# 下一步到底為什麼是下一步：Arrow Legitimacy 與 Same-Parent Path

**系列：形式封閉與過程完備：AI 數學證明的下一步問題**  
**Paper 02**  
**作者：Neo.K / EveMissLab Research Series**  
**版本：v0.1 — 2026-09-11**

**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-09-11  

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## 摘要

在大量形式證明、存在性證明與 AI 自動定理搜尋中，一個常見而不容易被直接看見的問題是：證明可以反覆產生「下一個合法對象」，卻沒有證明這個對象真的是上一個對象的合法下一步。形式上，研究者往往證明：

$$
\forall n,\quad \exists S_{n+1}\;P_n(S_n,S_{n+1}),
$$

或甚至：

$$
\forall n,\forall S_n\in X_n,\quad
\exists S_{n+1}\in X_{n+1}\;P_n(S_n,S_{n+1}),
$$

然後在語言上把這些局部存在結果描述成一條連續演化路徑。然而，真正的動態過程通常要求更多：下一狀態必須保留父狀態的歷史、約束、守恆量、分支身份與生成關係；不能在每一階段重新選取一個滿足局部條件但不屬於同一條 parent-consistent branch 的 witness。

本文將「下一步為什麼是下一步」形式化為 Arrow Legitimacy 問題，提出 Same-Parent Path、Branch Identity、History Preservation、No-Hidden-Reset、Successor Compatibility 與 Arrow Composition 等條件。本文指出：

$$
\boxed{
\text{Local successor existence}
\neq
\text{same-parent continuation}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{same-parent continuation}
\neq
\text{globally coherent trajectory}
}
$$

本文進一步分析 classical choice、induction、compactness、diagonal selection 與 AI proof search 如何在形式上產生一串彼此可接受的 witnesses，卻可能在過程語義上發生 branch switching。最後，本文提出 Arrow Audit Schema，作為後續處理 bounded/unbounded、completion operator 與 Navier–Stokes 個案審計的基礎。

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## 關鍵詞

下一步、箭頭合法性、Same-Parent Path、branch identity、trajectory、witness substitution、history dependence、hidden reset、AI 數學、形式化證明、induction、choice、proof graph

---

# 1. 問題不是「有沒有下一個狀態」，而是「它是不是這一個狀態的下一步」

設狀態空間為：

$$
\mathcal S.
$$

一個最弱的逐步存在命題可以寫成：

$$
\forall S\in\mathcal S,\quad
\exists S'\in\mathcal S,\quad
P(S,S').
$$

如果 $P$ 只表示「 $S'$ 滿足下一階段需要的某些條件」，那麼這個命題只能保證：

$$
\text{Next-stage witness exists}.
$$

它不自動保證：

$$
\text{$S'$ 是由 $S$ 合法生成}.
$$

更不保證：

$$
\text{$S'$ 與 $S$ 屬於同一條歷史分支}.
$$

因此本文把「下一步」分解成兩個不同概念：

$$
\operatorname{CandidateNext}(S,S')
$$

與：

$$
\operatorname{LegitimateNext}(S,S').
$$

第一個只要求 $S'$ 滿足下一階段的局部條件。

第二個要求 $S'$ 同時保留 $S$ 所承載的歷史、身份與生成義務。

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{CandidateNext}(S,S')
\not\Rightarrow
\operatorname{LegitimateNext}(S,S')
}
$$

這就是 Arrow Legitimacy 問題的起點。

---

# 2. 把箭頭本身升格成數學物件

普通證明通常把：

$$
S\to S'
$$

當成一個語言上的縮寫。

本文則把箭頭寫成：

$$
\alpha:S\rightsquigarrow S'.
$$

其中 $\alpha$ 不是單純的真值，而是一個包含 transition information 的物件。

定義一個箭頭：

$$
\alpha=
(
S,
S',
\mathcal R,
\mathcal I,
\mathcal H,
\mathcal C
),
$$

其中：

- $\mathcal R$：生成規則；
- $\mathcal I$：必須保持的 invariants；
- $\mathcal H$：歷史相容條件；
- $\mathcal C$：局部約束與 admissibility conditions。

箭頭合法性定義為：

$$
\operatorname{ArrowValid}(\alpha)=1
$$

當且僅當：

$$
\mathcal R(S)=S'
$$

或至少：

$$
\mathcal R(S,S')
$$

成立，且：

$$
\operatorname{Preserve}_{\mathcal I}(S,S'),
$$

$$
\operatorname{HistoryCompatible}_{\mathcal H}(S,S'),
$$

$$
\operatorname{ConstraintValid}_{\mathcal C}(S,S').
$$

因此真正的下一步不只是：

$$
P(S').
$$

而是：

$$
P(S')
\land
\operatorname{ArrowValid}(S\rightsquigarrow S').
$$

---

# 3. Same-Parent Path

設：

$$
S_0
$$

為起始狀態。

一條有限路徑：

$$
\pi_n=(S_0,S_1,\ldots,S_n)
$$

若滿足：

$$
\forall k<n,\quad
\operatorname{ArrowValid}(S_k\rightsquigarrow S_{k+1}),
$$

則稱為 **Same-Parent Finite Path**。

若存在無限 trace：

$$
\tau:\mathbb N\to\mathcal S,
$$

滿足：

$$
\tau(0)=S_0
$$

以及：

$$
\forall n,\quad
\operatorname{ArrowValid}(\tau(n)\rightsquigarrow\tau(n+1)),
$$

則稱 $\tau$ 為 **Same-Parent Path**。

記作：

$$
\operatorname{SPP}(\tau)=1.
$$

這個條件直接排除一類常見錯覺：

$$
\forall n,\quad \exists S_n\in X_n
$$

並不等價於：

$$
\exists\tau,\quad
\forall n,\;
\tau(n)\in X_n
\land
\operatorname{ArrowValid}(\tau(n)\rightsquigarrow\tau(n+1)).
$$

換句話說：

$$
\boxed{
\text{Layerwise existence}
\neq
\text{pathwise existence}
}
$$

---

# 4. Branch Identity：為什麼每一層都有解仍可能不是同一條解？

考慮一棵分支樹。

第 $n$ 層合法節點集合為：

$$
L_n.
$$

每個節點 $x\in L_n$ 可能有自己的 child set：

$$
\operatorname{Child}(x)\subseteq L_{n+1}.
$$

即使：

$$
L_n\neq\varnothing
$$

對所有 $n$ 都成立，也可能存在：

$$
x_n\in L_n
$$

使每一個 $x_n$ 分別合法，但：

$$
x_{n+1}\notin\operatorname{Child}(x_n).
$$

也就是：

$$
x_0,\;x_1,\;x_2,\ldots
$$

是一串合法節點，卻不是一條 path。

因此我們引入 branch identity：

$$
\beta(S)\in\mathcal B,
$$

其中 $\mathcal B$ 是 branch identifier space。

對合法 successor：

$$
S\rightsquigarrow S',
$$

要求：

$$
\beta(S')\succeq\beta(S),
$$

也就是 $S'$ 必須是 $S$ 的 branch extension，而不是另一條分支的合法節點。

最簡單的情況可寫成：

$$
\operatorname{Parent}(S')=S.
$$

更一般地，若狀態是壓縮表示，則要求：

$$
\operatorname{History}(S)
\preceq
\operatorname{History}(S').
$$

---

# 5. Hidden Reset：最常被忽略的 branch switching

很多證明沒有顯式寫：

$$
S_n\to S_{n+1}.
$$

而是每一階段執行：

$$
S_{n+1}
:=
\operatorname{Choose}
\{x\mid Q_{n+1}(x)\}.
$$

如果 $Q_{n+1}$ 只描述第 $n+1$ 階需要的性質，而沒有強制：

$$
x\in\operatorname{Child}(S_n),
$$

那麼這一步實際上不是 successor。

它是 reset：

$$
S_n
\xrightarrow{\operatorname{Reset}}
\widetilde S_{n+1}.
$$

其中：

$$
\widetilde S_{n+1}
$$

只是在新的可行域裡重新挑出的 witness。

本文把這種操作稱為 **Hidden Reset Operator**：

$$
\mathcal R_n:
\mathcal S
\to
\mathcal S,
$$

但其輸出不真正依賴輸入狀態的 branch identity。

形式上，如果：

$$
\mathcal R_n(S)=\mathcal R_n(S')
$$

對大量不同 $S,S'$ 都成立，或 $\mathcal R_n$ 只依賴 stage index 而不是 parent state，則應進一步檢查它是否只是：

$$
\operatorname{StageWitnessSelector}(n).
$$

Hidden Reset 不一定使 theorem 錯誤。

但若 theorem 的語義宣稱「同一系統逐步演化」，則 Hidden Reset 必須被禁止或明確揭露。

---

# 6. Witness Substitution

設原來有：

$$
P(S_n).
$$

下一步需要證：

$$
Q(S_n).
$$

但直接從 $S_n$ 推不出來。

證明可能改做：

$$
\exists \widehat S_n,
\quad
P(\widehat S_n)\land Q(\widehat S_n),
$$

然後把後續全部改用 $\widehat S_n$。

若 proof statement 只需要：

$$
\exists S_n,
$$

這可能完全合法。

但若整個 proof narrative 說的是：

$$
S_0\to S_1\to\cdots\to S_n\to S_{n+1},
$$

那麼：

$$
S_n\rightsquigarrow \widehat S_n
$$

本身就是一個需要審計的新箭頭。

如果這個箭頭沒有保存歷史，則實際發生：

$$
\text{branch substitution}.
$$

因此定義：

$$
\operatorname{WitnessSubstitute}(S,\widehat S)
$$

並要求：

$$
\operatorname{EquivalentHistory}(S,\widehat S)
$$

或：

$$
\operatorname{AdmissibleReplacement}(S,\widehat S).
$$

否則不能把 substitution 當成「同一個對象的改寫」。

---

# 7. 局部 successor theorem 不等於全域路徑 theorem

一個常見且較強的條件是：

$$
\forall n,\forall S_n\in A_n,
\quad
\exists S_{n+1}\in A_{n+1},
\quad
R_n(S_n,S_{n+1}).
$$

這比：

$$
\forall n,\exists S_n
$$

強很多。

在有適當選擇原理的形式系統中，從給定 $S_0$ 可以構造一條無限 relation-compatible sequence。

但仍然存在至少三個不同層級：

$$
\text{Relational successor existence},
$$

$$
\text{Selected infinite trace},
$$

$$
\text{Effective generated trace}.
$$

第一層：

$$
\forall S_n\exists S_{n+1}.
$$

第二層：

$$
\exists\tau,\quad
R_n(\tau(n),\tau(n+1)).
$$

第三層：

$$
\exists F,\quad
\tau(n+1)=F(n,\tau(n)).
$$

其中 $F$ 可構造或可計算。

所以：

$$
\boxed{
\text{successor existence}
\neq
\text{successor mechanism}
}
$$

這個區分對 AI theorem proving 特別重要，因為 AI 很容易把第一層語言描述成第三層。

---

# 8. 下一步合法性的最低條件

本文提出以下最低條件。

對：

$$
S\rightsquigarrow S',
$$

要求至少有：

## 8.1 Parent Dependence

$$
S'
$$

必須依賴 $S$，而不是只依賴 stage index。

形式上：

$$
S'\in\Phi(S).
$$

---

## 8.2 Constraint Preservation

若：

$$
\mathcal I(S)
$$

是 invariants，則要求：

$$
\mathcal I(S').
$$

更強地，應有：

$$
\mathcal I(S)\Rightarrow\mathcal I(S').
$$

---

## 8.3 History Preservation

令：

$$
H(S)
$$

為歷史摘要。

則：

$$
H(S)\preceq H(S').
$$

---

## 8.4 No Hidden Reset

不存在未聲明的：

$$
S\to\widehat S
$$

使後續在新 branch 上重新開始。

---

## 8.5 Local Causality

若過程宣稱是 forward process，則 $S'$ 不應依賴未來狀態：

$$
S_{n+k},
\quad k>0,
$$

除非 theorem 明確使用 boundary-value 或 global construction ontology。

---

## 8.6 Arrow Composability

若：

$$
S_0\rightsquigarrow S_1
$$

及：

$$
S_1\rightsquigarrow S_2,
$$

則 composite arrow：

$$
S_0\rightsquigarrow S_2
$$

必須在同一 semantic category 中可解釋。

若第二步偷偷更換 ontology，則 composition 失敗。

---

# 9. Local Causality 與 Global Construction 必須分開

不是所有數學證明都需要 forward causality。

例如 boundary value problem 可以一次指定：

$$
u(0)=a,
\qquad
u(1)=b,
$$

再求中間解。

這完全合法。

問題出現在研究者先採用：

$$
\text{global object construction}
$$

但在科學語言上把結果描述成：

$$
\text{forward generation}.
$$

因此本文要求先標記 proof ontology。

至少分成：

$$
\mathsf{Forward},
$$

$$
\mathsf{Boundary},
$$

$$
\mathsf{GlobalExistential},
$$

$$
\mathsf{InverseConstructive},
$$

$$
\mathsf{CompletionBased}.
$$

若 proof 屬於：

$$
\mathsf{GlobalExistential},
$$

則它可以合法地一次選完整 object。

但不能無條件推論：

$$
\mathsf{Forward}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{global consistency}
\neq
\text{forward causality}
}
$$

---

# 10. History State：若下一步依賴過去，就不能只保存當前表面狀態

有些系統不是 Markovian。

即：

$$
S_{n+1}
$$

不只依賴：

$$
S_n,
$$

還依賴：

$$
S_0,\ldots,S_n.
$$

那麼真正的 state 應該升格成：

$$
\widehat S_n
=
(S_0,\ldots,S_n)
$$

或某個足夠的歷史壓縮：

$$
M_n
=
\operatorname{Compress}(S_0,\ldots,S_n).
$$

此時 successor 應寫成：

$$
M_{n+1}
=
F(M_n,S_{n+1}).
$$

如果形式化只保留表面狀態 $S_n$，卻在後面偷偷使用完整歷史中的資訊，那麼 proof state representation 本身就不完整。

因此：

$$
\boxed{
\text{state sufficiency}
}
$$

也是 Arrow Legitimacy 的前提。

定義：

$$
\operatorname{SufficientState}(S_n)
$$

表示所有未來合法 transition 所需資訊都已被 $S_n$ 表示。

---

# 11. Branch Switching 的四種典型模式

## 11.1 Stagewise Witness Switching

每一階：

$$
\exists x_n
$$

各自成立，但沒有：

$$
R(x_n,x_{n+1}).
$$

---

## 11.2 Constraint Refresh

第 $n$ 階使用約束：

$$
C_n,
$$

第 $n+1$ 階重新選一個：

$$
C_{n+1}
$$

但：

$$
C_{n+1}
$$

不保證包含或延續 $C_n$。

---

## 11.3 Future-Compatible Reselection

為了讓後面的 theorem 成立，重新選前面的 witness。

即：

$$
S_n
$$

本來已固定，但看到 $S_{n+k}$ 的需求後又改成：

$$
\widehat S_n.
$$

如果 theorem 宣稱 forward construction，這是顯著的 semantic violation。

---

## 11.4 Completion-Induced Identity Change

有限階段 object 是：

$$
S_n,
$$

但 completion 後的 object：

$$
S_*
$$

不再是：

$$
\lim S_n
$$

或同一種 object，而是另一個 realization。

此時：

$$
S_n\to S_*
$$

需要新的 identity bridge。

這一點將在 Paper 04 詳細展開。

---

# 12. Induction 為什麼容易讓人產生「路徑已經存在」的錯覺？

數學歸納法證：

$$
P(0)
$$

和：

$$
P(n)\Rightarrow P(n+1).
$$

便得到：

$$
\forall n,\;P(n).
$$

如果 $P(n)$ 只是：

$$
\exists S_n\;Q_n(S_n),
$$

那麼歸納得到的是：

$$
\forall n,\exists S_n\;Q_n(S_n).
$$

它沒有自動得到：

$$
\exists(S_n),
\quad
\forall n,\;
Q_n(S_n)
\land
R_n(S_n,S_{n+1}).
$$

若 inductive hypothesis 本身包含完整 prefix：

$$
\exists(S_0,\ldots,S_n),
\quad
\forall k<n,\;R_k(S_k,S_{k+1}),
$$

那麼情況不同。

此時 induction 確實是在延長同一條 finite path。

因此一個重要審計問題是：

> **Inductive hypothesis 保存的是單一 stage witness，還是整條 path prefix？**

這可以寫成：

$$
\operatorname{IH}_{\text{node}}
$$

與：

$$
\operatorname{IH}_{\text{path}}.
$$

其中：

$$
\boxed{
\operatorname{IH}_{\text{path}}
>
\operatorname{IH}_{\text{node}}
}
$$

在 process proof 中通常更安全。

---

# 13. Classical Choice 與 Same-Parent Path

若我們有：

$$
\forall x\in X,\quad
\exists y\in X,\quad
R(x,y),
$$

classical dependent choice 可以給一條：

$$
x_0,x_1,x_2,\ldots
$$

滿足：

$$
R(x_n,x_{n+1}).
$$

這種情況比單純：

$$
\forall n\exists x_n
$$

好得多，因為 relation compatibility 被保留。

然而，仍需區分：

$$
\text{relation-compatible selected path}
$$

與：

$$
\text{effective forward-generated path}.
$$

Choice 可以保證存在某條 path。

它未必提供：

$$
F(x_n)=x_{n+1}
$$

的可計算 procedure。

所以如果 theorem 只要求 existence，choice 可以足夠。

如果 theorem 宣稱 algorithmic generation，choice 不足。

因此：

$$
\boxed{
\text{Dependent Choice can close path existence, but not necessarily path computation.}
}
$$

這個區分同時避免兩種錯誤：

第一種是把 choice 一律視為「假」。

第二種是把 choice 得到的 path 一律視為「已經可執行」。

兩者都不準確。

---

# 14. 一個 Arrow Audit Schema

對 proof graph 中每一個關鍵箭頭：

$$
A\xrightarrow{\alpha}B,
$$

本文建議至少檢查以下欄位：

$$
\operatorname{Source}(\alpha)=A,
$$

$$
\operatorname{Target}(\alpha)=B,
$$

$$
\operatorname{Rule}(\alpha),
$$

$$
\operatorname{ParentDependency}(\alpha),
$$

$$
\operatorname{InvariantPreservation}(\alpha),
$$

$$
\operatorname{HistoryPreservation}(\alpha),
$$

$$
\operatorname{BranchIdentity}(\alpha),
$$

$$
\operatorname{NoFutureDependency}(\alpha),
$$

$$
\operatorname{NoHiddenReset}(\alpha),
$$

$$
\operatorname{Composability}(\alpha).
$$

若 theorem 宣稱計算性，再追加：

$$
\operatorname{Computability}(\alpha),
$$

$$
\operatorname{Termination}(\alpha),
$$

$$
\operatorname{ResourceBound}(\alpha).
$$

因此可以把一個 proof 從單純 DAG：

$$
V,E
$$

升格成：

$$
G_{\mathrm{proof}}
=
(V,E,\Lambda),
$$

其中 $\Lambda$ 為每個 edge 的 semantic metadata。

---

# 15. Arrow Closure

Paper 01 提出了 Theorem Closure。

本文進一步定義 **Arrow Closure**。

若 proof 中所有對結論必要的 transition：

$$
\alpha_1,\ldots,\alpha_k
$$

皆滿足：

$$
\operatorname{ArrowValid}(\alpha_i)=1,
$$

且不存在未聲明的 identity-changing transition，則稱：

$$
\operatorname{AC}(\Pi)=1.
$$

因此：

$$
\operatorname{TC}(\Pi)=1
$$

與：

$$
\operatorname{AC}(\Pi)=1
$$

是不同性質。

一個 theorem 可以有：

$$
\operatorname{TC}=1,
$$

但因為 statement 本身沒有要求 process semantics，而具有：

$$
\operatorname{AC}=0
$$

或：

$$
\operatorname{AC}
$$

根本未定義。

這不是 kernel error。

這是 proof ontology 未被完整指定。

---

# 16. Same-Parent Closure

進一步，若存在 trace：

$$
\tau,
$$

使：

$$
\operatorname{SPP}(\tau)=1,
$$

並且所有 theorem conclusion 都是針對同一條 $\tau$ 建立，而不是在不同 branch witnesses 間切換，則稱 proof 達成：

$$
\operatorname{SPC}(\Pi)=1.
$$

其中 SPC 表示 Same-Parent Closure。

因此有：

$$
\boxed{
\operatorname{TC}
\neq
\operatorname{AC}
\neq
\operatorname{SPC}
}
$$

在很多傳統 theorem 中，只需要 TC。

在動態過程 theorem 中，至少應檢查 AC。

若 theorem 宣稱一條完整演化，則應進一步檢查 SPC。

---

# 17. 對 AI theorem proving 的直接意義

AI proof search 很容易採用如下策略：

$$
\text{current obligation}
\to
\text{find any witness satisfying it}
\to
\text{continue}.
$$

這在局部非常有效。

但如果每次都重新解當前 obligation，而沒有保留：

$$
\text{branch identity},
$$

$$
\text{history state},
$$

$$
\text{parent constraints},
$$

那麼系統可能得到：

$$
\text{a sequence of locally valid proofs}
$$

卻不是：

$$
\text{a globally coherent construction}.
$$

因此 future AI mathematician 不只需要 proof memory，還需要：

$$
\boxed{
\text{trajectory memory}.
}
$$

也就是記住：

$$
\text{我現在證明的 object 是哪一條 branch 的第幾步？}
$$

而不是只記住：

$$
\text{目前有哪些 theorem 可用？}
$$

---

# 18. 「下一步到底是下一步」的強版本

最弱版本只問：

$$
\exists S_{n+1}.
$$

較強版本問：

$$
S_{n+1}\in\Phi(S_n).
$$

更強版本問：

$$
S_{n+1}=F(S_n).
$$

再更強版本問：

$$
F
$$

是否 preserving、computable、stable。

因此可以形成一個層級：

$$
\mathsf{N}_0:
\quad
\exists S_{n+1},
$$

$$
\mathsf{N}_1:
\quad
\exists S_{n+1}\in\Phi(S_n),
$$

$$
\mathsf{N}_2:
\quad
S_{n+1}=F(S_n),
$$

$$
\mathsf{N}_3:
\quad
F\text{ preserves required invariants},
$$

$$
\mathsf{N}_4:
\quad
F\text{ is effectively realizable}.
$$

不同研究問題可以要求不同層。

但必須明確標示自己到底證到了哪一層。

---

# 19. 一個實用判準：如果拿掉 stage label，下一步還能被認出來嗎？

很多 proof 的 successor 實際只靠：

$$
n
$$

而不是：

$$
S_n.
$$

因此可使用一個簡單測試。

假設把 stage label $n$ 隱藏，只給 current state $S_n$。

問：

> 能否從 $S_n$ 與合法規則辨認或生成下一步？

若不能，而必須額外知道：

$$
\text{「現在是第 73 階，所以請選第 74 階要求的 witness」},
$$

則這個 construction 可能更接近：

$$
\text{externally scheduled family}
$$

而不是：

$$
\text{self-contained dynamics}.
$$

因此可以定義：

$$
\operatorname{StageFreeStep}(S_n)
$$

作為更強的 generative criterion。

這不是所有數學 construction 都需要。

但如果宣稱 process autonomy，這是一個很有價值的測試。

---

# 20. Arrow Legitimacy 與反事實構造

某些 existence proof 會先假設：

$$
H
$$

然後在 $H$ 下建立一連串狀態：

$$
S_0^H\to S_1^H\to\cdots.
$$

最後推出：

$$
\bot.
$$

這是正常反證法。

但若在不同 stage 使用不同 strengthened hypothesis：

$$
H_0,H_1,H_2,\ldots
$$

並且：

$$
H_{n+1}
$$

不是由：

$$
H_n
$$

合法推得，而是為了下一階方便而重新加入，則 proof graph 可能出現：

$$
\text{hypothesis drift}.
$$

因此 Arrow Audit 也必須包含：

$$
\operatorname{AssumptionMonotonicity}.
$$

即：

$$
\Gamma_n
\to
\Gamma_{n+1}
$$

時，需要知道新增的前提到底是：

- 已證 theorem；
- definition unfolding；
- admissible strengthening；
- conditional branch；
- 還是未被證明的新假設。

這一點對長鏈 AI-generated proof 尤其重要。

---

# 21. 與 Paper 01 的關係

Paper 01 提出：

$$
\text{Theorem Closure}
\neq
\text{Process Completeness}.
$$

本文進一步指出 Process Completeness 的第一個必要條件就是：

$$
\boxed{
\text{Arrow Closure}.
}
$$

若：

$$
S_n
$$

與：

$$
S_{n+1}
$$

之間的箭頭沒有被完整定義，那麼即使兩個節點各自都具有完美 theorem certificates，也不能自動把它們連成同一條過程。

所以：

$$
\text{Certified nodes}
+
\text{uncertified arrows}
$$

不等於：

$$
\text{certified trajectory}.
$$

這可濃縮為：

$$
\boxed{
\text{A proof graph is only as process-complete as its edges.}
}
$$

---

# 22. 核心命題

本文提出以下六個核心命題。

第一：

$$
\boxed{
\text{A valid next-stage object is not necessarily a valid successor.}
}
$$

第二：

$$
\boxed{
\text{Layerwise existence is weaker than pathwise existence.}
}
$$

第三：

$$
\boxed{
\text{Pathwise existence is weaker than generative continuation.}
}
$$

第四：

$$
\boxed{
\text{Witness substitution must itself be treated as an arrow.}
}
$$

第五：

$$
\boxed{
\text{Hidden reset can preserve theoremhood while destroying process identity.}
}
$$

第六：

$$
\boxed{
\text{A process proof must certify edges, not only nodes.}
}
$$

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# 23. 結論

「下一步」在數學文字中常常只是一個語言習慣。

然而，只要 theorem 宣稱的是演化、生成、逐步修正、迭代逼近、尺度遞進或同一系統的長時間行為，「下一步」就不應只是修辭。

它必須有數學身份。

因此，對：

$$
S_n\to S_{n+1},
$$

真正需要問的是：

$$
\boxed{
\text{Why is this state the successor of this parent?}
}
$$

而不只是：

$$
\boxed{
\text{Can we find some state satisfying the next theorem?}
}
$$

這兩句話的差異，就是 Arrow Legitimacy。

當形式數學進入 AI 大規模 proof search 時，這個問題將更加重要。因為 AI 可以極高速地找到下一個可用 witness，也可以極高速地完成局部 theorem closure；若系統缺乏 trajectory identity，它反而更容易在大規模搜尋中產生一條「每一步都對，但不是同一條路」的 proof narrative。

因此，下一代 proof audit 不只要驗：

$$
\text{node correctness}.
$$

還必須驗：

$$
\text{edge correctness},
$$

$$
\text{branch consistency},
$$

$$
\text{history preservation},
$$

以及：

$$
\text{same-parent closure}.
$$

這就是「下一步到底為什麼是下一步」的形式版本。

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# 24. 系列後續

下一篇將進入：

## Paper 03 — 有限、無界與無限：Boundedness、Unbounded Quantification 與 Completion

核心問題將從箭頭轉向量詞與極限：

$$
\boxed{
\forall M<\infty,\;\exists x_M
}
$$

到底證明了什麼？

以及：

$$
\boxed{
\text{arbitrarily large finite}
\neq
\text{completed infinite object}
}
$$

我們將進一步分析 boundedness、unboundedness、completed infinity、diagonal quantification 與 finite-to-limit transition 的合法性。