# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 01
## Prime Identifiability Under Probe Refinement：基準驗證

**日期：** 2026-09-23  
**研究階段：** Validation Phase I / Round 01  
**預註冊 ID：** `SDRPC-PRIME-001-R01`  
**有限驗證域：** `2 ≤ n ≤ 2,000,000`  
**Truth Channel：** deterministic sieve；prime count = `148,933`。

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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## 1. 本輪目的

本輪不尋找新質數公式，也不碰 RH 等高階猜想，只驗證 SDRPC 第一批底層主張：

1. 可逆 encoding 不應改變 primality label。
2. `2 → 6 → 30 → 210 → 2310 → 30030` 是否形成單調 wheel 候選壓縮。
3. 大於 wheel 最大基礎質數的 prime 是否全部保留。
4. 每個有限 wheel 是否仍存在 prime / composite contradictory fibers。
5. 下一層 refinement 是否能分裂部分舊 fiber，同時仍留下新的 ambiguity。
6. 不把有限實驗升格為全域證明。

## 2. Encoding Control

對 `2..10,000` 在 bases `{2,3,8,10,16}` 做 exact encode → decode round-trip。

**失敗數： `0`**

因此本輪 sanity control 支持：

```text
encoding change != prime-domain change
```

## 3. Wheel Refinement 結果

| m | base primes | φ(m) | theoretical density | empirical density | composite rejection | FPR among survivors | retained primes > p_k | contradictory residues |
|---:|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 2 | 1 | 50.000000% | 49.999975% | 54.022871% | 85.106785% | 100.000000% | 1 / 1 |
| 6 | 2*3 | 2 | 33.333333% | 33.333317% | 72.030441% | 77.660328% | 100.000000% | 2 / 2 |
| 30 | 2*3*5 | 8 | 26.666667% | 26.666663% | 79.233425% | 72.075608% | 100.000000% | 8 / 8 |
| 210 | 2*3*5*7 | 48 | 22.857143% | 22.857111% | 83.349432% | 67.421720% | 100.000000% | 48 / 48 |
| 2310 | 2*3*5*7*11 | 480 | 20.779221% | 20.779210% | 85.594463% | 64.164164% | 100.000000% | 480 / 480 |
| 30030 | 2*3*5*7*11*13 | 5760 | 19.180819% | 19.180810% | 87.321414% | 61.178105% | 100.000000% | 5760 / 5760 |

其中 candidate domain 為：

```text
C_k = { n > 1 : gcd(n, M_k) = 1 }
```

理論密度為 `phi(M_k) / M_k`。有限樣本 empirical density 與理論值只受邊界效應影響。

## 4. Wheel 的確是候選壓縮器

每一層都加入一個新的 small-prime exclusion constraint，因此候選密度單調下降。這支持對 M6 的新定位：它是低成本、早期壓縮率高的 quotient filter，而不是完整 primality 判定器。

## 5. Prime Retention Control

所有層在排除 `p ≤ p_k` 的 wheel 自身例外 prime 後，都得到：

```text
adjusted prime retention = 100%
```

於本輪有限域成立。

## 6. Contradictory Fibers

表格最後一欄顯示：有限 wheel 的 coprime residue classes 仍存在同時包含 prime 與 composite 的 classes。只要這種 fiber 存在，該 probe 就不可能對 primality task-sufficient。

## 7. Counterexample-Guided Refinement 基準

- **mod 2 → mod 6**：舊層 witness：prime `5` 與 composite `9` 同屬 residue `1`；升級後分成 `5` 與 `3`。 但新層仍有 contradictory fiber：prime `7` 與 composite `25` 共享 residue `1`。
- **mod 6 → mod 30**：舊層 witness：prime `7` 與 composite `25` 同屬 residue `1`；升級後分成 `7` 與 `25`。 但新層仍有 contradictory fiber：prime `19` 與 composite `49` 共享 residue `19`。
- **mod 30 → mod 210**：舊層 witness：prime `19` 與 composite `49` 同屬 residue `19`；升級後分成 `19` 與 `49`。 但新層仍有 contradictory fiber：prime `11` 與 composite `221` 共享 residue `11`。
- **mod 210 → mod 2310**：舊層 witness：prime `11` 與 composite `221` 同屬 residue `11`；升級後分成 `11` 與 `221`。 但新層仍有 contradictory fiber：prime `13` 與 composite `2323` 共享 residue `13`。
- **mod 2310 → mod 30030**：舊層 witness：prime `13` 與 composite `2323` 同屬 residue `13`；升級後分成 `13` 與 `2323`。 但新層仍有 contradictory fiber：prime `19` 與 composite `30049` 共享 residue `19`。

因此本輪同時觀察到：

```text
refinement genuinely adds information
but
refinement still does not prove primality
```

## 8. Quantifier Residual

對本輪所有有限 wheel，都仍有：

```text
R_prime(P_Mk) != 0
```

主要 residual：

- `unseen_factor_residual`
- `global_correctness_residual`
- `finite_to_global_residual`

survivor 仍可能由大於目前 wheel 基礎質數的因子相乘而成。

## 9. 對舊 M6 不動點線的校準

本輪先驗證 M6 fixed-point 前置候選域。結果支持：

```text
M6* = small-prime exclusion compressed into a quotient image
```

因此 M6 fixed point 若再使用 divisibility，最精確的依賴定位仍是：

```text
quotient-filtered divisibility construction
```

下一輪若重跑 fixed-point operator，應直接做 dependency / hidden-enumeration audit。

## 10. 本輪對 SDRPC 的評價

### 已通過

- encoding / domain separation sanity control；
- wheel refinement 候選收縮；
- prime retention；
- contradictory fiber 可直接計算；
- counterexample-guided refinement 可落地；
- quantifier residual 可以明確保存。

### 尚未證明

- SDRPC 存在新的 prime structural compression；
- Probe Calculus 超越既有 sieve / feature-selection 語言；
- Quantifier Descent 在 prime case 產生非平凡新 proof method；
- 存在 finite task-sufficient non-oracular probe family。

## 11. 下一輪

下一輪不把 modulus 暴力加大，而進入：

```text
Probe-Class Comparison
```

至少比較 wheel / quotient、bounded relational、sequence-local、hybrid probes，並對每一類做 contradictory-fiber reduction、dominance audit、hidden-oracle audit、cost 與 proof-burden proxy。

核心問題：

> 哪一類 probe 能用最少的新結構資訊，分裂最多真正與 primality 有關的 contradictory fibers？

## 12. Round 01 結論

```text
Wheel refinement = real information refinement != primality proof.
Finite wheel => persistent contradictory fibers.
```

因此 `6k±1` 已被實驗性地拆成：

```text
quotient + small-factor exclusion + candidate compression + remaining ambiguity
```

這是 SDRPC Validation Phase I 的第一個可重現基線。

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## 研究狀態

```text
SDRPC Theory Phase I: COMPLETE
SDRPC Validation Phase I: ACTIVE
SDRPC-PRIME-001 Round 01: COMPLETE

Next:
Probe-Class Comparison + Dominance / Leakage Audit
```