# ESC-EXP-19：Dynamic Abstraction Control

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-19  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-18  
**狀態：** Dynamic Representation Control Experiment / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

---

## 摘要

ESC-EXP-18 已經證明：

$$
\boxed{
\text{pointwise optimal abstraction}
\not\Rightarrow
\text{trajectory-optimal abstraction}.
}
$$

本輪因此正式把 abstraction partition 當成 controlled state。

operating point：

$$
\boxed{
\theta_t
=
(\varepsilon_t,h_t,\mu_t).
}
$$

representation state：

$$
\boxed{
\mathcal P_t.
}
$$

安全約束：

$$
\boxed{
\operatorname{diam}_{d_{h_t,\mu_t}}
(B)
\le
\varepsilon_t
}
$$

對所有：

$$
B\in\mathcal P_t.
$$

本輪使用的 dynamic objective：

$$
\boxed{
J
=
\sum_t
\left[
\alpha |\mathcal P_t|
+
\beta
\operatorname{Distortion}_t
+
\gamma
\operatorname{Churn}
(
\mathcal P_{t-1},
\mathcal P_t
)
\right].
}
$$

主要實驗採：

$$
\alpha=1,
\quad
\beta=0,
$$

掃描：

$$
\gamma
\in
\{0,1,2,4,8,16\}.
$$

本輪最重要的結果是：

$$
\boxed{
\text{Dynamic abstraction exhibits asymmetric hysteresis.}
}
$$

當 constraint **放寬**時：

- merge 是可選的；
- churn cost 可以讓 controller 延後 merge；
- 甚至完全維持較細 representation。

當 constraint **收緊**時：

- 如果目前 abstraction 已不安全；
- split / refinement 是強制的；
- 再高的 churn penalty 也不能延後。

因此：

$$
\boxed{
\text{optional merge can be inertial,
mandatory split cannot violate safety}.
}
$$

---

# 1. Runtime

EXP-19 新增 regression：

```text
6 passed
```

測試內容：

- $\gamma=0$ 的 dynamic policy 與 pointwise minimum class-count signature 一致；
- 高 churn penalty 在 epsilon pulse 中產生 representation inertia；
- 每一個 dynamic state 都滿足當下 error budget；
- prior pulse 的 class requirement 確實改變；
- horizon pulse 為 $4\to2\to4$ ；
- prior-driven middle split 被證明是 safety-forced。

---

# 2. Dynamic State

representation controller 的 state 不再只是：

$$
\theta_t.
$$

完整 dynamic state至少包含：

$$
\boxed{
(\theta_t,\mathcal P_{t-1}).
}
$$

因為同一個 operating point：

$$
\theta_t
$$

在不同上一期 partition 下，

最佳下一步可能不同。

這就是 representation hysteresis 的來源。

---

# 3. Stage Cost

本輪：

$$
\alpha=1
$$

把每多保留一個 class 視為一個 representation-size cost unit。

transition cost：

$$
\gamma
\operatorname{Churn}.
$$

其中 churn 延續 EXP-18：

$$
\operatorname{Churn}
(
\mathcal P,\mathcal Q
)
=
\frac{
\#\text{pairwise coassignment changes}
}{
28
}.
$$

所以：

$$
\gamma
$$

表示：

> representation regrouping 相對於保留額外 classes 有多昂貴。

---

# 4. Scenario A：Epsilon Pulse

trajectory：

$$
\varepsilon:
0.811278
\rightarrow
0.922142
\rightarrow
0.811278,
$$

固定：

$$
h=3,
\quad
\tau=1.
$$

pointwise minimum classes：

$$
\boxed{
4\rightarrow2\rightarrow4.
}
$$

也就是：

> constraint 暫時放寬，再收回。

---

# 5. $\gamma=0$：純 Myopic Compression

dynamic objective 不懲罰 transition。

得到：

$$
\boxed{
4\rightarrow2\rightarrow4.
}
$$

class cost：

$$
10.
$$

round-trip churn：

$$
\frac{24}{28}
=
\boxed{
0.857143.
}
$$

所以 controller 會立刻 merge 到 2 classes，再立刻 split 回 4。

---

# 6. 第一個 Inertia Regime：3-Class Buffer

本輪沒有只出現：

$$
2
\leftrightarrow
4
$$

二元切換。

還出現中間：

$$
\boxed{
3\text{-class buffer regime}.
}
$$

sampled policy lines：

### Aggressive merge

$$
J_{424}(\gamma)
=
10
+
0.857143\gamma.
$$

### Partial merge

$$
J_{434}(\gamma)
=
11
+
0.357143\gamma.
$$

兩者交點：

$$
\boxed{
\gamma=2.
}
$$

因此當 churn cost 上升到約：

$$
2
$$

class-equivalent units 時，

controller 不再值得 merge 到 2 classes，

而只 merge 到 3。

---

# 7. 第二個 Inertia Regime：完全不 Merge

3-class buffer 與完全保持 4 classes：

$$
J_{444}(\gamma)
=
12
$$

交點：

$$
11
+
0.357143\gamma
=
12.
$$

所以：

$$
\boxed{
\gamma=2.8.
}
$$

當：

$$
\gamma>2.8
$$

時：

$$
\boxed{
4\rightarrow4\rightarrow4
}
$$

成為較好的 observed regime。

也就是：

> error budget 雖然允許壓到 2 classes，dynamic controller 仍刻意不壓。

---

# 8. Epsilon Pulse 的三階 Hysteresis

因此在 sampled policy family 中：

### Low churn cost

$$
\gamma<2
$$

選：

$$
4\to2\to4.
$$

### Intermediate

$$
2<\gamma<2.8
$$

選：

$$
4\to3\to4.
$$

### High churn cost

$$
\gamma>2.8
$$

選：

$$
4\to4\to4.
$$

所以 representation inertia 不是 binary。

而是：

$$
\boxed{
\text{multi-stage merge suppression}.
}
$$

---

# 9. Direct 2-vs-4 Break-Even 不是實際第一轉折

如果只比較：

$$
424
$$

與：

$$
444,
$$

會得到：

$$
\gamma^\ast
=
\frac{2}{0.857143}
=
\boxed{
2.333333.
}
$$

但真正 dynamic policy 在：

$$
\gamma=2
$$

已經先切換到：

$$
434.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{pairwise policy comparison can miss intermediate control regimes}.
}
$$

這與 ESC 一路看到的「過早降維會漏掉中間結構」非常一致。

---

# 10. Scenario B：Horizon Pulse

固定：

$$
\varepsilon
=
0.868767195327.
$$

future horizon：

$$
h:
1
\rightarrow
0
\rightarrow
1.
$$

pointwise classes：

$$
\boxed{
4\rightarrow2\rightarrow4.
}
$$

這次不是 error budget 變動，

而是 future compositional obligation 暫時消失，再恢復。

---

# 11. Horizon Pulse 的低- $\gamma$ Regime

在：

$$
\gamma=0
$$

時，

某個 lexicographically selected 2-class middle path churn：

$$
1.
$$

但只要：

$$
\gamma>0,
$$

controller 在 **同樣保持 $4\to2\to4$ class signature** 的前提下，

立即改選另一個 equally optimal 2-class partition，

使 total churn 降到：

$$
\boxed{
0.5.
}
$$

這是：

$$
\boxed{
\text{within-level canonical adaptation}.
}
$$

也就是：

> representation size 完全沒變，但 grouping 已經因 transition cost 改變。

---

# 12. Horizon Pulse：3-Class Buffer

低-churn 2-class path：

$$
J_{424}
=
10
+
0.5\gamma.
$$

3-class buffer：

$$
J_{434}
=
11
+
\frac{1}{14}\gamma.
$$

交點：

$$
10+0.5\gamma
=
11+\frac1{14}\gamma.
$$

所以：

$$
\boxed{
\gamma
=
\frac73
\approx
2.333333.
}
$$

---

# 13. Horizon Pulse：完全不 Merge

3-class path：

$$
11
+
\frac1{14}\gamma
$$

與 zero-churn：

$$
12
$$

交點：

$$
\boxed{
\gamma=14.
}
$$

所以 future obligation 的 temporary relaxation 可以被 representation inertia 持續抑制很久。

---

# 14. Horizon Pulse Regimes

### Low

$$
0<\gamma<\frac73
$$

$$
4\to2\to4
$$

但選低-churn 2-class grouping。

### Medium

$$
\frac73<\gamma<14
$$

$$
4\to3\to4.
$$

### High

$$
\gamma>14
$$

$$
4\to4\to4.
$$

相比 epsilon pulse：

$$
2.8
$$

就足以完全停止 merge，

horizon pulse 要到：

$$
14.
$$

這表示：

$$
\boxed{
\text{不同 operating-axis 具有不同 inertia threshold}.
}
$$

---

# 15. Scenario C：Prior Pulse

固定：

$$
\varepsilon=0.81,
\quad
h=3.
$$

prior temperature：

$$
\tau:
1.15
\rightarrow
0.85
\rightarrow
1.15.
$$

pointwise minimum：

$$
\boxed{
4\rightarrow8\rightarrow4.
}
$$

也就是 prior 暫時變平，

使原本 4-class abstraction 不再滿足 error bound。

---

# 16. 這次 Inertia 完全無法阻止 Split

第一期 4-class partition若硬保留到 middle prior：

實際 distortion：

$$
\boxed{
0.858364.
}
$$

但 middle error budget只有：

$$
\boxed{
0.81.
}
$$

所以：

$$
0.858364>0.81.
$$

因此 4-class state：

$$
\boxed{
\text{unsafe}.
}
$$

不管：

$$
\gamma=0,
1,
2,
4,
8,
16
$$

dynamic policy 全部只能：

$$
\boxed{
4\rightarrow8\rightarrow4.
}
$$

---

# 17. Asymmetric Hysteresis Principle

現在可以正式區分兩種 transition。

## Relaxation

若新 operating point 使舊 partition 仍安全：

$$
\mathcal P_{t-1}
\in
\operatorname{Safe}(\theta_t),
$$

則 merge 是：

$$
\boxed{
\text{optional control action}.
}
$$

controller 可以因 churn cost 延後或拒絕 merge。

## Tightening

若：

$$
\mathcal P_{t-1}
\notin
\operatorname{Safe}(\theta_t),
$$

則 split/refinement 是：

$$
\boxed{
\text{safety-mandatory}.
}
$$

churn penalty只能決定：

> 在所有安全 refinements 裡選哪一個，

不能決定：

> 要不要 split。

因此：

$$
\boxed{
\text{merge has inertia;
unsafe split has priority}.
}
$$

---

# 18. Dynamic Safety Barrier

可把：

$$
\operatorname{Safe}(\theta)
$$

視為 state constraint set。

dynamic controller：

$$
\mathcal P_t
\in
\operatorname{Safe}(\theta_t)
$$

必須每一步成立。

所以 churn cost：

$$
\gamma
$$

不是 soft trade-off 的最高層。

真正 order 是：

$$
\boxed{
\text{Safety}
>
\text{Transition Cost}
>
\text{Compression Preference}.
}
$$

在 constrained formulation 中，

safety不是一個可以被更高權重抵消的 penalty。

---

# 19. Representation Deadband

當 operating point 暫時放寬，

如果額外 compression savings不足以支付：

$$
\gamma\cdot\text{churn},
$$

controller保持原 partition。

這形成：

$$
\boxed{
\text{representation deadband}.
}
$$

也就是：

> parameter 有小幅／短暫變動，但 abstraction state 不跟著抖動。

---

# 20. Anti-Thrashing

這對 runtime 最直接的好處是：

$$
\boxed{
\text{避免 merge/split thrashing}.
}
$$

例如 error tolerance：

$$
\varepsilon_t
$$

在某個 boundary附近震盪，

myopic compressor可能：

$$
4\to2\to4\to2\to4\cdots.
$$

dynamic controller 可以：

$$
4\to4\to4\to4\cdots
$$

直到節省量足以支付 transition cost。

---

# 21. Hysteresis 不需要手寫規則

傳統工程可能手動設定：

- merge threshold；
- split threshold；
- debounce time。

ESC dynamic formulation則可以讓這些行為由：

$$
\boxed{
\text{future operating trajectory}
+
\text{representation cost}
+
\text{transition cost}
}
$$

自動導出。

所以 hysteresis 可以是 optimal control 的結果，

而不是 ad hoc patch。

---

# 22. Pointwise Optimality 的真正角色

pointwise optimum：

$$
k^\ast(\theta_t)
$$

仍然有用。

它提供：

$$
\boxed{
\text{當下最低 representation size lower bound}.
}
$$

dynamic controller 的：

$$
|\mathcal P_t|
-
k^\ast(\theta_t)
$$

則可以定義：

$$
\boxed{
\text{Dynamic Class Overhead}.
}
$$

這正是 controller 為了穩定性支付的暫時 representation premium。

---

# 23. Epsilon Pulse 的 Dynamic Overhead

高- $\gamma$：

$$
4\to4\to4.
$$

middle point optimum：

$$
2.
$$

所以 middle overhead：

$$
\boxed{
+2.
}
$$

但換來：

$$
\boxed{
0\text{ churn}.
}
$$

這和 EXP-18 hierarchy overhead 是類似但不同的成本。

EXP-18 的 overhead是：

$$
\text{hierarchy constraint}.
$$

EXP-19 的 overhead是：

$$
\text{temporal transition avoidance}.
$$

---

# 24. Horizon Pulse 的 Intermediate Control

在：

$$
\gamma=4,8
$$

dynamic policy選：

$$
4\to3\to4,
$$

middle overhead：

$$
+1,
$$

但 total churn只：

$$
\boxed{
\frac{2}{28}
=
0.071429.
}
$$

這是一個很漂亮的 compromise：

> 不追求最小 2-class，也不完全維持 4-class，而找一個幾乎不需要 remap 的 3-class buffer。

---

# 25. Representation Buffer State

因此可以定義：

$$
\boxed{
\text{Buffer Abstraction}
}
$$

不是任何 operating point 的最小 abstraction，

而是為了 trajectory transition 特別選出的 intermediate partition。

它的角色類似：

- gearbox intermediate state；
- cache transition layer；
- staged migration schema；
- compatibility shim。

這可能是 dynamic representation system 很重要的工程 primitive。

---

# 26. Dynamic Policy 的 Markov Form

如果已知：

$$
\theta_t
$$

與：

$$
\mathcal P_{t-1},
$$

且 future trajectory已知／可預測，

則 finite horizon DP：

$$
\boxed{
V_t(\mathcal P)
=
\min_{\mathcal Q\in\operatorname{Safe}(\theta_t)}
\left[
C_t(\mathcal Q)
+
\gamma
\operatorname{Churn}
(
\mathcal P,\mathcal Q
)
+
V_{t+1}(\mathcal Q)
\right].
}
$$

本輪 runtime 就是在 finite partition space 上直接算這個 recursion。

---

# 27. Offline vs Online Control

本輪是：

$$
\boxed{
\text{offline finite-horizon control}.
}
$$

也就是整條 trajectory 已知。

真實 agent runtime 中：

$$
\theta_{t+1}
$$

通常未知。

因此未來可以擴張：

- stochastic DP；
- model predictive control；
- robust control；
- online regret minimization。

---

# 28. Prior Pulse 說明 Robust Control 的必要性

prior drift：

$$
\tau
$$

可以突然讓目前 abstraction變 unsafe。

因此 controller不能只估計：

$$
\mathbb E[\theta_{t+1}].
$$

如果某些 prior shifts具有高風險，

可能需要提前保持更細 representation。

所以可以研究：

$$
\boxed{
\text{robust safe abstraction}
}
$$

對：

$$
\theta
\in\Theta_{\mathrm{uncertain}}
$$

全部安全。

---

# 29. Dynamic Abstraction 與 Memory

如果：

$$
\mathcal P_t
$$

代表 agent memory equivalence classes，

merge：

$$
\rightarrow
$$

記憶壓縮，

split：

$$
\rightarrow
$$

重新展開 distinctions。

但 split 是否可能，取決於 provenance / latent detail 有沒有被保留。

所以真實 runtime 還要區分：

$$
\boxed{
\text{logical refinement}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{physically reversible refinement}.
}
$$

這會接回 ESC 的 complete recoverability 與 provenance。

---

# 30. Irreversible Merge

如果 merge 時真的刪除 underlying distinctions，

之後：

$$
\theta_t
$$

收緊時，

可能無法 split 回去。

本輪 finite controller預設所有原始 mechanism states仍存在，所以 split可逆。

因此目前屬於：

$$
\boxed{
\text{logical abstraction control}.
}
$$

不是 irreversible storage compression。

這是下一階段必須新增的現實限制。

---

# 31. Reversible Abstraction vs Destructive Compression

可以正式分：

## Reversible Abstraction

只改：

$$
q_t:S\to Q_t,
$$

底層：

$$
S
$$

仍保存。

未來可任意 refine。

## Destructive Compression

真正刪除 distinctions：

$$
S
\rightarrow
\widetilde S.
$$

未來 refinement 可能需要重新觀測／重算，甚至不可能。

這兩者 dynamic control 完全不同。

---

# 32. Dynamic Recoverability Constraint

因此未來可再加入：

$$
\boxed{
\operatorname{Recoverable}
(
\mathcal P_{t+1}
\mid
\mathcal P_t,
M_t
)
}
$$

其中：

$$
M_t
$$

是保留的 provenance / backing memory。

若 refinement不可恢復：

$$
\mathcal P_{t+1}
$$

即使 epistemically理想，也不是 feasible action。

---

# 33. Dynamic ESC 的新狀態變量

完整 representation controller可能需要：

$$
\boxed{
X_t
=
(
\theta_t,
\mathcal P_t,
M_t,
H_t
)
}
$$

其中：

- $\theta_t$：semantic obligation；
- $\mathcal P_t$：active abstraction；
- $M_t$：recoverability backing state；
- $H_t$：history / provenance。

這開始回到 ESC 最初共同底空間裡：

$$
\mathsf{Obs},
\quad
\mathsf{Upd},
\quad
\mathsf{Hist}.
$$

---

# 34. 一個很漂亮的閉環

ESC 最早共同 skeleton：

$$
\text{Distinguish}
\rightarrow
\text{Relate}
\rightarrow
\text{Update}
\rightarrow
\text{Re-distinguish}.
$$

EXP-19 的 dynamic abstraction：

$$
\text{Partition}
\rightarrow
\text{Operating-point change}
\rightarrow
\text{Merge/Split decision}
\rightarrow
\text{New partition}
\rightarrow
\text{Re-evaluate}.
$$

結構上已經重新回到同一個 skeleton。

---

# 35. 本輪錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-19.A}
\quad
\text{pointwise minimum abstraction 一般不是含 transition cost 時的 trajectory optimum。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-19.B}
\quad
\text{temporary relaxation 可產生 representation inertia 與 multi-stage buffer regimes。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-19.C}
\quad
\text{若舊 partition 在新 operating point 不安全，refinement 是 mandatory，churn penalty 無法阻止。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-19.D}
\quad
\text{dynamic hysteresis 是 asymmetric：merge 可延後，safety-required split 不可延後。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-19.E}
\quad
\text{buffer abstraction 可以作為降低 representation migration cost 的中介狀態。}
}
$$

---

# 36. 下一輪：ESC-EXP-20

現在最自然的下一步，是把本輪「split 永遠可以做」這個理想假設拿掉。

也就是：

$$
\boxed{
\text{Recoverability-Constrained Dynamic Abstraction}.
}
$$

加入 backing memory：

$$
M_t,
$$

並區分：

- reversible merge；
- destructive merge；
- reconstructable split；
- impossible split。

真正的 control problem變成：

$$
\boxed{
\min
\sum_t
\left[
\text{representation cost}
+
\text{churn}
+
\text{backing-memory cost}
+
\text{reconstruction cost}
\right]
}
$$

subject to：

$$
\boxed{
\text{safety}
+
\text{future recoverability}.
}
$$

這會把 EXP-19 的 logical abstraction control 接回 ESC 最早一直在追的：

$$
\boxed{
\text{Complete Recoverability}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{history / provenance preservation}.
}
$$

也就是 representation 到底什麼時候可以「真的刪掉」，什麼時候只能暫時視為相同。