# ESC-EXP-25：Minimal Provenance Coding for Recoverability **系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase **文件編號：** ESC-EXP-25 **版本：** v0.1 **日期：** 2026-09-23 **前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-24 **狀態：** Information-Theoretic Provenance Coding Experiment **作者：** Neo.K **機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司 --- ## 摘要 ESC-EXP-24 已經建立： $$ \boxed{ \mathcal P_0 \leftarrow M_H \leftarrow M_C \leftarrow O } $$ 的 multi-tier recoverability architecture。 但 EXP-24 的 storage proxy 仍然非常粗： $$ |M_C|-|M_H|. $$ 也就是： > Cold 比 Hot 多幾個 partition blocks，就把它當成多少 storage cost。 這個量可以用來做 finite structural optimization，但它不是資訊量。 本輪正式改成資訊論版本。 令： $$ S $$ 為 underlying atomic mechanism state， $$ H=h(S) $$ 為 Hot class， $$ C=c(S) $$ 為 finer Cold backing class， 且： $$ C\preceq H. $$ 那麼在 Hot class 已知的前提下，要精確恢復 Cold class所需的最低 asymptotic average provenance rate為： $$ \boxed{ P(H\rightarrow C) = H(C\mid H). } $$ 如果 Cold 已經是 atomic backing： $$ C=S, $$ 則： $$ \boxed{ P(H\rightarrow S) = H(S\mid H). } $$ 也就是： > **Hot representation 已經知道之後，還差多少 bits 才能完全恢復 underlying atomic identity。** 本輪得到幾個非常乾淨的結果。 ### Uniform Prior 目前 H4 active partition： $$ 4 $$ 個 blocks，而且每個 block 都恰好包含： $$ 2 $$ 個 equiprobable atomic states。 所以： $$ \boxed{ H(S\mid H4) = 1\text{ bit/state}. } $$ 換句話說： > H4 表面上從 8 states 壓到 4 classes，但要保留 universal recoverability，Cold provenance其實只需要額外保存 1 bit/state。 ### Skewed Prior 同一個 H4 partition： $$ \boxed{ H(S\mid H4) = 0.811278124459 \text{ bits/state}. } $$ 所以 block-count： $$ +4 $$ 完全不能直接理解成「需要 4 個 units 的 information」。 真正 Shannon lower bound只有： $$ 0.811278 $$ bits/state。 更重要的是： H4→H6： $$ +2\text{ blocks} $$ 需要： $$ \boxed{ 0.278661395441 \text{ bits/state}, } $$ 而 H6→H8： 同樣： $$ +2\text{ blocks} $$ 卻需要： $$ \boxed{ 0.532616729018 \text{ bits/state}. } $$ 所以： $$ \boxed{ \text{same block increment} \neq \text{same information increment}. } $$ 這正式推翻把： $$ |M_C|-|M_H| $$ 當成資訊量的解讀。 --- # 1. Runtime EXP-25 regression： ```text 7 passed ``` 測試包含： - uniform H4→H8 精確需要 1 bit； - staged entropy coding滿足 chain rule； - uniform 的四種 H5 single-split 都是 0.25 bit； - skewed prior下四個 H5 split具有不同資訊價值； - conditional Huffman長度不低於 entropy lower bound且小於 $H+1$ ； - atomic Cold backing residual uncertainty為 0； - H4 refinement menu共有： $$ 16 $$ 個 partitions。 --- # 2. Provenance Code 假設存在 residual provenance code： $$ Z. $$ 而 Cold class可以由： $$ (H,Z) $$ 精確重建： $$ C = f(H,Z). $$ 那麼： $$ H(C\mid H,Z) = 0. $$ 由資訊論基本不等式： $$ \boxed{ H(C\mid H) \le H(Z\mid H) \le H(Z). } $$ 所以： $$ \boxed{ H(C\mid H) } $$ 是任何 exact provenance representation 的資訊下限。 --- # 3. Asymptotic Achievability 對 i.i.d. state sequence： $$ S_1,\dots,S_n, $$ 條件 source coding可以讓 average rate逼近： $$ \boxed{ H(C\mid H). } $$ 因此本輪把： $$ H(C\mid H) $$ 稱為： $$ \boxed{ \text{Minimal Provenance Rate}. } $$ 這是 asymptotic average quantity。 --- # 4. One-Shot Prefix Coding 與 Shannon Limit 不同 若每個 state 都必須單獨使用 instantaneous binary prefix code， 實際 expected code length： $$ L_{\mathrm{prefix}} $$ 一般滿足： $$ \boxed{ H(C\mid H) \le L_{\mathrm{prefix}} < H(C\mid H)+1. } $$ 所以： - Shannon entropy：理想長期 compression lower bound； - Huffman：one-shot prefix coding； - fixed-width tag：最簡單 runtime implementation。 三者不能混為同一個成本。 --- # 5. Canonical H4 Partition 目前 active / Hot H4： $$ \boxed{ \{ \{\varnothing,G\}, \{D,DG\}, \{T,TG\}, \{TD,TDG\} \}. } $$ 所以每個 Hot class仍保留一個 binary unresolved distinction。 --- # 6. Uniform H4 Entropy Atomic state： $$ S $$ uniform於 8 states。 所以： $$ H(S) = \boxed{ 3\text{ bits}. } $$ H4 有 4 equiprobable classes： $$ H(H4) = \boxed{ 2\text{ bits}. } $$ 因此： $$ \boxed{ H(S\mid H4) = 3-2 = 1\text{ bit}. } $$ --- # 7. H4→H8 Universal Cold Cold： $$ H8 = S. $$ 所以： $$ \boxed{ P(H4\rightarrow H8) = 1\text{ bit/state}. } $$ 而且每個 Hot block正好只有兩種 Cold child states。 因此： $$ \boxed{ L_{\mathrm{Huffman}} = 1. } $$ fixed-width tag也： $$ \boxed{ 1\text{ bit}. } $$ 這個 case 沒有 coding overhead。 --- # 8. EXP-24 Block Proxy vs 真實 Bits EXP-24 會說： $$ H4\rightarrow C8: \quad +4\text{ blocks}. $$ EXP-25 現在說： $$ \boxed{ +4\text{ blocks} \longrightarrow 1\text{ bit/state} } $$ 在 uniform prior 下。 所以： $$ \boxed{ \text{block count} } $$ 只是結構複雜度 proxy， 不是 storage information。 --- # 9. Uniform H4→H6 Known-support H6： $$ \boxed{ \{ \{\varnothing,G\}, D, T, DG, \{TD,TDG\}, TG \}. } $$ 它把 H4 的四個 binary ambiguities拆掉其中兩個。 所以： $$ H(H6) = \boxed{ 2.5\text{ bits}. } $$ 因此： $$ \boxed{ H(H6\mid H4) = 0.5\text{ bit}. } $$ --- # 10. Uniform H6→H8 剩餘兩個 binary ambiguities： $$ \{\varnothing,G\}, $$ $$ \{TD,TDG\}. $$ 再拆開需要： $$ \boxed{ 0.5\text{ bit}. } $$ 所以： $$ \boxed{ 0.5+0.5=1. } $$ --- # 11. Provenance Chain Rule 對 nested partitions： $$ H \leftarrow C \leftarrow S, $$ 有： $$ \boxed{ H(S) = H(H) + H(C\mid H) + H(S\mid C). } $$ 因此： $$ \boxed{ H(S\mid H) = H(C\mid H) + H(S\mid C). } $$ 這可以解讀成： > Hot 尚未解決的 atomic uncertainty，被分成「Cold 已保存的 provenance」與「Cold 之後仍未保存的 residue」。 --- # 12. Provenance Conservation Law 定義： $$ P_C = H(C\mid H) $$ 為 stored provenance， $$ R_C = H(S\mid C) $$ 為 residual atomic uncertainty。 則： $$ \boxed{ P_C+R_C = H(S\mid H). } $$ 在 ideal Shannon coding 下： > 每多保存 1 bit provenance，就精確減少 1 bit unrecoverable residual uncertainty。 --- # 13. Uniform Provenance Ladder H4： $$ P=0, \quad R=1. $$ H6： $$ P=0.5, \quad R=0.5. $$ H8： $$ P=1, \quad R=0. $$ 所以： $$ \boxed{ (0,1) \rightarrow (0.5,0.5) \rightarrow (1,0). } $$ 這是 recoverability 的資訊論版直線 frontier。 --- # 14. Skewed Prior 本輪第二個 prior沿用 EXP-17 的 skewed 8-state distribution。 Atomic entropy： $$ \boxed{ H(S) = 2.655447146846 \text{ bits}. } $$ H4 entropy： $$ \boxed{ H(H4) = 1.844169022387 \text{ bits}. } $$ 所以： $$ \boxed{ H(S\mid H4) = 0.811278124459 \text{ bits}. } $$ --- # 15. Skewed H4→H8 Shannon minimal provenance： $$ \boxed{ 0.811278124459 \text{ bits/state}. } $$ 但是每個 Hot block仍然含兩個 possible atoms。 所以 one-shot binary prefix code仍至少要： $$ \boxed{ 1\text{ bit} } $$ 每個 state。 因此： $$ \boxed{ L_{\mathrm{Huffman}} = 1. } $$ coding overhead： $$ \boxed{ 1 - 0.811278124459 = 0.188721875541 \text{ bits/state}. } $$ --- # 16. Block Coding 的意義 這個： $$ 0.188722 $$ 不是「不可避免的資訊」。 它是： > one-shot prefix constraint 相對 asymptotic Shannon coding 的 overhead。 如果允許長 block arithmetic / entropy coding， average rate可以逼近： $$ 0.811278. $$ 所以 multi-tier provenance runtime還要區分： $$ \boxed{ \text{logical information requirement} } $$ 與： $$ \boxed{ \text{coding-format overhead}. } $$ --- # 17. Skewed H4→H6 同樣： $$ +2\text{ blocks}. $$ 但 minimal provenance只有： $$ \boxed{ 0.278661395441 \text{ bits}. } $$ Huffman： $$ \boxed{ 0.343484419263. } $$ residual atomic uncertainty： $$ \boxed{ 0.532616729018. } $$ --- # 18. Skewed H6→H8 也是： $$ +2\text{ blocks}. $$ 但資訊量： $$ \boxed{ 0.532616729018 \text{ bits}. } $$ Huffman： $$ \boxed{ 0.656515580737. } $$ 所以同樣： $$ +2 $$ blocks， 後半段資訊量幾乎是前半段： $$ \boxed{ 1.91\times } $$ 左右。 --- # 19. Staged Shannon Coding 不增加總 Bits Skewed： $$ H(H6\mid H4) = 0.278661395441, $$ $$ H(H8\mid H6) = 0.532616729018. $$ 相加： $$ \boxed{ 0.811278124459. } $$ 正好等於： $$ H(H8\mid H4). $$ 所以： $$ \boxed{ \text{ideal provenance staging does not change total Shannon information}. } $$ 它只改變： - 哪些 bits 在哪一 tier； - 何時讀； - latency； - coding organization。 --- # 20. 本 Canonical Chain 的 Huffman 也沒有額外 Staging Penalty 本例： $$ L(H4\rightarrow H6) = 0.343484419263, $$ $$ L(H6\rightarrow H8) = 0.656515580737. $$ 相加： $$ \boxed{ 1. } $$ direct H4→H8 Huffman： $$ \boxed{ 1. } $$ 所以 canonical chain： $$ \boxed{ \text{Huffman staging overhead}=0. } $$ 這不是一般 theorem。 只是本 finite pair-split geometry 的特殊結果。 --- # 21. H4 的四個 Binary Distinctions H4 有四個 pair blocks： $$ B_1 = \{\varnothing,G\}, $$ $$ B_2 = \{D,DG\}, $$ $$ B_3 = \{T,TG\}, $$ $$ B_4 = \{TD,TDG\}. $$ 把其中任意一個 pair拆開： $$ 4\rightarrow5 $$ classes。 --- # 22. Uniform Prior：每個 Split 都是 $0.25$ Bit 因每個 H4 pair總 mass： $$ 0.25, $$ conditional binary entropy： $$ 1. $$ 所以 contribution： $$ 0.25\times1 = \boxed{ 0.25\text{ bit}. } $$ 四組完全相同。 --- # 23. Skewed Prior：同樣 +1 Class，資訊量完全不同 實測： ### Split $\{T,TG\}$ $$ \boxed{ 0.110602718809 \text{ bits}. } $$ ### Split $\{TD,TDG\}$ $$ \boxed{ 0.162887640428 \text{ bits}. } $$ ### Split $\{D,DG\}$ $$ \boxed{ 0.168058676632 \text{ bits}. } $$ ### Split $\{\varnothing,G\}$ $$ \boxed{ 0.369729088590 \text{ bits}. } $$ 全部都是： $$ 4\rightarrow5, $$ 但 information gain相差超過： $$ \boxed{ 3.34\times. } $$ --- # 24. Block-Count Proxy 正式失效 所以： $$ \boxed{ \Delta|M| = 1 } $$ 不能推出： $$ \boxed{ \Delta I = \text{constant}. } $$ 甚至在完全相同 partition lattice depth 下， 資訊價值仍取決於： - prior； - block mass； - within-block uncertainty。 --- # 25. Immediate Split Value 對 Hot block： $$ B $$ 若把它拆成 child classes： $$ B_1,\dots,B_m, $$ 其 provenance information contribution： $$ \boxed{ V(B) = P(B) H( B_1,\dots,B_m \mid B ). } $$ 所以 split value不是「多一個 block」。 而是： $$ \boxed{ \text{block probability} \times \text{internal conditional entropy}. } $$ --- # 26. Distinction Bit Value 因此可以把某個 latent distinction： $$ d $$ 的 recoverability storage value寫成： $$ \boxed{ I(d\mid H) } $$ 或在 pair-split case： $$ \boxed{ P(B)h_2(p). } $$ 這開始允許： > 如果 Cold bit budget有限，優先保存哪些 distinctions？ --- # 27. Budgeted Provenance Selection 若 Cold provenance budget： $$ B_{\mathrm{cold}} $$ 有限， 理想問題變成： $$ \boxed{ \max_C H(C\mid H) } $$ subject to： $$ \boxed{ \operatorname{CodeCost}(C\mid H) \le B_{\mathrm{cold}}. } $$ 等價地： $$ \boxed{ \min_C H(S\mid C). } $$ 也就是在 storage budget內最小化 future unrecoverable residue。 --- # 28. H4 Refinement Menu H4 有四個 binary pair blocks。 每一組可： - keep merged； - split。 所以 refinement menu共有： $$ \boxed{ 2^4 = 16. } $$ 本輪完整枚舉全部 16 種。 --- # 29. Ideal Provenance Frontier 對任一 refinement： $$ C, $$ 都有： $$ \boxed{ H(C\mid H4) + H(S\mid C) = H(S\mid H4). } $$ 所以 ideal entropy frontier是一條： $$ \boxed{ 45^\circ } $$ 資訊守恆線。 在 uniform： $$ P+R=1. $$ 在 skewed： $$ \boxed{ P+R = 0.811278124459. } $$ --- # 30. 為什麼還需要 Optimization？ 如果 ideal bits與 residual完全一比一， 看起來似乎沒有 optimization。 但真實 runtime還有： - prefix-code overhead； - fixed-width overhead； - random-access constraint； - tier access cost； - block alignment； - update cost； - future target weighting； - nonuniform distinction value。 所以真正 planner不是只看 Shannon frontier。 而是： $$ \boxed{ \text{information value} \div \text{physical code cost}. } $$ --- # 31. Huffman Efficiency 定義： $$ \boxed{ \eta_{\mathrm{code}} = \frac{ H(C\mid H) }{ L_{\mathrm{prefix}} }. } $$ 對 skewed H4→H8： $$ \eta_{\mathrm{code}} = 0.811278. $$ 也就是 one-shot 1-bit residual tag有約： $$ 81.13\% $$ 的 Shannon efficiency。 --- # 32. Provenance Placement 與 EXP-24 的重新解讀 EXP-24： $$ H4-C8 $$ 被視為 Cold多： $$ 4 $$ 個 classes。 EXP-25 現在更精確地說： ### Uniform Cold residual： $$ \boxed{ 1\text{ bit/state}. } $$ ### Skewed ideal residual： $$ \boxed{ 0.811278\text{ bits/state}. } $$ 所以 H4-C8 的 storage economics應該重新以： $$ \eta_C \times H(S\mid H4) $$ 而不是： $$ \eta_C \times4 $$ 建模。 --- # 33. EXP-24 的 Phase Boundaries 會因此重新縮放 例如 EXP-24： $$ H4-C8 $$ storage proxy： $$ 4\eta_C. $$ 若改成 ideal uniform code： $$ \boxed{ 1\eta_C^{\mathrm{bit}}. } $$ 在 skewed prior甚至： $$ \boxed{ 0.811278 \eta_C^{\mathrm{bit}}. } $$ 因此真正的 tier phase boundaries會依 physical bit cost重新移動。 --- # 34. Structural Cost 與 Information Cost 應分開保存 但這不代表 block count沒用。 Block count仍可能影響： - index complexity； - routing table size； - branching cost； - number of reconstruction cases； - metadata overhead。 所以應保存兩個軸： $$ \boxed{ C_{\mathrm{struct}} } $$ 與： $$ \boxed{ C_{\mathrm{info}}. } $$ 其中： $$ C_{\mathrm{struct}} \sim |M_C|-|M_H|, $$ $$ C_{\mathrm{info}} = H(C\mid H). $$ --- # 35. Provenance Code 不只是 Raw Bit Cold provenance可以實現為： - binary residual； - entropy-coded residual； - reversible transform index； - provenance DAG edge； - reconstruction seed； - delta code； - external pointer。 只要： $$ (H,Z) \mapsto C $$ 可恢復， 它都是合法 provenance code。 --- # 36. Provenance Lower Bound 適用所有實現 不論 physical encoding為何， 只要 exact recovery： $$ H(C\mid H,Z)=0, $$ 就有： $$ \boxed{ H(Z\mid H) \ge H(C\mid H). } $$ 所以： $$ \boxed{ H(C\mid H) } $$ 是跨 physical representation 的共同理論下限。 --- # 37. Cold Provenance 不一定要重複 Hot 資訊 如果 Hot class： $$ H $$ 已知， Cold只需要保存 residual： $$ Z. $$ 不需要重新存： $$ H. $$ 所以正確 storage decomposition是： $$ \boxed{ \text{Hot} + \text{Conditional Residual}. } $$ 而不是： $$ \boxed{ \text{Hot} + \text{Full Raw State Copy}. } $$ --- # 38. Recoverability Coding Gain 若 raw atomic state entropy： $$ H(S), $$ Hot已保留： $$ H(H), $$ 那 Cold provenance只需要： $$ \boxed{ H(S)-H(H). } $$ 所以 relative to full duplicate storage，節省： $$ \boxed{ H(H). } $$ 這就是 Hot side information 的 coding gain。 --- # 39. Uniform Example Raw： $$ H(S)=3. $$ Hot： $$ H(H4)=2. $$ Cold residual： $$ 1. $$ 所以完整 recoverability architecture可以是： $$ \boxed{ 2\text{ hot bits} + 1\text{ cold residual bit}. } $$ 而不是： $$ 2 + 3 = 5 $$ bits 的 full duplication。 --- # 40. Skewed Example Raw entropy： $$ 2.655447. $$ Hot entropy： $$ 1.844169. $$ Cold ideal residual： $$ 0.811278. $$ 同樣： $$ \boxed{ 1.844169 + 0.811278 = 2.655447. } $$ 沒有資訊重複。 --- # 41. Multi-Tier Chain Rule 更一般： $$ M_0 \succeq M_1 \succeq \dots \succeq M_k = S. $$ 則： $$ \boxed{ H(S) = H(M_0) + \sum_{i=1}^{k} H( M_i \mid M_{i-1} ). } $$ 所以任意多層 recoverability hierarchy都可以用 conditional residual layers來實現。 --- # 42. Tiering 不增加理想總資訊 理想 Shannon world： $$ \boxed{ \sum_i H( M_i \mid M_{i-1} ) = H(S\mid M_0). } $$ 所以把 residual分： - Hot residual； - Warm residual； - Cold residual； 不會憑空增加必要資訊。 增加的是 physical implementation overhead。 --- # 43. Provenance Temperature 2.0 EXP-24 的 distinction temperature： $$ T(d) \in \{H,C,O\} $$ 現在可以再細化成： $$ \boxed{ \text{每個 residual bit 的 storage temperature}. } $$ 不是整個 partition一起移動。 這讓 tier planner從： $$ \text{partition placement} $$ 進一步變成： $$ \boxed{ \text{information-bit placement}. } $$ --- # 44. Distinction-Level Cold Allocation skewed prior中，如果 Cold只能先保存一個 H4 pair split， 理想 recoverability gain排序是： $$ \boxed{ \{\varnothing,G\} > \{D,DG\} > \{TD,TDG\} > \{T,TG\} } $$ 依 provenance bits約： $$ 0.369729, $$ $$ 0.168059, $$ $$ 0.162888, $$ $$ 0.110603. $$ 所以「先保存哪一個 distinction」現在可以定量。 --- # 45. 但資訊量不是唯一 Priority 如果某個 low-probability distinction： - future failure cost極高； - irrecoverable； - safety critical； 即使： $$ H(d) $$ 小，也可能優先 Cold-store。 所以最終 ranking需要： $$ \boxed{ \text{information} \times \text{future value/risk}. } $$ EXP-25只建立 information axis。 --- # 46. Recoverability Rate 可以正式定義： $$ \boxed{ R_{\mathrm{prov}} ( C\mid H ) = H(C\mid H). } $$ 若要求 atomic recovery： $$ \boxed{ R_{\mathrm{atomic}} (H) = H(S\mid H). } $$ 這是 representation 的： $$ \boxed{ \text{recoverability rate}. } $$ --- # 47. Recoverability Efficiency 如果 physical Cold code平均長度： $$ L_C, $$ 定義： $$ \boxed{ \eta_R = \frac{ H(C\mid H) }{ L_C }. } $$ $$ 0<\eta_R\le1. $$ 越接近： $$ 1 $$ 越接近理論最小 provenance code。 --- # 48. 完整 Cost Vector 到這一步，Cold backing成本至少應寫成： $$ \boxed{ \mathbf C_C = ( C_{\mathrm{struct}}, C_{\mathrm{info}}, C_{\mathrm{code}}, C_{\mathrm{latency}}, C_{\mathrm{update}} ). } $$ 所以單一： $$ |M_C| $$ 已經明顯不夠。 --- # 49. 回接 EXP-06 Bridge Cost EXP-06 定義 bridge cost： $$ \mathcal C_{\mathrm{bridge}} = \min H(S_P). $$ EXP-25 現在其實形成一個非常直接的 recoverability版本： $$ \boxed{ \mathcal C_{\mathrm{prov}} (H\rightarrow C) = H(C\mid H). } $$ 所以： $$ \boxed{ \text{bridge} } $$ 與： $$ \boxed{ \text{provenance residual} } $$ 其實是同一個 conditional-information問題的兩種方向。 --- # 50. 回接 EXP-12 Epistemic Uncertainty EXP-12 使用： $$ H(J\mid\Pi) $$ 表示 target-specific residual uncertainty。 EXP-25 使用： $$ H(S\mid H) $$ 表示 atomic identity residual uncertainty。 因此： $$ \boxed{ \text{recoverability code length} } $$ 正好等於： $$ \boxed{ \text{要消除的 residual uncertainty} } $$ 在 ideal coding下。 --- # 51. 回接 ESC 最早的 Complete Recoverability CER原本問： > observation 是否足以唯一恢復 underlying identity？ EXP-25現在把這件事量化。 如果 Hot不滿足 CER： $$ H(S\mid H)>0. $$ 那麼使 system重新具備 complete recovery所需的最低 side information rate就是： $$ \boxed{ H(S\mid H). } $$ 所以： $$ \boxed{ \text{CER failure} } $$ 不再只是 yes/no。 還有： $$ \boxed{ \text{distance-to-CER in bits}. } $$ --- # 52. Information-Theoretic Recoverability Gap 因此定義： $$ \boxed{ G_R(H) = H(S\mid H). } $$ 如果： $$ G_R=0, $$ Hot自身已 complete recoverable。 如果： $$ G_R>0, $$ 就是 exact recovery仍缺多少 ideal bits。 本輪： ### Uniform H4 $$ \boxed{ G_R=1. } $$ ### Skewed H4 $$ \boxed{ G_R=0.811278. } $$ --- # 53. Structural Gap 與 Information Gap EXP-23 structural support gap： $$ 8-6=2. $$ EXP-25則給 information gap。 兩者不同： $$ \boxed{ G_{\mathrm{struct}} } $$ 描述少幾個 partition distinctions， $$ \boxed{ G_{\mathrm{info}} } $$ 描述少幾 bits。 所以未來 ESC應同時報： $$ \boxed{ ( G_{\mathrm{struct}}, G_{\mathrm{info}} ). } $$ --- # 54. 本輪錨點 $$ \boxed{ \textbf{ESC-EXP-25.A} \quad \mathcal C_{\mathrm{prov}} (H\rightarrow C) = H(C\mid H). } $$ $$ \boxed{ \textbf{ESC-EXP-25.B} \quad H(S\mid H) = H(C\mid H) + H(S\mid C). } $$ $$ \boxed{ \textbf{ESC-EXP-25.C} \quad \text{uniform H4→H8 universal recoverability只需要 1 bit/state。} } $$ $$ \boxed{ \textbf{ESC-EXP-25.D} \quad \text{skewed H4→H8 Shannon minimum為 }0.811278124459\text{ bits/state。} } $$ $$ \boxed{ \textbf{ESC-EXP-25.E} \quad \text{same class-count increment can differ substantially in provenance information value。} } $$ --- # 55. 從 EXP-24 到 EXP-25 的真正修正 EXP-24： $$ \boxed{ \text{Where should distinctions be stored?} } $$ EXP-25： $$ \boxed{ \text{How many actual bits must each tier store?} } $$ 所以 multi-tier recoverability現在開始從 partition architecture進入： $$ \boxed{ \text{coded recoverability architecture}. } $$ --- # 56. 下一輪：ESC-EXP-26 EXP-25 假設 provenance code只需要支援： $$ \boxed{ \text{exact reconstruction}. } $$ 但真實系統還有另一個巨大問題： > Cold code不只要小，還要能 random access、局部更新、局部解碼，而且未必每次都需要完整 H8 recovery。 所以下一輪最自然的是： $$ \boxed{ \text{Task-Adaptive Provenance Coding / Selective Recoverability}. } $$ 也就是不再永遠要求： $$ S $$ 完整重建， 而是 future task： $$ J $$ 來了之後，只解碼足以恢復： $$ J(S) $$ 的 provenance bits。 可以研究： - task-conditioned code： $$ H(J\mid H); $$ - universal provenance code vs selective code； - progressive / layered residual coding； - random-access provenance； - which residual bits unlock which future distinctions； - multi-task rate region。 真正問題會變成： > **Cold provenance要不要一次存成 universal residual，還是做成可以按 future task逐層解鎖的 progressive code？** 這會把 multi-tier recoverability從「storage hierarchy」再推進到： $$ \boxed{ \text{semantic progressive coding}. } $$