# ESC-EXP-28：Automatic Semantic Residual Factor Discovery / Provenance Factor Compiler

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-28  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-27  
**狀態：** Automatic Residual Factor Discovery / Provenance Compiler Experiment

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

---

## 摘要

ESC-EXP-27 已經證明：

> 如果多個 future tasks 共用同一批 latent distinctions，provenance code 應沿 shared latent dependency 分解，而不應只沿 task/API boundary 重複保存。

但是 EXP-27 的：

$$
Z_{A\text{-only}},
\quad
Z_{\mathrm{shared}},
\quad
Z_{B\text{-only}}
$$

仍然是人工指定。

本輪拿掉這個人工 factor design。

runtime 只收到：

1. Hot representation：
   $$
   H;
   $$
2. primitive residual atoms；
3. future task family：
   $$
   \mathcal J
   =
   \{J_1,\dots,J_m\};
   $$
4. query workload；
5. 每個 factor 的 metadata/index cost：
   $$
   \kappa.
   $$

然後自動編譯 provenance factors。

本輪首先定義每個 primitive residual atom：

$$
r
$$

的 task-incidence signature：

$$
\boxed{
\sigma(r)
=
(
\mathbf 1[r\in J_1],
\dots,
\mathbf 1[r\in J_m]
).
}
$$

再定義：

$$
\boxed{
r_i
\sim_{\mathrm{task}}
r_j
\iff
\sigma(r_i)
=
\sigma(r_j).
}
$$

其 quotient：

$$
\boxed{
\mathcal Z_{\mathrm{inc}}
=
\mathcal R
/
\sim_{\mathrm{task}}
}
$$

就是：

> **所有被完全相同 task subset 使用的 primitive residual atoms 自動合併成同一 shared factor。**

在 EXP-27 的 A/B task family 中，compiler沒有任何人工提示就自動找回：

$$
\boxed{
\{R_{00}\},
\quad
\{R_{01},R_{10}\},
\quad
\{R_{11}\}.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
A\text{-only},
\quad
\text{Shared},
\quad
B\text{-only}.
}
$$

更重要的是：

在完整 4-atom Bell partition space中共有：

$$
\boxed{
B_4
=
15
}
$$

種 factorization。

對 A/B family：

- zero-overread factorizations共有：
  $$
  2;
  $$
- 最少 factor count：
  $$
  \boxed{
  3;
  }
  $$
- 唯一 canonical 3-factor minimum正是 task-incidence quotient。

因此本 finite separable residual model中：

$$
\boxed{
\text{Task-Incidence Quotient}
=
\text{coarsest zero-overread factorization}.
}
$$

加入第三個 task：

$$
C
$$

後，原本：

$$
R_{01}
$$

與：

$$
R_{10}
$$

不再具有同一 incidence signature。

所以 compiler自動把原本 shared factor拆開：

$$
\boxed{
3
\rightarrow
4\text{ factors}.
}
$$

這表示：

$$
\boxed{
\text{factorization is task-family-relative}.
}
$$

同一 latent state structure，在 task family改變後，最佳 factor boundaries也會改變。

本輪第二條主線則加入 factor metadata cost：

$$
\boxed{
C_\kappa(\mathcal Z)
=
\mathbb E[
\text{read bits}
]
+
\kappa
|\mathcal Z|.
}
$$

當：

$$
\kappa=0,
$$

compiler偏好 zero-overread factorization。

當：

$$
\kappa
$$

升高，runtime會接受部分 semantic over-read，以換取更少 factors。

因此 factor compiler本身出現 phase transitions。

### A/B Uniform

$$
3
\rightarrow
1
$$

在：

$$
\boxed{
\kappa=0.1125
}
$$

發生。

2-factor states只在 breakpoint tie，不具有正寬度最優區間。

### A/B Skewed

則真正出現：

$$
\boxed{
3
\rightarrow
2
\rightarrow
1.
}
$$

breakpoints：

$$
\boxed{
0.073299438193,
\quad
0.166378089866.
}
$$

### A/B/C Uniform

由於完全對稱：

$$
\boxed{
4
\rightarrow
1
}
$$

並在：

$$
\boxed{
\kappa=0.0625
}
$$

出現 4 / 3 / 2 / 1 factor 多重 tie。

### A/B/C Skewed

對稱性被 prior 打破後，完整 sequence變成：

$$
\boxed{
4
\rightarrow
3
\rightarrow
2
\rightarrow
1.
}
$$

breakpoints：

$$
\boxed{
0.040721910107,
}
$$

$$
\boxed{
0.042014669158,
}
$$

$$
\boxed{
0.092432272148.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{nonuniform information mass can resolve factorization degeneracy and create genuine intermediate compiler regimes}.
}
$$

這是 EXP-28 的主要結果。

---

# 1. Runtime

EXP-28 regression：

```text
6 passed
```

測試包括：

- 4 primitive residual atoms共有 15 種 set partitions；
- A/B compiler自動找回 EXP-27 三因素結構；
- incidence quotient確實為 coarsest zero-overread factorization；
- A/B/C family自動碎裂成 4 factors；
- 任意正 metadata cost會讓 A/B 選 3-factor incidence quotient而非 4 primitive factors；
- sufficiently large metadata cost最終使 compiler選 monolithic single factor。

---

# 2. Primitive Residual Atoms

H4 的四個 Hot regions：

$$
00,
\quad
01,
\quad
10,
\quad
11.
$$

每區都有一個 hidden：

$$
G
$$

distinction。

因此 primitive residual atoms：

$$
\boxed{
\mathcal R
=
\{
R_{00},
R_{01},
R_{10},
R_{11}
\}.
}
$$

---

# 3. Uniform Atom Information

Uniform prior：

$$
\boxed{
I(R_{00})
=
I(R_{01})
=
I(R_{10})
=
I(R_{11})
=
0.25\text{ bit}.
}
$$

所以 total universal residual：

$$
1\text{ bit}.
$$

---

# 4. Skewed Atom Information

Skewed：

$$
\boxed{
I(R_{00})
=
0.369729088590,
}
$$

$$
\boxed{
I(R_{01})
=
0.168058676632,
}
$$

$$
\boxed{
I(R_{10})
=
0.110602718809,
}
$$

$$
\boxed{
I(R_{11})
=
0.162887640428.
}
$$

總和：

$$
\boxed{
0.811278124459.
}
$$

與 EXP-25：

$$
H(S\mid H4)
$$

完全一致。

---

# 5. A/B Task Family

Task A：

$$
\boxed{
\{R_{00},R_{01},R_{10}\}.
}
$$

Task B：

$$
\boxed{
\{R_{01},R_{10},R_{11}\}.
}
$$

所以 incidence signatures：

$$
\sigma(R_{00})
=
(1,0),
$$

$$
\sigma(R_{01})
=
(1,1),
$$

$$
\sigma(R_{10})
=
(1,1),
$$

$$
\sigma(R_{11})
=
(0,1).
$$

因此：

$$
\boxed{
R_{01}
\sim_{\mathrm{task}}
R_{10}.
}
$$

其它 atoms皆不同類。

---

# 6. Automatic A/B Factorization

compiler得到：

$$
\boxed{
Z_1
=
\{R_{00}\},
}
$$

$$
\boxed{
Z_2
=
\{R_{01},R_{10}\},
}
$$

$$
\boxed{
Z_3
=
\{R_{11}\}.
}
$$

沒有任何：

- A-only；
- Shared；
- B-only；

語義標籤被硬寫進 compiler。

這些語義完全由：

$$
\boxed{
\sigma(r)
}
$$

自動產生。

---

# 7. 自動重建 EXP-27

因此 EXP-27 的人工 factorization：

$$
A\text{-only},
\text{Shared},
B\text{-only}
$$

在 EXP-28 被重新導出為：

$$
\boxed{
\text{task-incidence equivalence classes}.
}
$$

這表示 shared semantic layer不是任意 human design。

至少在目前 separable finite domain中，它具有 canonical combinatorial construction。

---

# 8. Coarsest Zero-Overread Theorem — Finite Model

定義 factorization：

$$
\mathcal Z
$$

為 zero-overread，若每個 task只讀它真正需要的 residual atoms：

$$
\boxed{
E_{\mathrm{overread}}(\mathcal Z)=0.
}
$$

若同一 factor中含有：

$$
r_i,
r_j
$$

而：

$$
\sigma(r_i)
\neq
\sigma(r_j),
$$

必存在某個 task：

- 需要其中一個；
- 不需要另一個。

該 task一旦讀此 factor，就必 over-read。

因此 zero-overread要求：

$$
\boxed{
\text{每個 factor只能包含同一 incidence signature 的 atoms。}
}
$$

所以最粗的 zero-overread factorization就是 incidence quotient。

---

# 9. A/B Exhaustive Verification

4 atoms所有 set partitions：

$$
15.
$$

A/B zero-overread：

$$
\boxed{
2.
}
$$

分別是：

### Fully Atomic

$$
4\text{ factors}.
$$

### Incidence Quotient

$$
3\text{ factors}.
$$

而 minimum：

$$
\boxed{
3.
}
$$

與 compiler quotient完全一致。

---

# 10. 為什麼 4-Factor 也 Zero-Overread？

因把：

$$
R_{01}
$$

與：

$$
R_{10}
$$

分開存當然仍可精確 selective read。

只是它多付一個：

$$
\boxed{
\text{factor metadata / index boundary}.
}
$$

所以只要：

$$
\kappa>0,
$$

且不產生其它差異，

3-factor quotient嚴格優於 4-factor primitive representation。

---

# 11. Task-Incidence Quotient Principle

因此可以提出：

$$
\boxed{
\text{Task-Incidence Quotient Principle}.
}
$$

在 primitive residual atoms可分離、task dependency已知、且要求 zero-overread時：

> **把所有具有相同 task-incidence signature 的 residual atoms合併，得到 coarsest zero-overread semantic factorization。**

---

# 12. A/B Storage Compression

Uniform：

naive task-wise storage：

$$
1.5.
$$

compiler factor storage：

$$
1.
$$

下降：

$$
\boxed{
33.33\%.
}
$$

Skewed：

$$
1.089939519900
\rightarrow
0.811278124459.
$$

下降：

$$
\boxed{
25.57\%.
}
$$

精確重現 EXP-27。

---

# 13. A/B Expected Selective Read

workload仍沿用：

$$
P(A)=0.45,
$$

$$
P(B)=0.45,
$$

$$
P(AB)=0.10.
$$

incidence quotient沒有 over-read。

Uniform：

$$
\boxed{
0.775\text{ bits/query}.
}
$$

Skewed：

$$
\boxed{
0.571600596401.
}
$$

---

# 14. 加入第三個 Task C

定義：

$$
C
=
\{
R_{00},
R_{10},
R_{11}
\}.
$$

此時 signatures：

$$
R_{00}:
(1,0,1),
$$

$$
R_{01}:
(1,1,0),
$$

$$
R_{10}:
(1,1,1),
$$

$$
R_{11}:
(0,1,1).
$$

四個全部不同。

---

# 15. Shared Factor 被 Task Family 拆開

A/B 時：

$$
R_{01}
\sim
R_{10}.
$$

加入 C 後：

$$
\sigma(R_{01})
=
(1,1,0),
$$

$$
\sigma(R_{10})
=
(1,1,1).
$$

所以：

$$
\boxed{
R_{01}
\not\sim
R_{10}.
}
$$

原本 shared factor：

$$
\{R_{01},R_{10}\}
$$

被自動拆成兩個。

因此：

$$
\boxed{
3
\rightarrow
4\text{ factors}.
}
$$

---

# 16. Factorization 不是 Latent Space 的固定真相

這是一個重要概念：

同一 underlying residual：

$$
\mathcal R
$$

在不同 task family：

$$
\mathcal J
$$

下具有不同 canonical factorization。

因此應寫：

$$
\boxed{
\mathcal Z^\ast
=
\mathcal Z^\ast(
\mathcal R,
\mathcal J
).
}
$$

而不是：

$$
\mathcal Z^\ast(
\mathcal R
)
$$

而已。

---

# 17. 三 Task Storage 去重

A/B/C 三個 tasks如果各存完整 task-specific residual：

Uniform：

$$
\boxed{
2.25\text{ bits}.
}
$$

factorized universal residual仍只：

$$
1.
$$

下降：

$$
\boxed{
55.56\%.
}
$$

Skewed：

$$
1.733158967727
\rightarrow
0.811278124459.
$$

下降：

$$
\boxed{
53.19\%.
}
$$

---

# 18. 更多 Tasks 可以提高 Storage Duplication Tax

增加 task count並不增加 underlying universal residual資訊：

$$
H(S\mid H)
$$

本身。

但 naive task-wise coding會隨 task overlap反覆複製相同 residual atoms。

所以：

$$
\boxed{
\text{task count}
\uparrow
\not\Rightarrow
\text{true latent information}
\uparrow,
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{naive task-boundary storage}
}
$$

可能快速膨脹。

---

# 19. Factor Metadata Cost

真正 runtime每個 factor都不是免費的。

可能需要：

- ID；
- offset；
- checksum；
- index entry；
- routing metadata；
- access-control tag；
- compression header；
- dependency metadata。

所以定義：

$$
\boxed{
\kappa
=
\text{per-factor overhead}.
}
$$

---

# 20. Compiler Objective

本輪：

$$
\boxed{
C_\kappa(\mathcal Z)
=
E[
L_{\mathrm{read}}
]
+
\kappa
|\mathcal Z|.
}
$$

其中 storage information本身在完整 universal residual factorization間保持不變，

所以本輪專注：

$$
\boxed{
\text{selective read}
\leftrightarrow
\text{factor count}.
}
$$

---

# 21. Factor Merge 會造成 Over-Read

假設把：

$$
A\text{-only}
$$

與：

$$
\text{Shared}
$$

合併。

B task需要 Shared，但不需要 A-only。

現在讀 merged factor時：

$$
\boxed{
B
\text{ 必須 over-read A-only bits}.
}
$$

所以 factor reduction不是免費。

---

# 22. Compiler Trade-Off

因此：

### 細 Factorization

優點：

- selective read精確；
- over-read低。

缺點：

- metadata多；
- index多；
- routing複雜。

### 粗 Factorization

優點：

- factor count少；
- metadata低。

缺點：

- query over-fetch。

---

# 23. A/B Uniform Phase

Uniform：

incidence quotient：

$$
3\text{ factors},
$$

read：

$$
0.775.
$$

monolithic：

$$
1\text{ factor},
$$

read：

$$
1.
$$

差：

$$
0.225.
$$

少兩個 factors。

所以 break-even：

$$
0.775+3\kappa
=
1+1\kappa.
$$

得到：

$$
\boxed{
\kappa
=
0.1125.
}
$$

---

# 24. A/B Uniform Degeneracy

在：

$$
\boxed{
\kappa=0.1125
}
$$

3-factor、某些 2-factor、以及 1-factor方案全部同 cost。

但 2-factor沒有正寬度 optimal interval。

所以：

$$
\boxed{
3
\rightarrow
1
}
$$

是實際 regime transition。

---

# 25. A/B Skewed：真正三階 Phase

Skewed：

### 3-Factor

$$
E[L]
=
0.571600596401.
$$

### 2-Factor

compiler自動選：

$$
\boxed{
\{R_{00}\},
\quad
\{R_{01},R_{10},R_{11}\}.
}
$$

read：

$$
0.644900034594.
$$

over-read：

$$
\boxed{
0.073299438193.
}
$$

---

# 26. 為什麼 Skewed 先 Merge B-Only？

因：

$$
R_{11}
$$

information mass：

$$
0.162887640428
$$

而與 shared factor合併後，主要讓不需要它的 query多讀這部分。

相較其它 merge candidates，這在目前：

- atom information；
- query frequencies；

組合下 penalty最低。

所以 compiler不是在數 atoms。

它在做：

$$
\boxed{
\text{information-weighted workload optimization}.
}
$$

---

# 27. A/B Skewed Breakpoint 1

3-factor與2-factor：

$$
0.571600596401
+
3\kappa
$$

與：

$$
0.644900034594
+
2\kappa.
$$

交點：

$$
\boxed{
\kappa
=
0.073299438193.
}
$$

---

# 28. A/B Skewed Breakpoint 2

2-factor與monolithic：

$$
0.644900034594
+
2\kappa
$$

與：

$$
0.811278124459
+
\kappa.
$$

得到：

$$
\boxed{
\kappa
=
0.166378089866.
}
$$

---

# 29. A/B Skewed Phase Sequence

因此：

$$
\boxed{
\kappa
<
0.0732994:
\quad
3,
}
$$

$$
\boxed{
0.0732994
<
\kappa
<
0.1663781:
\quad
2,
}
$$

$$
\boxed{
\kappa
>
0.1663781:
\quad
1.
}
$$

即：

$$
\boxed{
3
\rightarrow
2
\rightarrow
1.
}
$$

---

# 30. Prior 會改變 Compiler Topology

Uniform：

$$
3\rightarrow1.
$$

Skewed：

$$
3\rightarrow2\rightarrow1.
$$

同一 tasks、同一 latent atoms、同一 metadata model，

只改 probability prior，

factorization phase geometry就改變。

所以：

$$
\boxed{
\text{factor topology is prior-sensitive}.
}
$$

---

# 31. A/B/C Uniform

三 task下 zero-overread必須：

$$
4\text{ factors}.
$$

expected exact read：

$$
0.8125.
$$

monolithic：

$$
1.
$$

差：

$$
0.1875.
$$

少：

$$
3
$$

個 factors。

因此：

$$
\frac{
0.1875
}{
3
}
=
\boxed{
0.0625.
}
$$

---

# 32. Symmetry-Induced Multiway Tie

Uniform A/B/C在：

$$
\boxed{
\kappa=0.0625
}
$$

出現：

$$
4,
3,
2,
1
$$

factor方案的多重 lower-envelope tie。

所以沒有正寬度 intermediate regimes。

這是一種：

$$
\boxed{
\text{symmetry degeneracy}.
}
$$

---

# 33. A/B/C Skewed 解除 Degeneracy

Skewed atom bits不等。

結果完整：

$$
\boxed{
4
\rightarrow
3
\rightarrow
2
\rightarrow
1.
}
$$

breakpoints：

$$
\boxed{
0.040721910107,
}
$$

$$
\boxed{
0.042014669158,
}
$$

$$
\boxed{
0.092432272148.
}
$$

---

# 34. 第一個 3-Factor Merge

compiler先選：

$$
\boxed{
\{R_{10},R_{11}\}
}
$$

合併。

這兩者 task signatures：

$$
(1,1,1),
$$

與：

$$
(0,1,1).
$$

差異只在 Task A。

所以只有需要：

$$
R_{10}
$$

但不需要：

$$
R_{11}
$$

的 A-side queries會 over-read。

---

# 35. 第一個 Over-Read Penalty

4-factor exact：

$$
0.636109273047.
$$

3-factor：

$$
0.676831183154.
$$

所以：

$$
\boxed{
\Delta_{\mathrm{read}}
=
0.040721910107.
}
$$

正好等於第一個：

$$
\kappa
$$

breakpoint。

---

# 36. 第二個 2-Factor State

再把：

$$
R_{01}
$$

併入：

$$
R_{10},R_{11},
$$

得到：

$$
\boxed{
\{R_{00}\},
\quad
\{R_{01},R_{10},R_{11}\}.
}
$$

expected read：

$$
0.718845852312.
$$

over-read：

$$
\boxed{
0.082736579265.
}
$$

---

# 37. Final Monolithic State

全部 residual atoms：

$$
\boxed{
\{R_{00},R_{01},R_{10},R_{11}\}
}
$$

變成單 factor。

任何 nontrivial task都讀完整 residual：

$$
0.811278124459.
$$

expected over-read：

$$
\boxed{
0.175168851413.
}
$$

但 metadata只剩一份。

---

# 38. Automatic Compiler 已經做了什麼？

本輪 runtime已自動完成：

1. primitive residual extraction；
2. task-incidence signature；
3. zero-overread quotient；
4. exhaustive factorization enumeration；
5. expected read evaluation；
6. semantic over-read measurement；
7. metadata/read trade-off；
8. lower-envelope breakpoint search；
9. prior-conditioned phase selection。

這已經是第一個非常小型的：

$$
\boxed{
\text{Provenance Factor Compiler}.
}
$$

---

# 39. Compiler Input / Output

輸入：

$$
\boxed{
(
H,
\mathcal R,
\mathcal J,
\pi_{\mathrm{query}},
p_S,
\kappa
).
}
$$

輸出：

$$
\boxed{
\mathcal Z^\ast
=
\{
Z_1,\dots,Z_k
\}.
}
$$

以及每個 task/query應讀哪些 factors。

---

# 40. Zero-Overread Mode

若：

$$
\kappa
$$

很低，

或 application要求 strict semantic isolation，

compiler可使用：

$$
\boxed{
\mathcal Z_{\mathrm{inc}}
}
$$

task-incidence quotient。

這是：

$$
\boxed{
\text{exact selective decode mode}.
}
$$

---

# 41. Metadata-Constrained Mode

若：

- factor index很昂貴；
- storage object count有限；
- random-access descriptors太重；

則：

$$
\kappa
$$

上升。

compiler可以選：

$$
\boxed{
\text{controlled over-read}
}
$$

以換取更少 factors。

---

# 42. Over-Read 是新的 Rate

定義：

$$
\boxed{
O(\mathcal Z)
=
E[
L_{\mathcal Z}
]
-
E[
L_{\mathrm{exact}}
].
}
$$

所以 compiler不再只看：

$$
\text{stored bits}.
$$

還要看：

$$
\boxed{
\text{unnecessary fetched bits}.
}
$$

---

# 43. Storage、Read、Metadata 三軸

更完整 cost：

$$
\boxed{
\mathbf C
=
(
C_{\mathrm{store}},
C_{\mathrm{read}},
C_{\mathrm{meta}}
).
}
$$

EXP-28目前 universal residual storage固定，

所以主要研究：

$$
(C_{\mathrm{read}},C_{\mathrm{meta}}).
$$

未來若允許 factor-specific compression，三軸都會變。

---

# 44. Factor Count 不是越少越好

Monolithic residual：

$$
k=1
$$

metadata最少。

但 selective read最差。

Primitive：

$$
k=4
$$

read最精細。

但 metadata可能浪費。

所以：

$$
\boxed{
\text{optimal factor granularity}
}
$$

是一個 resource-dependent quantity。

---

# 45. Task Family 增加可能使 Factorization 變細

A/B：

$$
3\text{ zero-overread factors}.
$$

A/B/C：

$$
4.
$$

原因不是 underlying state更複雜。

而是新的 task讓原本兩個 atoms的 incidence signatures分離。

所以：

$$
\boxed{
\text{more semantic obligations can increase required factor resolution}.
}
$$

---

# 46. Task Removal 則可以重新 Merge

反過來，如果 Task C消失：

$$
R_{01}
$$

與：

$$
R_{10}
$$

signature再次相同。

compiler可重新 merge。

因此 factor architecture可隨 workload/task family動態演化。

這直接接回 EXP-19：

$$
\boxed{
\text{Dynamic Abstraction Control}.
}
$$

---

# 47. Compiler Churn 問題重新出現

如果 tasks持續進出，

factorization：

$$
\mathcal Z_t
$$

也會改變。

這會產生：

- factor migration；
- code rewrite；
- index rebuild；
- provenance remap。

所以未來 dynamic compiler也應加入：

$$
\boxed{
\operatorname{Churn}
(
\mathcal Z_t,
\mathcal Z_{t+1}
).
}
$$

---

# 48. ESC 的閉環越來越完整

EXP-18：

$$
\text{partition canonicalization}.
$$

EXP-19：

$$
\text{dynamic partition control}.
$$

EXP-24：

$$
\text{tier placement}.
$$

EXP-25：

$$
\text{bit-level provenance cost}.
$$

EXP-26：

$$
\text{task-selective read}.
$$

EXP-27：

$$
\text{shared latent factors}.
$$

EXP-28：

$$
\boxed{
\text{automatic factor compilation}.
}
$$

這些已經開始形成完整 representation compiler stack。

---

# 49. Incidence Quotient 與 Contextual Equivalence

primitive atoms：

$$
r_i,
r_j
$$

若對所有目前 tasks具有完全相同的使用 signature：

$$
\sigma(r_i)=\sigma(r_j),
$$

則在：

$$
\boxed{
\text{current task context family}
}
$$

下，它們對 factor-routing行為不可區分。

這其實是一種新的 contextual equivalence。

---

# 50. Future Task 可以打破 Factor Equivalence

A/B 時：

$$
R_{01}
\equiv_{\mathrm{task}}
R_{10}.
$$

加入 C：

$$
R_{01}
\not\equiv_{\mathrm{task}}
R_{10}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{current factor equivalence}
\neq
\text{future factor equivalence}.
}
$$

這又直接呼應 EXP-15：

$$
\boxed{
\text{current zero distinction}
\neq
\text{future zero capability difference}.
}
$$

---

# 51. Factor Compression 也需要 Future Obligation

如果未來 task family未知，

過早 merge factors可能讓新的 task產生 over-read或必須重構 factor store。

因此 provenance factorization同樣有：

$$
\boxed{
\text{future obligation price}.
}
$$

整條 ESC 線又重新接在一起。

---

# 52. 本輪錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-28.A}
\quad
r_i\sim_{\mathrm{task}}r_j
\iff
\sigma(r_i)=\sigma(r_j)
}
$$

在本 finite separable model中生成 coarsest zero-overread factorization。

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-28.B}
\quad
\text{compiler無人工 factor 標籤即可重建 EXP-27 的 A-only / Shared / B-only。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-28.C}
\quad
\text{加入新 task 可打破既有 factor equivalence 並使 zero-overread factorization 變細。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-28.D}
\quad
C_\kappa
=
E[L_{\mathrm{read}}]
+
\kappa|\mathcal Z|
}
$$

產生 factor-granularity phase transitions。

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-28.E}
\quad
\text{skewed prior可解除 uniform symmetry degeneracy，產生真正的 intermediate factor regimes。}
}
$$

---

# 53. 下一輪：ESC-EXP-29

EXP-28 已經會：

> 已知 primitive residual atoms後，自動決定怎麼 grouping。

但它仍假設：

$$
\boxed{
\text{primitive residual atoms本身已知。}
}
$$

也就是我們已經知道：

$$
R_{00},
R_{01},
R_{10},
R_{11}
$$

是底層可分解單位。

真正更難的一步是：

$$
\boxed{
\text{Automatic Residual Atom Discovery}.
}
$$

只給 runtime：

- underlying state observations；
- Hot projection；
- future task outputs；

不告訴它：

> hidden residual究竟由哪些 primitive distinctions構成。

讓它自己找最小 residual basis：

$$
\boxed{
\mathcal R^\ast
=
\{
r_1,\dots,r_k
\}
}
$$

再做 EXP-28 的 factor compiler。

也就是從：

$$
\boxed{
\text{Factor Discovery Given Atoms}
}
$$

推進成：

$$
\boxed{
\text{Atom Discovery + Factor Compilation}.
}
$$

這會開始碰到真正的：

- minimal sufficient latent basis；
- residual dictionary learning；
- Boolean / information factorization；
- task-conditioned latent decomposition；
- provenance compiler front-end。

也就是 ESC 第一個真正「從 observations 自己長出 representation primitives」的實驗。