# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 18
## Source-Symmetry Mismatch Principle

**日期：** 2026-09-23

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

---

## 1. Round 17 的真正抽象核

Round 17 表面上是在證：

```text
finite fixed-period probes cannot globally determine primality.
```

但更底層的原因不是 modulus，而是：

```text
source cannot see a transformation
while target predicate changes under that transformation.
```

## 2. T18.1 — Observation Factorization Criterion

令 joint observation map：

```text
J : X -> Y
```

target：

```text
Q : X -> Z.
```

probe family 對 Q task-sufficient，當且僅當存在：

```text
f : J(X) -> Z
```

使：

```text
Q = f ∘ J.
```

等價地：Q 必須在 J 的每個 fiber 上保持常值。

## 3. Proof

若 `Q=f∘J`，那麼 `J(x)=J(y)` 立即推出 `Q(x)=Q(y)`。

反過來，若 Q 在每個 fiber 上常值，就可以對每個 observed state y 定義 `f(y)=Q(x)`，其中 `x∈J^{-1}(y)`。因為 fiber 內 target 一致，所以 f well-defined。

因此：

```text
task sufficiency
<=> target factors through observation.
```

## 4. T18.2 — Source-Symmetry Mismatch Principle

若有 transformation `T:X->X` 滿足：

```text
J ∘ T = J
```

也就是 source 完全看不見 T。

但存在 x 使：

```text
Q(Tx) != Q(x)
```

那麼 `J(Tx)=J(x)` 卻 `Q(Tx)≠Q(x)`，直接形成 contradictory fiber。

所以 J 不可能 task-sufficient。

## 5. T18.3 — Fiber Symmetry Criterion

令 `Sym(J)` 是所有只在 J-fiber 內重新排列元素的 bijections。

那麼：

```text
Q factors through J
<=>
Q is invariant under every fiber-preserving symmetry.
```

如果某 fiber 內有 x,y 的 Q 不同，只要交換 x,y，就得到一個 source symmetry mismatch。

## 6. Replay Examples

| Example | Source | Hidden change | Same source state? | Target changes? |
|---|---|---|---|---|
| MOD_6 | n mod 6 | translation by 6 is source-invisible; repeated 5 times maps 5 to 35 | True | True |
| MOD_30 | n mod 30 | translation by 30 is source-invisible; repeated 7 times maps 7 to 217 | True | True |
| MOD_210 | n mod 210 | translation by 210 is source-invisible; repeated 11 times maps 11 to 2321 | True | True |
| MOD_1000 | n mod 1000 | translation by 1000 is source-invisible; repeated 13 times maps 13 to 13013 | True | True |
| TOY_PROJECTION | projection to first coordinate | change hidden second coordinate while holding projected coordinate fixed | True | True |
| OPERATOR_ONTOLOGY_BLINDNESS | carrier symbol only | change operator structure while carrier symbol remains fixed | True | True |

## 7. Round 17 是 T18.2 的 Instance

fixed-period probes 對 translation `T_L(n)=n+L` invariant。

primality 卻不 invariant。Round 17 的 `p -> p(1+L)` 只是沿 source-invisible translation 軌道構造一個 prime/composite collision。

所以：

```text
periodic-source insufficiency
= source-symmetry mismatch.
```

## 8. Projection / Hidden Coordinate

如果 `J(a,b)=a`，而 target 依賴 b，那任何只改 b 的 transformation 都是 source-invisible。

projection 丟掉的因此不只是模糊的『一些資訊』，而是一整組 source symmetries。

只要 target 對其中任何一個 symmetry 不 invariant，task 就無法閉合。

## 9. Operator-Ontology Blindness

把 domain 寫成：

```text
(operator_structure, carrier_symbol).
```

如果 source 只看 carrier symbol：

```text
J(structure,n)=n
```

但 target 是 structure-relative irreducibility，那麼切換 operator structure、保持 symbol 不變，就是 source-invisible transformation。

carrier 25 在 ordinary positive integers 中 reducible，但在 `R1mod6` multiplicative submonoid 中可為 irreducible。

因此：

```text
carrier-only representation
cannot recover operator-relative predicate
when ontology tag is omitted.
```

這把 Round 05–06 的算子本體論結果納入同一 theorem schema。

## 10. Source Kernel

現在可以正式定義：

```text
x ~_J y  iff  J(x)=J(y).
```

這是 source-induced equivalence relation / kernel。

task sufficiency 就是：

```text
x ~_J y  =>  Q(x)=Q(y).
```

因此 Source Residual 的本質是：

```text
J-kernel 中還存在多少 Q-nonconstant fibers.
```

## 11. 統一圖

```text
Operator Ontology
    ↓
Domain / Morphism
    ↓
Observation Map J
    ↓
Source Kernel ~J
    ↓
Fiber Symmetry
    ↓
Target Q constant on fibers?
    ├─ yes -> Q=f∘J -> task-sufficient
    └─ no  -> symmetry mismatch -> insufficiency witness
```

Probe calculus、morphism、operator ontology、source residual 在這裡第一次完全接在同一張圖上。

## 12. Randomized Finite Replay

本輪隨機生成 **200** 組有限 `J,Q`。

逐一檢查三件事是否等價：

1. no contradictory fiber；
2. factor map f exists；
3. no within-fiber symmetry mismatch。

全部 equivalence checks：**True**。

這只是 verifier sanity check，不取代上面的數學證明。

## 13. Novelty 邊界

factorization-through-observation、fiber constancy 這些事實本身是 elementary mathematics。

SDRPC 的增量不應宣稱是發明這些基本事實，而是：

```text
把它們變成 source-insufficiency runtime 的統一 schema，
並接上 probe synthesis、operator ontology、certificate burden 與 source residual。
```

## 14. 下一輪

Round 19 最自然的是：

```text
Source-Kernel Refinement Calculus
```

把『加入 probe』重新定義為：

```text
refine the source-kernel partition.
```

然後研究：

- 一個 probe split 哪些 fibers；
- refinement lattice；
- redundant refinement；
- target-homogeneous partition；
- Source Residual 是否隨 refinement 單調下降。

這會把 Probe Calculus 提升成更底層的 partition / kernel calculus。

## 15. Round 18 結論

```text
task sufficiency is exactly factorization through observation;
source-symmetry mismatch certifies insufficiency;
fiber-preserving symmetry gives an equivalent structural view;
periodic-source impossibility is one instance;
operator-ontology blindness is another instance.
```

---

```text
Round 18: COMPLETE
Next: Round 19 — Source-Kernel Refinement Calculus
```