# ESC-EXP-22：Distributionally Robust Recoverability Backing

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-22  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-21  
**狀態：** Distributionally Robust Recoverability Experiment / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

ESC-EXP-21 假設 future requirement distribution：

$$
\mu
$$

已知而固定。

本輪進一步拿掉這個假設。

現在只有 nominal distribution：

$$
\widehat\mu
$$

以及一個 ambiguity set：

$$
\boxed{
\mathcal U_\tau
=
\left\{
\mu:
\operatorname{TV}
(
\mu,
\widehat\mu
)
\le
\tau
\right\}.
}
$$

其中：

$$
\operatorname{TV}
(
\mu,\widehat\mu
)
=
\frac12
\|
\mu-\widehat\mu
\|_1.
$$

所以：

$$
\tau
$$

可以解讀成：

> 相對 nominal distribution，最多有多少 probability mass 可以被重新配置到別的 future requirement。

本輪研究三個 distributionally robust quantities：

### Worst-Case Expected Reacquisition

$$
\boxed{
\overline R_\tau(M)
=
\sup_{
\mu\in\mathcal U_\tau
}
\mathbb E_\mu
[
R(M,Q)
].
}
$$

### Worst-Case Coverage

$$
\boxed{
\underline C_\tau(M)
=
\inf_{
\mu\in\mathcal U_\tau
}
\Pr_\mu
[
M\preceq Q
].
}
$$

### Distributionally Robust Expected Cost

$$
\boxed{
\min_M
\left[
\eta H(M)
+
\rho
\overline R_\tau(M)
\right].
}
$$

本輪 finite benchmark 沿用 EXP-21 的四個 future requirements 與 nominal prior：

$$
\widehat\mu
=
(
0.4,
0.3,
0.2,
0.1
)
$$

分別對應：

- stable4；
- relaxed2；
- horizon2；
- atomic8。

主要結果：

1. atomic tail nominal probability：
   $$
   0.10
   $$
   在 TV ambiguity 下可被 adversarially 提升到：
   $$
   \boxed{
   0.10+\tau
   }
   $$
   直到 probability capacity 飽和。

2. nominal expected-cost phase boundary會隨：
   $$
   \tau\uparrow
   $$
   持續向「保留更多 backing」方向移動。

3. 例如 full-backing transition：
   $$
   6\rightarrow8
   $$
   的 nominal break-even：
   $$
   \rho/\eta=10
   $$
   會變成：
   $$
   \tau=0.02:
   \quad
   8.3333,
   $$
   $$
   \tau=0.05:
   \quad
   6.6667,
   $$
   $$
   \tau=0.10:
   \quad
   5,
   $$
   $$
   \tau=0.20:
   \quad
   3.3333,
   $$
   $$
   \tau=0.30:
   \quad
   2.5.
   $$

4. distributionally robust chance constraint比 nominal chance constraint更保守，而且會出現非常清楚的：
   $$
   \boxed{
   \delta
   \leftrightarrow
   \tau
   }
   $$
   替代關係。

5. 本輪再次得到：
   $$
   \boxed{
   \text{model uncertainty}
   \neq
   \text{ordinary stochastic uncertainty}.
   }
   $$

因為 probability distribution 本身不確定時，即使 nominal expected risk不高，representation仍可能值得保留更多 distinctions。

---

# 1. Runtime

EXP-22 regression：

```text
5 passed
```

測試包含：

- adversarial distribution滿足 total-variation radius；
- atomic tail在小 $\tau$ 下精確線性膨脹；
- distributional ambiguity不會讓 optimal backing比 nominal更冒險；
- distributionally robust chance policy不會比 nominal chance policy更鬆；
- full atomic backing在任何 tested ambiguity下 worst-case reacquisition仍為零。

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# 2. Total Variation Ambiguity

本輪：

$$
\mathcal U_\tau
$$

固定 future support 不變。

也就是：

$$
\{
Q_1,Q_2,Q_3,Q_4
\}
$$

仍然只有四個 requirements。

改變的是 probability vector：

$$
p
=
(p_1,p_2,p_3,p_4).
$$

constraint：

$$
\boxed{
\frac12
\sum_i
|
p_i-\widehat p_i
|
\le
\tau.
}
$$

因此：

$$
\tau
$$

不是新 event probability。

它是：

$$
\boxed{
\text{distribution misspecification budget}.
}
$$

---

# 3. Finite Linear Adversary

對任何 loss vector：

$$
\ell
=
(\ell_1,\dots,\ell_n),
$$

問題：

$$
\sup_{
p:
\operatorname{TV}(p,\widehat p)
\le\tau
}
p^\top\ell
$$

在 finite support 上可以直接解成：

> 從低-loss outcomes 移 probability mass 到高-loss outcomes。

本輪 runtime採 exact finite mass transfer，而不是 sampling approximation。

---

# 4. Atomic-Tail Inflation

atomic8 nominal：

$$
\widehat p_{\mathrm{atomic}}
=
0.10.
$$

worst-case：

$$
\boxed{
p_{\mathrm{atomic}}^{\mathrm{wc}}
=
0.10+\tau
}
$$

在本測試區間內成立。

實測：

$$
\tau=0
\Rightarrow0.10,
$$

$$
\tau=0.02
\Rightarrow0.12,
$$

$$
\tau=0.05
\Rightarrow0.15,
$$

$$
\tau=0.10
\Rightarrow0.20,
$$

$$
\tau=0.20
\Rightarrow0.30,
$$

$$
\tau=0.30
\Rightarrow0.40.
$$

甚至：

$$
\tau=0.50
\Rightarrow0.60.
$$

---

# 5. Probability Error 直接變成 Recoverability Risk

EXP-21 nominal policy可能說：

> atomic future只有 10%，所以可以不 full-backup。

EXP-22 必須改成：

> atomic future可能其實是 10% 到 20%、30% 或更高。

所以真正 decision不再看：

$$
\widehat p_{\mathrm{atomic}}
$$

而是：

$$
\boxed{
\sup_{\mu\in\mathcal U_\tau}
\mu(Q_{\mathrm{atomic}}).
}
$$

---

# 6. Nominal Retention–Reacquisition Frontier

EXP-21 nominal frontier：

| classes | hidden cost | expected reacquisition |
|---:|---:|---:|
| 4 | 0 | 1.2 |
| 5 | 1 | 0.6 |
| 6 | 2 | 0.2 |
| 7 | 3 | 0.1 |
| 8 | 4 | 0 |

---

# 7. $\tau=0.02$

worst-case frontier變成：

| classes | hidden cost | worst-case reacquisition |
|---:|---:|---:|
| 4 | 0 | 1.28 |
| 5 | 1 | 0.66 |
| 6 | 2 | 0.24 |
| 7 | 3 | 0.12 |
| 8 | 4 | 0 |

每一個非-full backing都變貴。

---

# 8. $\tau=0.05$

$$
4:
1.40,
$$

$$
5:
0.75,
$$

$$
6:
0.30,
$$

$$
7:
0.15,
$$

$$
8:
0.
$$

---

# 9. $\tau=0.10$

$$
4:
1.60,
$$

$$
5:
0.90,
$$

$$
6:
0.40,
$$

$$
7:
0.20,
$$

$$
8:
0.
$$

---

# 10. $\tau=0.20$

$$
4:
2.00,
$$

$$
5:
1.20,
$$

$$
6:
0.60,
$$

$$
7:
0.30,
$$

$$
8:
0.
$$

---

# 11. $\tau=0.30$

$$
4:
2.40,
$$

$$
5:
1.50,
$$

$$
6:
0.80,
$$

$$
7:
0.40,
$$

$$
8:
0.
$$

所以 ambiguity對 coarse backing的懲罰最大。

原因是 coarse backing存在：

$$
\boxed{
\text{high-loss tail outcomes}.
}
$$

adversary會把 probability mass往那些 outcomes搬。

---

# 12. Ambiguity Penalty 並不平均

例如：

$$
\tau=0.10
$$

相對 nominal：

### 4-Class

$$
1.2\rightarrow1.6
$$

增加：

$$
0.4.
$$

### 5-Class

$$
0.6\rightarrow0.9
$$

增加：

$$
0.3.
$$

### 6-Class

$$
0.2\rightarrow0.4
$$

增加：

$$
0.2.
$$

### 7-Class

$$
0.1\rightarrow0.2
$$

增加：

$$
0.1.
$$

### 8-Class

$$
0\rightarrow0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{ambiguity tax grows with latent tail severity}.
}
$$

---

# 13. DR Expected-Cost Objective

normalized：

$$
\eta=1,
\quad
r=\rho/\eta.
$$

則：

$$
\boxed{
C_\tau(M;r)
=
H(M)
+
r\overline R_\tau(M).
}
$$

當：

$$
\tau=0
$$

就退回 EXP-21 nominal Bayes problem。

---

# 14. Nominal Phase Diagram

$$
\tau=0.
$$

正寬度 regimes：

$$
4
\rightarrow5
\rightarrow6
\rightarrow8.
$$

主要 breakpoints：

$$
\frac53,
\quad
2.5,
\quad
10.
$$

---

# 15. Ambiguity 讓 Breakpoints 左移

對相鄰 frontier lines：

$$
4\leftrightarrow5,
$$

break-even：

$$
\tau=0:
1.6667,
$$

$$
0.02:
1.6129,
$$

$$
0.05:
1.5385,
$$

$$
0.10:
1.4286,
$$

$$
0.20:
1.25,
$$

$$
0.30:
1.1111.
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{只需要更低 reacquisition/retention cost ratio，
就值得多保留一級 backing。}
}
$$

---

# 16. 5-Class $\leftrightarrow$ 6-Class

break-even：

$$
2.5
$$

依序移到：

$$
2.381,
$$

$$
2.222,
$$

$$
2.0,
$$

$$
1.667,
$$

$$
1.429.
$$

---

# 17. Full-Backing Boundary

6-class與8-class的 effective full-backing threshold：

$$
\tau=0:
10,
$$

$$
\tau=0.02:
8.3333,
$$

$$
\tau=0.05:
6.6667,
$$

$$
\tau=0.10:
5,
$$

$$
\tau=0.20:
3.3333,
$$

$$
\tau=0.30:
2.5.
$$

所以：

$$
\boxed{
\tau\uparrow
\Rightarrow
r_{\mathrm{full}}\downarrow.
}
$$

distributional uncertainty使 full backing更容易成為經濟上的 rational choice。

---

# 18. 一個實際例子： $r=5$

nominal：

$$
\tau=0
$$

時：

$$
\boxed{
6\text{ classes}.
}
$$

因為：

$$
C_6
=
2+5(0.2)
=
3.
$$

而 full backing：

$$
C_8=4.
$$

但：

$$
\tau=0.20
$$

時：

$$
\overline R_{0.2}(M_6)
=
0.6.
$$

所以：

$$
C_6
=
2+5(0.6)
=
5.
$$

full backing仍：

$$
4.
$$

結果直接翻轉：

$$
\boxed{
6\rightarrow8.
}
$$

---

# 19. Distributional Ambiguity 可以改變 Policy，不只是 Cost

這是本輪核心之一：

$$
\boxed{
\text{distribution misspecification penalty}
}
$$

不是單純：

> 所有 policies cost一起上升。

它可以真的改變：

$$
\boxed{
\arg\min_M C_\tau(M).
}
$$

也就是改變 representation architecture。

---

# 20. DR Chance Constraint

現在 chance constraint改成：

$$
\boxed{
\inf_{
\mu\in\mathcal U_\tau
}
\Pr_\mu[
M\preceq Q
]
\ge
1-\delta.
}
$$

如果 backing沒有 cover全部 support，

adversary可以把最多：

$$
\tau
$$

mass從 covered outcomes移到 uncovered outcomes。

因此在本 finite support：

$$
\boxed{
\underline C_\tau(M)
=
C_0(M)-\tau
}
$$

只要尚未碰到 probability boundary。

full 8-class backing則始終：

$$
1.
$$

---

# 21. Nominal 90% Chance Constraint

EXP-21：

$$
\delta=0.10
$$

時 nominal 6-class backing coverage：

$$
0.90.
$$

所以合法。

---

# 22. $\tau=0.05$ 後同一 Policy 失效

同一 6-class backing：

$$
C_0=0.90.
$$

worst-case：

$$
\underline C_{0.05}
=
0.85.
$$

但 90% requirement仍要求：

$$
0.90.
$$

所以：

$$
\boxed{
6\text{-class 不再合法}.
}
$$

DR chance policy被迫升到：

$$
\boxed{
8\text{ classes}.
}
$$

---

# 23. $\delta$ 與 $\tau$ 的 Risk-Budget Competition

若 nominal coverage：

$$
C_0(M),
$$

則 robust chance approximately要求：

$$
C_0(M)-\tau
\ge
1-\delta.
$$

即：

$$
\boxed{
C_0(M)
\ge
1-(\delta-\tau).
}
$$

所以 ambiguity radius：

$$
\tau
$$

直接吃掉 chance failure budget：

$$
\delta.
$$

可以理解為 effective budget：

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{eff}}
=
\delta-\tau.
}
$$

在未碰 boundary 的 regime 中成立。

---

# 24. 例： $\delta=0.20$

nominal：

$$
\tau=0
$$

6-class coverage：

$$
0.9
$$

滿足 required：

$$
0.8.
$$

若：

$$
\tau=0.10,
$$

worst-case coverage：

$$
0.8.
$$

剛好仍合法。

若：

$$
\tau>0.10,
$$

則 6-class policy開始失去 80% DR coverage guarantee。

---

# 25. 例： $\delta=0.40$

nominal EXP-21 可以只存：

$$
5\text{ classes},
$$

coverage：

$$
0.6.
$$

但是只要：

$$
\tau=0.05,
$$

worst-case coverage：

$$
0.55
<
0.6.
$$

所以 5-class backing立刻失效。

本輪：

$$
\boxed{
\tau=0.05,\delta=0.40
\Rightarrow
6\text{ classes}.
}
$$

---

# 26. Ambiguity 相當於吃掉 Risk Margin

這個結果非常實用：

如果 nominal chance design：

$$
C_0(M)
=
1-\delta
$$

剛好卡邊界，

那任何：

$$
\tau>0
$$

都會讓它失效。

所以：

$$
\boxed{
\text{nominally tight chance constraint has zero distributional margin}.
}
$$

---

# 27. Distributional Safety Margin

可以定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Margin}(M)
=
C_0(M)
-
(1-\delta).
}
$$

則 finite TV ambiguity至少要求：

$$
\boxed{
\operatorname{Margin}(M)
\ge
\tau.
}
$$

才有希望保住同一 chance guarantee。

---

# 28. Tail Underestimation

如果模型低估 atomic future：

$$
\widehat p_{\mathrm{atomic}}=0.1,
$$

但真實 probability可能在 TV radius：

$$
\tau
$$

內，

則：

$$
p_{\mathrm{atomic}}
\le
0.1+\tau.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{rare-tail underestimation}
}
$$

不需要真的指定一個 adversarial distribution。

只要 ambiguity set允許，backing policy就應該把它納入。

---

# 29. Nominal Confidence 不等於 Structural Safety

即使：

$$
\widehat\mu
$$

估得「大致準確」，

只要某些 future requirements：

- refinement severity高；
- irrecoverable；
- reacquisition昂貴；

很小的：

$$
\tau
$$

也可能改變 optimal backing。

因此：

$$
\boxed{
\text{small probability-model error}
\not\Rightarrow
\text{small representation-policy error}.
}
$$

---

# 30. Distributional Policy Inflation

定義：

$$
\boxed{
I_{\mathrm{DR}}
(
\tau,r
)
=
|M_{\mathrm{DR}}^\ast|
-
|M_{\mathrm{nom}}^\ast|.
}
$$

本輪例如：

$$
r=5,
\tau=0.20:
$$

$$
6\rightarrow8,
$$

所以：

$$
\boxed{
I_{\mathrm{DR}}=2.
}
$$

也就是 probability-model uncertainty單獨就值得多保留兩層 backing classes。

---

# 31. $r=3$ 的例子

nominal：

$$
6\text{ classes}.
$$

$$
\tau=0.20:
$$

仍：

$$
6.
$$

但：

$$
\tau=0.30:
$$

已變：

$$
\boxed{
8.
}
$$

所以同一 reacquisition economics 下存在：

$$
\boxed{
\text{ambiguity-driven backing phase transition}.
}
$$

---

# 32. 2D Phase Geometry

EXP-21 的 policy主要是：

$$
M^\ast(r).
$$

EXP-22 現在是：

$$
\boxed{
M^\ast(r,\tau).
}
$$

所以 representation policy開始形成真正二維 phase diagram：

- horizontal axis：
  $$
  \rho/\eta
  $$
- vertical axis：
  $$
  \tau
  $$

兩個方向都增加時：

$$
\boxed{
\text{optimal backing generally moves finer}.
}
$$

---

# 33. Economics 與 Epistemic Uncertainty 耦合

$$
r
$$

描述：

> future重建相對現在保存有多貴。

$$
\tau
$$

描述：

> 我們對 future probability有多不確定。

所以：

$$
\boxed{
\text{more expensive future recovery}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{less trustworthy future model}
}
$$

都會推動 representation保留更多 distinctions。

---

# 34. 這不是同一種 Conservative

重要的是：

$$
r\uparrow
$$

是：

$$
\boxed{
\text{economic conservatism}.
}
$$

$$
\tau\uparrow
$$

是：

$$
\boxed{
\text{epistemic/model conservatism}.
}
$$

兩者最後都可能讓 backing變細，但理由完全不同。

---

# 35. Robust、Stochastic、Distributionally Robust

現在 recoverability line可以分三層：

## Robust

不知道 probability，也不相信 frequency：

$$
\sup_Q.
$$

## Stochastic

相信：

$$
\mu
$$

準確：

$$
\mathbb E_\mu.
$$

## Distributionally Robust

只相信：

$$
\mu\in\mathcal U.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{DR 是 stochastic 與 worst-case 之間的可調中間層}.
}
$$

---

# 36. $\tau\rightarrow0$

當：

$$
\tau\rightarrow0,
$$

$$
\mathcal U_\tau
\rightarrow
\{\widehat\mu\}.
$$

所以：

$$
\boxed{
M_{\mathrm{DR}}^\ast
\rightarrow
M_{\mathrm{stochastic}}^\ast.
}
$$

本輪：

$$
\tau=0
$$

完整重現 EXP-21 nominal expected-cost結果。

---

# 37. $\tau$ 變大

當：

$$
\tau
$$

持續增加，

ambiguity set擴張。

worst-case tail probability與 expected reacquisition都上升。

最終 optimal backing逐漸靠近：

$$
\boxed{
M^{\mathrm{rob}}.
}
$$

也就是 8-class atomic backing。

---

# 38. Ambiguity Radius 本身就是 Representation Parameter

以前 representation policy參數有：

$$
\varepsilon,
h,
\mu,
\mathfrak R.
$$

現在還需要：

$$
\boxed{
\tau.
}
$$

所以更完整：

$$
\boxed{
M^\ast
=
M^\ast(
\mathcal P_0,
\widehat\mu,
\tau,
\mathfrak R,
C
).
}
$$

---

# 39. Ambiguity 來源

真實系統裡：

$$
\tau
$$

可以來自：

- sample size不足；
- distribution drift；
- model misspecification；
- adversarial uncertainty；
- unseen environment change；
- rare-event estimation error；
- world-state nonstationarity。

本輪沒有假設它只能是統計 sampling error。

---

# 40. Fixed-Support Limitation

需要明確保守。

本輪：

$$
\mathcal U_\tau
$$

只允許在已知四個 future requirement states中搬 probability mass。

它**不允許**：

> 出現一個 nominal support完全沒有的新 future requirement。

所以本輪仍不是 full open-world robustness。

---

# 41. Support Uncertainty 比 Probability Uncertainty 更強

EXP-21已經看到：

> robust policy對 support是否包含 atomic event高度敏感。

如果未來 ambiguity連：

$$
\operatorname{supp}\mu
$$

都不可信，

那問題比 TV probability shift更強。

需要考慮：

$$
\boxed{
\text{support expansion}.
}
$$

即：

$$
Q_{\mathrm{new}}
\notin
\operatorname{supp}\widehat\mu.
$$

---

# 42. 本輪錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-22.A}
\quad
\text{future probability model uncertainty 可用 ambiguity set 直接進入 recoverability policy。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-22.B}
\quad
\text{TV ambiguity 會將 probability mass 從低-reacquisition futures 搬向高-reacquisition futures。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-22.C}
\quad
\tau\uparrow
\Rightarrow
\text{full-backing economic threshold generally下降。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-22.D}
\quad
\text{chance risk budget }\delta\text{ 與 distributional ambiguity }\tau\text{ 會直接競爭同一 coverage margin。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-22.E}
\quad
\text{small distribution error can trigger a discrete representation-policy phase transition。}
}
$$

---

# 43. 從 EXP-21 到 EXP-22

EXP-21：

$$
\boxed{
\mu
+
\mathfrak R
+
C
\rightarrow
M^\ast.
}
$$

EXP-22：

$$
\boxed{
\widehat\mu
+
\mathcal U
+
\mathfrak R
+
C
\rightarrow
M_{\mathrm{DR}}^\ast.
}
$$

也就是：

> 不只 future不確定，連「我們對 future不確定性的估計」本身也成為 representation preservation 的變量。

---

# 44. 下一輪：ESC-EXP-23

本輪仍有一個重要限制：

$$
\boxed{
\operatorname{supp}\mu
\text{ 固定。}
}
$$

所以下一輪最自然的是：

$$
\boxed{
\text{Open-Support Recoverability and Unknown-Unknown Backing}.
}
$$

也就是加入：

$$
Q_{\mathrm{new}}
\notin
\operatorname{supp}\widehat\mu.
$$

真正問：

> **如果未來可能要求一個我們今天甚至沒有列進 model 的 distinction，現在 backing 到底要保留到多細？**

這會碰到：

- unknown unknowns；
- support expansion；
- novelty reserve；
- universal backing；
- fallback raw provenance；
- open-world recoverability；
- distinction insurance。

也就是 ESC 從「distribution uncertainty」正式進到：

$$
\boxed{
\text{future requirement space itself is incomplete}.
}
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