# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 19
## Source-Kernel Refinement Calculus

**日期：** 2026-09-23  
**Finite domain：** `11 ≤ n ≤ 20,000`

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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## 1. 加一個 Probe = Refining the Source Kernel

Round 18 定義：

```text
x ~J y  iff  J(x)=J(y)
```

Round 19 把新增 probe P 寫成 joint observation `(J,P)`。

因此：

```text
ker(J,P) = ker(J) ∩ ker(P)
```

probe addition 的本質不是 feature accumulation，而是 equivalence-class refinement。

## 2. T19.1 — Joint Kernel Intersection

```text
(J,P)(x)=(J,P)(y)
<=> J(x)=J(y) and P(x)=P(y)
```

所以 joint source kernel 正是兩個 kernels 的交集。

## 3. T19.2 — Refinement Monotonicity

新增資訊只會把舊 block 切成更小 blocks，不會把原本分開的 blocks 合併。

因此 kernel ambiguity 單調不增。

若 Source Residual 定義為「落在 target-contradictory blocks 裡的元素比例」，則：

```text
R_source(J,P) <= R_source(J)
```

原因是 homogeneous block 細分後仍 homogeneous；只有 contradictory blocks 可能被修復。

## 4. T19.3 — Task Sufficiency 的偏序條件

target 自己也誘導 kernel：

```text
x ~Q y  iff  Q(x)=Q(y)
```

那麼：

```text
J sufficient for Q
<=> ker(J) ⊆ ker(Q)
```

也就是 source partition 必須至少細到：任何同 observation state 的兩個 object 都不能跨 target label。

## 5. T19.4 — Target Kernel 是 Coarsest Sufficient Partition

如果不限制 observation grammar，最粗又 sufficient 的 partition 正是 `ker(Q)`。

任何 sufficient source kernel 都必須 refinement 到 `ker(Q)` 裡。

但這只是結構下界，不代表 target oracle 可以被當成合法 discovery probe。

## 6. Finite Replay

| Family | Blocks | Kernel pairs | Contradictory blocks | Residual mass | Sufficient |
|---|---:|---:|---:|---:|---|
| `EMPTY` | 1 | 199790055 | 1 | 100.00000% | False |
| `Q6` | 6 | 33290014 | 2 | 33.33667% | False |
| `Q30` | 30 | 6650010 | 8 | 26.67334% | False |
| `Q210` | 210 | 941450 | 48 | 22.86643% | False |
| `Q210+D11` | 420 | 784178 | 49 | 20.83542% | False |
| `Q210+F2` | 270 | 831277 | 12 | 2.90145% | False |
| `Q210+F2+F3` | 301 | 829069 | 2 | 0.45523% | False |
| `Q210+S2` | 259 | 832868 | 5 | 1.25563% | False |
| `Q210+S2+S3` | 282 | 831210 | 0 | 0.00000% | True |
| `S2+S3` | 4 | 159308410 | 0 | 0.00000% | True |
| `S2+S3+S5` | 6 | 159096052 | 0 | 0.00000% | True |

這張表開始把兩種不同的「變細」拆開：

1. source kernel 是否真的 refinement；
2. target residual 是否真的下降。

兩者不是同一回事。

## 7. T19.5 — Redundancy Criterion

新增 P 對 J 完全冗餘，當且僅當：

```text
P 在每個 J-fiber 上都是常值
```

等價地：

```text
ker(J) ⊆ ker(P)
```

此時：

```text
ker(J,P)=ker(J)
```

這就是 Round 02 dominance audit 的 kernel 版本。

## 8. Zero Task Gain 不等於 Redundant

本輪找到 probe 確實 split source kernel、但 contradictory-element mass 沒下降的案例：

- base `EMPTY` + `D11`：kernel pair gain=33,036,696，task residual gain=0.00000%
- base `Q210+S2` + `D11`：kernel pair gain=137,700，task residual gain=0.00000%
- base `Q210+S2` + `F2`：kernel pair gain=2,194，task residual gain=0.00000%

因此：

```text
information gain != task gain
```

一個 probe 可以新增真實資訊、切掉大量 source pairs，卻暫時沒有把任何 mixed target block 修成 homogeneous。

## 9. Kernel Gain 與 Task Gain

現在至少要分：

```text
G_kernel(P|J)
 = old kernel-pair count - new kernel-pair count
```

以及：

```text
G_task(P|J,Q)
 = R_source(J,Q) - R_source((J,P),Q)
```

前者衡量資訊 refinement，後者衡量資訊是否真正轉化成 target resolution。

## 10. Minimal Sufficient Registered Families

本輪 registered grammar 的最小 sufficient subset size = **2**。

- `S2+S3` | blocks=4 | residual=0.00000%
- `S2+S5` | blocks=4 | residual=0.00000%

在這個 finite domain / grammar 中，最短 sufficient paths 是兩個 strong-probe atoms。

更精確地說：找最少 probes，使 kernel intersection 第一次完全落入 `ker(Q)`。

## 11. Refinement Lattice

所有 observation kernels 可以依 refinement 排成偏序。

若 K1 比 K2 更細，可寫：

```text
K1 <= K2
```

probe join 就是在 equivalence-relation lattice 中做 intersection / refinement。

所以 Probe Calculus 現在可以重寫成：

```text
Source-Kernel Refinement Calculus
```

## 12. 算子本體論接口

鏈條現在變成：

```text
Operator Source
-> Observation Map
-> Source Kernel
-> Refinement Dynamics
-> Target Factorization
```

算子先生成 observation，再決定哪些 object 對 source 仍不可區分。

## 13. Source Residual 的單調路徑

一個 synthesis process 可寫成：

```text
K0 >= K1 >= K2 >= ...
```

同時：

```text
R0 >= R1 >= R2 >= ...
```

直到 residual=0 或 grammar exhausted。

## 14. 四種 Probe 類型

現在可以精確區分：

1. **Redundant probe**：kernel 完全不變；
2. **Informative but task-neutral probe**：kernel 變細，但 residual 不變；
3. **Task-relevant probe**：kernel 變細且 residual 下降；
4. **Task-sufficient refinement**：kernel 最終落入 target kernel。

以前這四種常被籠統叫成「新增 feature」。

## 15. 下一輪

Round 20：

```text
Kernel Refinement Efficiency + Minimal Sufficient Paths
```

要研究：

- 從 coarse kernel 到 target-sufficient kernel 有多少 refinement paths；
- greedy 最大 kernel gain 和 greedy 最大 task gain 是否走不同路；
- 哪條路的 burden 最低；
- 是否存在「先做 task-neutral refinement，之後才能換來巨大 task gain」的情況。

這會把 adaptive proof policy 升級成 kernel-space path planning。

## 16. Round 19 結論

```text
probe join is kernel intersection;
adding information is partition refinement;
Source Residual is monotone under refinement;
task sufficiency is ker(J)⊆ker(Q);
redundancy and task-neutral information are structurally different.
```

Probe Calculus 到這裡可以正式理解成一套 Source-Kernel Refinement Calculus。

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```text
Round 19: COMPLETE
Next: Round 20 — Kernel Refinement Efficiency + Minimal Sufficient Paths
```