# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 10 (Corrected)
## Total Proof Burden Optimization

**日期：** 2026-09-23  
**Domain：** odd `3 ≤ n ≤ 20,000`

> **修正說明：** 初版 Pareto 漏算了 factor-fallback 證書的「生成成本」，只計了它很便宜的驗證成本，因而錯把大量 fallback 的 `W210` 看成全面支配。修正版加入 deterministic factor-witness discovery proxy。這個修正本身就是本輪核心：不能把成本藏在 certificate upstream。

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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## 1. Exactness 固定後，比的是整條 Proof Architecture

所有 architecture 最終都由 certificate layer 修復到 exact verdict。

本輪比較五個分離軸：

```text
state width
probe-generation burden
repair-generation burden
certificate payload
verification burden
```

不再把『證書很好驗』錯當成『證書很好產生』。

## 2. Corrected Result Table

| Architecture | bits | avg probe gen | avg repair gen | avg cert units | avg verify | fallbacks | fallback rate(composites) |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| W210 | 1 | 2.200 | 3.949 | 2.287 | 24.213 | 2313 | 29.8914% |
| S2 | 1 | 16.733 | 0.009 | 5.230 | 36.236 | 6 | 0.0775% |
| S2_S3 | 2 | 20.403 | 0.000 | 5.234 | 36.253 | 0 | 0.0000% |
| S2_S5 | 2 | 20.403 | 0.000 | 5.234 | 36.253 | 0 | 0.0000% |
| S2_S3_S5 | 3 | 24.064 | 0.000 | 5.234 | 36.253 | 0 | 0.0000% |
| S2_S3_S5_S7 | 4 | 27.724 | 0.000 | 5.234 | 36.253 | 0 | 0.0000% |

## 3. 為什麼這個修正非常重要

`W210` 只做便宜的小質數過濾，所以 probe-generation cost 很低。

但是大量 composite 通過 wheel state 後，exact layer 必須另外找到 nontrivial factor。

factor certificate 本身只有一個整數，**payload 很小、verification 很便宜**；真正昂貴的是：

```text
how did you discover that factor?
```

所以：

```text
certificate verification cost != certificate generation cost
```

這正是『complexity 被搬去哪裡』的典型案例。

## 4. Corrected Pareto Frontier

- `W210`
- `S2`
- `S2_S3`

現在 frontier 不再由 W210 單獨佔據。

不同 architecture 各自在不同軸交換成本：

- `W210`：state/probe 很便宜，但 repair generation 很重；
- `S2`：1-bit state、probe 較重，但只剩少量 fallback；
- `S2_S3 / S2_S5`：再多 1 bit 與一個 base，於本 domain 把 fallback 降到 0；
- 更多 bases：在本 domain 沒再降低 repair burden，因此被較小兩-base architecture 支配。

## 5. Architecture Over-Provisioning

`S2_S3_S5` 與 `S2_S3_S5_S7` 在這個 domain 不再帶來新的 exact repair reduction。

它們只增加 probe generation 與 state width。

因此在本 scope 下屬於：

```text
over-provisioned certificate architecture
```

這個判斷是 scope-relative，不外推到更大 horizon。

## 6. Positive Certificate 是共享底座

所有 architecture 對 primes 都使用同一 Pratt positive certificate layer。

因此 architecture 差異主要出現在：

```text
negative filtering + composite repair
```

而不是正證書端。

這也顯示 prime proof architecture 天然有一個共同正證書底座。

## 7. Proof Burden 應再細分

目前最合理的分解是：

```text
B_total
 = B_state
 + B_probe_generate
 + B_certificate_generate
 + B_certificate_payload
 + B_verify
 + B_scope_theorem
```

Round 10 初版漏掉的正是 `B_certificate_generate`。

## 8. 這輪最大的概念結果

現在至少有五種『看起來像壓縮』的東西：

1. smaller state；
2. cheaper probe；
3. smaller certificate；
4. cheaper verifier；
5. lower total proof burden。

只有第 5 個真正接近：

```text
the mathematical task became cheaper end-to-end
```

## 9. EMTS* 改成 Pareto Object

因此成熟版本不再是單一：

```text
argmin bits
```

而是：

```text
EMTS* = Pareto-minimal exact certificate-carrying architectures
```

而且必須帶 domain / horizon。

## 10. Round 10 最有趣的自我驗證

這一輪甚至不是某個 prime 數據最重要。

真正重要的是：**我們的 audit 框架抓到了自己的錯誤成本搬移。**

初版會說：

```text
W210 dominates everything.
```

補上 upstream factor-generation burden 後，這個結論消失。

這恰好證明 SDRPC / EMTS 最值得保留的一個作用：

```text
when a representation looks magically cheap, trace the missing burden upstream.
```

## 11. 下一輪

Round 11：

```text
Proof-Burden Scaling
```

將 horizon 擴大，測：

- Pareto frontier 是否換人；
- S2 / two-base architectures 的 fallback phase transitions；
- repair-generation burden 如何跳變；
- 更多 bases 何時從 over-provisioned 重新變成必要。

這會把 Round 08 的 horizon-relative state 與 Round 10 的 end-to-end burden 合流。

## 12. Round 10 結論

```text
certificate payload size != certificate generation cost;
cheap verification can hide expensive witness discovery;
minimum state != minimum proof burden;
exact proof architecture optimization is Pareto and scope-relative.
```

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```text
Round 10: COMPLETE (corrected)
Next: Round 11 — Proof-Burden Scaling
```