# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 20
## Kernel Refinement Efficiency + Minimal Sufficient Paths

**日期：** 2026-09-23  
**Finite domain：** `11 ≤ n ≤ 20,000`

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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## 1. 從 Probe Selection 變成 Kernel-Space Path Planning

Round 19 已把加 probe 改寫成 kernel refinement。

Round 20 不再只問「下一個 probe 最好是哪個」，而是問：

```text
從目前 source kernel 出發，
走哪條 refinement path，
才能用最低 burden 到達 ker(J)⊆ker(Q)？
```

這是一個 path-planning 問題。

## 2. 四種 Greedy Strategy

| Strategy | Path | Cost | Final residual | Sufficient |
|---|---|---:|---:|---|
| kernel | `Q210 → D11 → F2 → F5` | 7.5 | 0.22511% | False |
| task | `S2 → S3` | 8.0 | 0.00000% | True |
| kernel_per_cost | `Q210 → D11 → F2 → F5` | 7.5 | 0.22511% | False |
| task_per_cost | `W210 → F5 → Q210 → F2` | 7.8 | 0.46523% | False |

這四種策略分別最大化：

- immediate kernel gain；
- immediate task gain；
- kernel gain / cost；
- task gain / cost。

它們不必走同一條路。

## 3. T20.1 — Endpoint 對順序不敏感

固定 probe set S 時：

```text
ker(join S)
```

只取決於 kernel intersection，因此對 insertion order 不敏感。

換句話說：

```text
A → B → C
```

與：

```text
C → A → B
```

若使用相同 probe set，最後 partition 一樣。

## 4. T20.2 — 但 Marginal Gain 對路徑敏感

雖然 endpoint 相同，每一步的：

```text
G_kernel
G_task
```

卻取決於「目前已經走到哪個 kernel」。

所以同一個 probe B：

```text
gain(B | empty)
```

和：

```text
gain(B | after A)
```

可以不同。

這就是 refinement path 有意義的原因。

## 5. Minimum Sufficient Sets

本輪 exhaustive 搜尋到的最小 sufficient size：

```text
2
```

Minimum-size sufficient sets：

- `S2+S3` | size=2 | cost=8.0
- `S2+S5` | size=2 | cost=8.0

最低 structural-cost sufficient sets：

- `W210+S2+F3` | size=3 | cost=7.8
- `W210+S2+F5` | size=3 | cost=7.8

因此「最少 probes」與「最低 burden」即使這輪可能重合，也應該視為兩個不同 objective。

## 6. Greedy Regret

- `kernel`：path `Q210 → D11 → F2 → F5`，residual=0.22511%; 同成本以下最佳 subset `Q210+D11+F2+F5`，residual=0.22511%，regret=0.00000%
- `task`：path `S2 → S3`，residual=0.00000%; 同成本以下最佳 subset `W210+S2+F3`，residual=0.00000%，regret=0.00000%
- `kernel_per_cost`：path `Q210 → D11 → F2 → F5`，residual=0.22511%; 同成本以下最佳 subset `Q210+D11+F2+F5`，residual=0.22511%，regret=0.00000%
- `task_per_cost`：path `W210 → F5 → Q210 → F2`，residual=0.46523%; 同成本以下最佳 subset `W210+S2+F3`，residual=0.00000%，regret=0.46523%

這直接檢查：某個 greedy policy 是否在同一 cost budget 下已經輸給別的 subset。

若 regret > 0，就代表 immediate-gain greedy 不是該 budget 的最佳 refinement。

## 7. Kernel Gain vs Task Gain

一個 probe 可以：

```text
大量切 source pairs
```

但：

```text
幾乎不降低 target residual。
```

反過來，一個只做少量切分的 probe，也可能剛好切中 target-mixed fibers，帶來很大的 task gain。

所以：

```text
maximize G_kernel
```

和：

```text
maximize G_task
```

本質上是不同路徑規劃問題。

## 8. Delayed Task Gain / Synergy Search

本輪特別找：

```text
A 自己 task gain = 0
但 A 先 refinement 後，
B 的 marginal task gain 反而變大。
```

結果：

- `D11` → `Q30`：B gain from empty=73.32666%, after A=75.44772%, synergy=2.12106%
- `D11` → `Q210`：B gain from empty=77.13357%, after A=79.16458%, synergy=2.03102%
- `D11` → `Q6`：B gain from empty=66.66333%, after A=68.17909%, synergy=1.51576%
- `D11` → `S2`：B gain from empty=88.67434%, after A=88.67934%, synergy=0.00500%

如果這種案例存在，就代表：

```text
immediate task-neutral
!= globally useless.
```

也就是先做 preparation refinement，可能改變後續 probe 的有效性。

## 9. 一個新的 Path Object

現在一條 proof/refinement path 可以寫成：

```text
π = (K0, P1, K1, P2, K2, ..., Pt, Kt)
```

其中：

```text
Ki = Ki-1 ∩ ker(Pi)
```

每一步都帶：

- kernel gain；
- task gain；
- cost；
- residual；
- provenance。

所以 adaptive proof policy 現在可以直接重寫成 kernel-space trajectory。

## 10. Kernel-Space Search 與 Round 12–14 的關係

Round 12：找 operator order。  
Round 13：counterexample 驅動 policy 生長。  
Round 14：probe invention。  
Round 19：全部重新表示成 kernel refinement。

Round 20 則第一次把這些合成：

```text
search over refinement trajectories
```

而不是 search over feature lists。

## 11. 一個更成熟的 Optimization Target

現在最自然的目標不是：

```text
argmax immediate accuracy gain
```

而是：

```text
argmin total path burden
subject to
Kt ⊆ ker(Q)
```

或者在無法到達 sufficient kernel 時：

```text
minimize residual under burden budget.
```

這已經是明確的 constrained planning problem。

## 12. Greedy 為什麼可能失敗

greedy 只看局部：

```text
best next split
```

但真正問題是：

```text
best path to a target-homogeneous partition.
```

若 probe gains 有 overlap、complementarity 或成本差異，局部最佳不保證全域 path 最佳。

這和一般搜尋／規劃問題完全一致。

## 13. 下一輪

Round 21 最值得做：

```text
Kernel-Space A* / Dynamic Programming Prototype
```

直接把：

- kernel state；
- residual；
- accumulated burden；
- admissible probe transitions；

建成圖搜尋問題。

然後比較：

- greedy；
- uniform-cost；
- A*-like heuristic；
- exhaustive optimum。

這會讓 SDRPC 從「理論上可規劃」進一步變成真正的 kernel-space proof planner。

## 14. Round 20 結論

```text
final kernel depends on probe set, not insertion order;
marginal gains depend on path;
kernel gain and task gain are distinct objectives;
greedy immediate gain need not minimize burden to sufficiency;
proof synthesis can be formulated as path planning in kernel space.
```

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```text
Round 20: COMPLETE
Next: Round 21 — Kernel-Space A* / Dynamic Programming Prototype
```