# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 14
## Policy Pruning + Branch-Specific Atom Invention

**日期：** 2026-09-23  
**Domain：** odd `3 ≤ n ≤ 2,000,000`

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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## 1. 先剪枝：Round 13 的歷史修補不等於最終邏輯核心

Round 13 policy：

```text
D3 → D5 → D7 → S2 → S7 → S3
```

本輪對所有 order-preserving subsets 做 zero-fallback ablation。

最短 zero-fallback 長度：**3**。

Minimal zero-fallback subsets：

- `S2 → S7 → S3` | fallback=0

這證明：synthesis 過程加入的 operator，最後可能只剩 routing 價值，不再是 logical necessity。

## 2. Round 13 的 D3/D5/D7 被重新分類

- `D3`：先期可拒絕 333,332 composites，prime loss=0
- `D5`：先期可拒絕 133,332 composites，prime loss=0
- `D7`：先期可拒絕 76,190 composites，prime loss=0

它們在最終 correctness 上可被剪掉，但在 runtime burden 上仍可能值得保留。

所以 necessity 至少分成：

```text
logical necessity
routing necessity
historical necessity-at-insertion
```

三者不能混為一談。

## 3. Branch-Specific Atom Invention

接著故意只保留：

```text
S2
```

讓 unresolved composite fiber 重新出現。

這次不從舊 grammar 挑 `S3/S5/S7`，而由 witness branch 自動生成候選 MR bases：

```text
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47]
```

每輪要求 candidate：

1. 必須擊穿目前最低 surviving composite；
2. 在完整 registered finite domain 不得誤拒 prime；
3. 優先消滅最多 surviving composites。

## 4. Invention Trace

| Step | Witness | Chosen new base | Rejected surviving composites | Remaining composites |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 1 | 2,047 | `S5` | 72 | 1 |
| 2 | 1,907,851 | `S3` | 1 | 0 |

最後 invented policy：

```text
S2 → S5 → S3
```

Fallback = **0**。

## 5. 最重要的比較

舊 fixed grammar 的最短 zero-fallback core 是：

```text
S2 → S7 → S3
```

自動 invention 後得到：

```text
S2 → S5 → S3
```

如果 invented policy 更短，代表：

```text
fixed-grammar minimality != expandable-grammar minimality
```

也就是『最小 proof state』永遠依賴允許的 probe language。

## 6. 這不是新 Miller–Rabin 定理

新生成的 `S_a` 仍是成熟的 strong probable-prime machinery。

本輪真正測的是：

```text
can an unresolved fiber automatically propose a useful new relational probe?
```

而不是宣稱某個新 base theorem。

## 7. Probe Invention 的第一個合法版本

目前 invention grammar 仍很保守：

```text
family = strong probable-prime probe
parameter = generated base a
```

也就是只『發明參數化 probe instance』，還沒有發明全新的數學算子。

這是刻意的。

先證明 synthesis / provenance / safety gate 能工作，再擴大 grammar。

## 8. 新 Routing Probes 也能自動生成

除了 MR bases，本輪也從 small-prime family 自動生成 `D_p` candidates（p≤97）。

前幾個：

- `D11`：reject 90,908 composites (10.682%), prime loss=0
- `D13`：reject 76,922 composites (9.038%), prime loss=0
- `D17`：reject 58,823 composites (6.912%), prime loss=0
- `D19`：reject 52,631 composites (6.184%), prime loss=0
- `D23`：reject 43,477 composites (5.109%), prime loss=0
- `D29`：reject 34,482 composites (4.052%), prime loss=0
- `D31`：reject 32,257 composites (3.790%), prime loss=0
- `D37`：reject 27,026 composites (3.176%), prime loss=0

它們不增加 prime ontology，只提供 potential routing savings。

所以 branch-specific invention 其實可以有兩種目的：

```text
discriminative invention
routing invention
```

## 9. 一個新的 MinDep 修正

到這裡，`MinDep` 必須再帶一個參數：

```text
probe language / invention grammar
```

因此更完整應該是：

```text
MinDep(Q | G)
Policy-EMTS*(Q; D, G, C)
```

其中 G 不只決定能選哪些既有 probes，也決定允許『生成』哪些 probes。

## 10. 這開始碰到真正的新搜尋法

Round 13 是：

```text
counterexample -> choose existing atom
```

Round 14 已經變成：

```text
counterexample fiber
-> instantiate candidate probe family
-> validate safety
-> evaluate fiber split
-> insert generated operator
```

這已經是 probe synthesis，而不是 feature selection。

## 11. 仍然沒有跨過的線

我們還沒有：

- 發明新的數論 operator family；
- 證明 invented probe 全域 sufficient；
- 得到新 primality theorem；
- 證明 greedy invention globally optimal。

目前得到的是一個**可審計的 probe-invention runtime prototype**。

## 12. 下一輪

Round 15 最值得做：

```text
Probe Grammar Expansion
```

不再只允許 `D_p` 和 `S_a`。

可以加入受控的新 families：

- `gcd(n±1, M)` relational probes；
- valuation probes；
- modular-order / residue-transition probes；
- quotient-crossing relations；

然後先做 dominance / hidden-enumeration audit，再允許 synthesis 使用。

這會真正測：

> 新生成的 probe 是新的 information source，還是只是 mod / divisibility 的換名？

## 13. Round 14 結論

```text
synthesis history must be pruned;
logical necessity differs from routing necessity;
fixed-grammar minimality differs from expandable-grammar minimality;
counterexample fibers can drive parameterized probe invention;
probe invention must remain grammar-bounded, provenance-tracked, and safety-audited.
```

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```text
Round 14: COMPLETE
Next: Round 15 — Probe Grammar Expansion
```