega_\tau
=
\{
\mathbf d:
Q_M(\mathbf d)\geq\tau
\}.
$$

定義：

$$
\boxed{
C_M
=
\operatorname{Connectivity}(\Omega_\tau).
}
$$

這測量：

> 高能力區域是否彼此連通？

---

# 24. 三者不可混同

因此：

$$
\boxed{
P_M
\neq
V_M
\neq
C_M.
}
$$

一個模型可能：

- 峰值極高；
- 體積普通；
- 連通性差。

另一個可能：

- 峰值略低；
- 體積大；
- 連通性高。

---

# 25. Capability Cliff

定義：

$$
\boxed{
\kappa_M
=
\max_d
\left|
\frac{dQ_M}{dd}
\right|.
}
$$

若：

$$
\kappa_M
$$

很大，

表示存在：

$$
\boxed{
\text{Capability Cliff}.
}
$$

也就是：

> 問題只再偏一點，能力突然崩掉。

---

# 26. Cliff Location

定義：

$$
d_c
=
\arg\max_d
\left|
\frac{dQ_M}{dd}
\right|.
$$

它表示：

> 模型在哪個認知距離開始出現最強斷層？

---

# 27. 多維方向性斷層

真正重要的是：

$$
\nabla Q_M(\mathbf d).
$$

例如：

$$
\left|
\frac{\partial Q}{\partial d_P}
\right|
$$

很小，

但：

$$
\left|
\frac{\partial Q}{\partial d_F}
\right|
$$

很大。

這表示：

> 模型對冷門知識不敏感，但對換 frame 很脆弱。

---

# 28. 能力各向異性

定義：

$$
\boxed{
A_M
=
\operatorname{Var}
\left(
\frac{\partial Q}{\partial d_i}
\right).
}
$$

高：

$$
A_M
$$

表示能力下降高度方向化。

也就是：

$$
\boxed{
\text{Capability Anisotropy}.
}
$$

---

# 29. 能力島

若存在兩個高能力區：

$$
\Omega_1,
\Omega_2,
$$

但中間：

$$
Q_M\ll\tau,
$$

則形成：

$$
\boxed{
\text{Capability Islands}.
}
$$

模型可能：

- 很會數學；
- 很會程式；

卻在：

$$
\text{math}\leftrightarrow\text{programming}
$$

橋接問題上異常差。

---

# 30. 能力橋

若存在：

$$
\gamma:
\Omega_1\rightarrow\Omega_2
$$

且沿途：

$$
Q_M(\gamma(t))\geq\tau,
$$

則稱存在：

$$
\boxed{
\text{Capability Bridge}.
}
$$

這對跨域智能尤其重要。

---

# 31. 廣度不是島嶼數量

如果模型有很多：

$$
\Omega_i
$$

但彼此不連通，

它是：

$$
\boxed{
\text{wide but fragmented}.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{Breadth}
\neq
\text{Connected Breadth}.
}
$$

---

# 32. Frontier Radius

定義：

$$
\boxed{
R_F(\tau)
=
\sup
\{
d:
Q_M(d)\geq\tau
\}.
}
$$

表示：

> 模型在能力保持高於門檻 $\tau$ 的情況下，最遠能走多遠？

---

# 33. 多方向 Frontier Radius

對每一維：

$$
R_i(\tau)
=
\sup
\{
d_i:
Q_M(\mathbf d)\geq\tau
\}.
$$

可得到：

$$
\boxed{
\mathbf R_F
=
(
R_P,
R_D,
R_X,
R_F,
R_N,
R_S,
R_E
).
}
$$

這比一個「AGI 分數」更有解釋力。

---

# 34. 第一種掃描：Popularity Sweep

固定：

- 難度；
- 領域；
- frame；
- 推理步數。

只改：

$$
d_P.
$$

例如：

$$
\text{popular}
\rightarrow
\text{common professional}
\rightarrow
\text{rare}
\rightarrow
\text{very rare}.
$$

測：

$$
Q_P(d_P).
$$

---

# 35. 第二種掃描：Variation Sweep

固定知識核心，

逐步增加：

$$
d_N.
$$

例如：

1. 原題；
2. 表面變種；
3. 結構變種；
4. constraint 變更；
5. objective 變更；
6. representation 變更。

---

# 36. 第三種掃描：Cross-Domain Sweep

由：

$$
D_1
$$

開始，

依序增加：

$$
D_2,D_3,\ldots
$$

觀察：

$$
Q_X(k).
$$

若模型只在單域高，

但：

$$
k=2
$$

就大幅衰減，

則其 cross-domain radius 很小。

---

# 37. 第四種掃描：Frame Mismatch Sweep

先故意以錯 frame 提問。

例如：

$$
Q(F_{\mathrm{wrong}}).
$$

觀察模型：

1. 是否直接在錯 frame 內求解；
2. 是否指出 frame mismatch；
3. 是否提出替代 frame；
4. 是否重寫問題。

---

# 38. 第五種掃描：Scaffolding Withdrawal

逐步移除：

1. 解題提示；
2. 領域標籤；
3. frame；
4. 工具建議；
5. 問題定義；
6. 最後只剩原始資料或世界狀態。

得到：

$$
Q_S(d_S).
$$

---

# 39. 第六種掃描：Evidence Degradation

從：

$$
\text{clean evidence}
$$

逐步變為：

- incomplete；
- noisy；
- contradictory；
- sparse；
- unknown。

測：

$$
Q_E(d_E).
$$

這對科研型智能非常重要。

---

# 40. 第七種掃描：Problem-Formation Sweep

由：

$$
Q^\ast
$$

完整問題開始，

逐步退回：

$$
Q_0,
$$

再退回：

$$
W.
$$

觀察模型是否仍能恢復：

$$
Q^\ast.
$$

---

# 41. No-Search Core Tomography

本文提出一個特別重要的測試模式：

$$
\boxed{
\text{No-Search Core Tomography}.
}
$$

條件：

- 禁止 web search；
- 禁止外部 retrieval；
- 禁止工具補知識。

只允許模型本體。

測得：

$$
Q_M^{\mathrm{core}}(\mathbf d).
$$

---

# 42. 為什麼禁止搜尋？

不是因為搜尋不好。

而是為了隔離：

$$
\boxed{
\text{Model Internalized Capability}.
}
$$

否則：

$$
\text{Search Engine Quality}
$$

與：

$$
\text{Model Capability}
$$

會混在一起。

---

# 43. Search-Augmented Tomography

再打開搜尋：

$$
Q_M^{\mathrm{search}}(\mathbf d).
$$

比較：

$$
\boxed{
\Delta_S(\mathbf d)
=
Q_M^{\mathrm{search}}(\mathbf d)
-
Q_M^{\mathrm{core}}(\mathbf d).
}
$$

---

# 44. Search Dependency Index

定義：

$$
\boxed{
D_S
=
\frac{
\int_\Omega
\Delta_S(\mathbf d)
\,d\mathbf d
}{
\int_\Omega
Q_M^{\mathrm{search}}(\mathbf d)
\,d\mathbf d
}.
}
$$

高：

$$
D_S
$$

表示：

> 模型大比例能力依賴外部搜尋增強。

這不是壞事。

但它描述了能力來源。

---

# 45. 工具增強同理

定義：

$$
Q_M^{\mathrm{tool}}(\mathbf d)
$$

與：

$$
Q_M^{\mathrm{core}}(\mathbf d).
$$

工具依賴：

$$
\Delta_T(\mathbf d)
=
Q_M^{\mathrm{tool}}
-
Q_M^{\mathrm{core}}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Core Capability}
\neq
\text{Augmented Capability}.
}
$$

---

# 46. 系統能力仍然是真能力

本文不主張：

> 靠搜尋就不算能力。

如果目標是完整 AI 系統，

那麼：

$$
\boxed{
M+\text{Search}+\text{Tools}
}
$$

本身就是可研究能力單位。

只是在科學分析時必須拆開來源。

---

# 47. 三層能力表示

因此建議至少報告：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{core}}
}
$$

$$
\boxed{
C_{\mathrm{augmented}}
}
$$

$$
\boxed{
C_{\mathrm{system}}
}
$$

分別表示：

- 模型本體；
- 模型＋工具；
- 完整 agent／memory／runtime 系統。

---

# 48. 熱門到冷門的測試不能只換名詞

如果熱門題：

> 解釋牛頓第二定律。

冷門題：

> 解釋某個少見專有名詞。

兩題難度與結構不同，

就無法純測：

$$
d_P.
$$

所以必須做：

$$
\boxed{
\text{matched difficulty sampling}.
}
$$

---

# 49. Matching 原則

對每個熱門度層級，盡量匹配：

- 推理深度；
- 答案長度；
- 公式需求；
- 專業前置；
- 任務形式。

這樣：

$$
d_P
$$

才不會被：

$$
d_{\mathrm{difficulty}}
$$

污染。

---

# 50. 同理，跨域題不能單純更難

需要建立：

$$
Q_{\mathrm{single}}
$$

與：

$$
Q_{\mathrm{cross}}
$$

在局部計算量上近似，

主要差別只有：

$$
\text{cross-domain bridge requirement}.
$$

---

# 51. Behavioral Capability Tomography

本文正式定義：

> **Behavioral Capability Tomography（BCT）是透過對任務空間進行多方向、分層、受控擾動，從黑箱輸出重建智能系統能力流形、衰減梯度、斷崖與連通結構的方法。**

記為：

$$
\boxed{
\mathsf{BCT}(M).
}
$$

---

# 52. Tomography 的類比

醫學斷層掃描不是只從一個方向拍照。

同理：

$$
\mathsf{BCT}
$$

不靠：

> 一套 benchmark。

而是從多方向：

$$
\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_n
$$

掃描能力。

最後重建：

$$
\hat{\mathcal C}_M.
$$

---

# 53. 採樣方向

最低建議：

$$
\Theta
=
\{
P,D,X,F,N,S,E
\}.
$$

進階可再加入：

- temporal distance；
- cultural distance；
- representation distance；
- tool distance；
- interaction horizon；
- adversarial perturbation；
- self-correction demand。

---

# 54. 不是所有方向都同樣重要

對 coding assistant：

$$
w_X,w_S
$$

可能重要。

對科研 AI：

$$
w_F,w_N,w_E
$$

可能更重要。

所以：

$$
\boxed{
\mathsf{BCT}
}
$$

應有 task profile。

---

# 55. General Frontier Profile

對 AGI／ASI 候選，

本文建議提高：

$$
w_X,
w_F,
w_N,
w_S,
w_E.
$$

因為一般智能與前沿研究的核心問題恰好是：

> 離開標準題後還剩多少？

---

# 56. Capability Retention

定義：

$$
\boxed{
R_M(d)
=
\frac{
Q_M(d)
}{
Q_M(0)
}.
}
$$

若：

$$
R_M(d)
$$

下降慢，

表示能力保留率高。

---

# 57. Half-Capability Radius

定義：

$$
\boxed{
d_{1/2}
=
\inf
\left\{
d:
R_M(d)\leq0.5
\right\}.
}
$$

這是很直觀的 generality 指標：

> 距離熟悉中心多遠時，能力掉到一半？

---

# 58. Directional Half-Radius

每個方向：

$$
d_{1/2}^{(i)}.
$$

得到：

$$
\boxed{
\mathbf d_{1/2}
=
(
d_P^{1/2},
d_D^{1/2},
d_X^{1/2},
d_F^{1/2},
d_N^{1/2},
d_S^{1/2},
d_E^{1/2}
).
}
$$

---

# 59. Cliff 不一定發生在很遠

模型可能：

$$
Q(0)\gg0
$$

但：

$$
d_c\ll1.
$$

即：

> 只要題目稍微偏離常見形式就快速崩潰。

這種模型：

$$
\boxed{
\text{high peak, short radius}.
}
$$

---

# 60. 另一種模型可能峰值略低但半徑大

模型 B：

$$
P_B<P_A,
$$

但：

$$
d_{1/2}^{(B)}
>
d_{1/2}^{(A)}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{Which model is stronger?}
}
$$

取決於使用情境。

---

# 61. 前沿智能更關心長半徑

若任務分布：

$$
\mathcal P_{\mathrm{frontier}}
$$

本身遠離已知中心，

則：

$$
d_{1/2}
$$

與：

$$
V_M
$$

可能比：

$$
P_M
$$

更重要。

---

# 62. Unknown-Regime Discovery Test

給模型一批資料：

$$
W
$$

其中存在：

$$
R_{\mathrm{new}},
$$

但不告訴它：

> 有 regime change。

測它是否能：

1. 發現異常；
2. 判斷舊模型失效；
3. 建立新 regime；
4. 找可驗證差異。

---

# 63. Frame Mismatch Detection Score

定義：

$$
\boxed{
S_{FMD}
=
P(
\text{detect frame mismatch}
).
}
$$

這是 BCT 的重要子指標。

---

# 64. Frame Recovery Score

若偵測錯 frame 後，

能重建有效 frame：

$$
\boxed{
S_{FR}
=
P(
F_{\mathrm{new}}\text{ is useful}
\mid
F_{\mathrm{old}}\text{ mismatch}
).
}
$$

---

# 65. Problem Formation Score

定義：

$$
\boxed{
S_{PF}
=
f(
\text{relevance},
\text{testability},
\text{novelty},
\text{information gain}
).
}
$$

這比：

> 題目像不像人類題目

更合理。

---

# 66. Residue Recovery Score

給模型：

- 失敗紀錄；
- abandoned code；
- 低引用研究；
- 舊 frame。

再給新問題：

$$
Q_{\mathrm{new}}.
$$

測：

$$
\boxed{
S_{RR}
=
P(
\text{recover useful structure}
).
}
$$

---

# 67. Low-Value Revaluation Test

先提供：

$$
x
$$

且在問題：

$$
Q_0
$$

中確實低價值。

後來切換：

$$
Q_0\rightarrow Q_1.
$$

測模型能否把：

$$
x
$$

重新提高權重。

這測：

$$
R_V.
$$

---

# 68. Cross-Domain Bridge Test

給：

$$
D_1,D_2
$$

各自熟悉知識，

但真正解需要橋：

$$
B_{12}.
$$

測模型能否：

$$
D_1
\rightarrow
B_{12}
\rightarrow
D_2.
$$

而不是各自回答兩段不相干內容。

---

# 69. 當模型用同一模板硬套所有領域

這是一種：

$$
\boxed{
\text{false connectivity}.
}
$$

看似跨域，

其實只是：

$$
F_0
$$

被強制投影到所有：

$$
D_i.
$$

因此 cross-domain test 必須檢查：

> 模型是否知道不可類比的部分？

---

# 70. Negative Transfer

定義：

$$
\boxed{
N_T
=
Q(D_2)
-
Q(D_2\mid\text{misleading transfer from }D_1).
}
$$

若：

$$
N_T\ll0,
$$

表示模型容易把跨域相似性用錯。

所以：

$$
\boxed{
\text{Transfer Ability}
}
$$

還要包含：

$$
\boxed{
\text{Transfer Restraint}.
}
$$

---

# 71. Confidence Decay

模型能力下降時，

置信度是否同步下降？

定義：

$$
C_M(d)
$$

為模型主觀 confidence。

理想：

$$
Q_M(d)\downarrow
$$

時：

$$
C_M(d)
$$

也適度下降。

---

# 72. Calibration Gap

定義：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{cal}}(d)
=
|C_M(d)-Q_M(d)|.
}
$$

若：

$$
Q_M(d)\downarrow
$$

但：

$$
C_M(d)
$$

維持高，

則：

$$
\boxed{
\text{frontier overconfidence}
}
$$

增加。

---

# 73. 前沿智能不能只衰減得慢，也要知道自己在衰減

因此 generality 至少包含：

$$
\boxed{
\text{Capability Retention}
+
\text{Uncertainty Calibration}.
}
$$

---

# 74. Self-Correction Retention

定義：

$$
S_C(d)
$$

表示模型在認知距離：

$$
d
$$

下的自我修正能力。

有些模型：

$$
A_0
$$

第一次錯，

但：

$$
A_1
$$

經 critique 後可修正。

所以：

$$
Q_{\mathrm{first}}
$$

與：

$$
Q_{\mathrm{repair}}
$$

應分開。

---

# 75. Repair Gain

定義：

$$
\boxed{
G_R(d)
=
Q_{\mathrm{repair}}(d)
-
Q_{\mathrm{first}}(d).
}
$$

如果：

$$
G_R
$$

在遠距問題仍高，

模型可能具有良好 recovery topology。

---

# 76. Persistence Under Unknown

前沿研究往往需要多輪。

定義：

$$
Q_M(d,t)
$$

表示經過：

$$
t
$$

輪探索後的能力。

一些模型：

$$
Q_M(d,1)
$$

普通，

但：

$$
Q_M(d,t)
$$

可逐步提升。

另一些可能：

$$
Q_M(d,t)
$$

快速陷入局部迴圈。

---

# 77. Long-Horizon Frontier Persistence

定義：

$$
\boxed{
P_L
=
\frac{
Q_M(d,T)
}{
Q_M(d,1)
}.
}
$$

若合理探索後：

$$
P_L>1,
$$

表示模型能從未知互動中成長。

若：

$$
P_L<1,
$$

可能出現漂移、錯誤累積或過早閉合。

---

# 78. BCT 不應只做一次性問答

真正廣域測試至少包含：

- single-turn；
- self-critique；
- iterative research；
- tool withdrawal；
- context perturbation。

因此：

$$
\boxed{
\mathsf{BCT}
}
$$

是多輪測試框架，而不是題庫。

---

# 79. 不能讓搜尋污染 Core Test

若要測：

$$
C_{\mathrm{core}},
$$

必須：

- 明確禁止搜尋；
- 避免工具提示；
- 固定 context；
- 不在中途補答案。

否則測到的是：

$$
C_{\mathrm{system}}.
$$

---

# 80. 但禁止搜尋也不能被誤讀成真實產品評價

No-Search Test 的用途是：

$$
\boxed{
\text{capability decomposition}.
}
$$

不是宣稱：

> 不准用工具才算真正智能。

完整 AI 系統本來就可能合理使用：

$$
\text{Search}+\text{Tools}+\text{Memory}.
$$

---

# 81. 模型比較需要同條件

如果比較：

$$
M_1,M_2,
$$

必須固定：

- prompt；
- tool access；
- search access；
- temperature；
- response budget；
- number of attempts；
- evaluator。

否則：

$$
\boxed{
\text{Capability Difference}
}
$$

會與：

$$
\boxed{
\text{Test Condition Difference}
}
$$

混在一起。

---

# 82. 評估器也可能成為瓶頸

如果答案很前沿，

人類 evaluator：

$$
E_H
$$

可能無法快速判斷。

所以需要：

- formal check；
- executable test；
- independent models；
- domain experts；
- delayed verification。

因此：

$$
\boxed{
\text{Evaluator Capacity}
}
$$

也是 BCT 的限制。

---

# 83. 冷門題尤其需要防 evaluator error

如果：

$$
d_P\uparrow,
$$

評估者也可能：

$$
\operatorname{Knowledge}(E_H)\downarrow.
$$

因此不能把：

$$
\text{evaluator disagreement}
$$

直接等於：

$$
\text{model error}.
$$

---

# 84. BCT 的最低報告格式

建議每個模型至少報告：

$$
\boxed{
(
P_M,
V_M,
C_M,
\mathbf d_{1/2},
\mathbf R_F,
\kappa_M,
D_S,
G_{\mathrm{cal}}
)
}
$$

其中：

- $P_M$：峰值能力；
- $V_M$：能力體積；
- $C_M$：連通性；
- $\mathbf d_{1/2}$：各方向半能力半徑；
- $\mathbf R_F$：frontier radius；
- $\kappa_M$：最大斷崖；
- $D_S$：搜尋依賴；
- $G_{\mathrm{cal}}$：校準差。

---

# 85. 為什麼這比總分更接近「模型個性」

這裡的「個性」不是人格。

而是：

$$
\boxed{
\text{capability geometry}.
}
$$

兩個平均分相同模型，

可能具有完全不同：

- 峰值；
- 半徑；
- cliff；
- bridge；
- island；
- tool dependency。

---

# 86. Capability Fingerprint

因此定義：

$$
\boxed{
\mathcal F_M
=
\operatorname{Fingerprint}
(
\mathcal C_M
).
}
$$

這是一個模型的：

> 能力指紋。

不是一個排名分數。

---

# 87. 前沿模型不一定在每個維度第一

真正 general frontier model 可能不是：

$$
\max_i Q_i.
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{large connected high-capability region}.
}
$$

也就是：

- 峰值夠高；
- 體積夠大；
- 連通夠好；
- cliff 不過早；
- 校準合理。

---

# 88. 一個候選的 Frontier Generality Index

若未來需要壓縮成一個數，

可暫時定義：

$$
\boxed{
G_F
=
V_M
\cdot
C_M
\cdot
R_F
\cdot
(1-\bar G_{\mathrm{cal}})
}
$$

但本文不推薦把它當最終真理。

因為：

$$
\boxed{
\text{the vector is more informative than the scalar}.
}
$$

---

# 89. BCT 與 Paper 02 的關係

Paper 02 問：

> 不同資訊拓撲會不會形成不同能力拓撲？

Paper 05 提供一種行為層測量：

$$
\boxed{
\mathcal T(D)
\rightarrow
\mathcal C(M)
\rightarrow
\mathsf{BCT}(M).
}
$$

但：

$$
\mathsf{BCT}(M)
$$

只能觀察：

$$
\mathcal C(M),
$$

不能唯一反推出：

$$
\mathcal T(D).
$$

---

# 90. BCT 與 Paper 03 的關係

Paper 03 定義：

$$
d^\ast
$$

為效率排序反轉距離。

Paper 05 則提供：

$$
Q_{M_1}(d),
Q_{M_2}(d)
$$

用來實際估計：

$$
d^\ast.
$$

---

# 91. BCT 與 Paper 04 的關係

Paper 04 定義：

$$
W
\rightarrow
O
\rightarrow
Q
\rightarrow
F
\rightarrow
R
\rightarrow
H
\rightarrow
V
\rightarrow
A.
$$

Paper 05 可以對每一段分別測：

$$
Q_O(d),
Q_Q(d),
Q_F(d),
Q_R(d),
Q_H(d),
Q_V(d),
Q_A(d).
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{different cognitive stages can have different cliffs}.
}
$$

---

# 92. 一個模型可能回答不崩，但問題形成先崩

例如：

$$
Q_A(d)
$$

下降慢，

但：

$$
Q_Q(d)
$$

下降快。

這表示：

> 題目給對時仍然很強，但離開熟悉世界後不會自己找到題目。

這是傳統 benchmark 很難看到的差異。

---

# 93. 另一模型可能知識先崩，但 Frame-Lift 還在

它可能不知道冷門答案，

但會說：

> 我缺資料；先建立三個候選框架與需要驗證的資訊。

這種能力在：

$$
Q_{\mathrm{fact}}
$$

低，

但：

$$
Q_F,Q_V
$$

可能仍高。

因此：

$$
\boxed{
\text{Knowledge Failure}
\neq
\text{Reasoning Topology Failure}.
}
$$

---

# 94. 這也是為什麼「不知道」不能直接當弱

真正要看：

> 不知道之後，它做什麼？

可能是：

1. 停止；
2. 幻覺；
3. 搜尋；
4. 建立假說；
5. 設計驗證；
6. 重寫問題。

所以：

$$
\boxed{
\text{Response to Unknown}
}
$$

本身就是能力維度。

---

# 95. Unknown Response Topology

定義：

$$
\boxed{
U_R
=
(
\text{Stop},
\text{Search},
\text{Generate},
\text{Verify},
\text{Reframe},
\text{Recover}
).
}
$$

這會在 Paper 07 進一步連到：

$$
\text{Epistemic Courage}.
$$

---

# 96. 可否證條件

BCT 本身也可能失敗。

## 96.1 Distance Failure

若無法建立穩健、可重複的認知距離，

則：

$$
Q(d)
$$

只能作為描述性工具。

## 96.2 Matching Failure

若熱門／冷門、單域／跨域任務無法匹配難度，

則衰減可能只是 difficulty effect。

## 96.3 Evaluator Failure

若前沿回答無法可靠驗證，

則：

$$
Q_M
$$

估計會被 evaluator capability 限制。

## 96.4 Prompt Sensitivity Dominance

若不同 prompt 使結果波動大於模型間差異，

則必須先控制 prompt distribution。

## 96.5 Tool Confounding

若工具使用差異未被控制，

則 core capability 與 system capability 不能直接比較。

---

# 97. 非主張

本文不主張：

- benchmark 無用；
- 搜尋能力不算智能；
- 冷門題越多越好；
- 不搜尋才是真 AI；
- 能力一定沿距離平滑下降；
- 認知距離必須是單一數值；
- 一個 general model 必須每個領域都最強；
- 黑箱測試能反推出完整訓練資料；
- 市場表現等於 BCT 結果。

本文真正主張的是：

$$
\boxed{
\text{如果我們只測能力峰值，就看不到能力的形狀。}
}
$$

---

# 98. 核心結論

一個模型的真正能力不應只寫成：

$$
S=92.7.
$$

更合理的是：

$$
\boxed{
\mathcal C_M
=
Q_M(\mathbf d).
}
$$

我們要知道：

- 峰值在哪；
- 體積多大；
- 哪些區域連通；
- 哪裡有 cliff；
- 哪個方向最脆弱；
- 搜尋能補多少；
- 工具能補多少；
- scaffold 拿掉後剩多少；
- 遇到未知後是否能恢復。

---

# 99. 最終命題

本文提出：

$$
\boxed{
\text{Generality is better characterized by capability retention across cognitive distance than by peak performance near the center of familiar task distributions.}
}
$$

中文：

> **一般性與其說是「熟悉區域能有多高」，不如說是「離開熟悉區域後還能保留多少能力」。**

---

# 100. 說成人話

如果兩個 AI：

- 都會熱門題；
- 都會寫程式；
- benchmark 都很好；

我真正想知道的不是：

> 誰多 2 分？

而是：

> **當我開始問冷門的、跨域的、沒有標準答案的、frame 本身可能錯的問題時，誰先掉下去？**

再更進一步：

> **它是慢慢變弱，還是突然斷崖？**

> **它不知道答案時，是停住、亂猜，還是會自己找新路？**

這才是廣域能力斷層掃描真正想看的東西。

---

# 附錄 A：認知距離向量

$$
\boxed{
\mathbf d
=
(
d_P,
d_D,
d_X,
d_F,
d_N,
d_S,
d_E
)
}
$$

其中：

- $d_P$：Popularity Distance；
- $d_D$：Domain Distance；
- $d_X$：Cross-Domain Distance；
- $d_F$：Frame Distance；
- $d_N$：Novelty Distance；
- $d_S$：Scaffolding Distance；
- $d_E$：Evidence Distance。

---

# 附錄 B：核心能力拓撲量

$$
\boxed{
P_M
=
\max Q_M
}
$$

$$
\boxed{
V_M
=
\int_\Omega Q_M(\mathbf d)d\mathbf d
}
$$

$$
\boxed{
C_M
=
\operatorname{Connectivity}(\Omega_\tau)
}
$$

$$
\boxed{
\kappa_M
=
\max_d
\left|
\frac{dQ_M}{dd}
\right|
}
$$

$$
\boxed{
R_F(\tau)
=
\sup
\{
d:
Q_M(d)\geq\tau
\}
}
$$

---

# 附錄 C：搜尋依賴

$$
\boxed{
\Delta_S(\mathbf d)
=
Q_M^{\mathrm{search}}(\mathbf d)
-
Q_M^{\mathrm{core}}(\mathbf d)
}
$$

$$
\boxed{
D_S
=
\frac{
\int_\Omega
\Delta_S(\mathbf d)d\mathbf d
}{
\int_\Omega
Q_M^{\mathrm{search}}(\mathbf d)d\mathbf d
}
}
$$

---

# 附錄 D：Half-Capability Radius

$$
\boxed{
R_M(d)
=
\frac{
Q_M(d)
}{
Q_M(0)
}
}
$$

$$
\boxed{
d_{1/2}
=
\inf
\left\{
d:
R_M(d)\leq0.5
\right\}
}
$$

---

# 附錄 E：能力指紋

$$
\boxed{
\mathcal F_M
=
(
P_M,
V_M,
C_M,
\mathbf d_{1/2},
\mathbf R_F,
\kappa_M,
D_S,
G_{\mathrm{cal}}
)
}
$$

---

# 附錄 F：Paper 06 接口

BCT 測：

$$
\boxed{
\text{Behavioral Capability Projection}.
}
$$

Paper 06 將進一步研究另一個巨大投影器：

$$
\boxed{
\text{Market Projection}.
}
$$

市場會用真實使用者的：

- 留存；
- 支付；
- 切換；
- 重複使用；
- 任務完成；

對 AI 進行大規模分散式投票。

但：

$$
\boxed{
\text{Market Success}
\neq
\text{Frontier Intelligence}.
}
$$

因此下一篇將正式處理：

> **市場到底能告訴我們多少 AI 能力，又有哪些東西它永遠告訴不了我們？**