# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 11
## Proof-Burden Scaling

**日期：** 2026-09-23  
**最大掃描範圍：** odd `3 ≤ n ≤ 2,000,000`

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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## 1. 本輪把 Horizon 與 Total Proof Burden 合在一起

Round 08 證明 EMTS 會隨 horizon 改變；Round 10 則把 exact architecture 的 burden 拆成多軸。

Round 11 問：

> 當 domain 擴張時，哪個 architecture 的 repair burden 先跳變？Pareto frontier 會不會換人？

所有 architecture 共用的 prime 正證書底座在本輪差異比較中先扣除，只比較真正不同的 negative / repair side。

## 2. Fallback Scaling

| Horizon | W210 | S2 | S2+S3 | S2+S5 | S2+S3+S5 | S2+S3+S5+S7 |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 20,000 | 2313 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 100,000 | 13268 | 16 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 500,000 | 72752 | 33 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1,373,652 | 208759 | 58 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1,373,653 | 208760 | 59 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2,000,000 | 308213 | 73 | 3 | 1 | 0 | 0 |

這張表就是最直接的 proof-architecture phase map。

## 3. First Repair Phase Transitions

- `W210` → first state-pass composite: `121`
- `S2` → first state-pass composite: `2047`
- `S2_S3` → first state-pass composite: `1373653`
- `S2_S5` → first state-pass composite: `1907851`
- `S2_S3_S5` → first state-pass composite: `None`
- `S2_S3_S5_S7` → first state-pass composite: `None`

這些 first state-pass composites 就是 architecture 的 repair phase transition。

最典型兩個：

```text
S2      -> 2047
S2+S3   -> 1,373,653
```

它們和 Round 08 的 finite-sufficiency boundaries 完全接起來。

## 4. S2 的 Scaling

在 2047 以前，S2 可以不做 composite fallback。

一旦超過 first strong pseudoprime，repair burden 開始非零，之後隨 horizon 增加。

所以：

```text
small state remains small;
proof burden does not remain small.
```

## 5. Two-base Architecture 的相變

`S2+S3` 在 1,373,653 以前沒有 factor fallback。

到了該 witness 後，repair burden 第一次跳起來。

`S2+S5` 在本輪掃到 2,000,000 仍未觀察到 state-pass composite。

因此在本 scope，它仍保持 zero-repair；這只是 finite scan statement。

## 6. More Bases：什麼時候從 Over-Provisioned 變成必要？

到 2,000,000 為止，`S2+S5` 已足以讓本輪 composite fallback 為 0。

所以 `S2+S3+S5` 與 `S2+S3+S5+S7` 在這個 scope 仍是 over-provisioned。

但 Round 11 已經給出判定規則：

```text
當較小 architecture 出現 first repair witness，
而較大 architecture 尚未出現時，
較大 architecture 才從 over-provisioned 轉成 repair-reducing。
```

## 7. Horizon-wise Pareto Frontier

- `20,000` → `W210, S2, S2_S3`
- `100,000` → `W210, S2, S2_S3, S2_S5`
- `500,000` → `W210, S2, S2_S5`
- `1,373,652` → `W210, S2, S2_S5`
- `1,373,653` → `W210, S2, S2_S5`
- `2,000,000` → `W210, S2, S2_S3, S2_S5, S2_S3_S5`

frontier 是 horizon-relative 的；不存在脫離 scope 的單一『最佳』架構。

## 8. 2,000,000 Horizon 的 Differential Burden

- `W210`: avg probe=2.200, avg repair=20.273, fallback rate(composites)=36.2149%

- `S2`: avg probe=26.774, avg repair=0.011, fallback rate(composites)=0.0086%

- `S2+S3`: avg probe=30.695, avg repair=0.001, fallback rate(composites)=0.0004%

- `S2+S5`: avg probe=30.695, avg repair=0.000, fallback rate(composites)=0.0001%

## 9. Proof Architecture 的『相變』現在可以正式定義

對 architecture A，若存在最小 horizon `H*` 使：

```text
repair_A(H < H*) = 0
repair_A(H*) > 0
```

則 `H*` 可以視為該 architecture 在目前 verifier/certificate policy 下的第一個 repair phase transition。

它不是物理相變，而是 proof-burden state transition。

## 10. EMTS* 必須是 Horizon-indexed Pareto Object

成熟版本現在可以寫成：

```text
EMTS*(Q; H, grammar, certificate policy)
    = Pareto-minimal exact proof architectures
```

而不是固定的一個 state。

## 11. 這輪對『證明架構相變』的實際內容

不是比喻，而是：

- first pseudoprime 出現；
- zero-repair 變 nonzero-repair；
- Pareto dominance 關係可能改變；
- 更大 state 從冗餘變成有實際 repair reduction。

這是一個可以被逐 horizon 重播的離散 phase map。

## 12. 下一輪

Round 12 最值得做：

```text
Adaptive Proof Architecture
```

不再固定所有 n 都用同一 state，而是：

1. cheap probe 先跑；
2. ambiguous / risky cases 才 escalation；
3. 必要時再出 certificate；

也就是把：

```text
static EMTS*
-> adaptive decision/proof policy
```

這可能比任何固定 architecture 更符合真正的最小 proof burden。

## 13. Round 11 結論

```text
proof burden scales discontinuously at witness boundaries;
architecture optimality is horizon-relative;
over-provisioning can become necessary after a phase transition;
EMTS* is naturally a horizon-indexed Pareto object.
```

現在我們不只知道『哪個 probe 好』，而開始能畫出證明架構何時需要升級。

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```text
Round 11: COMPLETE
Next: Round 12 — Adaptive Proof Architecture
```